Doświadczalnictwo

Ćwiczenia 1

1. Formy prezentacji danych liczbowych

1. Zmienna skokowa

1. Szereg statystyczny uporządkowany

x_i= 1,2,2,3,3,5,5,5,7,8

1. Szereg rozdzielczy

x_i = 1, 2, 3, 5, 7, 8

n_i = 1, 2, 2, 3, 1, 1

1. Zmienna ciągła

12,5 16,3

Przedziały klasowe

12-13

13-14

CO WYLICZAMY!!!

1. Średnia arytmetyczna

Dla szeregu a)

$\overset{\overline{}}{x} = \frac{\sum_{}^{}x_{i}}{n} = \frac{1 + 2 + \ldots + 8}{10}$=4,1

Dla szeregu b)

$\overset{\overline{}}{x} = \frac{\sum_{}^{}{x_{i}*n_{i}}}{{\sum_{}^{}n}_{i}} = \frac{1*1 + 2*2 + \ldots + 8*1}{10}$=

Dla zmiennej ciągłej)

$\overset{\overline{}}{x} = \frac{\sum_{}^{}{x_{i}{*n}_{i}}}{\sum_{}^{}n_{i}}$=

1. Średnia geometryczna

Dla szeregu a

$g = \sqrt[n]{\Pi x_{i}} = \sqrt[10]{1*2*2*3*\ldots*8}$= 3,77

Dla szeregu b nie wyliczamy

Dla zmiennej ciągłej nie wyliczamy.

1. Średnia harmoniczna

Dla szeregu a)

$h = \frac{n}{\sum_{}^{}\frac{1}{x_{i}}} = \frac{10}{\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \ldots + \frac{1}{8}}$=2,83

dla szeregu b)

$h = \frac{\sum_{}^{}\ n_{i}}{\sum_{}^{}\frac{1}{x_{i}}*n_{i}}$=

Dla zmiennej ciągłej nie wyliczmy.

h≤ g≤ $\overset{\overline{}}{\mathbf{x}}$

1. Wartość modalna

Me - wartość modalna; wartość występująca najliczniej

Np. Me=5

1. Wartość medialna

Me- mediana; wartość środkowa szeregu uporządkowanego rosnąco lub malejąco

1. Gdy n- nieparzyste

Me = X [ ½ (n+2)]

1. Gdy n- parzyste

X [½ n]≤ Me ≤ X [ ½ (n+2)]

Np. X­_i= 1,2,2,3,3,5,5,5,7,8 (wszystkich jest 10 to n=10 i jest parzyste)

X[5]≤ Me ≤ X [6]

3≤ Me ≤ 5

Median występuje pomiędzy 3,5

1. Odchylenie przeciętne Op

Dla szeregu a)

$Op = \frac{\sum|x_{i} - \overset{\overline{}}{x}|}{n}$=

$Op = \frac{\left| 1 - 4,1 \right| + \left| 2 - 4,1 \right| + \ldots + |8 - 4,1|}{10}$=1,9

Dla szeregu b)

$Op = \frac{\sum_{}^{}{\left| x_{i} - \overset{\overline{}}{x} \right|*\ n_{i}}}{\sum_{}^{}n_{i}}$=

$Op = \frac{\left| 1 - 4,1 \right|*1 + \left| 2 - 4,1 \right|*2 + \ldots + \left| 8 - 4,1 \right|*1}{10}$=1,9

Dla zmiennej ciągłej)

$Op = \frac{\sum_{}^{}{{|x}_{i} - \overset{\overline{}}{x|}}}{n}$=

1. Wariancja- S²

Dla szeregu a)

$S^{2} = \frac{\sum x_{i}^{2}\frac{(\sum x_{i})^{2}}{n}}{n - 1}$=

$S^{2} = \frac{1^{2} + 2^{2} + 2^{2} + \ldots + 8^{2} - \frac{41^{2}}{10}}{10 - 1}$=5,21

Dla szeregu b)

$S^{2} = \frac{\sum_{}^{}{x_{i}^{2}*n_{i} - \frac{(\sum_{}^{}{x_{i}*n_{i})^{2}}}{\sum_{}^{}n_{i}}}}{\sum_{}^{}{n_{i} - 1}}$=

$S^{2} = \frac{1^{2}*1 + 2^{2}*2 + \ldots + 8^{2}*1 - \frac{(41)^{2}}{10}}{9}$= 5,21

Dla zmiennej ciągłej)

$S^{2} = \frac{\sum_{}^{}{x_{i}^{2} - \frac{(\sum_{}^{}{x_{i})^{2}}}{n}}}{n - 1}$=

1. Odchylenie standardowe

$S = \sqrt{S^{2}}$=

$S = \sqrt{5,21}$ = 2,28

1. Współczynnik zmienności

$V = \frac{S}{\overset{\overline{}}{x}}*100$=

$V = \frac{2,28}{4,1}*100$= 55,6%

1. Rozstęp- R

R= Xmax- X min

R= 8-1=7

Ćwiczenia 2

Estymacja przedziałowa

1. Przedział wartości dla średniej (m) populacji generalnej

$\text{P\ }\left\{ \overset{\overline{}}{x} - t_{\propto V}*S\overset{\overline{}}{x} \leq m \leq \overset{\overline{}}{x} + t_{\propto V}*S\overset{\overline{}}{x} \right\} = 1 - \propto$

t_αV- wartość z tabeli

α- liczba stopni swobody v= n-1

$S\overset{\overline{}}{x}$- błąd standardowy średniej arytmetycznej; $S\overset{\overline{}}{x} = \sqrt{\frac{s^{2}}{n}}$=$\frac{S}{\sqrt{n}}$=

Z zadania potrzebne są: $\overset{\overline{}}{x}$; n; s²; v; α

Wylicza się: $S\overset{\overline{}}{x}$

Z tabeli bierze się: t_αV

1. Przedział wartości dla różnych średnich (m₁- m₂) dwóch populacji genetycznych.

$P\{\left( {\overset{\overline{}}{x}}_{1} - {\overset{\overline{}}{x}}_{2} \right) - t_{\propto V}*S_{r} \leq m \leq \left( {\overset{\overline{}}{x}}_{1} - {\overset{\overline{}}{x}}_{2} \right) + t_{\propto V}*S_{r}\}$=1 - α

α- liczba stopni swobody V= n₁+ n₂ -2

S_r- błąd standardowy różnicy średnich

$S_{r} = \ \sqrt{S_{e}^{2}*(\frac{1}{n_{1}} + \frac{1}{n_{2}})}$=

$S_{e}^{2} = \frac{S_{1}^{2}\left( n_{1} - 1 \right) + S_{2}^{2}(n_{2} - 1)}{n_{1} + n_{2} - 2}$=

Ćwiczenia 3

Weryfikacja hipotez

1. Na podstawie przedziału ufności

H₀: m= 0,75 (H₀: m- 0,75= 0)

x~ N (m, δ)

P{ 0,622≤ m≤ 0,730}= 0,95 → nie mieści się 0,75

P {0,598 ≤ m ≤ 0,754} = 0.99 → mieści się 0,75

Hipoteze z prawdopodobieństwem 99% przyjmujemy.

H₀: m₁= m₂ (H₀ : m₁-m₂=0

x₁~N (m_1, δ₁) x₂~N (m₂, δ₂)

P {0,060 ≤ m₁- m₂≤ 0,190} = 0,95 → nie mieści się 0,75

P {0,036 ≤ m₁ – m₂ ≤ 0,214} = 0,99 → nie mieści się 0,75

Obie hipotezy odrzucamy!!

1. Weryfikacja testem t-studenta

|t_emp| > |t _αV| - odrzucamy hipotezę

|t_emp| ≤ t_αV - przyjmujemy hipotezę

H₀: m= m₀

x~ N(m,δ)

t_emp= $\frac{\overset{\overline{}}{x} - m_{0}}{S\overset{\overline{}}{x}}$=

np.:

H₀: m= 0,75

x~ N(m,8)

$\overset{\overline{}}{x}$= z zadania 0,676

S$\overset{\overline{}}{x}$= z zadania 0,024

t_emp= $\frac{\overset{\overline{}}{x} - m_{0}}{S\overset{\overline{}}{x}}$= $\frac{0,676 - 0,75}{0,024}$= -3,083

czyli:

|t_emp|= -3,083 >t_0,05;9 =2,262 (odrzucamy hipotezę)

<t_0,01;9 = 3,250 (przyjmujemy hipotezę)