Interferencja to nakładanie się dwóch lub większej liczby wiązek, w wyniku czego dochodzi do wzmocnienia lub wygaszenia interferencyjnego. Warunkiem wystąpienia obrazów interferencyjnych jest spójność wiązek światła oraz występowanie różnicy dróg Δr, przebytych przez wiązki od źródła do punktu nałożenia się.

• Wzmocnienie interferencyjne (jasny prążek) zachodzi wówczas, gdy różnica dróg przebytych przez dwie fale do miejsca ich spotkania spełnia warunek:

Δr = r₁ – r₂ = nλ, gdzie n = 0, 1, 2, 3...

• Wygaszenie interferencyjne zachodzi wówczas, gdy spełniony jest warunek:

,
gdzie n = 1, 2, 3...

• Wiązki spójne to takie wiązki, które czasowo i przestrzennie wykazują stałą różnicę faz, np. wiązka światła laserowego.

Interferencja światła

Interferencja fal nazywamy zjawisko nakładania się fal, w których zachodzi stabilne w czasie ich wzajemne wzmocnienie w jednych punktach przestrzeni, oraz osłabienie w innych, w zależności od stosunków fazowych fal. Interferować mogą tylko fale spójne, dla których odpowiadające im drgania zachodzą wzdłuż tego samego lub podobnych kierunków.
Jeżeli założymy, że dwa punktowe źródła emitują dwie fale sinusoidalne o amplitudach A₁ i  A₂, częstościach kołowych ω₁ i ω₂ i fazach ϕ₁(t) i ϕ₂(τ) to wypadkowa fala będzie opisana równaniem

             . ( 1 )

W powyższym równaniu zaniedbano część zawierające współrzędne przestrzenne. (Dlaczego mozna tak zrobić?)

Jeżeli fale są niespójne to

i natężenie fali wypadkowej jest równe sumie natężeń fal składowych. Podczas nakładania się fal spójnych amplituda fali wypadkowej zmienia się od do w zależności od wartości trzeciego członu w równaniu (1). W najprostszym przypadku, aby zaszła interferencja muszą być spełnione następujące warunki

ω₁=ω₂ oraz ϕ₁(t)-ϕ₂(t)=const.

    Podczas nakładania się światła pochodzącego z dwóch źródeł nie będących laserami lub nawet pochodzących z różnych miejsc tego samego źródła nie obserwujemy interferencji. Jest to spowodowane przez emisję światła przez wzbudzone atomy w postaci skończonych ciągów falowych, których fazy początkowe zmieniają się niezależnie. Dwie fale nazywamy falami spójnymi jeżeli różnica ich faz nie zależy od czasu. Spójne fale świetlne ze zwykłych (nielaserowych) źródeł otrzymujemy metodą dzielenia światła pochodzącego z jednego źródła na dwie lub więcej wiązek. Promieniowanie w każdej z nich pochodzi od tych samych atomów źródła i ze względu na wspólne pochodzenie, wiązki te są spójne. Do podziału światła na wiązki spójne można wykorzystać zjawiska odbicia lub załamania światła.
Okazuje się jednak, że powyższe warunki są zbyt silne i interferencję możemy obserwować nawet wtedy, gdy częstości nakładających się fal nie są dokładnie równe. Również nie musimy używać źródeł o punktowych rozmiarach. W ogólności, interferujące ze sobą fale muszą mieć spełnione tzw. warunki spójności czasowej i przestrzennej.

Zasada Huygensa (czytaj: hojchensa, błędnie: zasada Huyhensa) – sformułowana przez Christiaana Huygensa mówiąca, iż każdy punkt ośrodka, do którego dotarło czoło fali można uważać za źródło nowej fali kulistej. Fale te zwane są falami cząstkowymi i interferują ze sobą. Wypadkową powierzchnię falową tworzy powierzchnia styczna do wszystkich powierzchni fal cząstkowych i ją właśnie obserwujemy w ośrodku.

Zasada Huygensa nie określa amplitudy fali. W ogólnym przypadku amplituda ta będzie zależała od geometrii układu i kierunku, w którym fala się porusza. Na przykład, jeżeli na drodze fali znajdzie się przeszkoda z pojedynczym otworem, wówczas, jak zauważył Gustav Kirchhoff, amplituda fali będzie największa w tym kierunku, w którym fala pierwotnie się rozchodziła. Kirchhoff podał przybliżony wzór opisujący zmianę amplitudy A w funkcji kąta θ

Zjawisko uginania się fali na przeszkodach, wynikające wprost z zasady Huygensa, nazywa się dyfrakcją.

Doświadczenie Younga – eksperyment polegający na przepuszczeniu światła spójnego przez dwie blisko siebie położone szczeliny i obserwacji obrazu powstającego na ekranie. Wskutek interferencji na ekranie powstają jasne i ciemne prążki w obszarach, w których światło jest wygaszane lub wzmacniane.

Warunek powstania maksimum:

Warunek powstania minimum:

gdzie:

k – rząd prążka (dla k = 0 powstaje najjaśniejszy prążek centralny),

d – odległość między szczelinami,

λ – długość fali padającego światła,

α_k – kąt pod jakim tworzy się k-te maksimum lub minimum i może być widoczne na ekranie (względem prostej przechodzącej przez środek odległości między szczelinami w kierunku padającego na nie promienia światła);

Eksperyment potwierdził falową naturę światła i stanowił poważny argument przeciwko korpuskularnej koncepcji światła, której zwolennikiem był Isaac Newton. Po raz pierwszy eksperyment ten wykonał około roku 1805 Thomas Young, fizyk angielski.

Bardziej widowiskowy i łatwiejszy sposób wykonania tego doświadczenia, polega na użyciu siatki dyfrakcyjnej, czyli płytki ze szkła, na której gęsto zarysowane są rysy pełniące rolę przesłon pomiędzy szczelinami. Obraz interferencyjny widoczny w tym przypadku na ekranie jest znacznie wyraźniejszy i jaśniejszy niż przy użyciu jedynie dwóch szczelin.

Thomasa Younga zainspirowały obserwacje fal na wodzie pochodzących z dwóch różnych źródeł – ich wzajemne wzmacnianie się i osłabianie. Chcąc wykonać podobny eksperyment z użyciem światła, użył nieprzezroczystego materiału, w którym wyciął dwie bardzo małe dziurki. Do uzyskania spójnego światła Young przepuścił światło świecy najpierw przez pojedynczy mały otwór. Światło to, zgodnie z zasadą Huygensa rozchodziło się w postaci fali kulistej, a następnie docierało do dwóch szczelin na kolejnej przesłonie. Różnica faz promieni dochodzących do obu szczelin była cały czas jednakowa dla danej częstotliwości, a zatem były to fale spójne. Po przejściu przez obie szczeliny, promienie rozprzestrzeniały się (znów zgodnie z zasadą Huygensa) i oświetlały ekran tworząc na nim kolorowe prążki interferencyjne.

Doświadczenie w swojej pierwotnej formie nie budziło wielkich kontrowersji w świecie fizyki, jednak późniejsze jego modyfikacje i interpretacja w świetle mechaniki kwantowej postawiły przed fizykami znaki zapytania. Okazało się bowiem, że nawet pojedyncze fotony przechodzące przez szczeliny, tworzyły za szczelinami na światłoczułym materiale wzór interferencyjny. Typowo falowe zjawisko interferencji światła w połączeniu z jego kwantową naturą stało się przyczynkiem do zrozumienia podstaw mechaniki kwantowej – zasady nieoznaczoności i dualizmu falowo-korpuskularnego.

W kwantowo-mechanicznym podejściu efekt interferencji spowodowany jest nakładaniem się funkcji falowej opisującej stan fotonu.

Od punktów A i C oba promienie mają do pokonania taką samą drogę. Zatem różnica dróg dla obu promieni jest równa BC = Δ. Z prostokątnego trójkąta ABC można wyznaczyć Δ

Wzmocnienie nastąpi, gdy Δ będzie równa całkowitej wielokrotności długości fali λ

Wzór ten oznacza, że promienie biegnące pod kątem utworzą na ekranie jasny prążek. Liczba k jest rzędem widma.

Światło spójne (światło koherentne)

1. (W znaczeniu szerszym) światło zdolne do interferencji.

Mówimy, że dwa promienie są spójne, jeśli mają tę samą długość fali (światło monochromatyczne), amplitudę, stałą w czasie różnicę faz oraz taką samą płaszczyznę polaryzacji, dzięki czemu w wyniku interferencji dają stałe obszary wzmocnienia i osłabienia w postaci prążków interferencyjnych, pierścieni i in.

2. (W znaczeniu węższym) światło składające się z fotonów zgodnych w fazie.

Źródła światła takie jak: Słońce, płomień, żarówka wytwarzają światło niespójne. Nawet, jeżeli jest ono monochromatyczne i ma stałą amplitudę nie występuje zgodność fazowa. Jednak w małej skali czasowej

źródło emituje pojedynczy spójny ciąg falowy. Mówimy wówczas o spójności czasowej (ograniczonej w czasie). Ciąg ten poruszając się z prędkością światła jest w danej chwili czasu spójny na drodze (spójność przestrzenna)

Dzięki istnieniu spójnych ciągów falowych, można uzyskiwać efekty interferencyjne. Jeżeli na drodze światła znajdzie się wąska szczelina, wówczas w danym momencie czasu przejdzie przez nią jeden ciąg falowy. Rozprzestrzeniający się ciąg falowy możne przejść z kolei przez dwie szczeliny, powodując powstanie prążków interferencyjnych . Podobnie można uzyskać efekt interferencyjny w cienkich warstwach, gdy światło odbite od górnej powierzchni warstwy nakłada się na światło odbite od dolnej powierzchni warstwy.

Światło o dużej spójności czasowej i przestrzennej uzyskać można dzięki laserom.

DYFRAKCJA

      Zjawisko dyfrakcji (ugięcia) odkrył Grimaldi (XVII w). Polega ono na uginaniu się promieni świetlnych przechodzących w pobliżu przeszkody (np. brzeg szczeliny). Wyjaśnienie dyfrakcji w oparciu o zasadę Huyghensa - Fresnela (przełom XVIII i XIX w). (W jego czasach wierzono, że fale świetlne są falami mechanicznymi w przenikającym wszechświat eterze. Dopiero Maxwell pokazał, że fale świetlne są falami elektro-magnetycznymi, a Einstein odrzucił postulat konieczności istnienia eteru). Rysunek (a) pokazuje ogólnie na czym polega.

      Taka sytuacja gdy fale opuszczające otwór nie są płaskie (promienie nie są równoległe) pojawia się gdy źródło fal S i ekran (C), na którym powstaje obraz znajdują się w skończonej odległości od ekranu ze szczeliną (B). Taki przypadek nosi nazwę dyfrakcji Fresnela. Obliczenia natężeń światła są w tej sytuacji trudne.
      Całość upraszcza się, gdy źródło S i ekran C odsuniemy na bardzo duże odległości od otworu uginającego. Ten graniczny przypadek nazywamy dyfrakcją Fraunhofera. Czoła fal padających jak i ugiętych są płaszczyznami (promienie są równoległe) tak jak to widać na rysunku (b).

      Warunki do wystąpienia dyfrakcji Fraunhofera można zrealizować w laboratorium za pomocą dwu soczewek (rysunek c). Pierwsza soczewka zmienia falę rozbieżną w równoległa, a druga skupia w punkcie P fale płaskie opuszczające otwór. Wszystkie promienie oświetlające punkt P opuszczają otwór równolegle do linii przerywanej (przechodzącej przez środek soczewki). Warunki dyfrakcji Fraunhofera były z założenia spełnione w doświadczeniu Younga.

DYFRAKCJA FRAUNHOFERA

1.Pojedyncza szczelina
      Rysunek pokazuje falę płaską padającą prostopadle na szczelinę o szerokości a. Rozpatrzmy punkt środkowy P₀ ekranu. Równoległe promienie przebywają do tego punktu te same drogi optyczne (różne geometryczne) tzn. promienie zawierają tę samą ilość długości fal (soczewki cienkie). Ponieważ w szczelinie promienie są zgodne w fazie to po przebyciu takich samych dróg optycznych nadal pozostają zgodne w fazie. Dlatego w środkowym punkcie P₀ będzie maksimum.

      Rozpatrzmy teraz inny punkt P₁ na ekranie (rysunek poniżej). Promienie docierające do P₁ wychodzą ze szczeliny pod kątem θ . Jeden promień ma początek u góry szczeliny, a drugi w jej środku. (Promień xP₁ przechodzi przez środek soczewki więc nie jest odchylany).

      Jeżeli wybierzemy punkt P₁ tak, żeby różnica dróg bb' wynosiła λ/2 to promienie zgodne w fazie w szczelinie będą miały w punkcie P₁ fazy przeciwne i wygaszą się. Podobnie każdy inny promień wychodzący z górnej połowy szczeliny będzie się wygaszał z odpowiednim promieniem z dolnej połówki leżącym w odległości a/2 poniżej. Punkt P₁ będzie miał natężenie zerowe (pierwsze minimum dyfrakcyjne).
Warunek opisujący to minimum ma następującą postać :

½ a sin θ = ½ λ

czyli

a sin θ = λ

UWAGA : Gdyby szerokość szczeliny była równa λ wtedy pierwsze minimum pojawiłoby się dla θ = 90° czyli środkowe maksimum wypełniłoby cały ekran. W miarę rozszerzania szczeliny środkowe maksimum staje się węższe. (Podobnie było dla interferencji Younga w miarę zmiany odległości między szczelinami punktowymi). Podobne rozważania możemy powtórzyć dla wielu punktów szczeliny i otrzymamy ogólne wyrażenie dla minimów obrazu dyfrakcyjnego w postaci

a sin θ = m λ , m=1,2,3,..... (minimum)

Mniej więcej w połowie między każdą parą sąsiednich minimów występują oczywiście maksima natężenia.

Pojedyncza szczelina, rozważania jakościowe
      Teraz chcemy znaleźć wyrażenie na rozkład natężenia w całym obszarze dyfrakcyjnym w funkcji kąta θ. Zrobimy to jakościowo. Wyobraźmy sobie, że szczelinę o szerokości a dzielimy na N pasków o małej szerokości Δx. Każdy pasek jest źródłem fal kulistych Huyghensa, które wytwarzają na ekranie określone zaburzenie falowe.

Różnica dróg między sąsiednimi paskami wynosi Δxsinθ stąd różnica faz Δφ pomiędzy falami pochodzącymi z sąsiednich pasków wynosi

czyli

• Zakładamy, że paski są tak wąskie, że wszystkie punkty na danym pasku mają tę samą drogę optyczną do punktu P (całe światło ma tę samą fazę).

• Dla małych kątów θ amplitudy ΔE₀ zaburzeń falowych w punkcie P pochodzące od różnych pasków przyjmujemy za jednakowe. Zatem w punkcie P dodaje się N wektorów (pól elektrycznych E) o tej samej amplitudzie ΔE₀, tej samej częstości i tej samej różnicy faz Δ φ między kolejnymi wektorami. Szukamy zatem zaburzenia wypadkowego dla różnych punktów P, tzn. dla różnych kątów θ, tzn. dla różnych Δ. Poniżej na rysunkach przedstawione jest zaburzenie wypadkowe dla kilku różnych miejsc na ekranie.

• Rysunek (a) przedstawia warunki dla maksimum środkowego (Δ =0°).

• Rysunek (b) przedstawia warunki dla kierunku nieco odmiennego od maksimum środkowego (Δ =5°).

• Rysunek (c) przedstawia warunki dla pierwszego minimum (Δ =30°).

• Rysunek (d) przedstawia warunki bliskie pierwszemu maksimum (poza środkowym) (Δ =42°)

Zwróćmy uwagę, że długość łuku jest zawsze równa E_m ale amplituda E_o jest różna. Wektory na rysunku odpowiadają amplitudom (a nie natężeniom). Żeby otrzymać natężenia trzeba je podnieść do kwadratu. W przeciwieństwie do obrazu interferencyjnego natężenia kolejnych maksimów nie są jednakowe.

Pojedyncza szczelina, rozważania ilościowe
      Na rysunku poniżej jest przedstawiona konstrukcja służąca do obliczenia natężenia światła w przypadku dyfrakcji na jednej szczelinie. Sytuacja odpowiada tej pokazanej na poprzednim rysunku (b).

      Jeżeli szczelinę podzielimy na nieskończenie wiele małych pasków o szerokości dx to łuk strzałek będzie łukiem koła o promieniu R. Długość łuku wynosi E_m czyli równa jest amplitudzie w środku obrazu dyfrakcyjnego (linia prosta strzałek). Kąt w dolnej części rysunku przedstawia różnicę fazy między skrajnymi wektorami w łuku tzn. jest różnicą faz pomiędzy promieniami wychodzącymi z góry i dołu szczeliny. Jak widać z rysunku

czyli

W mierze łukowej

stąd

Podstawiając do równania otrzymamy

czyli

gdzie

Przypomnijmy, że φ jest różnicą faz dla promieni wychodzących z krańców szczeliny. Posłużymy się znanym związkiem:

różnica faz/2 Π = różnica dróg/λ

otrzymując

lub

Teraz możemy już obliczyć natężenie światła dla dyfrakcji na pojedynczej szczelinie. Natężenie jest proporcjonalne do kwadratu amplitudy. Otrzymujemy więc

Wyrażenie na natężenie przyjmuje wartość minimalną dla

α = mΠ, m = 1,2,3,....

Podstawiając do równania otrzymujemy

asinθ = mλ, m = 1, 2, 3, ..... (minimum)

Jest to wynik zgodny z uzyskanym poprzednio (rozważania jakościowe). Obliczmy teraz względne natężenia kolejnych maksimów dyfrakcyjnych. Maksima leżą w środku pomiędzy minimami, a więc w punktach, dla których

α = (m+1/2)Π , m = 1, 2, 3,.......

Podstawiając to do równania na natężenie otrzymujemy

Widać, że natężenia kolejnych maksimów bardzo szybko maleją. Na rysunku poniżej przedstawiono krzywe I_θ dla różnych szerokości szczeliny (w stosunku do długości fali λ) w funkcji położenia na ekranie (kąta θ).

Równoczesna interferencja i dyfrakcja na dwóch szczelinach
      W doświadczeniu Younga szczeliny były wąskie ( a << λ ) tak, że każda ze szczelin oświetlała równomiernie ekran. Jeżeli takie fale (spójne) interferowały to otrzymywaliśmy prążki o jednakowym natężeniu.
Dla realnych szczelin trudno jest zrealizować warunek a << λ. Oznacza to, że pojedyncza szczelina będzie dawała obraz dyfrakcyjny i interferencja fal da teraz obraz, w którym natężenia prążków nie będą stałe (jak w doświadczeniu Younga) ale zależne od tego obrazu dyfrakcyjnego.
      Odejście od założenia a << λ powoduje głównie zmianę natężenia prążków (ich położenia pozostają prawie nie zmienione).

Przypomnijmy, że obraz interferencyjny dla dwóch szczelin dany jest równaniem gdzie

przy czym d jest odległością między szczelinami. Natomiast natężenie fali ugiętej na szczelinie jest dane równaniem

gdzie

przy czym a jest szerokością szczeliny Teraz chcemy otrzymać łączny efekt. Dlatego w równaniu dla interferencji stałą ampli-tudę (dla wąskich szczelin) zastępujemy realnym natężeniem dyfrakcyjnym. Otrzymujemy

      Ten wynik opisuje następujące fakty. W pewnym punkcie ekranu natężenie światła, z każdej szczeliny osobno, jest dane przez obraz dyfrakcyjny tej szczeliny. Obrazy dyfrakcyjne dwóch szczelin rozpatrywanych oddzielnie nakładają się (fale interferują). Rysunek poniżej jest wykresem powyższego równania dla d = 50λ i trzech wartości stosunku a/λ.

Bibliografia:
1. Jadwiga Mońka-Szmatloch, Donata Wajand, Janusz Zimnicki "Fizyka" , cz.2, Politechnika Łódzka , Łódź 1977
2.I.W.Sawieliew "Wykłady z fizyki", cz.2 , Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1998

Dyfrakcja (ugięcie fali) to zjawisko fizyczne zmiany kierunku rozchodzenia się fali na krawędziach przeszkód oraz w ich pobliżu. Zjawisko zachodzi dla wszystkich wielkości przeszkód, ale wyraźnie jest obserwowane dla przeszkód o rozmiarach porównywalnych z długością fali.

Dyfrakcja używana jest do badania fal oraz obiektów o niewielkich rozmiarach, w tym i kryształów, ogranicza jednak zdolność rozdzielczą układów optycznych.

Jeżeli wiązka fal przechodzi przez szczelinę lub omija obiekt, to zachodzi zjawisko ugięcia. Zgodnie z zasadą Huygensa fala rozchodzi się w ten sposób, że każdy punkt fali staje się nowym źródłem fali kulistej. Za przeszkodą fale nakładają się na siebie zgodnie z zasadą superpozycji. Przy spełnieniu pewnych warunków za przeszkodą pojawiają się obszary wzmocnienia i osłabienia rozchodzących się fal (interferencja).

Zjawisko dyfrakcji występuje dla wszystkich rodzajów fal np. fal elektromagnetycznych, fal dźwiękowych oraz fal materii.

Jeden z najprostszych przykładów zjawiska dyfrakcji zachodzi, gdy równoległa wiązka światła (np z lasera) przechodzi przez wąską pojedynczą szczelinę zwaną szczeliną dyfrakcyjną. Zgodnie z zasadą Huygensa każdy punkt szczeliny o szerokości d, jest nowym źródłem fali. Między źródłami zachodzi interferencja, co powoduje wzmacnianie i osłabianie światła rozchodzącego się w różnych kierunkach. Dla pojedynczej szczeliny jasność w funkcji kąta odchylenia od osi przyjmuje postać:

,

gdzie:

• I – intensywność światła,

• I₀ – intensywność światła w maksimum, czyli dla kąta równego 0,

• λ – długość fali,

• d – szerokość szczeliny,

• funkcja sinc(x) = sin(x)/x.

Przepuszczenie fali przez szczelinę dyfrakcyjną pozwala na określenie kierunku rozchodzenia się fali. Im mniejsza jest szerokość szczeliny, tym dokładniej można to zrobić. Jednocześnie zmniejszanie szczeliny powoduje, że trudniej jest określić energię fali, ponieważ rozprasza się ona na większy obszar. W efekcie iloczyn błędu określenia energii oraz błędu pomiaru kierunku musi być większy od pewnej stałej. Oznacza to, że istnieje granica dokładności pomiaru parametrów rozchodzącej się fali. Zjawisko to ma fundamentalne znaczenie, jeżeli weźmie się pod uwagę, że każda materialna cząstka jest falą. Zjawisko to jest potwierdzeniem zasady nieoznaczoności. Dualizm korpuskularno-falowy powoduje, że możliwa jest obserwacja dyfrakcji cząstek materialnych. Eksperymenty udowodniły, że zjawisko to zachodzi dla elektronów i neutronów

Aby wzmocnić falę przechodzącą przez szczelinę stosuje się w optyce układy wielu takich szczelin, nazywane siatką dyfrakcyjną. Efekty optyczne od każdej szczeliny dodają się, przez co zachowanie fali zależy tylko od stałej siatki (odległości dzielącej najbliższe sobie rysy).

Zjawisko dyfrakcji zachodzi również, kiedy fale przechodzą przez wiele blisko siebie położonych warstw. Jeżeli odległość między warstwami jest stała, kolejne maksima fali można opisać zależnością:

,

gdzie:

• d – stała siatki,

• θ – kąt od osi wiązki światła,

• λ – długość fali,

• n – przyjmuje wartości całkowite dodatnie od 1,2,3,...

Dla promieniowania rentgenowskiego zjawisko to pozwala na obserwacje kolejnych warstw kryształu. W świetle widzialnym dyfrakcję na warstwach można obserwować jako rozproszenie światła białego na powierzchni płyty CD. Kolejne ścieżki tworzą następujące po sobie warstwy, na których fale o różnych kolorach, załamują się pod różnym kątem. W efekcie światło białe rozdziela się na poszczególne barwy.

Fala, która omija przeszkodę mniejszą niż długość fali nie reaguje na tak mały obiekt. Fakt ten powoduje konieczność stosowania krótszych fal do obserwacji mniejszych przedmiotów. Aby obserwować strukturę krystaliczną materii, konieczne jest użycie fal rentgenowskich. Zjawisko dyfrakcji pozwoliło na rozwój krystalografii rentgenowskiej, dzięki której badano strukturę kryształów, odkryto także strukturę spirali DNA.

W procesie produkcji układów scalonych wykorzystuje się światło do rysowania kształtu obwodu elektrycznego na podłożu. Zjawisko dyfrakcji zmusza producentów mikroprocesorów do zastosowania fal dwa razy krótszych niż konieczna szerokość ścieżek struktury układu. Dla obwodów o dokładności 0,13 μm, oznacza to konieczność posłużenia się ultrafioletem. Jeżeli układy scalone mają się rozwijać zgodnie z prawem Moore'a, konieczne jest wdrożenie nowych technologii opierających się na falach coraz mniejszej długości. Światło ulega największemu załamaniu w narożach i zakrętach ścieżek maski, więc konstruktorzy obecnie tak modyfikują maskę w narożach otworów i na zakrętach ścieżek, by zminimalizować, a wręcz wykorzystać efekty dyfrakcji, długość światła dobiera się tak by pierwsze prążki interferencyjne równoległych ścieżek nie nakładały się w miejscach przerw między ścieżkami, poprawiono własności emulsji. Po dokonaniu tych zmian wyżej wymienione kryterium długości fali udało się złagodzić.

Siatka dyfrakcyjna – przyrząd do przeprowadzania analizy widmowej światła. Tworzy ją układ równych, równoległych i jednakowo rozmieszczonych szczelin.

Stała siatki dyfrakcyjnej to parametr charakteryzujący siatkę dyfrakcyjną. Wyraża on rozstaw szczelin siatki (odległość między środkami kolejnych szczelin).

Siatka transmisyjna jest to przezroczysta płytka. Na jedną ze stron płytki zostaje naniesiona seria równoległych nieprzezroczystych linii, o stałym i odpowiednio małym rozstawie – od kilkunastu linii na milimetr aż do tysiąca w przypadku dobrych siatek. Działanie siatki dyfrakcyjnej polega na wykorzystaniu zjawiska dyfrakcji i interferencji światła do uzyskania jego widma. W tym celu pomiędzy źródłem światła a ekranem umieszcza się siatkę dyfrakcyjną. Na ekranie uzyskuje się w ten sposób widmo światła.

Typowa siatka dyfrakcyjna ma 12000 szczelin na cal. Stała takiej siatki wynosi 2116 nm (d = 2,54 cm/12000).

Układ dwóch szczelin w doświadczeniu Tomasa Younga był pierwowzorem siatki dyfrakcyjnej. Siatka jako układ wielu szczelin została wynaleziona w 1821 roku przez Fraunhofera. Była pierwszym instrumentem pozwalającym wyznaczyć długość fal świetlnych.

Prążki jasne powstają dla kątów α_n spełniających warunek:

gdzie:

λ – długość fali,

d – stała siatki,

n – rząd widma.

Podział siatek dyfrakcyjnych [edytuj]

• odbiciowe – odbijające światło (siatką taką jest np. powierzchnia płyty CD)

• transmisyjne – przepuszczające światło (tworzone przez nacinanie rys lub ich wypalanie w metalu oraz metody holograficzne i fotograficzne):

  • amplitudowe – z liniami kolejno nieprzezroczystymi (ciemnymi) i szczelinami (przezroczystymi, przepuszczalnymi).

  • • prostokątne – ich profil zmiany stopnia zaczernienia prostopadle do wiązki jest skokowy (prążki są wyraźne i powstaje wiele maksimów interferencyjnych);

    • sinusoidalne – ich profil zmiany stopnia zaczernienia prostopadle do wiązki jest łagodny (prążki są mniej wyraźne i powstają jedynie trzy maksima interferencyjne: n = 0 i n = ±1)

  • fazowe – w całym swoim obszarze przezroczyste dla światła, a odpowiednikami na przemian przezroczystych i nieprzezroczystych linii siatki amplitudowej są tu linie o okresowo zmieniającym się współczynniku załamania realizowany przez np. zmienną grubość ośrodka, zmienną gęstość ośrodka;

    • prostokątne

    • sinusoidalne

• 

• 

• Fala płaska padająca na siatkę dyfrakcyjną zostaje rozłożona na fale składowe, które widoczne są na ekranie w postaci widma

• 

• 

• Fragment widma ciągłego uzyskiwanego po przepuszczeniu przez siatkę dyfrakcyjną światła białego

• 

• 

• Układ optyczny monochromatora z siatką odbiciową do selekcji światła o wybranej częstotliwości

• 

• oraz

• 

• Otrzymujemy stąd tzw równanie siatki dyfrakcyjnej:

• 

• Położenie prążków na ekranie określa zależność:

• 

• Kojarząc powyższe wzory otrzymujemy zależność, w oparciu o którą można doświadczalnie wyznaczyć długość fali światła:

• 

• Bardzo elegancką ilustrację zjawiska interferecji możesz obejrzeć jeśli dysponujesz komputerem w miarę szybkim i z co najmniej 12MB RAM.

Rząd widma - liczba przypisana każdej linii w dyskretnym widmie interferencyjnym promieniowania elektromagnetycznego wskazująca jej pozycję w odniesieniu do linii centralnej, utworzonej przez interferujące ze sobą ciągi fal o zerowej różnicy faz.

Zdolność rozdzielcza - w optyce przydatność określonego przyrządu optycznego do obserwacji obiektów o określonej odległości kątowej. Im większa jest zdolność rozdzielcza, tym bliższe sobie punkty są obserwowane jako odrębne, a nie jako pojedyncza plama. Jednym z kryteriów określania zdolności rozdzielczej jest kryterium Rayleigha.

Zdolność rozdzielcza wiąże się ze zjawiskiem dyfrakcji (załamania fali). Od zdolności rozdzielczej zależy rozdzielczość danego urządzenia (monitora, skanera czy drukarki). Ułamek w wyżej podanym wzorze jest wartością kąta, pod jakim obserwujemy dany obiekt.

Dla siatki dyfrakcyjnej otrzymujemy wzór:

gdzie:

• λ - długość fali

• m - rząd dyfrakcji (numer prążka/plamki)

• N - liczba szczelin siatki dyfrakcyjnej

• d - stała siatki dyfrakcyjnej

• s - szerokość czynna siatki

Czynnikiem ograniczającym zdolność rozdzielczą nawet doskonałych przyrządów optycznych są głównie efekty dyfrakcyjne (dyfrakcja), które powodują rozmycie obrazu punktu (plamka Airy'ego).

Kryterium Rayleigha – orientacyjne kryterium pozwalające ocenić, czy dwie linie widmowe światła są rozdzielone. Lord Rayleigh, najprawdopodobniej autor pojęcia "zdolność rozdzielcza", za warunek rozróżnialności obrazów dyfrakcyjnych dwóch równoległych linii widmowych przyjął następujące kryterium:

Maksimum jednego obrazu dyfrakcyjnego leży w miejscu minimum drugiego obrazu^[1].

Kryterium to stosowane jest do określania zdolności rozdzielczej elementów i układów optycznych. Nie jest ono ścisłym prawem i ma charakter jedynie narzędzia pomocniczego. W zależności od warunków (natężenia światła, braku lub obecności światła rozproszonego, powierzchni ekranu) można rozróżniać obiekty, które nie spełniają ściśle kryterium Rayleigha. W niesprzyjających warunkach, nawet obrazy spełniające warunek Rayleigha mogą pozostać nierozróżnialne.

Kryterium Rayleigha, w powyższym słownym sformułowaniu, dotyczy rozdzielczości liniowej. Określa się je również dla rozdzielczości kątowej, ponieważ w rzeczywistych układach optycznych promienie tworzące nakładające się obrazy dyfrakcyjne nie są ściśle równoległe, chociaż kąt między nimi, w przypadku określania rozdzielczości, pozostaje bardzo mały. Dla obrazów dyfrakcyjnych powstałych po przejściu światła przez otwór kołowy warunek Rayleigha można zapisać wzorem

gdzie:

– minimalny kąt między promieniami, których obrazy mają być rozróżnialne, czyli inaczej – ich odległość kątowa;

λ – długość fali światła;

d – średnica otworu.

Ponieważ kąt φ jest bardzo mały, można zapisać w przybliżeniu:

Opis ilustracji [edytuj]

• A – dwa maksima dyfrakcyjne leżą tak blisko siebie, że linie zlewają się w jedną – są nierozróżnialne;

• B – linie są bardzo trudno rozróżnialne;

• C – spełnione jest kryterium Rayleigha (maksimum pierwszej linii pokrywa się z minimum drugiej) – linie są rozróżnialne;

• D – linie są wyraźnie rozróżnialne.

Zdolność rozdzielcza przyrządów optycznych [edytuj]

W przypadku soczewki do określenia kątowej zdolności rozdzielczej stosuje się wzór (2), przy czym d oznacza tu średnicę soczewki. Liniowa zdolność rozdzielcza doskonałej soczewki o ogniskowej f wyraża się wzorem

przy czym l należy rozumieć jako minimalną odległość obiektów, które są jeszcze rozróżnialne. Wzory powyższe stosuje się również do obiektywów, lecz w tym przypadku d oznacza efektywną średnicę obiektywu, zależną od jego budowy i stosowanej przesłony. W przypadku teleskopu przyjmuje się trochę słabsze kryterium zdolności rozdzielczej.

Dyspersja kątowa siatki dyfrakcyjnej jest miarą zdolności siatki do rozszczepiania światła polichromatycznego na związki monochromatyczne. Dyspersję kątową siatki dyfrakcyjnej określa się stosunkiem zmiany kąta ugięcia dϑ do zmiany długości fali dλ

i wyraża się wzorem

 

 

Im mniejsza jest stała siatki a i im wyższy jest rząd dyfrakcyjny m., tym dłuższe otrzymuje się widmo.

Chromatyczna zdolność rozdzielcza siatki jest miarą zdolności rozdzielenia dwóch blisko siebie leżących linii widmowych o długościach fali λ i λ + Δ λ . Zdolność ta pozwala określić najmniejszą różnicę długości fali Δ λ

dwóch linii spektralnych.

Widmo liniowe lub dyskretne - widmo emisyjne składające się z oddzielnych linii widmowych. Widmo takie jest typowe dla nieoddziałujących ze sobą atomów, czyli pierwiastków w stanie gazowym, jeżeli gaz ten pozostaje pod niezbyt dużym ciśnieniem. Dlatego widmo tego typu nazywane jest również widmem atomowym. Układ linii widmowych zależy od układu poziomów energetycznych elektronów w atomie, który jest różny dla atomów różnych pierwiastków. Z tego powodu również układ linii widmowych jest niepowtarzalny i charakterystyczny dla danego pierwiastka. Dzięki temu analiza widmowa światła pochodzącego nawet z bardzo odległych źródeł pozwala na identyfikację pierwiastków wchodzących w skład świecącego gazu.

Widmo spektroskopowe to zarejestrowany obraz promieniowania rozłożonego na poszczególne częstotliwości, długości fal lub energie. Widmo, które powstało w wyniku emisji promieniowania przez analizowaną substancję albo na skutek kontaktu z nią (przeszło przez nią lub zostało przez nią odbite), może dostarczyć szeregu cennych informacji o badanej substancji.

Widmo spektroskopowe to dwuwymiarowa zależność (najczęściej przedstawiana na płaszczyźnie jako wykres – funkcji gęstości lub dystrybuanty) ciągła co najmniej w pewnym zakresie wartości fizycznych i z określoną dokładnością pomiędzy dwoma miarami; natężeniem promieniowania, zliczeniami, impulsami itp. i miarą spektroskopowego parametru fizycznego takiego jak; fala elektromagnetyczna (nm), masa (kg), energia (J) itp.

Ze względu na wygląd widma

• Widmo ciągłe – ma postać ciągłego obszaru lub szerokich pasów (widmo o składowych, występujących w sposób ciągły wzdłuż skali częstotliwości). Widmo takie jest emitowane przez ciała w stanie stałym.

• Widmo liniowe (atomowe) – ma postać oddzielnych linii na pasku widmowym; typowo występuje dla gazów atomowych,

Widmo emisyjne - widmo spektroskopowe, które jest obrazem promieniowania elektromagnetycznego, wysyłanego przez ciało.

Widmo emisyjne powstaje, gdy obdarzone ładunkiem elektrycznym elektrony, atomy, cząstki lub fragmenty cząsteczek tworzących dane ciało, będąc wzbudzonymi przechodzą ze stanu o wyższej do stanu o niższej energii. Przejściu temu towarzyszy emisja kwantu promieniowania elektromagnetycznego o energii równej różnicy energii poziomów, między którymi przeszła cząstka.

Widma emisyjne charakteryzują się:

• Dla gazów prostych atomów - widmo emisyjne przyjmuje często formę serii dobrze rozseparowanych częstotliwości, które spektrometry rejestrują w formie prążków. Układ tych prążków jednoznacznie wskazuje na obecność określonego pierwiastka w gazie i jest nazywany widmem atomowym. Umożliwia to m.in. ustalanie na podstawie widm emisyjnych składu pierwiastkowego odległych ciał niebieskich.

• Dla ciał stałych i cieczy - widmo emisyjne jest ciągłe.

• Dla gazów atomów o złożonej budowie dają widmo pasmowe czyli składające się z pasów.

• Widmo absorpcyjne – widmo, które powstaje podczas przechodzenia promieniowania elektromagnetycznego przez chłonny ośrodek absorbujący promieniowanie o określonych długościach. Można zarejestrować przy użyciu metod spektroskopii. Graficznie ma postać widma ciągłego z ciemnymi liniami (dla gazowych pierwiastków). Występowanie widma absorpcyjnego jest spowodowane pochłanianiem przez substancję fotonów tylko o określonych długościach fali – takich, które mogą spowodować wzbudzenie atomu lub cząsteczki do stanu dopuszczanego przez prawa mechaniki kwantowej. Zmiany stanu wzbudzenia dotyczą zarówno elektronów jak i oscylacji i rotacji całych cząstek.

• Obrazem widma absorpcyjnego związku chemicznego są pasma o strukturze liniowej lub ciągłej z silniej lub słabiej zaznaczonymi ekstremami.

Lampa spektralna, źródło światła o widmie liniowym stosowane dla celów spektroskopii promieniowania widzialnego, podczerwonego i ultrafioletowego. Substancją świecącą są pary metali (w zależności od materiału katody: tzw. lampy rtęciowe, kadmowe, cezowe, sodowe, potasowe, rubidowe, talowe) lub rozrzedzone gazy (w zależności od wypełniającego gazu: lampy helowe, neonowe, argonowe, kryptonowe, ksenonowe) pobudzane niskonapięciowym łukiem elektrycznym.

Lampa spektralna posiada na ogół trzy elektrody: dwie robocze i rozruchową, we wstępnym etapie pracy lampy z katodą metaliczną zachodzi wyładowanie jarzeniowe (pomiędzy katodą a elektrodą rozruchową), właściwy stan pracy osiąga lampa spektralna po czasie od kilku do kilkunastu minut.

Głównym parametrem jakości lampy spektralnej jest szerokość linii widmowych. Niepożądany wzrost szerokości otrzymanych linii widmowych pochodzi głównie od zjawiska Dopplera, przeciwdziała mu się stosując niskie ciśnienia robocze oraz specjalne konstrukcje elektrod (np. katody wnękowe).

Wyładowanie elektryczne w gazach, przepływ prądu elektrycznego w środowisku gazowym. Wiąże się z tym cały zespół zjawisk zależnych od parametrów gazu (jego ciśnienia, rodzaju, składu domieszek itp), przyłożonego napięcia, czynników zewnętrznych oraz formy geometrycznej układu.

W zwykłych warunkach gaz to dielektryk i warunkiem niezbędnym przepływu przezeń prądu jest jego jonizacja. Jeśli zachodzi ona wyłącznie pod wpływem czynnika zewnętrznego, np. promieniowania jonizującego, jest w równowadze z rekombinacją - dla niskich napięć w tych warunkach przepływ prądu przez gaz spełnia prawo Ohma.

Przy wzroście napięcia ponad pewną wartość krytyczną następuje jonizacja maksymalna - płynie prąd o natężeniu niezależnym od wartości przyłożonego napięcia. Tak dzieje się aż do pewnej wartości, przy której prąd narasta lawinowo na skutek pojawiającej się jonizacji zderzeniowej. Ten typ wyładowania ustaje, gdy zanika działanie zewnętrznego czynnika powodującego pierwotną jonizację.

Dalszy wzrost napięcia prowadzi do tzw. przebicia w gazie: jony padające na katodę wybijają z niej elektrony zdolne do podtrzymania jonizacji - jest to tzw. wyładowanie samoistne, a odpowiadające mu napięcie jest napięciem wyładowania samoistnego. Proces taki ma miejsce przy stosunkowo niskich ciśnieniach (wyładowanie jarzeniowe).

Przy ciśnieniu wysokim dochodzi do powstawania sznurów plazmowych (tzw. strimerów), przy mniejszych napięciach powstaje wyładowanie iskrowe (iskra elektryczna, piorun), natomiast przy znacznych gradientach pola elektrycznego dochodzi do wyładowania koronowego. Przy dostatecznie dużym natężeniu prądu wyładowanie w gazie przechodzi w jedną z form łuku elektrycznego.

Spektrometr optyczny, przyrząd służący do otrzymywania i analizowania widm promieniowania świetlnego (od podczerwieni do ultrafioletu). Najczęściej stosuje się spektrometry optyczne, które tworzą widma w ten sposób, że światło o różnych długościach fali kierowane jest pod różnym kątem (załamanie światła, pryzmat), albo dzięki wykorzystaniu różnicy długości dróg optycznych ugiętych i interferujących ze sobą promieni (siatka dyfrakcyjna, płytka Lummera-Gehreckego).

Istnieją ponadto spektrometry optyczne fourierowskie oraz filtracyjne. Typowy spektrometr optyczny tworzą: kolimator, obiektyw, element dyspersyjny (tj. pryzmat, siatka dyfrakcyjna itp.), obiektyw kamery rejestrującej i element rejestracji widma, którym w spektrometrze jest fotometr (ekran dla spektroskopu, klisza fotograficzna dla spektrografu).

Głównymi parametrami charakteryzującymi spektrometr optyczny są: dyspersja liniowa lub kątowa (dyspersja spektrometryczna), zdolność rozdzielcza, zakres dyspersji. W niektórych rodzajach badań stosuje się modyfikacje spektrometru optycznego (spektrofotometr).

Opis: Zasada działania spektrometru optycznego. A - światło o dłuższej fali, B - światło o krótszej fali
Autor: Mietelski Jerzy Wojciech

Noniusz to urządzenie pozwalające na zwiększenie dokładności pomiaru długości i kątów; jest to suwak z dodatkową podziałką, przesuwający się wzdłuż podziałki głównej przyrządu. Podziałki są różnej gęstości, ale pojedyncze ich działki mają wspólną wielokrotność - to umożliwia powstanie długości różnicowych (kątów różnicowych), które odpowiadają wzrostowi dokładności pomiaru. Rozróżniamy noniusze liniowe, służące do pomiarów związanych z długościami (jak również np. z głębokościami), oraz noniusze kątowe - do mierzenia kątów.

Noniusz wynalazł francuski matematyk Pierre Vernier w 1631 roku. Swój wynalazek nazwał na cześć Pedro Nuneza, który pierwszy wpadł na pomysł zwiększania dokładności pomiarów w ten sposób^[1].

Stosowany w suwmiarkach, kątomierzach, sekstancie i mikrometrach.

Pomiary przy użyciu noniusza [edytuj]

Odczyt dokładności noniusza [edytuj]

Pierwszą rzeczą, którą należy wykonać chcąc rozpocząć pomiar z wykorzystaniem noniusza, jest odczytanie jego dokładności. Na rysunku z prawej (w górnym rogu) jest ona podana jawnie, wynosi 0,02 mm.

Poniżej widzimy suwmiarkę z innym noniuszem. Dokładność przyrządu nie jest zapisana, widzimy jednak na noniuszu liczbę 1/20; mnożąc długość pojedynczej działki podziałki głównej suwmiarki (w tym przypadku 1mm) przez 1/20, otrzymamy dokładność przyrządu - policzmy ją. Oznaczając dokładność przez i, a działkę przez a (= 1mm).

Wynosi ona zatem 0,05 mm.

Proste szacowanie dokładności [edytuj]

Nie zawsze jednak dokładność jest podana w tak prosty sposób, najczęściej należy ją obliczać samemu. W gruncie rzeczy nie jest to zbyt skomplikowane, o czym można było się już przekonać na poprzednim przykładzie, jeśli tylko zaobserwowaliśmy dość istotny fakt: liczba, przez którą dzieliliśmy działkę elementarną a podziałki głównej, jest w istocie liczbą działek podziałki noniusza (w tamtym przypadku równą 20), oznaczmy ją przez n. Podzielenie tych dwóch wielkości przez siebie jest właśnie dokładnością przyrządu:

i przyjmuje zawsze jednostkę a.

Wyjaśnienie [edytuj]

Zależność ta została podana (na razie) bez dowodu, można ją jednak prosto wytłumaczyć, przypominając sobie to, co napisane było na samym początku o długości różnicowej. Wiedząc, że podziałki główna i noniusza są różnej gęstości, ale jednocześnie długości ich działek mają wspólną wielokrotność - równą długości noniusza w jednostkach podziałki głównej - można wnioskować, że każda działka podziałki noniusza inaczej dzieli odpowiednią działkę podziałki głównej (nie licząc pierwszej i ostatniej). Jest zatem zawsze n różnych podziałów.

Ilustracja rozumowania: i jako n-ta część działki podziałki głównej.

Uwaga! Rozumowanie to, jakkolwiek jasno pokazuje "w czym rzecz", nie jest do końca ścisłe. Zostanie to wyeliminowane w kolejnych akapitach przez wprowadzenie odpowiednich oznaczeń i definicji.

Pomiar [edytuj]

Odczytując pomiar wpierw znajdujemy miejsce, gdzie wskazuje "zero" noniusza. Jeśli pokrywa się ono z jakąkolwiek działką podziałki głównej, wtedy wynik odczytujemy wprost ze skali głównej, tak jakbyśmy mierzyli zwykłą linijką czy kątomierzem. Ma on jednak nadal dokładność równą i, gdyż taka jest charakterystyka przyrządu (mimo że nie zostaliśmy zmuszeni do wykorzystania całego noniusza). Jest to najprostszy przypadek.

Nieco trudniej jest gdy "zero" noniusza nie pokrywa się z żadną kreską podziałki głównej. Zauważmy jednak, że pokrywają się w tym przypadku inne kreski z podziałek głównej i noniusza. Jako wynik bierzemy sumę dwóch składników. Pierwszym jest najbliższa "zeru" noniusza z lewej (w stronę wartości malejących) wartość z podziałki głównej. Drugim ta wielokrotność dokładności przyrządu, wskazana przez działkę noniusza, która się pokrywa.

Zrozumieć to nie jest trudno, tym bardziej, jeśli prześledzimy sytuacje pokazane na wcześniejszych ilustracjach. Co więcej, w następnych paragrafie znajduje się szereg przykładów ułatwiających pojęcie mierzenia z wykorzystaniem noniusza.

Punkt koincydencji [edytuj]

Miejsce, w którym pokrywają się kreski podziałek głównej i noniusza nazywamy punktem koincydencji. W konkretnych przykładach zwykle mówi się, że punkt koincydencji znajduje się na n-tej kresce noniusza (a nie podziałki głównej), dla podkreślenia znaczenia noniusza w zwiększaniu dokładności pomiaru.

Błędy odczytu pomiaru [edytuj]

Gdy noniusz podzielony jest zaledwie na 10 części, i gdy jest stosunkowo długi, nie ma raczej problemów z poprawnym odczytaniem wyniku pomiaru. Jeśli jednak (przykładowo) suwmiarka ma dokładność do 0,02 mm a jej noniusz składa się z pięćdziesięciu działek, może się nieraz wydawać, iż występuje kilka punktów koincydencji. Głównymi przyczynami błędów odczytu są paralaksa i brak wprawy mierzącego.

Przykłady pomiarów [edytuj]

przykład pierwszy [edytuj]

przykład pierwszy: pomiar wskazuje 31mm.

Najprostszy przypadek, "zero" noniusza pokrywa się z 31. działką skali głównej (zaznaczono na czerwono) - wynik pomiaru jest zatem równy 31 mm.

Noniusz ma długość 9 mm, podzielony jest na 10 części. Elementarna działka podziałki głównej ma długość jednego milimetra. Przyrząd mierzy zatem z dokładnością do dziesiątej części milimetra, i = 0,1 mm; jest to prawdopodobnie najprostsza suwmiarka.

przykład drugi [edytuj]

przykład drugi: pomiar wskazuje 59.8mm.

Przyrząd na rysunku jest tą samą suwmiarką, co poprzednio - wykonuje tylko inny pomiar. "Zero" noniusza znajduje się między 59. a 60. milimetrem, zatem za pierwszy składnik sumy weźmiemy 59 mm. Punkt koincydencji znajduje się na 8. kresce podziałki noniusza (zaznaczono na czerwono na skali noniusza). Suwmiarka ma dokładność do 0,1 mm, stąd drugim składnikiem sumy będzie 0,8 mm.

Ostateczny wyniki pomiaru jest równy 59,8 mm.

przykład trzeci [edytuj]

przykład trzeci: pomiar wskazuje 22,65 mm.

W tym przykładzie od razu widać, że przyrząd, jakkolwiek nadal suwmiarkowy, różni się od poprzednich dwóch. Noniusz ma więcej działek - 20 - i jest dłuższy - 19 mm. Daje to dokładność do 0,05 mm.

"Zero" noniusza wskazuje na 22. milimetr, a trzynasta jego działka pokrywa się z inną działką podziałki głównej. Pierwszy składnik sumy jest zatem równy 22 mm. Drugi otrzymamy mnożąc 13 przez dokładność przyrządu, co daje 0,65 mm. Ostatecznie wynik pomiaru równy jest 22,65 mm.

przykład czwarty [edytuj]

przykład czwarty: pomiar wskazuje 5 stopni, 34 minuty.

Tym razem mamy do czynienia z kątomierzem z noniuszem. Trudność tego przykładu polega głównie na tym, że kąty mierzy się w stopniach, jeden stopień składa się z sześćdziesięciu minut, itd. Dla ułatwienia jednak, zawsze można zaniechać dzielenia stopnia na minuty – w zamian można dzielić go na części dziesiętne.

Tutaj jednak dokładność kątomierza jest do jednej minuty, więc trudność jest w gruncie rzeczy taka jak w poprzednich przypadkach. Elementarna wartość działki podziałki głównej wynosi pół stopnia, czyli 30 minut. "Zero" noniusza wskazuje na wartość kąta równą 5,5 stopnia. Punkt koincydencji, znajdujący się na czwartej kresce podziałki noniusza pozwala zwiększyć dokładność pomiaru o 4 minuty. Wynik pomiaru jest zatem równy 5 stopni, 34 minuty.

Ścisłe podejście [edytuj]

Podstawowe oznaczenia [edytuj]

Usystematyzowanie warto zacząć od uściślenia oznaczeń - rozumowanie musi opierać się na solidnych podstawach, aby nie było wrażenia, że coś bierze się z niczego. Większość z tych oznaczeń (jeśli nie wszystkie) pojawiły się już we wcześniejszych paragrafach, dobrze jest jednak zebrać je wszystkie dla uniknięcia bałaganu. Oznaczenia naniesione na rysunek poniżej są właściwe dla wszystkich przyrządów rozbudowanych o noniusz:

Kilka podstawowych oznaczeń.

• a - długość jednostki (jednostkowy kąt) podziałki głównej przyrządu (na rysunku a = 1 mm).

• a' - długość jednostki (jednostkowy kąt) podziałki noniusza, wyrażona w jednostkach a (tutaj a' = 0,9 mm).

• L - długość noniusza (w jednostkach a, na rysunku L = 9 mm).

Dodatkowo, czego nie zaznaczono na ilustracji:

• n - liczba działek noniusza (na rysunku n = 10).

Pierwsza zależność [edytuj]

W tym momencie pojawia się pierwsza oczywista zależność wiążąca L, n oraz a':

Uwaga! Z rysunku można by odczytać jeszcze jedną, inną zależność, wiążącą L, n i z kolei a. Nie podamy jej jednak, gdyż nie jest ona słuszna w ogólności przypadków, czyli dla każdego urządzenia rozbudowanego o noniusz.

Moduł noniusza, definicja [edytuj]

Dla każdego przymiaru wyposażonego w noniusz definiujemy jeszcze jedną, dodatkową wielkość, zwaną modułem noniusza g:

Z tego wzoru wynika, że g jest wielkością bezwymiarową. Ale czym jest on w istocie?

Czym jest g? [edytuj]

Tak naprawdę, na to pytanie nie ma lepszej odpowiedzi, niż definicja g. Można powiedzieć, może nieco nieformalnie, że g jest czymś takim, aby wzór dany przez definicję g, był spełniony. Nie brzmi ani mądrze, ani ściśle, ale w rzeczywistości jest to świetna odpowiedź na pytanie: czym jest moduł noniusza?

Spójrzmy na rysunek powyżej, ten, który wykorzystaliśmy do wprowadzenia oznaczeń. Można zauważyć, że prawdziwy dla tego przyrządu jest wzór:

.

Podobieństwo do definicji modułu noniusza jest ogromne. W istocie, noniusz na tym rysunku ma moduł 1, stąd podobieństwo. Wróćmy teraz do rysunku z punktu 1.1 i zastanówmy się jaka musiałaby być wartość modułu tego noniusza, aby była spełniona zależność podana jako definicja g. Można to sobie ułatwić przekształcając ten wzór:

Podstawiając odpowiednie dane: L = 39 mm, a = 1 mm, n = 20, otrzymujemy wartość modułu, g = 2.

Wyjaśnienie na marginesie [edytuj]

Powiedziano na początku, że dwie skale: główna i noniusza, mają różne gęstości, i że stąd właśnie bierze się zdolność noniusza do zwiększania dokładności pomiaru. Otóż moduł noniusza jest w pewnym sensie bezwymiarową miarą stosunku tych gęstości: działki noniusza do głównej. Napisane jest "w pewnym sensie", gdyż zwykły stosunek dwóch wielkości, a' do a, nie ma raczej specjalnego sensu. Można jednak powiedzieć, że w jednym przypadku a' jest prawie równe a, w drugim zaś a' jest prawie równe 2a.

Inna zależność [edytuj]

Można rozumowanie poprzedniego punktu sformalizować, wprowadzając nową zależność na g, bardzo zresztą zgrabną i obrazową:

,

gdzie i jest długością różnicową (kątem różnicowym). Co więcej, można z tego wzoru otrzymać, wykonując proste przekształcenia, ciekawą zależność na i (i jak na razie jedyną; ta która podana była jako pierwsza, nie jest jeszcze tutaj udowodniona formalnie):

,

która formalizuje pojęcie długości różnicowej (kąta różnicowego) i ostatecznie tłumaczy jej (jego) związek z dokładnością przymiarów z noniuszem.

Dowód wzoru i =a/n [edytuj]

Na tym etapie dysponujemy już całym aparatem pojęciowym, potrzebnym do formalnego udowodnienia wzoru:

.

Trzeba od razu powiedzieć, że możliwych dróg dowodzenia tego jest kilka, a każda z nich jest banalnie prosta. Wszystko, co należy zrobić to przekształcić i porównać odpowiednie wzory (wszystkie dane są wyżej). Przeprowadzimy dla przykładu dowód po jednej z tych dróg. Weźmy najpierw zależność definicyjną modułu noniusza i przekształćmy ją, by otrzymać g (robiliśmy to chwilę wcześniej):

.

Porównajmy ten wzór z ostatnio pokazaną zależnością:

.

Stąd otrzymamy zależność na i:

.

Korzystając teraz z zależności z punktu 3.1.1: L = a'n, otrzymujemy ostatecznie:

,

co kończy ten prosty dowód.

Jeszcze o module noniusza [edytuj]

Dotychczas zastanawialiśmy się, co to w ogóle jest moduł noniusza oraz, głównie, jaki wpływ na moduł ma wygląd samego noniusza. Teraz będziemy chcieli zająć się rozważaniami jakoby odwrotnymi. Zadamy pytanie, jaki wpływa na noniusz ma jego moduł? jak również zmiany tego modułu? oraz docelowo: jakie wartości modułów są dopuszczalne (i sensowne)?

Zmiana modułu [edytuj]

Przede wszystkim należy na samym początku zaznaczyć, że zmiana modułu jest sytuacją czystą teoretyczną i odnosi się do równie teoretycznego noniusza. Raz wyprodukowane urządzenie ma noniusz z ustalonym modułem. Oczywiście, moduł noniusza jest cechą jedynie samego noniusza, nie całego urządzenia - zwykle jednak noniusza nie można ot tak po prostu wymienić.

Na potrzeby teorii przypuśćmy jednak, że można dokonywać dowolnych zmian. Weźmy urządzenie z ustalonymi parametrami: a, n, oraz początkowym modułem noniusza g (dowolnym). Noniusz ma oczywiście długość daną wzorem

.

Niech nasz nowy moduł g' będzie równy g' = kg, gdzie k jest dowolną liczbą. Wtedy nowy noniusz będzie miał długość

.

Ważna jest w tym momencie różnica długości dwóch noniuszy:

.

Wynika stąd istotny wniosek: jeśli k > 1, to nowy noniusz będzie dłuższy od starego. Na czym polega waga tej obserwacji?

Dobrym przykładem są urządzenia suwmiarkowe. Typowym dla nich modułem są liczby 1 i 2. Większy moduł zwiększa nasze możliwości odczytu poprawnego wyniku, szczególnie dla dokładnych suwmiarek. Z drugiej strony, większy moduł wydłuża noniusz, a jako że suwmiarka też ma swoją określoną długość, zmniejsza się zbiór przedmiotów, które możemy takim urządzeniem mierzyć bez utraty dokładności związanej z użyciem noniusza. Zwiększenie modułu jest zatem pewnym kompromisem. Dlatego zwykle nie stosuje się w typowych suwmiarkach noniuszy z modułami większymi niż 2.

Zastanówmy się teraz nad wartościami samych modułów.

Moduły ujemne [edytuj]

Z zależności definicyjnej modułu noniusza widać, że jeśli ma on wartość ujemną, wtedy aby długość noniusza pozostała dodatnia, ujemna musiała by być działka podziałki głównej a - co jest bez sensu. Dlatego ujemne wartości od razu wyrzucamy ze zbioru możliwych do przyjęcia dla modułów.

Moduły niecałkowite [edytuj]

przypadek pierwszy [edytuj]

Przypuśćmy, że mamy urządzenie z noniuszem o module stąd o długości noniusza

Przypominając sobie to, co zostało powiedziane wcześniej w punkcie 3.1 o jednostce L, wnioskujemy, że L musi być wyrażone w jednostkach a - zatem L jest pewną całkowitą wielokrotnością a. Stąd wyrażenie musi być liczbą całkowitą. Jest to możliwe tylko wtedy, gdy iloraz n i k jest całkowity. To z kolei może mieć miejsce wyłącznie w przypadku, gdy n jest pewną wielokrotnością k. Zapiszmy:

Możemy teraz zapisać nowy wzór na długość noniusza:

Wynika stąd kilka istotnych faktów:

• wartość modułu g określonego w założeniach jest pozorna, w rzeczywistości jest on równy 1,

• liczba działek noniusza nie jest równa n, tylko ,

• dokładność urządzenia nie jest równa a/n, tylko .

Można więc dopuścić istnienie modułów tego typu, jednak należy zaznaczyć, że nie ma to sensu ze względu na możliwość sprowadzenia do prostszego przypadku.

przypadek drugi [edytuj]

Przypuśćmy teraz, że noniusz ma moduł , gdzie:

Przypadek ten rozważamy identycznie jak pierwszy, pamiętając że .

Moduły niewymierne [edytuj]

Jeśli g jest niewymierne to n - jako liczba całkowita - nie może być całkowitą wielokrotnością g. Dlatego moduły tego typu, chociaż ich teoretyczne rozważanie nie prowadzi do absurdu, są niedopuszczalne - noniusz z takim modułem w ogóle nie jest noniuszem.

Ciekawostki [edytuj]

Inne noniusze [edytuj]

Ciekawą rzeczą jest istnienie noniuszy, dla których Na przykład taki jak ten na rysunku poniżej, o module g = 1.

Inny rodzaj noniusza: a' > a, mimo to g = 1. Prosty pomiar wskazuje 31 jednostek skali głównej.

Jest to wciąż poprawny noniusz, mimo że szukając jego modułu ze wzoru definicyjnego otrzymalibyśmy g = 1,2, czyli wynik pozornie głupi. Co ciekawe, obliczając dokładność urządzenia (przyjmując za moduł liczbę 1,2), dostalibyśmy poprawne wyniki - jak pamiętamy są na to dwa sposoby. Zapiszmy wyniki z obu:

Powstaje więc wątpliwość, czy rozważanie poprzedniego paragrafu są zasadne? Oczywiście są. Błąd bierze się tutaj z niedostatecznej obserwacji, gdyż próbując teraz obliczyć L (na chwile zapominając o znanej jego wartości) przy pomocy znalezionego nowego g

dochodzimy do zupełnie nowej wartości liczby działek noniusza (któregokolwiek z całkowitych dzielników liczby 12). Co, oczywiście, daje sprzeczność.

Rozwiązaniem jest tutaj podanie nieco zmodyfikowanego wzoru definicyjnego modułu noniusza. Mianowicie

oraz:

Moduł noniusza z rysunku powyżej, obliczony z nowego wzoru, będzie już poprawnie wynosił 1.

Jest to przypadek najbardziej ogólny, przy czym wzoru "z plusem" przyjdzie nam używać zapewne znacznie rzadziej, niż tego "z minusem", ze względu na niewspółmiernie mniejszą liczbę noniuszy tego rodzaju. Należy jednak zawsze o nim pamiętać, zanim stwierdzimy absurdalność jakichś wyników.