POLITECHNIKA POZNAŃSKA Wydział Elektryczny Instytut Elektrotechniki i Elektroniki Przemysłowej Zakład Elektrotechniki Teoretycznej i Stosowanej
Przedmiot: Laboratorium Teorii Pola Elektromagnetycznego Ćwiczenie nr: 1 Temat: Model linii elektroenergetycznej
Rok akademicki: 2012/2013 Kierunek: Elektrotechnika Studia: Stacjonarne I st. Rok studiów: 2 Semestr: 3 Nr grupy: E-4
Uwagi:

1. Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z zagadnieniami występującymi w pracy linii energetycznej w warunkach zmieniającego się obciążenia.

1. Wiadomości teoretyczne

Jednym z warunków, jakie musi spełniać poprawnie działająca sieć energetyczna jest utrzymanie stałej wartości skutecznej napięcia na od­biorniku U2. Napięcie to nie może zmieniać się bardziej niż ±10% wartości znamionowej.

Napięcie U2 na zaciskach odbior­nika przedstawione jest równaniem:

U₂ = U₁ - I(R₁ + j ωL₁) = IZ

Powyższe równanie można przed­stawić w postaci graficznej na wykre­sie wskazowym, co zaprezentowano na rysunku poniżej.

Różnicę algebraiczną wartości skutecznych napięć na początku i końcu linii U₁ – U₂ nazywa się spad­kiem napięcia ΔU_L natomiast różnicę algebraiczną wartości zespolonych tych napięć U₁ – U₂ (lub geometryczną wartości skutecznych) definiuje się jako stratę napięcia U_L

Aby utrzymywać stałą wartość skuteczną napięcia U₂ na odbiorniku, konieczne jest regulowanie napięcia U₁ na początku linii.

Zależność napięcia U₁ od obciążenia linii można określić z wykresu pracy linii w oparciu o wykres wskazowy, który znajduje się powyżej.

Impedancja linii energetycznej Z₁ ma wartość stałą, zależną od konstrukcji linii. Założymy stałą wartość skuteczną napięcia U₂ na odbiorniku. Przyjęto, że napięcie U₂ na wykresie jest wskazem odniesienia U₂ = U₂e^j0

Impedancję obciążenia można określić przez podanie wartości skutecznej napięcia U₂ na odbiorniku, wartości prądu płynącego przez odbiornik I oraz kąta φ₀ pomiędzy wskazami U­­₂ i I.

Z = $\frac{\mathbf{U2}}{\mathbf{I}}$ e^{j Φ}_u

Spadek napięcia na linii:

U₁ = Z₁I = Z₁e^jφ₁Ie^{-j φ}₀₁ = ZIe^j(φ₁^{- φ}₀₁⁾

Jeżeli założymy, że wartość skuteczna prądu będzie stała I = const, a zmieniać się będzie kąt φ₀ pomiędzy wskazami napięcia na odbiorniku U₂ a prądem I, to wskaz napięcia U₁ zakreśli półokrąg o środku w punkcie końcowym wskazu napięcia U₂ i promieniu U₁=Z₁I co przedstawiono na rysunku:

Kąt φ₀ zmienia się od 90° dla obciążenia indukcyjnego, poprzez φ₀ = 0 dla obciążenia rezystancyjnego, do -90° dla obciążenia pojemnościowego. Jeśli zmieni się wartość skuteczna prądu I, to zmieni się również promień półokręgu U_1­.

1. Przebieg ćwiczenia

Przedstawiony model linii energetycznej SN ma następujące parametry: R₁ = 7,5 Ω, L₁ = 26 mH.

Pomiar napięć i prądów, które niezbędne będą do sprawdzenia pracy linii

Schemat połączeń

Połączyć układ pomiarowy przedstawiony na rysunku powyżej. Do linii dołączyć odbiorniki o charakterze rezystancyjno-indukcyjnym - tabela 1 oraz rezystancyjno-pojemnościowym - tabela 2. Odpowied­nie rezystory z cewkami/kondensatorami należy połączyć szeregowo. Wartości parametrów poszczególnych odbiorników znajdują się w wymienionych tabelach. Dokonać pomiarów napięć U₁, U_L oraz prądów I dla odpowiednich odbiorników. Podczas wykonywania po­miarów utrzymywać stałą wartość napięcia U₂ = 87 [V]. Pomiary za­mieścić w tabelach 1 oraz 2.

Tabela 1

Lp.	U2	U1	UL	I1	Odbiornik R, L
-		V	V	A	-
1	87	94,5	11	0,98	R = 87 Ω, L = 0 mH R = 87 Ω = (47+33+6,8+0,22)
2	87	96	11	1	R = 86,7 Ω, L = 26 mH R = 84,7 Ω = (47+33+4,7)+ 2Ω cewki
3	87	96	111	0,99	R = 86 Ω, L = 36 mH R=80 Ω= (47+33)+ 6Ω cewki
4	87	97	11	1	R = 74 Ω, L=145 mH R = 66 Ω= (47+15+3,3+0,47+0,22)+ 8Ω cewki
5	87	98	11	1	R = 58 Ω, L = 206 mH R= (47+1) + 10 Ω cewki
6	87	97	11,2	1	R = 22 Ω, L = 268 mH R = 9 Ω= (6,8+2,2) + 13Ω cewki

Tabela 2

Lp.	U2	U1	UL	I1	Odbiornik R, C
-	V	V	V	A	-
1	87	93	10, 8	0,98	R= 86,4 Ω, C= 210 µF R= 86,4 Ω = (47+33+4,7+1+0,47+0,22) C= 210 µF= 4∙50 µF+10 µF
2	87	92	11	1	R= 82,2 Ω, C= 109,3 µF R= 82,2 Ω=(47+33+2,2) C= 109,3 µF= 2∙50µF+6,3+3
3	87	89,5	11	0,98	R= 75,52 Ω, C= 74 µF R= 75,52 Ω= (47+15+10+3,3+0,22) C= 74 µF= 50+20+4 µF
4	87	88,5	11	0,99	R= 67,2 Ω, C= 57,3 µF R= 67,2 Ω= (47+15+4,7+0,47) C= 57,3 µF= 50+6,3+1 µF
5	87	87	11	1	R= 56,22 Ω, C= 47,3 µF R= 56,22 Ω= (47+6,8+ 2,2+0,22) C= 47,3 µF= 40+6,3+1 µF
6	87	84,5	11	1	R= 43,47 Ω, C= 42 µF R= 43,47 Ω= (33+10+0,47) C= 42 µF= 40+2 µF

1. Obliczenia

Na podstawie wykonanych pomiarów napięcia U₁ na początku linii energetycznej obliczyć prądy płynące przez tę linię dla poszczególnych odbiorów, napięcia na odbiornikach oraz spadek napięcia na linii. Wyniki obliczeń porównać z wynikami otrzymanych pomiarów.

Na podstawie wykonanych pomiarów (obliczeń) wykonać wykres pracy linii energetycznej.

Dla napięcia znamieniowego fazowego linii energetycznej SN U₂ = 8670 V, prądu płynącego przez linie oraz kąta (wartość I oraz φ₀ poda prowadzący) narysować w skali wykres wskazowy linii energetycznej, poprzedzając go odpowiednimi obliczeniami.

4.1.

Obliczenia prądów, napięć na odbiornikach oraz spadek napięcia na linii dla odbiornika o charakterze rezystancyjno – indukcyjnym.

1. Przykładowe obliczenia dla prądu I₁ płynącego przez linię. Dane: U₁=94,5V,

R_odb=86Ω, L_odb=36mH. Wykorzystam ten wzór:

$$= \frac{}{R_{L} + j2\pi fL_{L} + R_{\text{odb}} + j2\pi fL_{\text{odb}}}$$

Gdzie: R_L=7,5Ω i L_L=26mH są parametrami linii elektroenergetycznej, R_odb – rezystancja odbiornika, L_odb – indukcyjność odbiornika, U₁ = napięcie na początku linii, f – częstotliwość 50Hz.

Po podstawieniu:

$$= \frac{96e^{j0}}{(7,5 + j2 \bullet 3,14 \bullet 50 \bullet 26 \bullet 10^{- 3} + 86 + j2 \bullet 3,14 \bullet 50 \bullet 36 \bullet 10^{- 3})} = {1e}^{- j11,8}$$

1. Przykładowe obliczenie napięcia U₂ na odbiorniku o charakterze

rezystancyjno- indukcyjnym. Dla R= 86Ω, L=36mH oraz prądu =1e^−j11, 8. Wykorzystam wzór:

= • (R_odb + j2πfL_odb)

Gdzie: -napięcia na odbiorniku, - prąd płynący prze linię (z obliczeń), R_odb - rezystancja odbiornika, L_odb- indukcyjność odbiornika, f- częstotliwość 50Hz.

Po podstawieniu:

=1e^−j11, 8 • (86+j2•3,14•50•36•10⁻³) = 88, 73e^−j4, 3

1. Przykładowe obliczenia spadku napięcia U_L na linii. Dla =1e^−j11, 8

R_L= 7,5 Ω oraz L_L=26 mH. Wykorzystam wzór:

= • (R_L + j2πfL_L)

Gdzie: - spadek napięcia na linii, - prąd płynący przez linię (z obliczeń), R_L oraz L_L- parametry linii elektroenergetycznej.

Po wstawieniu odpowiednich wartości otrzymujemy:

=1e^−j11, 8 • (7,5+j2•3,14•50•26•10⁻³) = 11, 09e^j35, 6

1. Tabela pozostałych wartości obliczonych na podstawie wyżej przedstawionych

obliczeń przykładowych.

Lp.	U2	UL	U1(z pomiarów)	I1	Odbiornik R, L
-	V	V	V	A	-
1	87e^-j4,9	11,08e^j42,5	94,5	1e^-j4,9	R = 87 Ω, L = 0 mH R = 87 Ω = (47+33+6,8+0,22)
2	87,08e^-j4,4	11,09e^j37,6	96	1e^-j9,8	R = 86,7 Ω, L = 26 mH R = 84,7 Ω = (47+33+4,7)+ 2Ω cewki
3	88,73e^-j4,3	11,09e^j35,6	96	1e^-j11,8	R = 86 Ω, L = 36 mH R=80 Ω= (47+33)+ 6Ω cewki
4	86,02e^-j1,8	10,97e^j14	97	0,99e^-j33,4	R = 74 Ω, L=145 mH R = 66 Ω= (47+15+3,3+0,47+0,22)+ 8Ω cewki
5	86,88e^j0,1	11,09e^-j0,6	98	1e^-j48	R = 58 Ω, L = 206 mH R= (47+1) + 10 Ω cewki
6	86,98e^j3	11,09e^-j24,9	97	1e^-j72,3	R = 22 Ω, L = 268 mH R = 9 Ω= (6,8+2,2) + 13Ω cewki

4.2.

Obliczenia prądów I płynących przez linię, napięć na odbiornikach oraz spadek napięcia na linii wg pomiarów U_1, dla odbiornika o charakterze rezystancyjno- pojemnościowym.

1. Przykładowe obliczenia dla prądu płynącego przez linię. Dla U₁=93e^j0 V,

R_odb=86,4Ω, C_odb=210µF. Wykorzystam wzór:

$$= \frac{}{R_{L} + j2\pi fL_{L} + R_{\text{odb}} - j\frac{1}{2\pi fC_{\text{odb}}}}$$

gdzie: R_L=7,5Ω i L_L=26mH są parametrami linii elektroenergetycznej, R_odb- rezystancja odbiornika, C_odb- pojemność odbiornika, -napięcie na początku linii, f- częstotliwość 50Hz.

Po wstawieniu odpowiednich wartości otrzymujemy:

$$= \frac{93e^{j0}}{(7,5 + j2 \bullet 3,14 \bullet 50 \bullet 26 \bullet 10^{- 3} + 86,4 - j\frac{1}{2 \bullet 3,14 \bullet 50 \bullet 210 \bullet 10^{- 6}})} = 0,9{9e}^{j4,3}$$

1. Przykładowe obliczenie napięcia U₂ na odbiorniku o charakterze

rezystancyjno- pojemnościowym. Dla R= 86,4Ω, C=210µF oraz prądu=0, 99e^j4, 3A. Wykorzystam wzór:

$$= \bullet (R_{\text{odb}} - j\frac{1}{2\pi fC_{\text{odb}}})$$

gdzie: -napięcie na odbiorniku, - prąd płynący prze linię, R_odb- rezystancja odbiornika, C_odb- pojemność odbiornika, f- częstotliwość 50 Hz

Po wstawieniu odpowiednich wartości otrzymujemy:

$$= 0,9{9e}^{j4,3} \bullet \left( 86,4 - j\frac{1}{2 \bullet 3,14 \bullet 50 \bullet 210 \bullet 10^{- 6}} \right) = {86,84e}^{- j5,6}V$$

1. Przykładowe obliczenia spadku napięcia na linii. Dla =0, 99e^j4, 3A , R_L=

7,5 Ω oraz L_L=26mH. Wykorzystam wzór:

= • (R_L + j2πfL_L)

gdzie: U_L- spadek napięcia na linii, I₁- prąd płynący przez linię, R_L oraz L_L- parametry linii elektroenergetycznej.

Po wstawieniu odpowiednich wartości otrzymujemy:

U_L = 0, 97e^j9 • (7,5+j2•3,14•50•26•10⁻³) = 10, 97e^j51, 7

Lp.	U2	UL	U1(z pomiarów)	I1	Odbiornik R, C
-	V	V	V	A	-
1	86,84e^-j5,6	10,97e^51,7	93	0,99e^j4,3	R= 86,4 Ω, C= 210 µF R= 86,4 Ω = (47+33+4,7+1+0,47+0,22) C= 210 µF= 4∙50 µF+10 µF
2	87,21e^-j6,5	11,08e^j60,4	92	1e^j13	R= 82,2 Ω, C= 109,3 µF R= 82,2 Ω=(47+33+2,2) C= 109,3 µF= 2∙50µF+6,3+3
3	86,05e^-j6,9	10,97e^70,2	89,5	0,99e^j22,8	R= 75,52 Ω, C= 74 µF R= 75,52 Ω= (47+15+10+3,3+0,22) C= 74 µF= 50+20+4 µF
4	87,2e^-j7,2	11,08e^j79,8	88,5	1e^j32,4	R= 67,2 Ω, C= 57,3 µF R= 67,2 Ω= (47+15+4,7+0,47) C= 57,3 µF= 50+6,3+1 µF
5	87,72e^-j7,2	11,09e^j90,3	87	1e^j42,9	R= 56,22 Ω, C= 47,3 µF R= 56,22 Ω= (47+6,8+ 2,2+0,22) C= 47,3 µF= 40+6,3+1 µF
6	86,4e^-j7,2	10,09e^j100,4	84,5	1e^j53	R= 43,47 Ω, C= 42 µF R= 43,47 Ω= (33+10+0,47) C= 42 µF= 40+2 µF

4.3.

Wykres pracy linii oraz wykres wskazowy linii energetycznej (w skali) został dołączony na papierze milimetrowym.

Obliczenia dla wykresu wskazowego:

Dla napięcia fazowego linii energetycznej SN U₂= 8670 V, prądu I= 100 A, oraz kąta

φ₀ = −10.
Przyjęta skala 1cm = 500V 1cm=20A.

U_L = I(R_L+j2πfL_L) = 100e^−j10(7,5+j2•3,14•50•26•10⁻³) = 1108, 6e^j37, 4

$$|U_{L}| = \sqrt{{880,7}^{2} + {673,3}^{2}} = 1108,6$$

U_RL = 880,7

U_LL = j673,3 = 673,3e^j90

U₁ = U₂ + U­_L = (8670 + 880,7 + 673,3e^j90)V = 9574,4e^j4

1. Parametry i dane znamionowe zastosowanych urządzeń i mierników

• 4 x multimetr BRYMEN BM857a

• model linii elektroenergetycznej

• autotransformator

• płytki łączeniowe z rezystorami, kondensatorami oraz cewkami

• przewody łączeniowe

1. Uwagi końcowe i wnioski

Celem ćwiczenia było zapoznanie się z charakterystyką pracy linii elektroenergetycznej. W tym celu wykonaliśmy po 6 pomiarów, dla każdego z odbiorników (rezystancyjno – indukcyjnego i rezystancyjno – pojemnościowego). Mierzyliśmy napięcie na początku linii (U₁), prądu płynący przez linię (I­₁), spadek napięcia na linii (U_L) oraz napięcia na odbiorniku (U₂).

Napięcie U₂, które podczas wykonywania pomiarów utrzymywaliśmy na równym poziomie (87V), pokrywa się ono z niewielkim odchyłem z napięciem U_{2 ,} którego wartości uzyskano podczas obliczeń teoretycznych. Największa różnica występuje w 3 wierszu dla odbiornika o charakterze rezystancyjno – indukcyjnym (prawie 1,5V) i w 1 wierszu dla odbiornika o charakterze rezystancyjno – pojemnościowym (prawie 2V). Błędy te wynikać mogą zarówno z niedokładności mierników, jak i błędów przy obliczeniach (przybliżanie itp.) czy chociażby jakichkolwiek czynników zewnętrznych (np. w obliczeniach bierzemy pod uwagę elementy idealne, pomijając ich mniej istotne parametry oraz tolerancję).

Co do wartości prądu I, wyniki obliczeń są prawie identyczne z otrzymanymi w pomiarach (zarówno dla odbiornika o charakterze rezystancyjno – indukcyjnym jak i rezystancyjno – pojemnościowym). Wszelakie rozbieżności również spowodowane mogą być czynnikami wymienionymi wyżej.

1. Literatura

[1] Bolkowski S., Elektrotechnika teoretyczna, Wyd. 6, WNT, Warszawa 2001.

[2] Cholewicki T., Elektrotechnika teoretyczna, t. 1, WNT, Warszawa 1973.

[3] Krakowski M., Elektrotechnika teoretyczna, t. 1, PWN, Warszawa 1995