STATYSTYKA I EKONOMETRIA

WYKŁAD 4 – 8.12.2014

$${\overline{x}}_{i} = \ \frac{1}{n_{i}}*\ \sum_{}^{}x_{i}{\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\overset{}{x}}_{i} = \ \frac{1}{n}*\ \sum_{}^{}{\sum_{}^{}x_{\text{ij}}}$$

H₀ :  m₁ = m₂ =  …= m_k H₁ :  nie sa rozne

źródło	Suma kwadratów (a)	St. Swobody (b)	Wariancja ($c = \frac{a}{b}$)	Test F
Między populacjami (czynnik, który analizuje)	$${\sum_{}^{}{({\overset{\overline{}}{x}}_{i} - \overset{}{x}})}^{2}*n$$	k-1	S1^2	$$F = \frac{{S_{1}}^{2}}{{S_{2}}^{2}}$$
Wewnątrz grup (składnik losowy)	$${\sum_{}^{}{\sum_{}^{}{(x_{\text{ij}}}} - {\overset{\overline{}}{x}}_{i})}^{2}$$	n-k	S2^2

n – obserwacje, k – populacje

a, k-1, n-k => F_α Interpretacja (obszar krytyczny): F  ≥ F_α

*Jak odrzucę H₀, tzn. że dany czynnik ma istotny wpływ na badane zjawisko.

PRZYKŁAD 1

Liczba błędów popełnionych w toku przejścia tresowanych szczurów przez labirynt ma rozkład

normalny. Do pewnych dalszych doświadczeń wylosowano po pięć szczurów do czterech grup,

które powinny być jednorodne pod względem stopnia wytresowania. Otrzymano dla szczurów w

poszczególnych grupach następujące liczby popełnianych przez nie błędów:

I grupa: 10,8,7,6,11 II grupa: 7,10,6,14,5

III grupa: 8,13,15,6,3 IV grupa: 16,10,8,10,4.

Na poziomie istotności α = 0, 05 zweryfikować hipotezę o takiej samej liczbie błędów popełnionej przez szczury we wszystkich grupach (czyli czy rodzaj grupy do której trafił szczur wpływa na liczbe błędów).

I	II	III	IV	$${(x_{I} - {\overset{\overline{}}{x}}_{I})}^{2}$$	$${(x_{\text{II}} - {\overset{\overline{}}{x}}_{\text{II}})}^{2}$$	$${(x_{\text{II}I} - {\overset{\overline{}}{x}}_{\text{III}})}^{2}$$	$${(x_{\text{IV}} - {\overset{\overline{}}{x}}_{\text{IV}})}^{2}$$
10	7	8	16	(10 - 8,4)²	(7 - 8,4)²	(8 - 9)²	(16 – 9,6)²
8	10	13	10	(8 - 8,4)²	(10 - 8,4)²	(13 - 9)²	(10 – 9,6)²
7	6	15	8	(7 - 8,4)²	(6- 8,4)²	(15 - 9)²	(8 – 9,6)²
6	14	6	10	(6 - 8,4)²	(14 - 8,4)²	(6 - 9)²	(10 – 9,6)²
11	15	3	4	(11 - 8,4)²	(15 - 8,4)²	(3 - 9)²	(4 – 9,6)²
$${\overset{\overline{}}{x}}_{I} = 8,4$$	$${\overset{\overline{}}{x}}_{\text{II}} = 8,4$$	$${\overset{\overline{}}{x}}_{\text{III}} = 9$$	$${\overset{\overline{}}{x}}_{\text{IV}} = 9,6$$	$$\sum_{}^{}{= 17,2}$$	$$\sum_{}^{}{= 53,2}$$	$$\sum_{}^{}{= 98}$$	$$\sum_{}^{}{= 75,2}$$

$\overset{}{x} = \ \frac{177}{5*4} = 8,85$

$\overset{}{x}$ – średnia globalna

• Wewnątrz grupy składnik:

17,2 + 53,2 + 98 + 75,2 = 243,6

(8,4 – 8,85)² * 5

(8,4 – 8,85)² * 5

(9 – 8,85)² * 5 Ʃ = 4,26

(9,6 – 8,85)² * 5

źródło	Suma kwadratów (a)	St. Swobody (b)	Wariancja ($c = \frac{a}{b}$)	Test F
Między populacjami (czynnik, który analizuje)	4,26	4 – 1 = 3	1,65	$$F = \frac{1,65}{15,22} = 0,11$$
Wewnątrz grup (składnik losowy)	243,6	4 – 1 = 3	15,22

	1	2	3
1
2
:
16			3,24

Z tablic odczytuje dla:

a = 0, 05

k – 1 = 3 F_α = 3, 24 Z tablic Fishera:

n – k = 16

Obszar krytyczny: F  ≥ F_α

0,11 ≥ 3,24 fałsz

Brak podstaw do odrzucenia H₀, czyli nie ma wpływu z której grupy wezmę szczury.

$${\overline{x}}_{i} = \ \frac{1}{k}*\ \sum_{j = 1}^{k}x_{\text{ij}}{\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\overline{x}}_{j} = \ \frac{1}{p}*\ \sum_{i = 1}^{\text{kp}}x_{\text{ij}}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\overset{}{x} = \ \frac{1}{\text{pk}}\ \sum_{}^{}{\sum_{}^{}x_{\text{ij}}}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$$

A B	1	2	…	k
1	xij
2
:
p

Suma kwadratów:

• Dla zmienności całkowitej: $SK_{c} = \ {\sum_{}^{}{\sum_{}^{}{(x_{\text{ij}} - \overset{}{x})}}}^{2}$

• Dla zmienności między wierszami: (A) $\ SK_{A} = \ {k*\sum_{}^{}{({\overline{x}}_{i} - \ \overset{}{x})\ }}^{2}$

• Dla zmienności między kolumnami: (B) $SK_{B} = \ {p*\sum_{}^{}\left( {\overline{x}}_{j} - \ \overset{}{x} \right)}^{2}$

• Dla zmienności resztowej: SK_R = SK_c − SK_A − SK_B 

Źródło zmienności	Suma kwadratów (a)	St. Swobody (b)	Wariancja ($c = \frac{a}{b}$)	Test F
Czynnik A	SKA	p – 1	S1^2	$$F = \frac{{S_{1}}^{2}}{{S_{3}}^{2}}$$
Czynnik B	SKB	k – 1	S2^2	$$F = \frac{{S_{2}}^{2}}{{S_{3}}^{2}}$$
Błąd losowy	SKR	(k – 1)( p – 1)	S3^2

p – liczba wierszy, k – liczba kolumn

Z tablic: α, p – 1, (k – 1)( p – 1) => F_A obszar krytyczny: F  ≥ F_A

α, p – 1, (k – 1)( p – 1) => F_B obszar krytyczny: F  ≥ F_B

PRZYKŁAD 2

W celu sprawdzenia jaki wpływ na wydajność pracy robotników ma typ maszyn, przeprowadzono w pewnym zakładzie metalowym doświadczenie polegające w którym mierzono wydajność pracy (liczba sztuk detali wyprodukowanych w godzinę) 5 robotników pracujących na poszczególnych typach obrabiarek. Wyniki doświadczenia były następujące:

Robotnicy	Typy maszyn	Średnie wierszy
	1	2
1	28	30
2	24	21
3	20	22
4	25	25
5	32	28
Średnie kolumn	25,8	25,2

Przyjmując rozkład normalny wydajności pracy zbadać na poziomie istotności a = 0, 05 wpływ typu maszyn oraz indywidualnych cech robotników na ich wydajność pracy.

$$\overset{}{x} = \ \frac{335}{3*5\ } = 25,4$$

SK_C = (28 – 25,4)² + (24 – 25,4)² + … + (30 – 25,4)² = 219,6

SK_A = 3 * [(28 – 25,4)² + (24 – 25,4)² + (20 – 25,4)² + (25 – 25,4)² + (30 – 25,4)²] = 177,6

SK_B = 5 * [(25,8 – 25,4)² + (25,2 – 25,4)² + (25,2 – 25,4)²] = 1,2

SK_R = 219,6 – 177,6 – 1,2 = 40,8

Źródło zmienności	Suma kwadratów (a)	St. Swobody (b)	Wariancja ($c = \frac{a}{b}$)	Test F
Czynnik A	177,6	5 – 1 = 4	44,4	$$F = \ \frac{44,4}{25,1} = 8,7$$
Czynnik B	1,2	3 – 1 = 2	0,6	$$F = \ \frac{0,6}{5,1} = 0,12$$
Błąd losowy	40,8	2*4 = 8	5,1

Z tablic odczytuje dla:

a = 0, 05 F  ≥ F_A

p – 1 =4 F_A = 3, 84 8,7 ≥ 3,84 Prawda

(k – 1)( p – 1) = 8

Odrzucam H₀, czyli czynnik A ma istotny wpływ.

a = 0, 05 F  ≥ F_B

p – 1 = 2 F_B = 4, 46 0,12 ≥ 4,46 Fałsz

(k – 1)( p – 1) = 8

Brak podstaw do odrzucenia H₀.

Podsumowując: cechy robotników były istotne a wybór maszyny nie.