Data pomiarów:	Temat: Wyznaczanie stosunku Cp/CV dla powietrza metodą Clemanta-Desormesa	Nr ćwiczenia: 6
Kierunek i gr. laboratoryjna: I INFORMATYKA – grupa L14	Imię i nazwisko: Michał Juszczak

1. WSTĘP TEORETYCZNY

Stan ciała lotnego posiadającego sprężystość objętości określamy podając następujące parametry: objętość V, temperaturę T, masę m oraz ciśnienie p. W przypadku gdy masa gazu jest niezmienna, to zmiana jednego parametru powoduje zmianę przynajmniej jednego z pozostałych parametrów. Owe cechy (parametry) gazu są w ścisły sposób ze sobą powiązane, co podaje równanie gazu doskonałego:

$$\frac{\mathbf{p*V}}{\mathbf{T}}\mathbf{= const}$$

Z powyższego twierdzenia wynikają prawa przemian: izotermicznej (przy stałej temperaturze), izobarycznej (przy stałym ciśnieniu) oraz izochorycznej (przy stałej objętości).

Wzór na pracę gazu wynika z doświadczenia z naczyniem posiadającym tłok o polu powierzchni równym S. Jeśli znajdujący się w naczyniu gaz zwiększy swą objętość, tłok wzniesie się o odcinek Δx, a praca wykonana przez gaz będzie równa ilorazowi siły F, przeciw której działa praca gazu i Δx. Po przekształceniach wynikających z równania F = pS otrzymujemy równanie pracy gazu:

W = pV

Ciepło molowe – jest to ilość potrzebnego ciepła do ogrzania 1 mola o 1 ^oK. Wyróżniamy:

- C_p – ciepło molowe w czasie izobarycznego ogrzewania gazu,

- C_V – ciepło molowe w czasie izochorycznego ogrzewania gazu.

Różnica podanych powyżej wartości wynika z I zasady termodynamiki:

Q = U + W

Gdzie: ΔQ – ciepło pobrane przez gaz, ΔU – zmiana energii wewnętrznej gazu, ΔW – praca wykonana przez gaz.

W przypadku ogrzewania izochorycznego, gaz nie wykonuje pracy, a w przypadku ogrzewania izobarycznego, gaz wykonuje pracę, lecz aby ogrzać tą samą porcję gazu o 1 ^oK, musimy dostarczyć większej ilości ciepła. Stąd wynika zależność:

C_p>C_V

Opis ćwiczenia:

Do pomiaru w doświadczeniu używamy urządzenia składającego się z balonu szklanego. Zestaw posiada manometr M pozwalający mierzyć różnicę ciśnienia atmosferycznego i ciśnienia gazu zamkniętego balonie. Druga rurka szklana wprowadzona do balonu podłączona jest z kurkiem Z który umożliwia połączenie z gumową pompką P lub z powietrzem atmosferycznym A.

Gdy po napompowaniu powietrza z gumowej pompki do balonu ciśnienie atmosferyczne w balonie było wyższe od ciśnienia atmosferycznego odczytujemy wartość dla tego ciśnienia h₁ w [cm] następnie otwieramy zawór. Gaz zaczyna się rozprężać i osiąga wartość ciśnienia równą ciśnieniu atmosferycznemu oraz jego temperatura obniża się. Podczas gdy znów zamykamy zawór, gaz w balonie ogrzewa się w sposób izochoryczny (ze stałą objętością) a ciśnienie wzrasta o h₂ na miarce manometru, więc odczytujemy tą wartość w [cm].

1. OBLICZENIA

1. Różnica między poziomami h₁ oraz h₂ obliczamy odejmując h₁ od h₂, i tak dla kolejnych pomiarów:

1. h₁−h₂=15, 1 − 3, 2 = 11, 9 [cm]

2. h₁ − h₂ = 12, 7 [cm]

3. h₁ − h₂ = 12, 0 [cm]

4. h₁ − h₂ = 12, 2 [cm]

5. h₁ − h₂ = 12, 0 [cm]

6. h₁ − h₂ = 11, 9 [cm]

7. h₁ − h₂ = 12, 5 [cm]

8. h₁ − h₂ = 12, 2 [cm]

9. h₁ − h₂ = 11, 9 [cm]

10. h₁ − h₂ = 12, 5 [cm]

1. Niepewności pomiaru h₁ oraz h₂ zostały oszacowane w następujący sposób:

d(h_1, 2) = 0, 1 [cm]

e(h_1, 2) = 0, 2 [cm]

Niepewność standardowa pomiarów h₁ oraz h₂:

$$u\left( h_{1,2} \right) = \sqrt{\frac{{d\left( h_{1,2} \right)}^{2} + {e\left( h_{1,2} \right)}^{2}}{3}} = \sqrt{\frac{{0,1}^{2} + {0,2}^{2}}{3}} \approx 0,17\ \lbrack cm\rbrack$$

1. Wartość współczynnika χ dla każdej pary pomiarów h₁ oraz h₂ wyznaczamy stosując wzór:

$$\mathbf{\chi =}\frac{\mathbf{h}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{h}_{\mathbf{1}}\mathbf{-}\mathbf{h}_{\mathbf{2}}}$$

Wartości współczynnika χ zamieściłem w poniższej tabeli, w której również zamieściłem średnią wartość współczynnika χ oraz dane potrzebne do obliczenia niepewności dla średniej wartości χ.

Wartość średnia współczynnika χ wynosi:

$$\mathbf{\chi}_{\mathbf{sr}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{12,4872}}{\mathbf{10}}\mathbf{= 1,24872}$$

Lp.	Χi	Χi – Xsr	(Χi – Xsr)^2
1	1,2689	0,02018	0,000407
2	1,2598	0,01108	0,000123
3	1,2500	0,00128	0,00000164
4	1,2377	-0,01102	0,000121
5	1,2417	-0,00702	0,0000493
6	1,2437	-0,00502	0,0000252
7	1,2400	-0,00872	0,000076
8	1,1377	-0,01102	0,000121
9	1,2437	-0,00502	0,0000252
10	1,2640	0,01528	0,000233
Suma	12,4872		0,001184

1. Niepewność dla średniej wartości współczynnika χ obliczamy stosując niepewność rozszerzoną, lecz najpierw musimy obliczyć niepewność metodą typu A oraz zaokrąglamy ją do trzeciego miejsca znaczącego:

$$u\left( \chi_{sr} \right) = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}{(\chi_{i} - \chi_{sr})^{2}}}{n(n - 1)}} = \sqrt{\frac{0,001184}{9*10}} = 0,00363$$

Korzystając z wyliczonej wyżej niepewności metodą typu A obliczamy niepewność rozszerzoną:

U(y)=k*U_c(y)

Dla k = 2:

U(χ_sr)=2 * 0, 00363 = 0, 00726

Wynik również jest podany do trzeciego miejsca znaczącego, więc współczynnik χ dla powietrza wynosi:

χ = (1, 24872 ± 0, 00726)

1. WNIOSKI

Porównując otrzymaną wartość współczynnika χ, wynoszącą 1,24872, z wartością tablicową, wynoszącą 1,403, od razu zauważamy znaczące rozbieżności pomiędzy wartością otrzymaną w doświadczeniu, a wartością współczynnika według tablic. Rozbieżność ta spowodowana jest m.in. warunkami w jakich dokonywano pomiarów – tj. wartość współczynnika według tablic wynosi 1,403 przy ciśnieniu wynoszącym 760 mm Hg w temperaturze 15^oC, a wartość w doświadczeniu, uzyskano przy ciśnieniu 759 mm Hg w temperaturze 22^oC.

Kolejnym czynnikiem jaki miał wpływ na rozbieżność między wartością uzyskaną w ćwiczeniu a tablicową, jest niepewność eksperymentatora oraz skali manometru (Δd = 1 mm, Δe = 2 mm), a także błędy przy odczytywaniu danych z manometru oraz błędy w zachowaniu odpowiedniego odstępu czasowego pomiędzy pomiarami.

Różnica wartości C_p i C_v jest jednakowa dla wszystkich gazów:

Cp−Cv = R = const

I wynosi:

$$\mathbf{R\ = \ 8,314\ }\left\lbrack \frac{\mathbf{J}}{\mathbf{mol*K}} \right\rbrack$$

Ostatecznie więc:

c_p=c_v+R

Molowe ciepła właściwe różnych rodzajów gazów doskonałych (teoretyczne) są zestawione w tabeli poniżej.

Typ gazu	cv	cp	cv/cp
Jednoatomowy Dwuatomowy + rotacja Dwuatomowy + rotacja + drgania Wieloatomowy + rotacja (bez drgań)	(3/2)R (5/2)R (7/2)R (6/2)R	(5/2)R (7/2)R (9/2)R (8/2)R	5/3 7/5 9/7 4/3

Wartość R pomnożono przez wartości dla poszczególnych typów gazu c_p i c_v. Wyniki przedstawiono w tabeli:

Typ gazu	cv	cp	cv/cp
Jednoatomowy Dwuatomowy + rotacja Dwuatomowy + rotacja + drgania Wieloatomowy + rotacja (bez drgań)	12,4 20,7 29,0 24,9	20,7 29,0 37,4 33,2	0,6 0,7 0,7 0,7