Analiza matematyczna 1/Wykład 4: Ciągi liczbowe

Ciągi liczbowe

W tym wykładzie zajmujemy się ciągami w zbiorze liczb rzeczywistych. Definiujemy ciąg monotoniczny, ciąg ograniczony, granice niewłaściwe. Poznajemy twierdzenia o granicach ciągów, twierdzenie o związkach granicy z działaniami i porządkiem w twierdzenie o trzech ciągach, twierdzenie o ciągu monotonicznym i ograniczonym, twierdzenie Bolzano-Weierstrassa.

Definicja 4.1. [ciąg liczbowy]

Przez ciągi liczbowe będziemy rozumieli ciągi o wartościach w (to znaczy w zbiorze liczbowym traktowanym jako przestrzeń metryczna z metryką euklidesową). Piszemy krótko

Ponieważ w zbiorze liczbowym mamy liniowy porządek, więc można porównywać ze sobą elementy ciągu. Pozwala to na wprowadzenie pojęcia monotoniczności ciągu.

Definicja 4.2.

(1) Mówimy, że ciąg jest malejący, jeśli

(2) Mówimy, że ciąg jest silnie malejący, jeśli

(3) Mówimy, że ciąg jest rosnący, jeśli

(4) Mówimy, że ciąg jest silnie rosnący, jeśli

(5) Mówimy, że ciąg jest monotoniczny, jeśli jest on malejący lub rosnący.
(6) Mówimy, że ciąg jest silnie monotoniczny, jeśli jest on silnie malejący lub silnie rosnący.

W przypadku ciągów liczbowych można mówić nie tylko o ograniczoności ciągu (jak to ma miejsce w dowolnej przestrzeni metrycznej), ale także o ograniczeniu ciągu od dołu i od góry (ponownie jest to konsekwencja faktu, że zbiór liczbowy jest liniowo uporządkowany). Mamy zatem następujące definicje.

Definicja 4.3.

(1) Mówimy, że ciąg jest ograniczony, jeśli
(2) Mówimy, że ciąg jest ograniczony z dołu, jeśli
(3) Mówimy, że ciąg jest ograniczony z góry, jeśli

Natychmiastową konsekwencją powyższych definicji jest następujący związek między ograniczonością a ograniczonością z góry i z dołu.

Stwierdzenie 4.4. [O ciągu ograniczonym w ]

Jeśli jest ciągiem to jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony z dołu i z góry.

Pojęcie granicy ciągu pozostaje takie samo jak dla ciągów w dowolnych przestrzeniach metrycznych. Powtórzmy je tutaj dla wygody, przyjmując, że w mamy metrykę euklidesową.

Definicja 4.5.

(1) Mówimy, że liczba jest granicą ciągu jeśli

i piszemy

(2) Mówimy, że ciąg jest zbieżny, jeśli

W przypadku ciągów liczbowych wprowadza się także pojęcie granicy niewłaściwej (o której nie ma sensu mówić w dowolnej przestrzeni metrycznej).

Definicja 4.6. [Uzupelnij]

(1) Mówimy, że ciąg liczbowy ma granicę niewłaściwą jeśli

Mówimy wówczas, że ciąg jest rozbieżny do i piszemy
(2) Mówimy, że ciąg liczbowy ma granicę niewłaściwą jeśli

Mówimy wówczas, że ciąg jest rozbieżny do i piszemy

Zwróćmy uwagę na to, że granica niewłaściwa nie jest granicą (w sensie definicji 4.5.), gdyż nie jest to element (nie jest to liczba rzeczywista). Należy tu również zwrócić uwagę na pewną niekonsekwencję w terminologii.

Mówiąc o granicy, czasem będziemy dodawać "granica właściwa" lub "granica skończona", aby wyraźnie zaznaczyć, że nie mówimy o granicy niewłaściwej. O ciągu, który ma granicę (właściwą) mówimy, że jest zbieżny. O ciągu, który ma granicę niewłaściwą mówimy, że jest rozbieżny do lub O ciągu który nie ma granicy właściwej mówimy, że jest rozbieżny.

Twierdzenie 4.7. [O granicy iloczynu ciągów ograniczonego i zbieżnego do zera]

Jeśli są ciągami takimi, że oraz jest ograniczony, to

Dowód 4.7.

Niech będzie stałą ograniczającą ciąg (która istnieje z założenia), to znaczy

Ustalmy Ponieważ więc

Zatem dla mamy

Ponieważ było dowolne, więc pokazaliśmy, że

czyli udowodniliśmy, że

Przykład 4.8.

Obliczyć granicę .

Rozwiązanie

Jeśli zdefiniujemy oraz dla , to oraz ciąg jest ograniczony, gdyż

Zatem z twierdzenia 4.7. wnioskujemy, że .

Dla ciągów liczbowych możliwe jest wykonywanie działań na elementach tych ciągów oraz na ich granicach. Poniższe twierdzenie podaje związki, jakie zachodzą między tymi działaniami.

Twierdzenie 4.9. [O "arytmetyce" granic ciągów]

Jeśli są ciągami liczbowymi zbieżnymi oraz to
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) (o ile dla oraz );
(5) (o ile działania po obu stronach są wykonalne);
(6) ;
(7)

Dowód 4.9.

(Ad 1) Niech oraz Pokażemy, że
W tym celu ustalmy Z definicji granicy ciągu zastosowanej do ciągów i wiemy, że

oraz

Niech Wówczas dla dowolnego mamy:

Ponieważ było dowolnie wybrane, więc pokazaliśmy, że

czyli
Analogicznie pokazuje się, że
(Ad (3)-(4), (6)-(7)) Dowody tych części są pozostawione na ćwiczenia (patrz ćwiczenie 4.5. i ćwiczenie 4.6.).
(Ad (2)) Wynika to od razu z punktu (3) (dlaczego?).
(Ad (5)) Pozostawiamy to bez dowodu.

Przykład 4.10.

Obliczyć granice ciągów:
(1) ;
(2)

Rozwiązanie

(Ad (1)) Niech Policzmy najpierw granice modułów:

W powyższych rachunkach korzystaliśmy z arytmetyki granic (patrz twierdzenie 4.9.(1)--(3)) oraz ze znajomości granicy (patrz przykład 3.21.). Ponieważ otrzymaliśmy więc korzystając z twierdzenie 4.9. (7) wnioskujemy, że także

(Ad (2)) Ponieważ

oraz

(patrz przykład 3.22.), zatem korzystając z twierdzenia 4.9. (5), dostajemy

Poniższe twierdzenie mówi, że jeśli wyrazy pewnego ciągu leżą pomiędzy wyrazami dwóch innych ciągów i (przynajmniej od pewnego miejsca) mających tę samą granicę (właściwą lub niewłaściwą), to ciąg ma tę samą granicę

Twierdzenie 4.11. [O trzech ciągach]

Jeśli są ciągami takimi, że

to

Dowód 4.11.

Dowód podamy jedynie w przypadku, gdy . Załóżmy, że oraz

Należy pokazać, że W tym celu ustalmy dowolne Z definicji granicy ciągu mamy

Niech Z powyższych nierówności wynika w szczególności, że

zatem

co dowodzi, że

Przykład 4.12.

Obliczyć granicę ciągu

Niech

Zauważmy, że gdzie oraz W celu obliczenia zauważmy, że

granica ciągu oraz wynosi zero. Zbieżności te wynikają z twierdzenia o granicy iloczynu ciągu (patrz twierdzenie 4.9. (3)), to znaczy

i podobnie

Teraz, korzystając z twierdzenia o trzech ciągach (patrz twierdzenie 4.11) dostajemy, że

Odnośnie ciągu zauważmy, że

a zatem ciąg jest ograniczony.

W końcu, korzystając z twierdzenia o iloczynie ciągu zbieżnego do zera i ograniczonego (patrz twierdzenie 4.7.) dostajemy, że

Kolejne twierdzenie mówi, w jaki sposób nierówności między wyrazami dwóch ciągów przenoszą się na nierówności między granicami tych ciągów i na odwrót. Mianowicie, jeśli i są dwoma ciągami mającymi granice (właściwe lub niewłaściwe) oraz wyrazy ciągu są większe lub równe od wyrazów ciągu , to nierówność ta zachodzi także dla granic ciągów. Na odwrót, jeśli granica ciągu jest silnie większa od granicy ciągu , to nierówność ta zachodzi także dla wyrazów ciągów i , przynajmniej od pewnego miejsca.

Twierdzenie 4.13. [O dwóch ciągach]

Jeśli są ciągami takimi, że oraz to prawdziwe są implikacje:

(1) ;

(2) ;

(3) ;

(4)

Dowód 4.13. [nadobowiązkowy]

(Ad (1)) Zakładamy, że oraz
Ustalmy dowolne Ponieważ więc

Zatem dla dowolnego mamy

Ponieważ było dowolne, więc pokazaliśmy, że

a to oznacza, że
(Ad (2)) Dowód analogiczny do dowodu (1).
(Ad (3)) Niech oraz
"Przypadek " Niech

Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że Ustalmy Z definicji granicy ciągu mamy

i w szczególności

Niech Wówczas dla wyrazów i mamy

co jest sprzeczne z założeniem. Zatem pokazaliśmy, że

"Przypadek " lub Wówczas teza wynika z (1) lub (2).

"Przypadek " lub Wówczas zawsze zachodzi nierówność

(Ad (4)) "Przypadek " Niech Ustalmy Ponieważ , więc . Z definicji granicy ciągu mamy

Niech W szczególności mamy

co należało pokazać.

"Przypadek " Niech i Z definicji granicy ciągu i granicy niewłaściwej mamy

Niech W szczególności mamy

co należało pokazać.

"Przypadek " Dowód jest analogiczny jak w przypadku

Kolejne twierdzenie mówi, iż dla ciągów monotonicznych pojęcie granicy pokrywa się z pojęciem kresu górnego (ewentualnie kresu dolnego) zbioru wartości ciągu (patrz rysunek w twierdzeniu 4.15).

Twierdzenie 4.14.

Jeśli jest ciągiem, to
(1) jeśli jest rosnący, to ma granicę (właściwą lub niewłaściwą) oraz

(2) jeśli jest malejący, to ma granicę (właściwą lub niewłaściwą) oraz

Dowód 4.14. [nadobowiązkowy]

(Ad (1)) Załóżmy, że jest ciągiem rosnącym oraz niech

(supremum zbioru liczbowego zawsze istnieje i jest elementem lub wynosi gdyż zbiór jest niepusty). Pokażemy, że jest granicą ciągu
Rozważmy dwa przypadki:
Przypadek Niech Ustalmy dowolne Z własności supremum mamy, że

(de facto z własności supremum wynika, że takich indeksów istnieje nieskończenie wiele, ale nam wystarczy wybór jednego z nich). Ponieważ ciąg jest rosnący oraz (z definicji supremum), więc

Ponieważ był dowolnie wybrany, więc pokazaliśmy, że

zatem pokazaliśmy, że
Przypadek Niech Ustalmy Z definicji supremum mamy, że

(bo w przeciwnym razie byłoby , sprzeczność).

Ponieważ ciąg jest rosnący, więc

Ponieważ było dowolnie wybrane, więc pokazaliśmy, że

Zatem w obu przypadkach pokazaliśmy, że
(Ad (2)) Dowód jest analogiczny jak dla (1).

Twierdzenie 4.15. [O ciągu monotonicznym i ograniczonym]

(1) Jeśli jest ciągiem rosnącym i ograniczonym z góry, to jest on zbieżny.

(2) Jeśli jest ciągiem malejącym i ograniczonym z dołu, to jest on zbieżny.
(3) Ciąg monotoniczny jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony.

Dowód 4.15.

(Ad (1)) Jeśli ciąg jest rosnący, to z twierdzenia 4.14 (1) wynika, że ma granicę (właściwą lub niewłaściwą) oraz

Ponieważ jest on dodatkowo ograniczony, więc

zatem granica jest właściwa, czyli ciąg jest zbieżny.
(Ad (2)) Dowód analogiczny jak w (1).
(Ad (3)) Jeśli ciąg jest monotoniczny i ograniczony, to zachodzi założenie jednego z punktów (1) lub (2) (to znaczy jest on malejący i ograniczony lub rosnący i ograniczony). W obu przypadkach wiemy, że ciąg jest zbieżny.
Implikacja w drugą stronę jest zawsze prawdziwa (to znaczy ciąg zbieżny jest ograniczony, nawet bez założenia monotoniczności). Wynika to z twierdzenia 3.25.

Twierdzenie 4.16. [Bolzano-Weierstrassa]

Każdy ciąg ograniczony zawiera podciąg zbieżny.

W dowodzie powyższego twierdzenia wykorzystamy następujący lemat:

Lemat 4.17.

Każdy ciąg liczbowy zawiera podciąg monotoniczny.

Dowód 4.17.

[Szkic] Dla ciągu zdefiniujmy następujący zbiór:

Możliwe są dwa przypadki.
Jeśli (to znaczy zbiór jest nieskończony), to możemy z ciągu wybrać podciąg rosnący (wystarczy, aby podciąg zawierał tylko te elementy ciągu których indeksy należą do zbioru ).
Jeśli (to znaczy zbiór jest skończony), to możemy skonstruować podciąg malejący w następujący sposób. Niech będzie liczbą większą od wszystkich liczb ze zbioru Ponieważ więc

Dalej konstrukcja ciągu indeksów przebiega indukcyjnie w ten sam sposób. Jeśli wybraliśmy już indeksy to z definicji zbioru i faktu, że wynika, że

Skonstruowany w ten sposób podciąg jest malejący.

Możemy teraz powrócić do dowodu twierdzenia Bolzano-Weierstrassa:

Dowód 4.16.

Niech będzie ciągiem ograniczonym. Z lematu 4.17. wynika, że możemy z niego wybrać podciąg monotoniczny Oczywiście podciąg jest także ograniczony, zatem z twierdzenia 4.15. (3) wynika, że podciąg jest zbieżny.

Wniosek 4.18.

Z każdego ciągu liczbowego można wybrać podciąg posiadający granicę (właściwą lub niewłaściwą).

Dowód 4.18.

Z lematu 4.17. wiemy, że z ciągu można wybrać podciąg monotoniczny. Jeśli jest on ograniczony, to z twierdzenia 4.15. wynika, że jest on zbieżny (ma granicę właściwą). Jeśli zaś jest nieograniczony, to skoro jest monotoniczny, to granicą jest lub .

@@@@@@@@

Ćwiczenie 4.1.

Obliczyć następujące granice ciągów:
(1)
(2)
(3)

Wskazówka

(1) Podzielić licznik i mianownik przez i skorzystać z twierdzeń o arytmetyce granic.
(2) Wykorzystać twierdzenie o dwóch ciągach.
(3) Sposób I. Wykorzystać twierdzenie o trzech ciągach.
Sposób II. Podzielić licznik i mianownik przez oraz skorzystać z twierdzeń o arytmetyce granic.

Rozwiązanie

(1) Dzielimy licznik i mianownik przez i dostajemy:

przy czym w ostatniej równości wykorzystujemy twierdzenia o arytmetyce granic (dla sumy i iloczynu; patrz twierdzenie 4.9.) oraz fakt, że (patrz przykład 3.21. i twierdzenie 4.9.).

(2) Zauważmy, że

przy czym . Zbieżność łatwo pokazać z definicji granicy niewłaściwej. Zatem korzystając z twierdzenia o dwóch ciągach (patrz twierdzenie 4.13.(1)) wnioskujemy, że
(3) Sposób I. Zauważmy, że

Zatem korzystając z twierdzenia a trzech ciągach wnioskujemy, że

Sposób II. Dzieląc licznik i mianownik przez oraz korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic, mamy

Ćwiczenie 4.2.

Obliczyć następujące granice ciągów:
(1)
(2)

Wskazówka

(1) Rozpisać symbol Newtona. Podzielić licznik i mianownik przez
(2) Rozwiązać analogicznie do przykładu (1).

Rozwiązanie

(1) Rozpiszmy symbol Newtona występujący w wyrazach ciągu

Zatem liczymy:

(2) Rozpiszmy symbol Newtona występujący w wyrazach ciągu

Zatem liczymy:

Ćwiczenie 4.3.

Obliczyć następujące granice ciągów:
(1)
(2)
(3)

Wskazówka

(1) Wykonać dzielenie przez
(2) Sposób I. Wykorzystać twierdzenie o trzech ciągach.
Sposób II. Podzielić licznik i mianownik przez i skorzystać z twierdzeń o arytmetyce granic.
(3) Wykorzystać wzór na sumę skończonego ciągu geometrycznego (patrz uwaga 1.10.).

Rozwiązanie

(1) Wykonując dzielenie przez , dostajemy:

gdzie wykorzystaliśmy znajomość ciągu geometrycznego (patrz przykład 3.22.).

(2) Sposób I. Zauważmy, że

gdzie wykorzystaliśmy znajomość ciągu geometrycznego. Zatem korzystając z twierdzenia o trzech ciągach, wnioskujemy, że

Sposób II. Dzieląc licznik i mianownik przez oraz korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic, mamy

(3) Korzystając ze wzoru na sumę skończonego ciągu geometrycznego (patrz uwaga 1.10.), mamy

Ćwiczenie 4.4.

Niech będzie ciągiem liczbowym takim, że Udowodnić, że jeśli oraz dla dowolnego to ciąg jest ograniczony oraz dodatkowo

Wskazówka

Skorzystać z definicji granicy ciągu z

Rozwiązanie

Niech Niech Z definicji granicy mamy

w szczególności dla tak dobranego mamy

zatem

czyli

Zdefiniujmy teraz

Oczywiście oraz

co należało dowieść.

Ćwiczenie 4.5.

Niech będą ciągami liczbowymi zbieżnymi. Udowodnić następujące stwierdzenia:
(1) ;
(2) (o ile dla oraz ).

Wskazówka

(1) Należy skorzystać z faktu, że ciąg zbieżny jest ograniczony. Przy liczeniu granicy ciągu wykorzystać oszacowanie

(2) Najpierw udowodnić, że W tym celu należy skorzystać z zadania 4.4.. Następnie wykorzystać punkt (1).

Rozwiązanie

(1) Niech i Należy pokazać, że

Ustalmy dowolne

Ciąg jako zbieżny, jest ograniczony, to znaczy

Z definicji granicy mamy

(przy czym jeśli to ostatnie wyrażenie zastąpmy przez ).

Niech

Wówczas dla dowolnego mamy

zatem

(2) Niech i (gdzie dla oraz ). Pokażemy najpierw, że

Ustalmy dowolne Z Zadania zadania 4.4. wynika, że

Z definicji granicy, zastosowanej do , mamy także

Wówczas dla mamy

pokazaliśmy więc, że

Możemy teraz skorzystać z udowodnionego już punktu (1), a mianowicie

Ćwiczenie 4.6.

Niech będą ciągami liczbowymi zbieżnymi. Udowodnić następujące stwierdzenia:
(1) ;
(2) ;

Wskazówka

(1) Udowodnić najpierw prostą nierówność:

(2) Wykorzystać jedynie definicję granicy ciągu.

Rozwiązanie

(1) Udowodnimy najpierw, że

Korzystając z nierówności trójkąta dla wartości bezwzględnej (metryki euklidesowej w ), mamy

stąd

Analogicznie dostajemy

Dwie ostatnie nierówności oznaczają, że

co należało dowieść.

Załóżmy teraz, że

Należy pokazać, że Ustalmy dowolne Z definicji granicy mamy

Wówczas, korzystając z udowodnionej nierówności, dla mamy

Zatem pokazaliśmy, że

Zauważmy w tym miejscu, że nie jest ogólnie prawdziwa implikacja w drugą stronę. Rozważmy bowiem ciąg . Wówczas , ale ciąg nie ma granicy.

(2) "":
Wynika wprost z punktu (1).
"":
Niech Należy pokazać, że Ustalmy dowolne Z definicji granicy ciągu mamy

Zatem dla mamy

co oznacza, że