Sygnały elektryczne – parametry częstotliwościowe i czasowe

1. Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z zasadami pomiaru częstotliwości i czasu, parametrami częstościomierzy-czasomierzy, warunkami ich użytkowania ze szczególnym uwzględnieniem dokładności pomiaru.

1. Spis przyrządów

Oscyloskop OS-5020G (błąd pomiaru T_x = 3%T_x + 0, 1dz • C_x)
Częstościomierz KZ 2025B (błąd pomiaru metodą bezpośrednią: $\delta f_{x} = \frac{1}{N_{x}} + 2 \bullet 10^{- 8}$
błąd pomiaru metodą bezpośrednią : $\delta f_{x} = \frac{1}{N_{x}} + 2 \bullet 10^{- 8} + 0,003$
błąd wzorca: |δT_w|=|δf_w|=2 • 10⁻⁸)
Generator HM8030-6

1. Schemat układu

1. Przebieg ćwiczenia

Zmontowano układ jak na powyższym schemacie.
Pierwsza część ćwiczenia ma na celu porównanie błędów pomiaru dokonywanych różnymi metodami.

Na generatorze ustawiono częstotliwość f_g = 1 kHz i na oscyloskopie tak dobrano nastawę C_y, aby amplituda wyniosła A = 1 V. W celu wyznaczenia częstotliwości odczytano ilość działek odpowiadającą jednemu pełnemu okresowi oraz nastawę. Następnie, aby wyznaczyć częstotliwość bezpośrednio, na częstościomierzu ustawiono czas wyzwalania T_w = 1 s i odczytano częstotliwość.
W celu pośredniego wyznaczenia częstotliwości ustawiono f_w = 1MHz i odczytano długość okresu T_x.

W drugiej części ćwiczenia zmieniano na generatorze częstotliwość f_g oraz czas wyzwalania T_w. Odczytywano wyświetloną wartość częstotliwości f_x (metoda bezpośrednia). Analogicznie postąpiono przy pośrednim pomiarze częstotliwości – zmieniano f_g w zakresie 1 Hz − 1MHz i częstotliwość wyzwalania oraz odczytywano czasu T_x.

1. Spis oznaczeń użytych w tabelach

C_x − nastawa czasu; ilosc sekund na dzialke pozioma oscyloskopu

X_T −  ilosc dzialek na osi X (pomiar okresu)

T_X −  okres

T_x,  δT_X −  blad bezwzgledny i wzgledny pomiaru okresu

f_X −  czestotliwosc

f_x,  δf_X −  blad bezwzgledny i wzgledny pomiaru/wyznaczenia czestotliwosci

T_w − czas wyzwalania (otwarcia bramki)

f_w −  czestotliwosc wyzwalania

T_X −  okres 

T_x,  δT_X −  blad bezwzgledny i wzgledny pomiaru okresu

N_x −  liczba impulsow o wzorcowej czestotliwosci f_w przepuszczonych przez bramke

w mierzonym odcinku czasu

1. Wyniki pomiarów i obliczeń

1. Pomiar częstotliwości sygnału sinusoidalnego o amplitudzie 1 V i f_g = 1kHz

Tabela 1 Wyniki pomiaru okresu i obliczeń częstotliwości oscyloskopem

CX	XT	TX	TX	δTX	fX	δfX	fX	fX±fX
$$\frac{\mathbf{\text{ms}}}{\mathbf{\text{dz}}}$$	dz	ms	ms	%	kHz	%	kHz	kHz
0, 2	4, 9	0, 98	0, 050	5, 1	1, 020	5, 10	0, 052	1,020±0, 052

T_X = C_X • T_X = 0, 2 • 4, 9 = 0, 98ms

T_X = 3%•T_X + 0, 1dz • C_X = 3%•0, 98 + 0, 1 • 0, 2 = 0, 0494 ms

$$\delta T_{X} = \frac{{T}_{X}}{T_{X}} = \frac{0,050}{0,98} \bullet 100\% = 5,10\%$$

$$f_{X} = \frac{1}{T_{X}} = \frac{1}{0,98} = 1,020\ kHz$$

δf_X =  δT_X = 5, 10%

f_X = δf_X • f_X = 5, 10%•1, 020 = 0, 052 kHz

Tabela 2 Wyniki pomiaru częstotliwości częstościomierzem (metoda bezpośrednia)

Tw	fw	fx	Nx	δfx	fx	fx±fx
s	Hz	kHz		%	kHz	kHz
1	1	1, 001	1001	0, 10	0, 001	1, 001 ± 0, 001

$$f_{w} = \frac{1}{T_{w}} = \frac{1}{1} = 1\ Hz$$

N_x = f_x • T_w = 1, 001 • 1000 • 1 = 1001

$$\delta f_{x} = \left( \frac{1}{N_{x}} + 2 \bullet 10^{- 8} \right) \bullet 100\% = 0,0999\%$$

f_x = δf_x • f_x = 0, 10%•1, 001 = 0, 0010001 Hz

Tabela 3 Wyniki pomiaru częstotliwości częstościomierzem (metoda pośrednia)

Tw	fw	Tx	Tx	δTx	fx	Nx	δfx	fx	fx±fx
s	Hz	ms	ms	%	kHz		%	kHz	kHz
10^−6	10^6	1, 000	0, 004	0, 40	1, 000	1000	0, 40	0, 0040	1, 0000 ± 0, 0004

$${f_{w} = \frac{1}{T_{w}} = \frac{1}{10^{6}} = 10^{- 6}\text{\ s}}{Blad\ wzgledny\ pomiaru\ \delta T_{x}\ przyjeto\ \ za\ rowny\ bledowi\ wzglednemu\ \delta f_{x}\ }$$

δT_x = δf_x = 0, 40%

T_x = δT_x • T_x = 0, 40%•1, 000 = 0, 004 ms

$$f_{x} = \frac{1}{T_{x}} = \frac{1}{1,000} = 1,000\ kHz$$

N_x = T_x • f_w = 1, 000 • 10⁻³ • 10⁶ = 1000

$$\delta f_{x} = \left( \frac{1}{N_{x}} + 2 \bullet 10^{- 8} \right) \bullet 100\% + 0,3\% = \left( \frac{1}{1000} + 2 \bullet 10^{- 8} \right) \bullet 100\% + 0,3\% = 0,40\%$$

f_x = 0, 40%•1, 000 = 0, 0040 Hz

1. Pomiar częstotliwości metodą bezpośrednią

Tabela 4 Wyniki pomiaru częstotliwości częstościomierzem (metoda bezpośrednia) dla różnych częstotliwości generatora f_g

fg	Tw	fx	Nx	δfx	fx	fx±fx
kHz	s	kHz		%	kHz	kHz
0, 001	1	0, 002	2	50%	0, 0010	0, 0020 ± 0, 0010
	10	0, 0010	10	10%	0, 00010	0, 00100 ± 0, 00010
0, 01	1	0, 010	10	10%	0, 0010	0, 0100 ± 0, 0010
	10	0, 0100	100	1, 0%	0, 00010	0, 01000 ± 0, 00010
0, 01	1	0, 100	100	1, 0%	0, 0010	0, 1000 ± 0, 0010
	10	0, 1009	1009	0, 099%	0, 00010	0, 10090 ± 0, 00010
1	1	1, 001	1001	0, 100%	0, 0010	1, 0010 ± 0, 0010
	10	1, 0011	10011	0, 010%	0, 00010	1, 00110 ± 0, 00010
10	1	10, 004	10004	0, 010%	0, 0010	10, 0040 ± 0, 0010
	10	10, 0035	100035	0, 0010%	0, 00010	10, 00350 ± 0, 00010
100	1	100, 002	100002	0, 0010%	0, 0010	100, 0020 ± 0, 0010
	10	100, 0016	1000016	0, 00010%	0, 00010	100, 0160 ± 0, 00010
1000	1	1000, 871	1000871	0, 00010%	0, 0010	1000, 8710 ± 0, 0010
	10	1000, 9050	10009050	0, 000012%	0, 00012	1000, 90500 ± 0, 00012

$$f_{w} = \frac{1}{T_{w}} = \frac{1}{1} = 1\ Hz$$

N_x = f_x • T_w = 0, 002 • 1000 • 1 = 2

$$\delta f_{x} = \left( \frac{1}{N_{x}} + 2 \bullet 10^{- 8} \right) \bullet 100\% = 50\%$$

f_x = δf_x • f_x = 50%•0, 002 = 0, 0010 Hz

1. Pomiar częstotliwości metodą pośrednią

Tabela 5 Wyniki pomiaru częstotliwości częstościomierzem (metoda bezpośrednia) dla różnych częstotliwości generatora f_g

fg	fw	Tx	Nx	δTx	Tx	fx	δfx	fx	fx ± fx
kHz	MHz	ms		%	ms	kHz	%	kHz	kHz
0, 001	1	991, 055	991055	0, 30	2, 97	0, 0010	0, 30	3, 0 • 10^−6	1000 • 10^−6 ± 3, 0 • 10^−6
	10	989, 5836	9895836	0, 30	2, 97	0, 0010	0, 30	3, 0 • 10^−6	1000 • 10^−6 ± 3, 0 • 10^−6
0, 01	1	100, 004	100004	0, 30	0, 30	0, 01	0, 30	3, 0 • 10^−5	1000 • 10^−5 ± 3, 0 • 10^−5
	10	100, 0034	1000034	0, 30	0, 30	0, 01	0, 30	3, 0 • 10^−5	1000 • 10^−5 ± 3, 0 • 10^−5
0, 1	1	9, 996	9996	0, 31	0, 031	0, 10	0, 31	3, 1 • 10^−4	1000 • 10^−4 ± 3, 1 • 10^−4
	10	9, 9993	99993	0, 30	0, 030	0, 10	0, 30	3, 0 • 10^−4	1000 • 10^−4 ± 3, 0 • 10^−4
1	1	1, 000	1000	0, 40	0, 0040	1, 0	0, 40	4, 0 • 10^−3	1, 0000 ± 0, 0040
	10	0, 9996	9996	0, 31	0, 0031	1, 0	0, 31	3, 1 • 10^−3	1, 0000 ± 0, 0031
10	1	0, 100	100	1, 30	0, 0013	10, 0	1, 30	0, 13	10, 00 ± 0, 13
	10	0, 1001	1001	0, 40	0, 00040	10, 0	0, 40	4, 0 • 10^−3	10, 0000 ± 0, 0040
100	1	0, 010	10	10, 3	0, 0010	100	10, 3	10	100 ± 10
	10	0, 0101	101	1, 3	0, 00013	99	1, 3	1, 3	99, 0 ± 1, 3
1000	1	0, 001	1	100	0, 0010	1000	100	1000	1000 ± 1000
	10	0, 0011	11	9, 4	0, 00010	909	9, 4	85, 4	909, 0 ± 85, 4

N_x = T_x • f_w = 991, 055 • 10⁻³ • 1 • 10⁶ = 991055

$$f_{x} = \frac{1}{T_{x}} = \frac{1}{991,055} = 0,0010\ kHz$$

$$\delta f_{x} = \left( \frac{1}{N_{x}} + 2 \bullet 10^{- 8} \right) \bullet 100\% + 0,3\% = \left( \frac{1}{1,009 \bullet 10^{- 6}} + 2 \bullet 10^{- 8} \right) \bullet 100\% + 0,3\% = 0,30\%$$

f_x = δf_x • f_x = 0, 30%•0, 0010 = 3, 0 • 10⁻⁶ kHz

Blad wzgledny pomiaru δT_x przyjeto  za rowny bledowi wzglednemu δf_x 

δT_x = δf_x = 0, 30%

T_x = δT_x • T_x = 0, 30%•991, 055 = 2, 9732 ms

1. Analiza wyników

Tabela 6 Zestawienie wyników pomiaru częstotliwości różnymi metodami

Metoda	fX	δfX	fX	fX±fX
	kHz	%	kHz	kHz
oscyloskop	1, 020	5, 10	0, 052	1, 020 ± 0, 052
czestosciomierz (bezposrednio)	1, 001	0, 10	0, 0010	1, 0010 ± 0, 0010
czestosciomierz (posrednio)	1, 000	0, 40	0, 0040	1, 0000 ± 0, 0040

Wykres 1 Porównanie błędów pomiaru (wyznaczenia) częstotliwości
1 – oscyloskop
2 – częstościomierzem (bezpośrednio)
3 – częstościomierzem (pośrednio)

Analizując błędy zebrane w powyższej tabeli można stwierdzić, że najlepszą metodą (obarczoną najmniejszym błędem) jest bezpośredni pomiar częstościomierzem.

z lewej T_w=1s, z prawej T_w=10s)

z lewej T_w=1s, z prawej T_w=10s

Dla danych z tabel 4 i 5 i wykresów 2 i 3 można stwierdzić, że błąd względny wyznaczenia/pomiaru częstotliwości zależy od liczby impulsów przepuszczonych przez bramkę N_x - im więcej impulsów, tym wynik dokładniejszy.

Dokonując pomiarów przy dwóch czasach wyzwalania, T_w = 1s i T_w = 10s , wynik będzie dokładniejszy dla tego dłuższego.
Można to stwierdzić korzystając ze wzorów:

$\delta f_{x} = \left( \frac{1}{N_{x}} + 2 \bullet 10^{- 8} \right) \bullet 100\% + 0,3\%,\ $ N_x = T_x • f_w

dla częstotliwości mierzonej pośrednio oraz

$$\delta f_{x} = \left( \frac{1}{N_{x}} + 2 \bullet 10^{- 8} \right) \bullet 100\%\ ,\ \ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ N}_{x} = f_{x} \bullet T_{w}$$

dla częstotliwości mierzonej bezpośrednio.

Na podstawie powyższych wzorów można wnioskować, że największy wpływ na błąd względny ma błąd dyskretyzacji $\left| \frac{1}{N_{x}} \right|$.

1. Wnioski

Wszystkie wyniki pomiarów są bardzo zbliżone do częstotliwości generatora f_g.

Spośród 3 metod, którymi była wyznaczana częstotliwość, najdokładniejszą jest pomiar metodą bezpośrednią, a najmniej dokładnym pomiar oscyloskopem. Błąd względny pomiaru częstotliwości zależy w głównej mierze od ilości impulsów N_x, które przepuszcza bramka w czasie wyzwalania T_w. Składowa ta nosi nazwę błędu dyskretyzacji i jest tym mniejsza, im większe jest T_w. Pozostałe błędy, którymi obarczony jest pomiar częstościomierzem to błąd wzorca i błąd bramkowania (przy pomiarze pośrednim) oraz systematyczny błąd niesymetrii.