Przejście w formę dyskretną

u(t) Y(t)

Ts u(k) Ts y(k)

Równanie różnicowe układu ciągłego:

a_n$\frac{d^{n}y(t)}{\text{dt}^{n}} + \ a_{n - 1}\frac{d^{n - 1}y(t)}{\text{dt}^{n - 1}} + \ \ldots + \ a_{1}\frac{dy(t)}{\text{dt}} + a_{0}y\left( t \right) = \ b_{m}\frac{d^{m}u(t)}{\text{dt}^{m}} + \ b_{m - 1}\frac{d^{m - 1}u(t)}{\text{dt}^{m - 1}} + \ \ldots + \ b_{1}\frac{\text{du}(t)}{\text{dt}}$

1) $\sum_{i = 0}^{n}{a_{i}\frac{d^{i}y(t)}{\text{dt}^{i}} = \ }\sum_{j = 0}^{m}{b_{j}\frac{d^{j}y(t)}{\text{dt}^{j}}\ }$ +b₀u(t)

Równanie R układu dyskretnego

a_n∆yⁿ(k) + a_n-1∆y^n-1(k) + … + a₁∆y(k)+ a₀∆y(k) = b_m∆u^m(k)+ b_m-1∆u^m-1(k)+ … + b₁∆u(k)+ b₀∆u(k)

Gdzie:

2) $\sum_{i = 0}^{n}{a_{i}y^{i}\left( k \right) = \ }\sum_{j = 0}^{m}{b_{j}u^{i}\left( k \right)\ }$

a_n ≠ 0,  b_m ≠ 0,  n ≥ m,       yⁱ(k),  uⁱ(k) −    roznice i − tego rzedu sygnalow w chwilach czasu t = KTs

f(k) =  ⁱf(k+1)−^i − 1f(k)

f(k) =  f(k+1) −  f(k)

²f(k) =  f(k+1) −  f(k) =  f(k+2) −  f(k+1) −  f(k+1) + f(k) = f(k+2) − 2f(k+1) + f(k)

³f(k) =  ²f(k+1) −  ²f(k) =  f(k+2) −  f(k+1) −  f(k+1) + f(k) = f(k+3) − 2f(k+2) + f(k+1) − f(k+2) + 2f(k+1) − f(k) = f(k+3) − 3f(k+2) + 3f(k+1) − f(k)

Uwzględniając wzory na różnicę kolejnych rzędów równania różnicowego (2

Można przedstawić w postaci rekurencyjnej

3) $\sum_{i = 0}^{n}{a_{i}y^{}\left( k + n \right) = \ }\sum_{j = 0}^{m}{b_{j}u^{}\left( k + m \right)\ }$

Aby rozwiązać R. Różnicowe trzeba znać n różnie y(0), ∆y(0), ∆² (y(0)), …, ∆^n-1y(0)

Lub znajomość kolejnych wartości funkcji dyskretnej (3) y(0), y(1), y(2), …, Y(n-1)

Znając warunki początkowe oraz znając wymuszenie

u(k), u(k+1), u(k+2), …, u(k+m) oraz n kolejnych wartości początkowych

y(k), y(k+1), y(k+2), …, y(k+n-1)

można wyznaczyć rozwiązanie w chwili następnej y(k+n)

Każde równanie R. opisujące układ dynamiczny ciągły można przekształcić w równanie różnicowe opisujące moduł dyskretny takiego układu. Zastępując różniczki różnicami otrzymujemy

$$\frac{dy(t)}{\text{dt}}\ \ \ \ = \operatorname{}{\frac{y\left( t + t \right) - y(t)}{t}\ \ \ \ \ \ \approx \frac{y\left( k + 1 \right) - y(k)}{\text{Ts}}}$$

Ogólnie dla pochodnej n-tego rzędu można zapisać

$\frac{d^{n}y(t)}{\text{dt}^{n}}\ \ \ \ t =$_Kts $\approx \frac{^{n}y(k)}{\text{Ts}^{n}}$