Zasada superpozycji: Skutki jednoczesnego działania wielu sił (obciążeń) na układ (ciało lub ustój) jest prostą sumą skutków działania wszystkich sił (obciążeń) z osobna. Obowiązuje dla grupy zagadnień liniowych. Odwracalność deformacji.
Czy element kratowy (cięgnowy) wymaga zdefiniowania węzła kierunkowego? Dlaczego? Dla elementu belkowego - tak, gdyż określa on orientację układu lokalnego pręta. Dla elementu kratowego - nie, ponieważ w elementach kratowych działają tylko siły normalne i wymagane jest tylko pole przekroju pręta.
Kryterium doboru funkcji kształtu. Warunek zgodności:
Kryterium ciągłości przemieszczeń – funkcje kształtu powinny zapewniać ciągłość przemieszczeń wewnątrz elementu oraz ich zgodność na granicach elementów. Warunki zupełności modelu MES:
Kryterium ruchu sztywnego – przy ruchu sztywnym elementu, wewnątrz ES (ciała) nie mogą powstawać odkształcenia i naprężenia
Kryterium stałych odkształceń – funkcje kształtu muszą zapewniać realizację stanu stałego odkształcenia (naprężenia) wewnątrz ES
ES Dostosowane – spełniające kryteria doboru funkcji kształtu
ES Niedostosowane – nie spełniają przynajmniej jednego kryterium
ES Kontynualne - Elementy charakteryzujące się zgodnością liczby:
-współrzędnych dziedziny-niezależnych parametrów teorii -węzłowych stopni swobody (3)
ES Strukturalne Elementy o braku zgodności liczby: stopni swobody, współrzędnych opisujących dziedzinę, parametrów teorii
Analiza zbieżności podziału:Na sprawdzeniu zbieżności wyników, przy wzroście liczby elementów. Elementy dostosowane zawsze zbiegają się do rozwiązania teoretycznego od dołu (i bardzo wolno). Elementy niedostosowane mogą być zbieżne bez wyraźnego charakteru monotonicznego, od góry i od dołu.
Cel wykonywania patch testów:Badanie odporności elementów skończonych na dystorsje siatki dyskretyzacyjnej (przeprowadzone na nieregularnej siatce. Dotyczą głównie elementów niedostosowanych.
3 klastyczne patch testy: 2 dla czystego rozciągania w 2 kierunkach i 1 dla czystego ścinania. One muszą być spełnione! Inne: test zginania, zginania i ścinania (membrana Cook’a),ścinania membranowego i płytowego
Jednorodny - posiada jednakowe właściwości w każdym małym obszarze objętości danego materiału (punkcie)Izotropowy – właściwości niezależne od kierunku Liniowo sprężysty – liniowa relacja naprężenie-odkształcenie
Jeżeli J+I+LS spełnione to funkcja materiałowa jest stała i całkowicie określona przez tylko dwie stałem materiałowe E i współczynnik Poissona
Różnice: elementy rodziny serendipidowskiej od lagrang’owskiej?
W rodzinie serendipidowskiej (dla elem. 2D) węzły wewnętrzne ( w środku elementów i/lub na krawędziach) w części lub całkowicie są gubione. Elementy mogą mieć nieregularne węzły. Funkcje kształtu wymagają odgadnięcia. W rodzinie lagrange’owskiej węzły są regularne. Funkcje kształtu znane są z góry.
Funkcji klasy C0 - Funkcja ciągła bez ciągłości pochodnych.
Funkcja Cn – Funkcja która posiada ciągle pochodne do n-tej włącznie. Pochodna n+1 musi istnieć i być ograniczona.
Różnica między interpolacją Hermit’a a Lagrange’a: Interpolacja Hermite’a jest naturalnym uogólnieniem interpolacji Lagrange’a, z nałożoną w węzłach interpolacji równością nie tylko na same funkcje interpolowaną i interpolującą, ale także na ich pochodne.
Lagrange’a: Fukcje klasy C0;Funkcje 2D i 3D generuje się przez iloczyn funkcji 1D
Hermit’a: Funkcje klasy wyższej niż C0; Nie można generować funkcji 2D i 3D przez iloczyn funkcji 1D
Numeracja węzłów przeciwnie do wskazówek zegara
Podział obszaru na czworoboczne ES - prostokąt z wyciętą ćwiercią koła.
Podstawowa różnica pomiędzy metodą Raileigha-Ritza, a MES
MES jest rozwinięciem metody R-R. Aproksymacje w MES przeprowadza się w odróżnieniu od metody R-R oddzielnie w obszarze domkniętym każdego typowego elementu.
R-R: Aproksymacja rozwiązania na całym rozpatrywanym obszarze (dziedzinie); Trudności z doborem funkcji kształtu
MES: Aproksymacja rozwiązania na nie pokrywających się podobszarach dziedziny; Trudności ze spełnieniem warunków ciągłości międzyelementowej
stopni swobody w węźle występuje dla standardowego elementu belkowego w 3D 6 = 3 translacje + 3 rotacje
Co uwzględniamy wykonując obliczenia zgodnie z teorią II rzędu?
-teoria I-rzędu - kiedy obowiązuje zasada zesztywnienia.
-teoria II-rzedu. kiedy uwzględniamy wpływ małych przemieszczeń (małych obroIów) na wartości sił wewnętrznych
-dalsze udokładmenia teoni polegają na podnoszeniu rzędu rozważanych przemieszczeń (odkształceń)
symulację sprężania cięgien: fikcyjne (odpowiednie) obniżenie temperatury prętów; wstawienie za krótkiego cięgna (?); zadanie wstępnego naprężenia (siły) w pręcie (?)
Elementy nazywa się odpowiednio, w zależności od zastosowanego sposobu interpolacji:
a) - elementy izoparametryczne, jednakowy niewiadomych w i geometrii x,
b) elementy subparametryczne: bogatszy niewiadomych u od geometrii x - c) - elementy superparametryczne: dokładniejszy geometri x od niewiadomych u
W jakim układzie współrzędnych w systemach MES dla elementów prętowych i powłokowych prezentowane są siły wewnętrzne?
W układzie lokalnym elementu.
MES - zaawansowana metoda rozwiązywania układów równań różniczkowych, opierająca się na podziale dziedziny (tzw. dyskretyzacja) na skończone elementy, dla których rozwiązanie jest przybliżane przez konkretne funkcje, i przeprowadzaniu faktycznych obliczeń tylko dla węzłów tego podziału.
Równanie MES q=K-1 * r, gdzie – q - wektor przemieszczeń, r – wektor obciążeń, K – macierz sztywności
CST (Constant Strain Triangle):Element płaski, do opisywania dwuwymiarowego kontinuum- PSN, PSO – nie doznaje ugięć w kierunku prostopadłym do swojej płaszczyzny
najprostszy element trójkątny o liniowych funkcjach kształtu
3 węzły a-1,2,3 w narożach
po 2 przesunięcia (ua,va) w węzłach
3 (w narożach) x 2 (przesunięcia)= 6 stopnie swobody
dziedzina- element B(e) zwarty i ograniczony podobszar R2
Opisany liniową funkcją kształtu
QUAD 4: Element płaski, służy do opisywania analizy zagadnień- PSN, PSO – nie doznaje ugięć w kierunku prostopadłym do swojej płaszczyzny. To funkcje kształtu przyjmują wartości w kierunku prostopadłym do płaszczyzny elementu; 4 węzłowy element skończony
najprostszy element izoparametryczny czworoboczny o liniowych funkcjach kształtu; 4 węzły a=1,2,3,4 ( N(e)=4) w narożach
po 2 przesunięcia (ua,va) w węzłach
4x2=8 stopni swobody; dziedzina- element B(e) zwarty i ograniczony podobszar R2
Aproksymacja – proces określania rozwiązań przybliżonych na podstawie rozwiązań znanych, które są bliskie rozwiązaniom dokładnym w ściśle sprecyzowanym sensie. Przeważnie aproksymuje się byty (np. funkcje) skomplikowane bytami prostszymi. Celem jest osiągnięcie pewnej żądanej dokładności obliczenia przybliżonej wielkości a także możliwość jej oszacowania.
Interpolacja – metoda numeryczna polegająca na wyznaczaniu w danym przedziale tzw. funkcji interpolacyjnej, która przyjmuje w nim z góry zadane wartości w ustalonych punktach, nazywanych węzłami. Polega na określeniu funkcji aproksymacyjnej
u(x) przyjmującej te same wartości co funkcja przybliżana u(x0), u(x1), … ,u(xn) w punktach x0, x1, … , xn zwanych punktami interpolacji
2 sposoby formułowania problemu przegowo-początkowego w MOC
(S) - silne, klasyczne (różniczkowe, lokalne)
- polega na badaniu pól w otoczeniu nieskończenie małego obszaru dziedziny. - efektem jest układu równań różniczkowych względem zmiennych po przestrzenni i czasie. - rozwiązanie dotyczy układu równań różniczkowych przy narzuconych warunkach brzegowych i początkowych;
(W) - słabe, wariacyjne (całkowe, ekstremalne, globalne)
- zakłada ważność w całym obszarze dziedziny (i na brzegu) ekstremalnej zasady wariacyjnej, - efektem jest funkcjonał (funkcją nieznanych funkcji) względem zmiennych po przestrzenni i czasie, - rozwiązanie polega na wyznaczeniu ekstremum funkcjonału (najczęściej minimaliza
Silne- klasyczne sformułowanie problemu brzegowego
- liczba niewiadomych pól= 15 (u->3 , ε->6, σ->6)
- liczba równań= 15 (Równania Równowagi (RR), Równania Geometryczne (RG), Równania Konstytutywne (RK))
- po rozwiązaniu warunków brzegowych (Kinematyczne warunki Brzegowe (KB), Statyczne warunki Brzegowe (SB)) może być rozwiązany
słabe, wariacyjne: - skonstruowanie pewnego funkcjonału, którego warunkami stacjonarności są odpowiednie równania pól (RR,RG,RK) i warunki brzegowe (KB,SB) uzyskane jako równania Eulera- Lagrange’a tegoż funkcjonału
Zalety sformułowania słabego:-całkowa(nie różniczkowa) reprezentacja problemu, - koncentracja wszystkich równań w jednym wyrażeniu, - postać niezmiennicza, - naturalna baza do rozwiązań aproksymacyjnych
Kinematycznie dopuszczalne przemieszczenia wirtualne- zerowe przemieszczenia na brzegu obszaru.
Drgania własne konstrukcji są własnością konstrukcji; zależą od jej masy i sztywności.
Norma L2: Norma służy jako miara błędu . Norma L2 (globalna zredukowana norma lub seminorma Sobolewa dla m=0) zawiera tylko funkcję bez pochodnych całkowalną w kwadracie < nieskończoność. Norma L2 jest najczęściej stosowana jako miara błędu w MES.
Metody określania naprężeń szacujących Techniki „ulepszania”: najczęściej stosowana technika „Łaty” – zbiera z pewnego obszaru (łaty) pewne wielkości, wygładza je i podaje jako informacje.
Błąd dyskretyzacji: Jest immanentną cechą stosowanej metody i nie może być całkowicie usunięty. Jest różnicą między obliczonym rozwiązaniem numerycznym a rozwiązaniem teoretycznym (ścisłym) w ramach ciągłego modelu ciała (matematycznego, MOC).
Błąd zaokrągleń: Jest różnicą między obliczonym rozwiązaniem numerycznym a dokładnym rozwiązaniem numerycznym modelu dyskretnego (bez błędów komputerowych).
Poprawka p: jest to błąd e ze znakiem minus. Dodanie poprawki do rozwiązania przybliżonego usuwa błąd.
typy analizy konstrukcji:Liniowa; Nieliniowa: fizycznie lub geometrycznie; Mieszana
Warianty MES: przemieszczeniowy (klasyczny);naprężeniowy (odpowiednik metody sił, nie stosowany); Mieszane, hybrydowe (zmienne obu typów)
ośrodek ciągły => ciało B. konfiguracje B(t) - opisują funkcje ciągłe w sensie matematycznym
Założenia liniowej teorii sprężystości LTS
Liniowość – obowiązuje zasada superpozycji
Materiał jest jednorodny izotropowy i liniowo sprężysty – definiowany tylko przez 2 niezależne stałe materiałowe
Obowiązują małe deformacje (u<<L) i małe odkształcenia (ε<<1)
Liniowa relacja odkształcenie –przemieszczenie
Obowiązuje zasada zesztywnienia czyli nie uwzględnia się deformacji w równaniach równowagi(z wyjątkiem zagadnień stateczności i cięgien)
Energetyczne sprzężenie: Tensory odkształceń i naprężeń tworzą parę energetycznie sprzężoną – naprężenia wykonują pracę na odkształceniach.
Ekstrakcja Pobranie wielkości węzłowych elementu z odpowiednich wektorów globalnych układy. Ekstrakcję określa tzw. Macierz incydencji (zerojedynkowa)
Klasa elementu oznacza klasę funkcji aproksymacyjnych, np. C0.
Całkowanie pełne dla elementu n*n węzłowego jest prowadzone w n*n punktach całkowania (czyli tyle ile jest węzłów tyle jest punktów całkowania) , natomiast całkowanie zredukowane w jednym punkcie – może to prowadzić do błędnych wyników. Przy całkowaniu pełnym może wystąpić blokada, a przy zredukowanym pojawiają się fałszywe postacie zera energetycznego.
Prawo Hooke’a. Odkształcenie ciała pod wpływem działającej na niego siły jest wprost proporcjonalne do tej siły. Współczynnik między siłą a odkształceniem jest często nazywany modułem sprężystości.
Locking: Nadmierne prze sztywnienie rozwiązania. Problem blokady rozwiązań (związany z doborem rzędu całkowania). Występuje przy całkowaniu pełnym.
MES jest metodą przybliżona:
Ponieważ zastępuje się układ (kontynualny) o nieskończonej liczbie stopni swobody, układem (dyskretnym) o skończonej liczbie stopni swobody. Przybliża wielkości nieartymetyczne wielkościami arytmetycznymy (dziedzinę). Całkowanie numerycznej jest też przybliżeniem.
Ile trzeba podać węzłów żeby zdefiniować element dwuwymiarowy?
3 żeby mieć trójkąt, 4 czworobok itd. (?)
Ile należy podać węzłów aby zdefiniować element prętowy(kratowy, cięgnowy),jednowymiarowy?
2 węzły na końcu i początku elementu. Wektor kierunkowy nie jest potrzebny (?)
Dla prętowego belkowego 3 węzły
Jakie dane trzeba podać programie
- w elementach kratowych: przekrój (pole) , materiał, odkształcenia początkowe, siły początkowe
- w elementach belkowych:a) przekrój – momenty bezwładności (na zginanie i skręcanie), pole przekroju (na rozciąganie, ścinanie i skręcanie) b) materiał – moduły: Younga, Poissona, Kirchhoffa c) węzeł kierunkowy
Jakie warunki muszą spełniać funkcja kształtu (funkcja interpolacyjna)? Funkcja przypisana do danego węzła przyjmuje w nim wartość 1 a w pozostałych węzłach 0.. W dowolnym punkcie w interpolowanym obszarze sumaryczna wartość wszystkich funkcji musi wynosić 1
Badaniu zbieżności typu h przez zagęszczenie siatki podziału, wskazane jest ustalenie reguł zagęszczania, przy ustalonym rzędzie elementu.
Badanie zbieżności typu p: przez podnoszenie rzędu funkcji kształtu (elementu), przy ustalonej liczbie elementów.
Poprawianie rozwiązań typu r tylko tam lokalnego zagęszczenia siatki, gdzie zacnodzi taka potrzeba, wymaga stosowania specjalnych elementów przejściowych lub innych technik ..sklejania" funkcji.
Analiza liniowa:- obowiązuje ZASADA SUPERPOZYCJI - wszystkie relacje liniowe -odwracalność deformacji
Analiza nieliniowe:- NIE obowiązuje ZASADA SUPERPOZYCJI
- podstawowe źródła nieliniowych relacji: -równania konstytutywne
-zmiany w geometrii -warunków brzegowych – obciążenia - NIEodwracalne deformacje
Funkcja kształtu jest to funkcja opisująca odkształcenie elementu skończonego. W rzeczywistości funkcja kształtu nie opisuje dokładnie odkształcenia elementu, ale tylko je aproksymuje w taki sposób aby uzyskać zgodność przemieszczeń w węzłach oraz prawidłowy.
Dla elementu 2D: trójkąt, czworokąt Dla elementu 3D: czworościan
Kiedy deformacja zależy od dyskretyzacji Wtedy, kiedy elementy mamy trójkątne i są jednocześnie niskiej klasy - nisko węzłowe.
Pręty niekoplanarne Pręty nieleżące w tej samej płaszczyźnie.
Direktory-Węzły kierunkowe, które określają orientację i zwrot lokalnego układu pręta w układzie globalnym. Do ich opisu potrzeba 3 węzły.
Ile minimum prętów niekoplanarnych prętów musi się schodzić w węźle swobodnym? 3 węzły dla elementów kratowych.
Podział elementów ze względu na wymiar dziedziny aproksymacji
0- wymiarowe (kierunkowe)
Do wprowadzania nietypowych warunków brzegowych, np. sprężynki
1- wymiarowe (prętowe)
Kratowe (proste)
Cięgnowe (zakrzywione, wiotkie)
Belkowe, ramowe (proste i zakrzywione)
2- wymiarowe (powierzchniowe)
PSN, PSO, OS (2D)
płytowe
powłokowe (płaskie i zakrzywione, powłoki wiotkie)
3- wymiarowe (bryłowe)
Odkształcenie w całym elemencie CST jest stałe.
Uniwersalne zasadny zachowania Zasada zachowania masy, momentu i krętu – obowiązują dla wszystkich Newtonowskich układów fizycznych.
metode R-R
Aproksymacja poszukiwanego rozwiązania a(x) ЄU na całym obszarze x ЄB za pomocą kombinacji liniowej układu liniowo niezależnych znanych funkcji.
Problemy z metodą R-R:
-trudność doboru funkcji aproksymującej rozwiązanie do xЄB
-całkowanie wielomianów aproksymujących wysokich rzędów jest uciążliwe
-brak przesłanek, jakie funkcje aproksymujące należy dodać, aby poprawić dokładność rozwiązania
-trudności z interpretacją współrzędnych uogólnionych, które nie mają czytelnej interpretacji fizycznej
Jaką funkcją opisane są przemieszczenia w elementach CST?
Zasada pracy wirtualnej- nie zależy od materiału, zasada przemieszczeń wirtualnych- zależy od przemieszczeń
Zasada Lagrange'a (także zasada prac wirtualnych lub zasada prac przygotowanych) – podstawowe twierdzenie statyki dotyczące równowagi układu punktów materialnych. Mówi ona, że w położeniu równowagi dla dowolnego małego przesunięcia punktów układu zgodnego z więzami suma prac wykonanych nad układem przy tym przesunięciu przez siły zewnętrzne jest zerowa.
Przemieszczenie wirtualne musi spełniać kilka charakterystycznych, ale bardzo ważnych warunków, musi być:• pomyślane,• możliwe, tzn. kinematycznie dopuszczalne,• niezależne od czynników zewnętrznych (np. obciążeń),• bardzo małe w porównaniu z wymiarami ciała,• niezależne od czasu,• ciągłe (co najmniej raz różniczkowalne).
Liniowa sprężystość - deformacja odwracalna, niezależnie od historii obciążenia
Nieliniowa sprężystość – ciało po obciążeniu nie odkształca się w sposób liniowy, po odciażeniu nie wraca do postaci początkowej, posiada odkształcenia trwałe
PSO – odkształcenia tylko w dwóch kierunkach – w trzecim zerowe
PSN – naprężenia tylko w dwóch kierunkach – w trzecim zerowe
Równania konstytutywne - Równania konstytutywne są związkami materiałowymi, definiujące materiał. W zagadnieniach mechanicznych takimi związkami są zależności pomiędzy tensorem naprężenia a odkształcenia. W szczególności prawo Hooke’a jest związkiem konstytutywnym ciał liniowo sprężystych.
Zagadnienia brzegowe przestrzennego stanu naprężenia, sformułowania:
I Mieszane zagadnienie brzegowe wyjściowo sformułowane jesi w przemieszczeniach u oraz odkształcenia E i naprężeniach ?
II. Wykorzystując zależności geometryczne RG (relację odkształcenie-przemieszczenie) eliminuje się odkształcenia z równań polowych i wówczas mieszany problem brzegowy może być sformułowany w przemieszczeniach u oraz naprężeniach.
III. Następnie przy użyciu równań konstytutywnych RK (relację naprężenia-odkształcenie) można dokonać kolejnej eliminacji naprężeń, otrzymując sformułowanie problemu brzegowego jedynie w przemieszczeniach u.
Koncepcja całkowania numerycznego
Zamiana całki na suma wartości funkcji podcałkowej obliczanych w wybranych punktach obszaru całkowania tzw. punktach całkowania.
Jednąz metod całkowania numerycznego jest reguła całkowania (kwadratura) Gaussa-Legendre'a
Kwadratura Gau$$a-Legendre'a. należy do najbardziej efektywnych, wysoce dokładnych i prostych w implementacji komputerowej.
Wykazano, że w przypadku czworobocznych elementów Lagrange'owskich o nxn -węzłach wymagany rząd całkowania kwadraturąGaussa-Legendre'a wynosi nxn punktów.
Taki rząd całkowania w MES nazywa się pełnym (oznacza siego przez FI, ang. fuli integration).
Reguła FI w przypadku elementów cztero węzłowy eh wynosi 2x2 punkty.
Globalny układ równań MES budowany jest z macierzy elementowych na drodze agregacji.
Operacja agregacji polega na odpowiednim sumowaniu współczynników macierzy, których wymiary są różne. Aby agregacja miała sens. dodawane współczynniki muszą mieć te same znaczenia fizyczne i muszą być odniesione do tego samego układu współrzędnych.
Ponadto układ współrzędnych powinien umożliwiać proste uwzględnienie warunków brzegowych. Przedstawiony klasyczny izoparametryczny element przemieśzczeniowy spełnia te warunki z założenia.