Grupa nr 3: Data: 19.04.2010r., godz. 15:15,

Aleksandra Maliszewska poniedziałek, TP.

Przemysław Kochański

Rafał Skocelas

SPRAWOZDANIE

Temat: Statystyczna ocena wyników pomiarów.

1. Cel ćwiczenia.

Pomiar boków a, b, c oraz wysokości h_a, h_b, h_c trójkąta numer 6.

1. Opis ćwiczenia.

1. Użyte przyrządy

• suwmiarka elektroniczna (rozdzielczość: 0,01mm, błąd graniczny: ±0,03mm);

• trójkąt nr 6;

1. użyte wzory

• wartość średniej arytmetycznej x obliczamy ze wzoru:

• wartość odchylenia standardowego s obliczamy ze wzoru:

’

gdzie x- wartość średniej arytmetycznej danej serii pomiarów, n- ilość pomiarów;

• Pole trójkąta wyliczamy ze wzoru:

$$P = \frac{1}{2}ah$$

lub ze wzoru Herona:

$P = \sqrt[2]{p\left( p - a \right)\left( p - b \right)(p - c)}$,

Gdzie p- połowa obwodu tego trójkąta, a, b, c- kolejne boki trójkąta.

• Wzór do obliczenia błędu przypadkowego przy rozkładzie t-Studenta:

1. Wyniki pomiarów.

Tabela 1. Wartości boków i odpowiednich wysokości dla trójkata nr 6.

Nr studenta	a	b	c	ha	hb	hc
	[mm]	[mm]	[mm]	[mm]	[mm]	[mm]
1.	94,04	83,37	74,35	63,28	71,37	79,97
2.	93,93	83,38	74,34	63,29	71,70	80,03
3.	94,06	83,39	74,36	63,30	71,36	79,97
4.	94,02	83,38	74,36	63,30	71,39	80,00
5.	93,95	83,40	74,29	63,25	71,39	79,92
6.	94,03	83,39	74,32	63,24	71,53	79,94
7.	93,99	83,34	74,29	63,24	71,38	79,94
8.	93,29	82,63	73,59	63,42	71,55	79,95
9.	93,93	83,16	74,25	63,14	71,39	79,85
10.	93,82	83,20	74,35	63,39	71,36	79,82
11.	94,06	83,40	74,35	63,21	71,39	79,97
12.	93,98	83,38	74,38	63,23	71,40	80,01
13.	94,04	83,37	74,33	63,28	71,40	79,97
14.	93,96	83,39	74,29	63,21	71,38	79,68
16.	94,03	83,36	74,33	63,18	71,74	79,86
17.	93,85	83,15	74,25	63,28	71,42	79,68
18.	94,01	83,40	73,95	63,31	71,47	79,67
19.	94,07	83,39	74,37	63,27	71,68	79,98
xśr	93,95	83,30	74,26	63,27	71,46	79,90
s	0,178542	0,187435	0,19376	0,067262	0,125271	0,116643
3s	0,535625	0,562306	0,581279	0,201786	0,375813	0,349929
xŚR-3s	93,41	82,74	73,68	63,07	71,09	79,55
xŚR+3s	94,48	83,87	74,85	63,47	71,84	80,25

• x_śr- średnia arytmetyczna

• s- odchylenie standardowe

• 3s- trzykrotna wartość odchylenia standardowego

Tabela 2. Wartości boków i odpowiednich wysokości trójkąta nr 6 po odrzuceniu pomiaru obarczonego błędem grubym.

Nr studenta	a	b	c	ha	hb	hc
	[mm]	[mm]	[mm]	[mm]	[mm]	[mm]
1.	94,04	83,37	74,35	63,28	71,37	79,97
2.	93,93	83,38	74,34	63,29	71,70	80,03
3.	94,06	83,39	74,36	63,30	71,36	79,97
4.	94,02	83,38	74,36	63,30	71,39	80,00
5.	93,95	83,40	74,29	63,25	71,39	79,92
6.	94,03	83,39	74,32	63,24	71,53	79,94
7.	93,99	83,34	74,29	63,24	71,38	79,94
9.	93,93	83,16	74,25	63,14	71,39	79,85
10.	93,82	83,20	74,35	63,39	71,36	79,82
11.	94,06	83,40	74,35	63,21	71,39	79,97
12.	93,98	83,38	74,38	63,23	71,40	80,01
13.	94,04	83,37	74,33	63,28	71,40	79,97
14.	93,96	83,39	74,29	63,21	71,38	79,68
16.	94,03	83,36	74,33	63,18	71,74	79,86
17.	93,85	83,15	74,25	63,28	71,42	79,68
18.	94,01	83,40	73,95	63,31	71,47	79,67
19.	94,07	83,39	74,37	63,27	71,68	79,98
x’ śr	93,99	83,34	74,30	63,26	71,46	79,90
s’	0,07	0,09	0,10	0,06	0,13	0,12
3s’	0,22	0,26	0,30	0,17	0,38	0,36
x’-3s’	93,77	83,09	74,01	63,09	71,07	79,54
x’+3s’	94,20	83,60	74,60	63,43	71,84	80,26

• x_śr- średnia arytmetyczna

• s- odchylenie standardowe

• 3s- trzykrotna wartość odchylenia standardowego

Tabela 3. Pomiar pośredni pól trójkąta nr 6.

Nr studenta	Pa	Pb	Pc	Ph
	[mm^2]	[mm^2]	[mm^2]	[mm^2]
1.	2975,43	2975,06	2972,88	2963,06
2.	2972,41	2989,17	2974,72	2961,41
3.	2977,00	2975,36	2973,28	2964,19
4.	2975,73	2976,25	2974,40	2963,35
5.	2971,17	2976,96	2968,63	2960,61
6.	2973,23	2982,44	2970,57	2962,47
7.	2971,96	2974,40	2969,37	2959,63
8.	2958,23	2956,09	2941,76	2908,70
9.	2965,37	2968,40	2964,43	2952,78
10.	2973,62	2968,58	2967,31	2955,45
11.	2972,77	2976,96	2972,88	2964,13
12.	2971,18	2976,67	2975,57	2963,42
13.	2975,43	2976,31	2972,09	2962,42
14.	2969,61	2976,19	2959,71	2960,49
16.	2970,41	2990,12	2968,00	2962,01
17.	2969,41	2969,29	2958,12	2951,37
18.	2975,89	2980,30	2945,80	2950,50
19.	2975,90	2988,70	2974,06	2964,66
xŚR	2971,93	2976,51	2966,87	2957,26
s	4,52	8,23	9,76	12,93
3s	13,56	24,68	29,27708	38,78
x’	2972,74	2977,71	2968,34	2960,11
s’	3,05	6,65	7,71	4,64
3s’	9,15	19,96	23,14	13,93

• Pa- pole trójkąta o boku a i wysokości h_A

• Pb -pole trójkąta o boku b i wysokości h_B

• Pc- pole trójkąta o boku c i wysokości h_C

• Ph- pole trójkąta liczone ze wzoru Herona.

• x_śr- średnia arytmetyczna

• s- odchylenie standardowe

• 3s- trzykrotna wartość odchylenia standardowego

1. Analiza wyników pomiarów.

1. Wynik pomiaru, który różni się od średniej o co najmniej trzy wielokrotności odchylenia standardowego jest obarczony błędem grubym, w tabeli oznaczony kolorem czerwonym. Po odrzuceniu pomiaru obarczonego błędem grubym, stworzono nową tabelę nr 2. Obliczono nowe wartości średniej i odchylenia standardowego x’ i s’.

2. Zestawienie odchyleń standardowych dla boków a, b, c i wysokości h_A, h_B, h_C.

	s	s/x
	[mm]	[%]
a	0,07	0,07
b	0,09	0,11
c	0,1	0,13
hA	0,06	0,09
hB	0,13	0,18
hC	0,12	0,15

s – wartość odchylenia standardowego dla danej wielkości;

s/x – stosunek odchylenia standardowego dla wartości średniej danej wielkości wyrażony w procentach;

Z zestawienia widać, że wartość bezwzględna odchylenia standardowego jest większa dla grupy wysokości h_A, h_B, h_C. Także stosunek wartości odchylenia standardowego do wartości średniej arytmetycznej jest większy dla grupy wysokości trójkąta. Z większą dokładnością zostały zmierzone boki trójkąta. Wynika to ze specyfiki posługiwania się suwmiarką. Trudniej było ustawić suwmiarkę tak, by mierzona wysokość, była tą prostopadłą do boku. Z mierzeniem boków nie było tyle problemów, należało je ustawić równolegle do skali suwmiarki, co nie sprawiało aż tyle problemów.

1. Wartość błędu przypadkowego

Aby obliczyć niepewność pomiaru wynikającą z błędów przypadkowych pomiarów boków i wysokości należy skorzystać z rozkładu t-Studenta. Przyjmuję P=0.997.

Liczba poprawnych pomiarów (eliminacja pomiarów obarczonych błędem grubym)	Współczynnik t
18	3,40
17	3,43
16	3,46

Wartości błędu przypadkowego dla odpowiednich wielkości:

Δa= 0,058233 mm Δb= 0,074871 mm Δc= 0,08319 mm Δha= 0,049914 mm Δhb= 0,108147 mm Δhc= 0,099828 mm ΔPa= 2,537286 mm^2 ΔPb= 5,532116 mm^2 ΔPc= 6,413927 mm^2 ΔPh= 3,860003 mm^2

Czyli po uwzględnieniu wartości błędu przypadkowego oraz błędu granicznego suwmiarki (0,03 mm) ostateczne wyniki pomiarów wynoszą odpowiednio:

a = (93,99 ± 0,09)mm

b = (83,34 ± 0,1)mm

c = (74,30 ± 0,11)mm

ha = (63,26 ± 0,08)mm

hb = (71,46 ± 0,14)mm

hc = (79,90 ± 0,13)mm

Pa = (2972,74 ± 2,57)mm²

Pb = (2977,71 ± 5,56)mm²

Pc = (2968,34 ± 6,44)mm²

Ph = (2960,11 ± 3,89)mm²

1. Analiza wyników pomiarów pola powierzchni trójkąta za pomocą różnych wzorów:

Analizując zestawienie z ppkt. a i powyższe wyniki obliczeń pól powierzchni trójkąta możemy wnioskować, że najdokładniejszym pomiarem jest pomiar a. Bok i wysokość były zmierzone najdokładniej. Pomiary każdego innego boku są obarczone większym błędem przypadkowym, ich odchylenie standardowe też było większe, stąd wynik pomiaru pola obliczonego za pomocą wzoru herona znacznie różni się od pozostałych.

Pola obliczone za pomocą standardowego wzoru nie są ze sobą sprzeczne i wynik mieści się w przedziale <2970,17; 2974,78>.

1. Wnioski.

Każdy pomiar obarczony jest błędem, często o nieznanej przyczynie i wartości. Nie da się wyeliminować błędów. Ostateczne wyniki pomiarów są przedziałami wartości, w których znajduję się wartość wielkości mierzonej i można je otrzymać korzystając ze statystycznej analizy wyników pomiarów.

Pomiary często obarczone są błędami grubymi, które są skutkami nieumiejętnej obsługi przyrządów mierzących przez człowieka.

Błędy systematyczne są związane z metodą pomiarową, jaką wybieramy.

Nie zachodzi prawo propagacji.

(δpPa )²= (δpa)²+ (δpha)² ta równość nie jest spełniona.