Przypomnienie

Prawo Pascala - jeżeli na płyn (ciecz lub gaz) w zbiorniku zamkniętym wywierane jest ciśnienie zewnętrzne, to (pomijając ciśnienie hydrostatyczne) ciśnienie wewnątrz zbiornika jest wszędzie jednakowe i równe ciśnieniu zewnętrznemu.

Prawo to zostało sformułowane w połowie XVII w. ^[1] przez Blaise'a Pascala, jest prawdziwe wówczas, gdy można pominąć siły grawitacji i inne siły masowe oraz ciśnienia wywołane przepływem płynu. Prawo to wynika z tego, że cząsteczki płynu mogą poruszać się w dowolnym kierunku, wywieranie nacisku z jednej strony zmienia ruch cząstek we wszystkich kierunkach.

Wersja uproszczona:

Ciśnienie zewnętrzne wywierane na ciecz lub gaz znajdujące się w naczyniu zamkniętym rozchodzi się jednakowo we wszystkich kierunkach.

W literaturze angielskiej za prawo Pascala uważa się prawo rozszerzone o wpływ grawitacji: Ciśnienie w płynie na tym samym poziomie jest jednakowe. Różnicę ciśnień między dwiema wysokościami opisuje wzór:

gdzie ρ (ro) to gęstość płynu, g - przyspieszenie ziemskie, a h₁, h₂ to wysokości. Intuicyjna interpretacja tej prawidłowości to: ciśnienie na danej głębokości wywołuje ciężar słupa płynu o jednostkowym przekroju, który jest nad danym punktem.

Przykładowe zastosowania prawa Pascala

pompowanie dętki, materaca, układy hamulcowe, dmuchanie balonów, młot pneumatyczny, działanie urządzeń pneumatycznych (prasa pneumatyczna)
działanie urządzeń hydraulicznych (układ hamulcowy, podnośnik hydrauliczny, prasa hydrauliczna, pompa hydrauliczna,)

Równanie Bernoulliego - jedno z podstawowych równań hydrodynamiki płynów idealnych, sformułowane przez Daniela Bernoulliego w 1738 roku.

Równanie Bernoulliego opisuje zachowanie gęstości energii całkowitej na linii prądu. Obowiązuje w podstawowej wersji dla stacjonarnego przepływu nieściśliwego płynu idealnego, a w wersji rozszerzonej dla idealnego płynu barotropowego. Równanie Bernoulliego wynika z zasady zachowania energii i według intencji jego autora stanowić powinno jej zapis za pomocą parametrów hydrodynamicznych (p. zastrzeżenia podane poniżej w Uwagach dotyczących zastosowania równania Bernoulliego). Równanie Bernoulliego stanowi całkę bardziej ogólnego hydrodynamicznego równania Eulera.

Szczególna postać równania

Założenia:

ciecz jest nieściśliwa
ciecz nie jest lepka
przepływ jest stacjonarny i bezwirowy

Przy powyższych założeniach równanie przyjmuje postać:

gdzie:

- energia jednostki masy płynu,
- gęstość płynu,
- prędkość płynu w rozpatrywanym miejscu,
- wysokość w układzie odniesienia, w którym liczona jest energia potencjalna,
- przyspieszenie grawitacyjne,
- ciśnienie płynu w rozpatrywanym miejscu.

Poszczególne człony równania to kolejno: energia kinetyczna, energia potencjalna grawitacji, energia ciśnienia.

Energia jest stała tylko wówczas, kiedy element porusza się wzdłuż linii prądu. W rozważanym przypadku zapewnia to stacjonarność przepływu. Istnienie lepkości lub przepływu wirowego rozprasza energię, ściśliwość zmienia zależność prędkości przepływu od ciśnienia. Niestacjonarność przepływu wiąże się z dodatkowym ciśnieniem rozpędzającym lub hamującym ciecz.

Ogólna postać równania

Równanie Bernoulliego może być z pewną dokładnością stosowane także dla idealnych płynów ściśliwych ale tylko typu barotropowego. Opracowano również wersję równania dla płynów uwzględniającą zmianę energii wewnętrznej płynu w wyniku różnych czynników. Równanie to w ogólności ma postać:

Gdzie:

- energia potencjalna jednostki masy, której w warunkach ziemskich odpowiada
- entalpia przypadająca na jednostkę masy (entalpia właściwa)

przy czym - energia wewnętrzna płynu.

Uwzględniając właściwości gazów można przekształcić to równanie tak, by było spełnione także dla gazów. Choć pierwotne równanie Bernoulliego nie jest spełnione dla gazów, to ogólne wnioski płynące z niego mogą być stosowane również dla nich.

Praktyczne wykorzystanie równania Bernoulliego

Z równania Bernoulliego dla sytuacji przedstawionej na rysunku zachodzi prawidłowość:

Jeżeli zaniedbać zmianę wysokości odcinków rury, to wzór upraszcza się do:

W rurze o mniejszym przekroju ciecz płynie szybciej (), w związku z tym panuje w niej mniejsze ciśnienie niż w rurze o większym przekroju.

Ciecz płynąc w rurze o zmieniającym się przekroju ma mniejsze ciśnienie na odcinku, gdzie przekrój jest mniejszy.

Podana wyżej własność cieczy była znana przed sformułowaniem równania przez Bernoulliego i nie potrafiono jej wytłumaczyć, stwierdzenie to i obecnie kłóci się ze "zdrowym rozsądkiem" wielu ludzi i dlatego znane jest pod nazwą paradoks hydrodynamiczny.

A także: Ciecz opływając ciało zanurzone w cieczy wywołuje mniejsze ciśnienie od strony gdzie droga przepływu jest dłuższa.

Zastosowanie równania Bernoulliego

Równaniem Bernoulliego opisuje wiele na co dzień obserwowanych zjawisk, zależności, a także zasad działania licznych urządzeń technicznych:

paradoks hydrodynamiczny
zjawisko zrywania dachów, gdy wieje silny wiatr
zasada działania rurki Pitota
zasada działania Rurki Prandtla
zasada działania zwężki Venturiego
zasada działania palnika Bunsena
pośrednio zasady powstawania siły nośnej w skrzydle samolotu
pośrednio w powstawaniu efektu Magnusa
przyczyna osiadania statków w ruchu na płytkim akwenie.

Uwagi dotyczące stosowania równania Bernoulliego

Równanie Bernoulliego nie uwzględnia tarcia wewnętrznego w płynie przejawiającego się w postaci lepkości, a tym samym nie odzwierciedla poprawnie zasady zachowania energii, którą miało reprezentować w intencji jego autora. Dlatego też równanie Bernoulliego stosować można jedynie w sytuacjach, w których efekty związane z lepkością płynu nie odgrywają istotnej roli. W przeciwnym przypadku bezpośrednie stosowanie równania Bernoulliego prowadzi do paradoksów lub wyników w drastyczny sposób sprzecznych z doświadczeniem. Przykładem jest paradoks przepływu w rurze o stałym przekroju, zgodnie z którym, w przepływającym w rurze płynie, nie następuje spadek ciśnienia, czemu przeczą wszelkie obserwacje doświadczalne.

Liczba Reynoldsa Definicja

Liczba Reynoldsa zdefiniowana jest w sposób:

lub równoważnie:

gdzie:

- gęstość płynu,
- prędkość charakterystyczna płynu,
- wymiar charakterystyczny zagadnienia,
- lepkość dynamiczna płynu,
- lepkość kinematyczna płynu.

Przez prędkość charakterystyczną płynu rozumie się prędkość uśrednioną odnoszącą się do całości zagadnienia, a nie wybraną prędkość lokalną. Na przykład przy przepływie przez rurę jest to prędkość średnia w rurze, a nie prędkość w osi rury czy też na jej ściance. Przy opływie kulki jest to prędkość niezaburzonego napływającego strumienia płynu, a nie prędkość na ściance kulki.

Przez wymiar charakterystyczny zagadnienia rozumie się wymiar zjawiska o charakterze pewnej odległości mającej bezpośredni wpływ na stateczność ruchu płynu. Na przykład przy przepływie przez rurę okrągłą jest to średnica rury, a nie jej długość, gdyż utrata stateczności ruchu w rurze nie zależy od jej długości lecz od jej średnicy. W przypadku opływu kulki jest to średnica kulki. W przypadku opływu cylindra o dużej długości w porównaniu z jego średnicą jest to średnica cylindra. Niekiedy ustalenie, co jest wymiarem charakterystycznym zagadnienia jest problematyczne i może być przedmiotem kontrowersji, jak na przykład w przypadku przepływu płynu w ośrodku porowatym, w którym występują krzywoliniowe kanały porowe o zmiennej średnicy i krętości.

Gęstość płynu oraz jego lepkość dynamiczna i kinematyczna są parametrami fizycznymi płynu istniejącymi niezależnie od jego ruchu i są one najczęściej jednoznacznie określone w przypadku konkretnej substancji, choć i w tej materii zdarzają się niekiedy wątpliwości i kontrowersje.

Zastosowanie i znaczenie liczby Reynoldsa

Liczbę Reynoldsa stosuje się powszechnie jako kryterium pozwalające na oszacowanie stateczności ruchu płynu. Nie jest to z pewnością kryterium doskonałe, nie udało się go jak dotąd zastąpić żadnym innym, bardziej precyzyjnym kryterium. W praktyce wielkość liczby Reynoldsa pozwala na określenie kiedy ruch płynu jest laminarny, a kiedy może pojawić sięturbulencja.

Dla każdego rodzaju przepływu istnieje krytyczna liczba Reynoldsa Re_cr , poniżej której przepływ turbulentny nie jest obserwowany. Jeśli ruch turbulentny zostanie wywołany w sposób sztuczny, a następnie pozostawiony 'samemu sobie', wówczas będzie on wygasał w czasie w sposób asymptotyczny. Jeśli natomiast wartość Re_cr jest przekroczona, wówczas oscylacje turbulentne ulegać będą stopniowemu wzmacnianiu, co doprowadzi wkrótce do zerwania przepływu laminarnego.

Przekroczenie krytycznej wartości Re nie stanowi natomiast gwarancji wystąpienia turbulencji. Ruch płynu określić można wówczas jako 'metastabilny'. Jeśli będzie się usilnie unikać powstawania wszelkich zaburzeń, wówczas przepływ pozostanie laminarny nawet po kilkakrotnym przekroczeniu krytycznego Re. Natomiast najmniejsze nawet zaburzenie doprowadzi wówczas do gwałtownego zerwania ruchu laminarnego i przepływ nie powróci już do postaci statecznej.

Należy zaznaczyć, że nie istnieje jedna, uniwersalna wartość krytycznej liczby Reynoldsa i jest ona odmienna w zależności od rodzaju realizowanego przepływu. Musi być zatem wyznaczana na drodze empirycznej.

Krytyczna liczba Reynoldsa dla rur okrągłych

Jak dotąd, precyzyjne pomiary wykonano jedynie dla przepływów w rurach okrągłych, gładkich i chropowatych. Wielkie zasługi w tej materii położył ośrodek badań hydrodynamicznych w Getyndze. Na ich podstawie ustalono, że poniżej Re = 2300 przepływ w rurach powinien zawsze pozostawać laminarny, przy 2300 < Re < 10000 obserwuje się przepływ turbulentny lub metastabilny, natomiast przy Re > 10000 przepływ jest niemal zawsze turbulentny. Podane tu granice obszarów są jednak umowne i zależą od cytowanych źródeł.

Szczegółowe badania wykazały, że przy zaawansowanych metodach unikania zaburzeń udało się utrzymać przepływ metastabilny (przepływ laminarny) w rurach nawet dla wartości Reprzekraczających 10000. Jednakże wprowadzenie najmniejszego zaburzenia prowadziło wówczas do natychmiastowego zerwania przepływu laminarnego.

W praktyce inżynierskiej przyjmuje się na ogół następujące kryteria dla rur okrągłych:

Re < 2400 - przepływ laminarny (uporządkowany, warstwowy, stabilny)
2400 < Re < 10000 - przepływ przejściowy (częściowo turbulentny)
Re > 10000 - przepływ turbulentny (burzliwy)

Dla przepływu przejściowego wszystkie obliczenia inżynierskie przeprowadza się tak, jakby był przepływem turbulentnym, gdyż dyssypacja energii w ruchu turbulentnym jest wyższa niż w laminarnym.

Krytyczna liczba Reynoldsa dla innych układów

Dane na temat wartości krytycznych liczby Reynoldsa dla układów innych niż rury okrągłe są niepewne i fragmentaryczne. Wiadomo jednak, że w poszczególnych przypadkach wartości krytyczne liczby Reynoldsa różnią się znacznie od wyżej podanych wartości dla rur okrągłych.

W przypadku przepływu w szczelinie skomplikowane rozważania teoretyczne szacują krytyczną wartość Re na około 8000. Wydaje się jednak, że liczba ta jest znacznie zawyżona.

W przypadku opływu kul sferycznych krytyczną liczbę Reynoldsa szacuje się na rzędu kilku. Jednakże w tym przypadku dochodzi do oderwania warstwy granicznej i rozwoju śladu, a nie do powstawania właściwej turbulencji.

Dla innych rodzajów przepływów podanie podobnych granic jest również teoretycznie możliwe. Nie istnieją jednak ich uniwersalne wartości, ponieważ zależą od tego, co zostanie uznane za 'charakterystyczne' w odniesieniu do wielkości i . Przeważnie za wymiar charakterystyczny w przypadku przekrojów niekołowych przyjmuje się tzw. średnicę zastępczą. W przypadku płynów ściśliwych istnieje także problem z określeniem gęstości , natomiast dla płynów nienewtonowskich problem z interpretacją pojęcia lepkości .

Problem drugiej krytycznej liczby Reynoldsa

Niektórzy specjaliści sugerują istnienie tzw. drugiej krytycznej wartości liczby Reynoldsa, powyżej której stabilny ruch płynu (przepływ laminarny) nie jest w ogóle możliwy. Jednakże próby wyznaczenia tej wartości w drodze doświadczalnej nie dały żadnych jednoznacznych wyników. Dlatego też samo istnienie drugiej krytycznej wartości liczby Reynoldsa jest często kwestionowane.

Pochodzenie nazewnictwa

Termin liczba Reynoldsa pochodzi od nazwiska Osborne'a Reynoldsa - żyjącego w II połowie XIX wieku irlandzkiego inżyniera, pioniera badań przepływów turbulentnych. Reynolds zaproponował stosowanie omawianej tutaj liczby jako kryterium stateczności przepływów. Późniejsi badacze nazwali stosowaną przez niego liczbę kryterialną jego imieniem.

Pierwsze prawo Kirchhoffa – prawo dotyczące przepływu prądu w rozgałęzieniach obwodu elektrycznego, sformułowane w 1845 roku przez Gustawa Kirchhoffa. Prawo to wynika zzasady zachowania ładunku czyli równania ciągłości. Wraz z drugim prawem Kirchhoffa umożliwia określenie wartości i kierunków prądów w obwodach elektrycznych.

Obwody elektryczne [edytuj]

Dla węzła w obwodzie elektrycznym prawo to brzmi:

Dla węzła obwodu elektrycznego suma algebraiczna natężeń prądów wpływających(+) i wypływających(–) jest równa 0 (znak prądu wynika z przyjętej konwencji) lub Suma natężeń prądów wpływających do węzła jest równa sumie natężeń prądów wypływających z tego węzła.

Dla przypadku przedstawionego na rysunku I prawo Kirchhoffa można więc zapisać w postaci:

przyjmując konwencję, że prądy wpływające do węzła są dodatnie, zaś wypływające są ujemne i traktując je jak wielkości algebraiczne lub w postaci:

biorąc pod uwagę tylko wartości prądów i zapisując prądy wpływające po jednej, a prądy wypływające po drugiej stronie równania.

W ogólnym przypadku wielu prądów prawo ma postać:

przy czym należy pamiętać, że prądom wypływającym przypisuje się ujemną wartość natężenia.

Ciągły rozkład prądów

Dla ciągłego rozkładu prądów prawo przyjmuje postać: całka po powierzchni zamkniętej z gęstości prądu jest równa zero:

J – gęstość prądu (w A/m²)

– wektor powierzchni dS małego fragmentu powierzchni S w m²

Drugie prawo Kirchhoffa – zwane również prawem napięciowym, dotyczy bilansu napięć w zamkniętym obwodzie elektrycznym. Prawo to zostało sformułowane przez niemieckiego fizyka Gustava Kirchhoffa.

Suma wartości chwilowych sił elektromotorycznych występujących w obwodzie zamkniętym równa jest sumie wartości chwilowych napięć elektrycznych na elementach pasywnych tego obwodu: