Matematyka ekonomiczna

Lista zadań 05

Potrzebne wzory

Jednorazowa składka netto z wypłatą w chwili śmierci: Ubezpieczenie na wypadek śmierci EX = ∫0^ne^−δte^−μtμdt Ubezpieczenie na całe życie EX = ∫0^∞e^−δte^−μtμdt Ubezpieczenie na dożycie $$EX = \left( \frac{1}{1 + i} \right)^{n}\frac{l_{x + n}}{l_{x}}$$ Ubezpieczenie na wypadek śmierci i dożycie $$EX = \int_{0}^{n}{e^{- \delta t}e^{- \mu t}\text{μdt}} + \left( \frac{1}{1 + i} \right)^{n}\frac{l_{x + n}}{l_{x}}$$

Zadanie 1.

lx −  liczba osob dozywajacych wieku x dx − liczba zmarlych w wieku x

Zadanie 2.

$${\ A)\ }_{\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }t}p_{x} = \frac{l_{x + t}}{l_{x}}\ $$ $$\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\text{na\ wsi\ }\ _{1}p_{70} = \frac{81146}{82503} \approx 0,984$$ $$w\ miescie\ \ _{1}p_{70} = \frac{82497}{83795} \approx 0,985$$ $$B)\ \ \ \ \ \ \ _{40}p_{35} = \frac{l_{75}}{l_{35}} = \frac{47803}{96811} \approx 0,494$$ $$C)\ \ \ \text{\ \ \ \ }\ _{t}q_{x} = \frac{l_{x} - l_{x + t}}{l_{x}} = 1 - \frac{l_{x + t}}{l_{x}}\ $$ $$\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\ _{35}q_{40} = 1 - \frac{l_{75}}{l_{40}} = 1 - \frac{74500}{98463} \approx 0,243\ $$ $$D)\ \text{\ \ \ \ }\ \ _{u|t}q_{x} = \frac{l_{x + u} - l_{x + u + t}}{l_{x}}\ $$ $$\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\ _{10|10}q_{40} = \frac{l_{50} - l_{60}}{l_{40}} = \frac{91640 - 80909}{96253} \approx 0,111$$

Zadanie 3.

Dane: x = 50 n = 15 μ = 0, 02 δ = 0, 05	Obliczenia: EX = ∫0^ne^−δte^−μtμdt EX = ∫0^15e^−0, 05te^−0, 02t • 0, 02dt $$EX = \frac{0,02}{- 0,07} \bullet \begin{matrix} {(e}^{- 0,07t}) & |_{0}^{15} \\ \end{matrix} = \frac{0,02}{- 0,07}{(e}^{- 1,05} - e^{0}) \approx 0,1857$$

Zadanie 4.

Dane: x = 50 n = 15 μ = 0, 02 δ = 0, 05	Obliczenia: EX = ∫0^∞e^−δte^−μtμdt EX = ∫0^∞e^−0, 05te^−0, 02t • 0, 02dt $$EX = \operatorname{}\left( \frac{0,02}{- 0,07} \bullet \begin{matrix} {(e}^{- 0,07t}) & |_{0}^{\varepsilon} \\ \end{matrix} \right) = \operatorname{}\left( - \frac{0,02}{0,07 \bullet e^{0,07\varepsilon}} + \frac{0,02}{0,07} \right) \approx 0,2857\ $$

Zadanie 5.

Dane: x = 60 n = 4 i = 0, 05

Obliczenia: $$EX = \sum_{k = 0}^{n - 1}{\left( \frac{1}{1 + i} \right)^{k + 1}\frac{l_{k + x}}{l_{x}}\frac{d_{k + x}}{l_{k + x}}}$$ $$EX = \sum_{k = 0}^{3}{\left( \frac{1}{1,05} \right)^{k + 1}\frac{l_{k + 60}}{l_{60}}\frac{d_{k + 60}}{l_{k + 60}}} = \sum_{k = 0}^{3}{\left( \frac{1}{1,05} \right)^{k + 1}\frac{d_{k + 60}}{l_{60}}}$$ $$EX = \left( \frac{1}{1,05} \right)^{1}\frac{d_{60}}{l_{60}} + \left( \frac{1}{1,05} \right)^{2}\frac{d_{61}}{l_{60}} + \left( \frac{1}{1,05} \right)^{3}\frac{d_{62}}{l_{60}} + \left( \frac{1}{1,05} \right)^{4}\frac{d_{63}}{l_{60}}$$ $$K:\ EX = \frac{1}{1,05}\frac{680}{92272} + \left( \frac{1}{1,05} \right)^{2}\frac{729}{92272} + \left( \frac{1}{1,05} \right)^{3}\frac{780}{92272} + \left( \frac{1}{1,05} \right)^{4}\frac{832}{92272} \approx 0,028905$$ $$M:\ EX = \frac{1}{1,05}\frac{1507}{80329} + \left( \frac{1}{1,05} \right)^{2}\frac{1584}{80329} + \left( \frac{1}{1,05} \right)^{3}\frac{1661}{80329} + \left( \frac{1}{1,05} \right)^{4}\frac{1739}{80329} \approx 0,071425$$ Ponieważ podane wyżej wyniki dotyczą sumy ubezpieczenia 1zł to należy je przemnożyć: Kobieta : 0, 0289 • 10000 = 289zl Mezczyzna : 0, 0714 • 10000 = 714zl

Zadanie 6.

$$EX = \sum_{k = 0}^{n - 1}{\left( \frac{1}{1 + i} \right)^{k + 1}\frac{l_{k + x}}{l_{x}}\frac{d_{k + x}}{l_{k + x}}} + \left( \frac{1}{1 + i} \right)^{n}\frac{l_{x + n}}{l_{x}}$$ $$Kobieta:\ \ \ EX = 0,028905 + \left( \frac{1}{1,05} \right)^{4}\frac{l_{64}}{l_{60}} = 0,028905 + \left( \frac{1}{1,05} \right)^{4}\frac{89250}{92272} \approx 0,921189$$ $$Mezczyzna:\ \ \ EX = 0,071425 + \left( \frac{1}{1,05} \right)^{4}\frac{73838}{80329} \approx 0,875424$$ Ponownie należy pamiętać o przemnożeniu wyników przez sumę ubezpieczenia: Kobieta : 0, 921189 • 10000 = 9211, 89zl Mezczyzna : 0, 875424 • 10000 = 8754, 24zl