1.ELEMANTY TEORII SPRĘŻYSTOŚCI I PLASTYCZNOŚCI

a) Tensorem nazywamy dowolną wielkość fizyczna która podlega ściśle określonemu prawu transformacji

b) prawa transformacji tensorów:

a_ij – macierz transformacji; T – dowolny tensor

T_i=a_ijT_j – transformacja tensora 1-go rzędu

T_ij=a_ika_jiT_kl – transformacja tensora 2-go rzędu

T_ijkl=a_ioa_jpa_kra_lsT_oprs

c) Umowa sumacyjne Einsteina T_ij’=a_ika_jiT_kl kl – wskaźniki nieme (1;2;3) ij – wskaźniki wolne (1;2;3) Jeżeli wskaźnik literowy występuje 2 razy w danym wyrazie algebraicznym, to należy wykonać sumowanie względem tego wskaźnika nadając mu wartości: 1,2,3. Ponieważ: i=1;2;3 j=1;2;3

2.Stan naprężenia w punkcie

a) wektor (σ_i) czy tensor 2-go rzędu (σ_ij)

n_i – jednostkowy wektor normalny

n_in_i=1 n₁²+n₂²+n₃²=1 σ _i=>(σ₁,σ₂,σ₃)

Składowe wektora ϭ_i na płaszczyźnie o różnej orientacji.

Elipsoida Lame

σ ₁ σ ₂ σ₃ – naprężenia główne

Tensor naprężeń σ _ij

$$\sigma_{\text{ij}} = > \begin{pmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\ \sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\ \sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33} \\ \end{pmatrix}$$

σ ₁₁, σ₂₂, σ₃₃ – naprężenia normalne; σ _ij dla i≠j – naprężenia styczne.

Składowe σ_ij w danym punkcie ciała zależy tylko od orientacji układu odniesienia (przy danym obciążeniu zewnętrznym) .

Równanie Cauchy'ego:

σ_i=n_jσ_ij σ_i=n₁σ_1i+n₂σ_2i+n₃σ_3i i=1; σ₁=n₁σ₁₁+n₂σ₂₁+n₃σ₃₁

i=2; σ₂= n₁σ₁₂+n₂σ₂₂+n₃σ₃₂ i=3; σ₃= n₁σ₁₃+n₂σ₂₃+n₃σ₃₃

b) naprężenia główne

$$\sigma_{\text{ij}}^{g} = > \begin{pmatrix} \sigma_{(1)} & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_{(2)} & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_{(3)} \\ \end{pmatrix}$$

−σ³ + J₁σ² − J₂σ + J₃ = 0 J₁, J₂, J₃ – niezmienniki stany naprężenia

σ₍₁₎ ≥ σ₍₂₎ ≥ σ₍₃₎

3.Dweiator i aksjator tensora 2-go rzędu

a) oznaczenie dewiatora

Dewiator ma zawsze ten sam główny symbol jak tensor, z którego powstał. $\hat{\sigma_{\text{ij}}}$ - dewiator tensora σ_ij

$\hat{l_{\text{ij}}}$ - dewiator tensora (lij) odkształceń nieskończenie małych Lagrange’a

$\hat{d_{\text{ij}}}$ – dewiator tensora przyrostów odkształceń

b) dewiator tensora naprężeń i jego niezmienniki

$\begin{matrix} \hat{\sigma_{\text{ij}}} = \sigma_{\text{ij}} - \sigma_{0}\delta_{\text{ij}} \\ \hat{\sigma_{\text{ij}}} = \sigma_{\text{ij}} - \frac{1}{3}\sigma_{\text{kk}}\delta_{\text{ij}} \\ \end{matrix}$ $\begin{matrix} \sigma_{0} = \frac{1}{3}\sigma_{\text{kk}} - \ \text{napr}ez\text{enia}\ s\text{rednie} \\ \sigma_{0} = \frac{1}{3}\left( \sigma_{11} + \sigma_{22} + \sigma_{33} \right) = \frac{1}{3}J_{1} \\ \sigma_{0}\ \text{lub}\ \sigma_{M} \\ \end{matrix}$

Delta Kroneckera: $\delta_{\text{ij}} = \left\{ \begin{matrix} 1\ \text{dla}\ i = j \\ 0\ \text{dla}\ i \neq j \\ \end{matrix} \right.\ $

Niezmienniki dewiatora mają ten sam główny symbol jak niezmiennik tensora, z którego powstał dewiator.

Niezmiennik $\hat{\sigma_{\text{ij}}}$: $\ \hat{J_{1}}\text{\ \ }\hat{J_{2}}\text{\ \ }\hat{J_{3}}$ $\hat{J_{2}}$ - drugi niezmiennik $\hat{\sigma_{\text{ij}}}$ jest wykorzystywany do definicji intensywności naprężenia. $\hat{J_{1}} = \hat{\sigma_{\text{ij}}} = \hat{\sigma_{11}} + \hat{\sigma_{22}} + \hat{\sigma_{33}} = 0$ $\hat{J_{2}} = - \frac{1}{2}\hat{\sigma_{\text{ij}}} \bullet \hat{\sigma_{\text{ij}}}$ $\hat{J_{2}} = - \frac{1}{6}\lbrack\left( \hat{\sigma_{11}} - \hat{\sigma_{22}} \right)^{2} + \left( \hat{\sigma_{22}} - \hat{\sigma_{33}} \right)^{2} + \left( \hat{\sigma_{33}} - \hat{\sigma_{11}} \right)^{2} + 6\left( \sigma_{12}^{2} + \sigma_{23}^{2} + \sigma_{31}^{2} \right)\rbrack$ $\hat{J_{3}} = \left| \hat{\sigma_{\text{ij}}} \right|$

4.Oznaczenie naprężeń oktaedrycznych i maksymalnych naprężeń stycznych

Płaszczyzna oktaedru – jest płaszczyzną równo nachyloną do osi układu odniesienia. Jest to płaszczyzna typu (111) w sieci regularnej płasko centrowanej. Płaszczyzna 91110 – płaszczyzna łatwego poślizgu, poruszają się dyslokacje pod wpływem napręeń stycznych.

a)Naprężenia oktaedryczne (S^okt lub S_okt)

$$S_{\text{okt}} = - \frac{1}{6}\left\lbrack \left( \sigma_{11} - \sigma_{22} \right)^{2} + \left( \sigma_{22} - \sigma_{33} \right)^{2} + \left( \sigma_{33} - \sigma_{11} \right)^{2} + 6\left( \sigma_{12}^{2} + \sigma_{23}^{2} + \sigma_{31}^{2} \right) \right\rbrack^{\frac{1}{2}}$$

Interpretacja płaszczyna oktaedrycznych: płaszczyzny (111) w sieci A1.

b)Maksymalne naprężenia styczne

Na jakich płaszczyznach naprężenia styczne osiągają wielkości maksymalne. Są to płaszczyzny (110) w sieci A2.

$\begin{matrix} n_{1} = 0,\ n_{2} = n_{3} = \mp \frac{\left( \sqrt{2} \right)}{2} \\ n_{2} = 0,\ n_{1} = n_{3} = \mp \frac{\left( \sqrt{2} \right)}{2} \\ n_{3} = 0,\ n_{2} = n_{1} = \mp \frac{\left( \sqrt{2} \right)}{2} \\ \end{matrix}$ $\begin{matrix} S_{(1)} = \mp \frac{1}{2}\lbrack\sigma_{\left( 2 \right)} - \sigma_{\left( 3 \right)}\rbrack \\ S_{(2)} = \mp \frac{1}{2}\lbrack\sigma_{\left( 1 \right)} - \sigma_{\left( 3 \right)}\rbrack \\ S_{(3)} = \mp \frac{1}{2}\lbrack\sigma_{\left( 1 \right)} - \sigma_{\left( 2 \right)}\rbrack \\ \end{matrix}$

Gdzie σ₍₁₎, σ₍₂₎, σ₍₃₎ – naprężenia główne

$$S_{(2)} = S^{\max} = \mp \frac{1}{2}\lbrack\sigma_{\left( 1 \right)} - \sigma_{\left( 3 \right)}\rbrack$$