Badanie czwórników

Teoria Obwodów - Laboratorium
Temat: Badanie czwórników
ćwiczenie wykonali:
Kordian Urbaniak
Michał Szymański
Tomasz Wierzba
 

  1. Podstawowe pojęcia.

Czwórnikiem nazywamy element mający dwie pary uporządkowanych zacisków, z których jedną parę nazywamy wejściem, a drugą wyjściem czwórnika.

Schemat czwórnika:

Rozróżniamy trzy podstawowe układy połączeń czwórników:

- połączenia łańcuchowe:

1 2 3

1’

- połączenia równoległe:

- połączenie szeregowe

Rozróżniamy równania czwórników, które określają związki między prądami i napięciami na wejściu i wyjściu czwórnika. Są to dwa równania liniowe mające współczynniki zależne od parametrów czwórnika. Równania te mogą mieć różną postać, najważniejsze z nich to:

Postać impedancyjna; zmienne U1 i U2 są zależne od I1, I2

; z11, z12 z21, z22 – parametry impedancyjne

Postać admitancyjna; zmienne I1 i I2 są zależne od U1, U2

; y11, y12 y21, y22 – parametry admitancyjne

Postać łańcuchowa prosta; zmienne U1 i I1 są zależne od U2, I2

; A, B, C, D – parametry łańcuchowe

Postać mieszana zwana hybrydową; zmienne U1 i I2 są zależne od U2, I1

; h11, h12 h21, h22 – parametry hybrydowe

Do opisu czwórników pasywnych najczęściej stosuje się postać łańcuchową, Przy opisie czwórników aktywnych (zwłaszcza tranzystora) stosuje się postać hybrydową.

  1. Tabele pomiarów i obliczenia:

Wartości rezystancji (elementów) czwórników:

R1=1,5 [Ω] R2=2,5 [Ω] R3=3,5 [Ω]

Czwórnik typu Π:

$\mathbf{Z}_{\mathbf{\text{we}}\mathbf{0}} = \frac{U_{10}}{I_{10}} = \frac{A}{C} = \frac{12,018}{10,019} = \frac{1,71}{1,429} = \mathbf{1,2\ \lbrack\Omega\rbrack}$

$\mathbf{Z}_{\mathbf{\text{wez}}} = \frac{U_{1z}}{I_{1z}} = \frac{B}{D} = \frac{12,018}{12,809} = \frac{2,5}{2,67} = \mathbf{1,97\ \lbrack\Omega\rbrack}$

$\mathbf{Z}_{\mathbf{c}} = \sqrt{\frac{B}{C}} = \sqrt{\frac{2,5}{1,429}} = \mathbf{1,32\lbrack\Omega\rbrack}\ $

Lp. Stan jałowy Stan zwarcia
U10[V] I10[mA]
1. 12,018 10,019
2. 24,013 20,067


$$\mathbf{A} = \frac{U_{10}}{U_{20}} = \frac{12,018}{7,011} = \frac{24,013}{14,043} = \mathbf{1,71}$$


$$\mathbf{B} = \frac{U_{1Z}}{I_{2Z}} = \frac{12,018}{4,797} = \frac{24,013}{9,605} = \mathbf{2,5}$$


$$\mathbf{C} = \frac{I_{10}}{U_{20}} = \frac{10,019}{7,011} = \frac{20,067}{14,043} = \mathbf{1,429}$$


$$\mathbf{D} = \frac{I_{1Z}}{I_{2Z}} = \frac{12,809}{4,797} = \frac{25,645}{9,605} = \mathbf{2,67}$$

Obliczenie parametrów, biorąc pod uwagę elementy czwórnika:

Schemat czwórnika typu Π:

I2=0

Rozwiązanie metodą oczkową:

IIR1−IIIR1=U1

−IIR1+III(R1+R2+R3)=0

Równania pomocnicze:

I1′ = III

$I_{1}^{"} = I_{I} - I_{\text{II}}$

$\mathbf{I}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\mathbf{I}_{\mathbf{1}}^{\mathbf{'}}\mathbf{+}\mathbf{I}_{\mathbf{1}}^{\mathbf{"}}$

Z równania pierwszego wyznaczam prąd oczkowy II:

IIR1 = U1 + IIIR1         /:R1

$\mathbf{I}_{\mathbf{I}}\mathbf{=}\mathbf{I}_{\mathbf{\text{II}}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{U}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{R}_{\mathbf{1}}}$

Z równania drugiego wyznaczam prąd oczkowy III:

IIR1 = III(R1 + R2 + R3)

$\left( I_{\text{II}} + \frac{U_{1}}{R_{1}} \right)R_{1} = I_{\text{II}}(R_{1} + R_{2} + R_{3})$

IIIR1 + U1 = IIIR1 + IIIR2 + IIIR3

U1 = III(R2 + R3)

$\mathbf{I}_{\mathbf{\text{II}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{U}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{R}_{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}}$

Więc II ma postać:

$I_{I} = \frac{U_{1}}{R_{2} + R_{3}}\ + \frac{U_{1}}{R_{1}} = \frac{U_{1}R_{1} + U_{1}(R_{2} + R_{3})}{R_{1}(R_{2} + R_{3})}$

$\mathbf{I}_{\mathbf{I}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{U}_{\mathbf{1}}\mathbf{(}\mathbf{R}_{\mathbf{1}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}\mathbf{)}}{\mathbf{R}_{\mathbf{1}}\mathbf{(}\mathbf{R}_{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}\mathbf{)}}$

Z równań pomocniczych obliczamy prądy gałęziowe:

$\mathbf{I}_{\mathbf{1}}^{\mathbf{'}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{U}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{R}_{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}}$

$\mathbf{I}_{\mathbf{1}}^{\mathbf{"}} = \frac{U_{1}}{R_{2} + R_{3}}\ + \frac{U_{1}}{R_{1}} - \frac{U_{1}}{R_{2} + R_{3}} = \frac{\mathbf{U}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{R}_{\mathbf{1}}}$

$\mathbf{I}_{\mathbf{1}} = \frac{U_{1}}{R_{2} + R_{3}}\ + \frac{U_{1}}{R_{1}} = \frac{U_{1}R_{1} + U_{1}(R_{2} + R_{3})}{R_{1}(R_{2} + R_{3})} = \frac{\mathbf{U}_{\mathbf{1}}\mathbf{(}\mathbf{R}_{\mathbf{1}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}\mathbf{)}}{\mathbf{R}_{\mathbf{1}}\mathbf{(}\mathbf{R}_{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}\mathbf{)}}$

Przystępujemy do obliczania parametrów:

U2 = I1′R3

$U_{2} = \frac{U_{1}R_{3}}{R_{2} + R_{3}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ /:U_{1}$

$\frac{U_{2}}{U_{1}} = \frac{R_{3}}{R_{2} + R_{3}}$

$\mathbf{A} = \frac{U_{1}}{U_{2}} = \frac{R_{2} + R_{3}}{R_{3}} = \frac{2,5 + 3,5}{3,5} = \mathbf{1,71}$

$\mathbf{C} = \frac{I_{1}}{U_{2}} = \frac{U_{1}(R_{1} + R_{2} + R_{3})}{R_{1}(R_{2} + R_{3})}*\frac{R_{2} + R_{3}}{U_{1}R_{3}} = \frac{R_{1} + R_{2} + R_{3}}{R_{1}R_{3}} = \frac{1,5 + 2,5 + 3,5}{1,5*3,5} = \mathbf{1,429}$

U2=0

Rozwiązanie metodą oczkową:

IIR1−IIIR1=U1

−IIR1+III(R1+R2+R3)−IIIIR3=0

−IIIR3+IIIIR3=0

Równania pomocnicze:

I1 = II

I2 = IIII

Z równania pierwszego wyznaczmy prąd oczkowy II:

IIR1 = U1 + IIIR1             /:R1

$\mathbf{I}_{\mathbf{I}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{U}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{R}_{\mathbf{1}}}\mathbf{+}\mathbf{I}_{\mathbf{\text{II}}}$

Z równania trzeciego wyznaczamy prąd oczkowy IIII:

−IIIR3 = −IIIIR3                    /:(−R3)

IIII=III

Z równania drugiego wyznaczamy prąd oczkowy III:

$- \left( \frac{U_{1}}{R_{1}} + I_{\text{II}} \right)R_{1} + I_{\text{II}}\left( R_{1} + R_{2} + R_{3} \right) - I_{\text{II}}R_{3} = 0$

−U1 − IIIR1 + IIIR1 + IIIR2 + IIIR3 − IIIR3 = 0

IIIR2 = U1                          /:R2

$\mathbf{I}_{\mathbf{\text{II}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{U}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{R}_{\mathbf{2}}}$

Z równań pomocniczych obliczamy prądy gałęziowe:

$\mathbf{I}_{\mathbf{1}} = \frac{U_{2}}{R_{1}} + \frac{U_{1}}{R_{2}} = \frac{\mathbf{U}_{\mathbf{1}}\mathbf{(}\mathbf{R}_{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{1}}\mathbf{)}}{\mathbf{R}_{\mathbf{1}}\mathbf{R}_{\mathbf{2}}}$

$\mathbf{I}_{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{U}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{R}_{\mathbf{2}}}$

Przystępujemy do obliczania parametrów:

$I_{2} = \frac{U_{1}}{R_{2}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ /:U_{1}$

$\frac{I_{2}}{U_{1}} = \frac{1}{R_{2}}$

$\mathbf{B} = \frac{U_{1}}{I_{2}} = R_{2} = \mathbf{2,5}$

$\mathbf{D} = \frac{I_{1}}{I_{2}} = \frac{U_{1}(R_{2} + R_{1})}{R_{1}R_{2}}*\frac{R_{2}}{U_{1}} = \frac{R_{2} + R_{1}}{R_{1}} = \frac{2,5 + 1,5}{1,5} = \mathbf{2,67}$

Czwórnik typu T:

$\mathbf{Z}_{\mathbf{\text{we}}\mathbf{0}} = \frac{U_{10}}{I_{10}} = \frac{A}{C} = \frac{12}{2,4} = \frac{1,429}{0,286} = \mathbf{5\ \lbrack\Omega\rbrack}$

$\mathbf{Z}_{\mathbf{\text{wez}}} = \frac{U_{1z}}{I_{1z}} = \frac{B}{D} = \frac{12}{4,052} = \frac{5,083}{1,716} = \mathbf{2,96\ \lbrack\Omega\rbrack}$

$\mathbf{Z}_{\mathbf{c}} = \sqrt{\frac{B}{C}} = \sqrt{\frac{5,083}{0,286}} = \mathbf{4,22\lbrack\Omega\rbrack}\ $

Lp. Stan jałowy Stan zwarcia
U10[V] I10[mA]
1. 12 2,4
2. 24,04 4,81

$\mathbf{A} = \frac{U_{10}}{U_{20}} = \frac{12}{8,395} = \frac{24,04}{16,823} = \mathbf{1,429}$

$\mathbf{B} = \frac{U_{1Z}}{I_{2Z}} = \frac{12}{2,361} = \frac{24,04}{4,729} = \mathbf{5,083}$

$\mathbf{C} = \frac{I_{10}}{U_{20}} = \frac{2,4}{8,395} = \frac{4,81}{16,823} = \mathbf{0,286}$

$\mathbf{D} = \frac{I_{1Z}}{I_{2Z}} = \frac{4,052}{2,361} = \frac{8,115}{4,729} = \mathbf{1,716}$

Obliczenie parametrów, biorąc pod uwagę elementy czwórnika:

Schemat czwórnika typu T:

I2 = 0

Z drugiego prawa Kirchhoffa można zapisać następujące równania:


U1 =  I1R1 + I1R3 = I1(R1 + R3)

U2 = I1R3

Przystępujemy do obliczania parametrów:

$\mathbf{A} = \frac{U_{1}}{U_{2}} = \frac{I_{1}(R_{1} + R_{3})}{I_{1}R_{3}}\mathbf{=}\frac{R_{1} + R_{3}}{R_{3}}\mathbf{=}\frac{1,5 + 3,5}{3,5} = \mathbf{1,429}$

$\mathbf{C =}\frac{I_{1}}{U_{2}} = \frac{I_{1}}{I_{1}R_{3}} = \frac{1}{R_{3}} = \frac{1}{3,5} = \mathbf{0,286}$

U2=0

Rozwiązanie metodą potencjałów węzłowych:

$V\left( \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}} \right) = \frac{U_{1}}{R_{1}}$

$V\left( \frac{R_{2}R_{3} + R_{1}R_{3} + R_{1}R_{2}}{R_{1}R_{2}R_{3}} \right) = \frac{U_{1}}{R_{1}}$

$\mathbf{V} = \frac{U_{1}}{R_{1}}*\frac{R_{1}R_{2}R_{3}}{R_{2}R_{3} + R_{1}R_{3} + R_{1}R_{2}} = \frac{\mathbf{U}_{\mathbf{1}}\mathbf{R}_{\mathbf{2}}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}}{\mathbf{R}_{\mathbf{2}}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{1}}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{1}}\mathbf{R}_{\mathbf{2}}}$

Zależność na prądy gałęziowe I1 i I2:

$\mathbf{I}_{\mathbf{1}} = \frac{U_{1}}{R_{1} + \frac{R_{2}R_{3}}{R_{2} + R_{3}}} = \frac{U_{1}}{\frac{R_{1}(R_{2} + R_{3}) + R_{2}R_{3}}{R_{2} + R_{3}}} = \frac{U_{1}(R_{2} + R_{3})}{R_{1}(R_{2} + R_{3}) + R_{2}R_{3}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{U}_{\mathbf{1}}\mathbf{(}\mathbf{R}_{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}\mathbf{)}}{\mathbf{R}_{\mathbf{2}}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{1}}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{1}}\mathbf{R}_{\mathbf{2}}}$

$I_{2} = \frac{V}{R_{2}} = \frac{U_{1}R_{2}R_{3}}{R_{2}R_{3} + R_{1}R_{3} + R_{1}R_{2}}*\frac{1}{R_{2}}$

$\mathbf{I}_{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{U}_{\mathbf{1}}\mathbf{R}_{\mathbf{2}}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}}{\mathbf{R}_{\mathbf{2}}\mathbf{(}\mathbf{R}_{\mathbf{2}}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{1}}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{1}}\mathbf{R}_{\mathbf{2}}\mathbf{)}}\mathbf{\text{\ \ }}$

Przystępujemy do obliczania parametrów:

$I_{2} = \frac{U_{1}R_{2}R_{3}}{R_{2}(R_{2}R_{3} + R_{1}R_{3} + R_{1}R_{2})}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ /:U_{1}$

$\frac{I_{2}}{U_{1}} = \frac{R_{2}R_{3}}{R_{2}(R_{2}R_{3} + R_{1}R_{3} + R_{1}R_{2})}$

$\mathbf{B} = \frac{U_{1}}{I_{2}} = \frac{R_{2}(R_{2}R_{3} + R_{1}R_{3} + R_{1}R_{2})}{R_{2}R_{3}} = \frac{2,5(2,5*3,5 + 1,5*3,5 + 1,5*2,5)}{2,5*3,5} = \frac{44,375}{8,75} = \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \mathbf{5,071}$

$\mathbf{D} = \frac{I_{1}}{I_{2}} = \frac{U_{1}(R_{2} + R_{3})}{R_{2}R_{3} + R_{1}R_{3} + R_{1}R_{2}}*\frac{R_{2}(R_{2}R_{3} + R_{1}R_{3} + R_{1}R_{2})}{U_{1}R_{2}R_{3}} = \frac{R_{2}(R_{2} + R_{3})}{R_{2}R_{3}} = \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \frac{2,5*(2,5 + 3,5)}{2,5*3,5} = \mathbf{1,714}$

  1. Wnioski:

Wartości parametrów łańcuchowych czwórników obliczonych za pomocą podanych w ćwiczeniu wzorów i zmierzonych wielkośći są bardzo podobne do parametrów łańcuchowych obliczonych z rezystancji czwórników. Świadczy to, że wartości prądów i napięć w stanie jałowym i zwarcia zostały poprawnie pomierzone.

Badane czwórniki mają własność odwracalności, ponieważ zachodzi równość AD-BC=1.

Jednak te czwórniki nie są symetryczne, ponieważ nie zachodzi równość A=D.


Wyszukiwarka