Laboratorium Podstaw Fizyki

Nr ćwiczenia 57c

Temat ćwiczenia : BADANIE EFEKTU HALLA

Nazwisko i Imię prowadzącego kurs: Dr hab. inż. Grzegorz Sęk

Imię i Nazwisko nr indeksu	Martyna Furmanek 193704
Termin zajęć: dzień tygodnia, godzina	Poniedziałek 17.05-18.45
Data odbycia ćwiczeń	26.03.2012

I. Zestaw przyrządów:

1. Hallotron umieszczony w polu magnetycznym wytworzonym przez magnesy trwałe. Magnesy zamocowane są tak by możliwy był pomiar zmian orientacji pola magnetycznego względem płaszczyzny hallotronu.

2. Zasilacz hallotronu.

3. Miliamperomierz do pomiaru natężenia prądu sterującego.

4. Woltomierz do pomiaru napięcia Halla.

II. Cel ćwiczenia:

1. Wyznaczenie charakterystyk hallotronu.

2. Wyznaczenie czułości hallotronu.

3. Wyznaczenie koncentracji elektronów swobodnych.

4. Wyznaczenie czułości kątowej układu.

III.Wstęp

Efekt Halla to zjawisko fizyczne, odkryte w 1879 roku przez Edwina H. Halla. Jeżeli płytkę z metalu lub półprzewodnika włączymy w obwód prądu stałego i umieścimy ją w polu magnetycznym o wektorze indukcji prostopadłym do powierzchni płytki i do kierunku płynącego przez nią prądu, to pomiędzy punktami A i B wytworzy się różnica potencjałów, zwana napięciem Halla.

Jeśli wzdłuż płytki płynie prąd o natężeniu I_s (nadając nośnikom prądu prędkość unoszenia v), zaś prostopadle do powierzchni przewodnika skierowane jest pole magnetyczne o indukcji , zakładając, że nośnikami są elektrony swobodne(dla metali i półprzewodników typu n), to na nośniki prądu o ładunkue działa siła Lorentza:

$$\mathbf{F}_{\mathbf{L}}\mathbf{= - e(}\overrightarrow{\mathbf{v}}\mathbf{\times}\overrightarrow{\mathbf{B}}\mathbf{)}$$

W skutek działania siły Lorentza tor ruchu elektronów zostanie zakrzywiony, co spowoduje gromadzenie się elektronów na jednej krawędzi płytki, a na drugiej jej krawędzi-niedobór elektronów. Powoduje to wytwarzanie się poprzecznego, w przybliżeniu jednorodnego pola elektrycznego o natężeniu E. Pole to działa na elektrony siłą:

F_E= − eE

Dla warunku równowagi możemy zapisać:

F_L=F_E

Wówczas:

(a) U_H=γI_sB , gdzie: (b) $\mathbf{\gamma}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{\text{end}}}$ jest czułością hallotronu

n- koncentracja nośników

d-grubość płytki

Indukcję wyliczyć można ze wzoru: (1) Bn = Bo sin (α – α₀ )

Niepewność napięcia mierzonego woltomierzem należy liczyć ze wzoru:

(2) Uh = 0, 05%*Uh + 0, 01%*skala[V]

Niepewność natężenia prądu mierzonego amperomierzem należy liczyć ze wzoru:

(3)$\mathbf{Is =}\frac{\mathbf{klasa*zakres}}{\mathbf{100}}$[mA]

Układ pomiarowy składał się z hallotronu wyposażonego w magnesy, podłączonego do mierników oraz zasilacza. Pomiary dotyczyły zmian napięcia Halla w stosunku do składowej prostopadłej wektora indukcji magnetycznej do wektora prędkości elektronów.

Schemat układu pomiarowego:

IV. przebieg obliczeń

Przyjmując, że

Skala woltomierza: 1[v]

Klasa amperomierza: 0,5

Zakres amperomierza : 15[mA]

Is=10 mA

d = 2 μm ,$\frac{d}{d} = 5\%$

ładunek elementarny e = 1,6 x 10 –19 C

Bo = ( 0,500 ± 0,05 ) T

∆α=1° =-0,9589

Do obliczeń należy zmienić stopnie kątowe na radiany

Wykresy załączone są na końcu.

Odczytany kąt dla którego Uh=0, to: α₀=90°

Indukcję B_n wyliczono ze wzoru (1), dla α=40° :

Bn = 0,500* sin (0,6981-1,5708 )=-0,383 T

Niepewność indukcji wyliczono metodą różniczki logarytmicznej:

lnBn = ln(Bo * sin(α−αo))

$$Bn = \left( \mid\frac{Bo}{\text{Bo}}\mid + \mid\frac{\alpha}{\sin\left( \alpha - \alpha o \right)} \mid \right)* \mid Bn \mid$$

A w miejscach, gdzie się nie dało (sin(α-αo)=0) z metody różniczki całkowitej

Niepewność napięcia halla wyliczono ze wzoru(2), np. dla α=100°

Uh = 0, 05%*0, 0338 + 0, 01%=0, 0001

Niepewność natężenia prądu wyliczono ze wzoru(3):

$$Is = \frac{0,5*15}{100} = 0,075\lbrack mA\rbrack$$

Korzystając z regresji liniowej obliczono wartości współczynników kierunkowych prostej opisujących zależności U_h(B) gdy I_s=const. Stąd:

f(x) = ax + b

A=0,564$\lbrack\frac{V}{T}\rbrack$ B=0,012[V] ∆a=0,028$\lbrack\frac{V}{T}\rbrack$ ∆b=0,016[V]

Czułość hallotronu obliczono z przekształconego wzoru(a):

$$\gamma = \frac{U_{H}}{I_{s} \times B} = \frac{a}{I_{s}} = \frac{0,564}{0,010} = 56,4\lbrack\frac{V}{A \times T}\rbrack$$

Niepewność bezwzględną czułości otrzymujemy z różniczki logarytmicznej

$$\frac{\gamma}{\gamma} = \left( \frac{a}{a} \right) + \left( \frac{I_{s}}{I_{s}} \right) = 0,06 = 6\%$$

Niepewność bezwzględną obliczamy:

∆γ=0,06*γ=0,06*56,4=5$\lbrack\frac{V}{A \times T}\rbrack$

Koncentrację elektronów obliczono z przekształconego wzoru(b):

$$n = \frac{1}{e \times \gamma \times d} = \frac{1}{1,6 \times 10^{- 19} \times 56,4 \times 2 \times 10^{- 6}} = 5,4 \times 10^{22}\lbrack\frac{1}{m^{3}}\rbrack$$

Niepewność bezwzględną koncentracji elektronów otrzymano z różniczki logarytmicznej:

$$\frac{n}{n} = \left( \frac{\gamma}{\gamma} + \frac{d}{d} \right) = 9\%$$

Niepewność względną koncentracji obliczono:

∆n=0,09*n=4,9*10²¹ $\lbrack\frac{1}{m^{3}}\rbrack\backslash n$

W ćwiczeniu otrzymano wyniki:

Czułość hallotronu: γ=56±5$\mathbf{\lbrack}\frac{\mathbf{V}}{\mathbf{A \times T}}\mathbf{\rbrack}$

Koncentracja elektronów n=5,4*10²²±0,5*10²² $\mathbf{\lbrack}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{m}^{\mathbf{3}}}\mathbf{\rbrack}$

Wszystkie wyniki przedstawiono w tabeli. Dla Is=10±0,075[mA]

α	∆α	Uh	∆Uh	Bn	∆Bn	γ	∆γ	∆γ/γ	n	∆n	∆n/n
[°]	[°]	[V]	[V]	[T]	[T]	$$\lbrack\frac{V}{A \times T}\rbrack$$	$$\lbrack\frac{V}{A \times T}\rbrack$$	[%]	$$\lbrack\frac{1}{m^{3}}\rbrack$$	$$\lbrack\frac{1}{m^{3}}\rbrack$$	[%]
0	1	-0,1937	0,0000	-0,447	0,29	56,4	5	6	5,4*10^22	5*10^21	9
10		-0,1923	0,0000	-0,479	0,29
20		-0,1856	0,0000	-0,497	0,28
30		-0,1734	0,0001	-0,499	0,27
40		-0,1546	0,0001	-0,383	0,27
50		-0,1308	0,0001	-0,321	0,26
60		-0,1045	0,0001	-0,250	0,24
70		-0,0728	0,0001	-0,171	0,21
80		-0,0385	0,0001	-0,087	0,10
90		0,0000	0,0001	0,000	0,21
100		0,0338	0,0001	0,087	0,38
110		0,0517	0,0001	0,171	0,36
120		0,0888	0,0001	0,250	0,31
130		0,1076	0,0002	0,321	0,32
140		0,1470	0,0002	0,383	0,33
150		0,1765	0,0002	0,433	0,32
160		0,1915	0,0002	0,470	0,31
170		0,2003	0,0002	0,492	0,30
180		0,2058	0,0002	0,500	0,30
190		0,2043	0,0002	0,492	0,30
200		0,1980	0,0002	0,470	0,29
210		0,1869	0,0002	0,433	0,29
220		0,1675	0,0002	0,383	0,28
230		0,1436	0,0002	0,321	0,28
240		0,1160	0,0002	0,250	0,27
250		0,0857	0,0001	0,171	0,24
260		0,0508	0,0001	0,087	0,18
270		0,0143	0,0001	0,000	0,20
280		-0,0206	0,0001	-0,087	0,23
290		-0,0562	0,0001	-0,171	0,27
300		-0,0867	0,0001	-0,250	0,32
310		-0,1188	0,0001	-0,321	0,32
320		-0,1450	0,0000	-0,383	0,31
330		-0,1659	0,0000	-0,433	0,30
340		-0,1816	0,0000	-0,467	0,30
350		-0,1906	0,0000	-0,492	0,29

V.Wnioski

Na niepewność naszych pomiarów miał wpływ m.in. mało dokładny kątomierz, którym wyznaczaliśmy kąt nachylenia magnesu. Trzeba było założyć, że odczyt z podziałki kątomierza położenia magnesu, dla którego wektor indukcji magnetycznej jest równoległy do wektora prędkości elektronów jest obarczony jest błędem 1°. Przez powyższy błąd nie byliśmy w stanie dokładnie wyznaczyć części składowej wektora indukcji, która wywiera wpływ na ruch elektronów w płytce. Dodatkowo zmiany kąta nachylenia magnesu na tyle małe, iż niewidoczne na podziałce kątomierza wywoływały dość duże różnice w pomiarach.Można to zaobserwować na wykresie napięcia od położenia kątowego- rozkład punktów miejscami zauważalnie odbiega od teoretycznie idealnego. Z pewnością na niepewność doświadczenia miał wpływ fakt, iż używaliśmy magnesu sztabkowego a nie mocniejszego elektromagnesu. Wpływ na wyniki miał również fakt, że indukcja była wyznaczana z błędem 0,05 tj. 10% w stosunku do obliczonej wartości. Niewielki udział w niedokładności doświadczenia miały przyrządy do pomiaru natężenia i napięcia. W porównaniu z wyżej wymienionymi niepewnościami były one jednak niewielkie.

Celem ćwiczenia było zapoznanie się z efektem Halla oraz wyznaczenie koncentracji elektronów swobodnych. Wyznaczona przez nas koncentracja elektronów jest obarczona błędem względnym 9% dla pomiarów zależności napięcia Halla U_Hod indukcji magnetycznej B gdy I_S=const. Dokładność naszego doświadczenia możemy zwiększyć stosując precyzyjniejszy kątomierz. Dokładność zwiększyłaby się również gdybyśmy zastosowali magnes o większej indukcji.