1.Def:Funkcją pierwotną funkcji f w przedziale I nazywamy funkcję F taką, że F’(x)=f(x);xϵI;Wyznaczanie funkcji pierwotnej

Jest operacją odwrotną do wyznaczania pochodnej.Tw(o funkcjach pierwotnych):Każde dwie funkcje pierwotne do danej funkcji

W przedziale różnią się o funkcję stałą;Całka nieoznaczona:zbiór wszystkich funkcji pierwotnych do tej funkcji

W tym przedziale, którą oznaczamy:∫f(x)dx=F(x)+C dla xϵI gdzie F jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale I a C dowolną stałą;

2.Tw(o całkowaniu przez części):Jeśli funkcje f i g mają ciągłe pochodne w przedziale I, to zachodzi wzór:∫f(x)g’(x)dx=f(x)g(x)-∫f’(x)g(x)dx;

Tw(o całkowaniu przez podstawienie):Jeśli funkcja h ma ciągłą pochodną w przed. I, a funkcja g jest ciągła w przedziale h(I)

to zach.wzór:∫g(h(x))*h’(x)dx=∫g(t)dt;

3.—Każdą funkcję wymierną niewłaściwą można przedstawić jednoznacznie w postaci sumy wielomianu i funkcji wymiernej

Właściwej:P_m(x)/Q_n(x)=W_m-n(x)+(R_k(x)/Q_m(x)) dla k<n;--Każdą funkcję wymierną właściwą można przedstawić jednoznacznie w

Postaci sumy ułamków prostych pierwszego rodzaju(A/(x-x₀)^k) i drugiego rodzaju;Całkowanie funkcji tryg:Typ I:Całki postaci:

1)∫sin(ax)cos(bx)dx=½(sin(ax+bx)+sin(ax-bx));2)∫sin(ax)sin(bx)= ½(cos(ax-bx)-cos(ax+bx));3)cos(ax)cos(bx)=½(cos(ax+bx)+cos(ax-bx));

Typ II:1)∫sin^2kxdx=sin²x=½(1-cos2x);2)∫cos^2kxdx=cos²x=½(1+cos2x);3)∫sin^2kxcos^2kxdx=½sin2x; Typ III:1)∫R₁(sinx)cosx;2)∫R₂(cosx)sinxdx;

3)∫R₃(sinx,cosx)dx;rozwiązujemy przez podstawianie;

4.Całka oznaczona właściwa:Niech f będzie funkcją określoną i ograniczoną w przedziale domkniętym <a;b>;Podziałem π

Przedziału <a;b> na n-części nazywamy zbiór przedziałów postaci <x₀;x>,<x₁;x₂>…<x_k-1;x_k>…<x_n-1;x_n> takich, że

a=x₀<x₁<x₂<…<x_k-1<x_k<….<x_n-1<x_n;Def:Całką oznaczoną Riemanna z funkcji ograniczonej f po przedziale <a;b> nazywamy liczbę

którą oznaczamy i określamy wzorem:∫^b_af(x)dx=lim_n->∞∑ⁿ_k=1f(c_k)*Δx_k;Własności całki oznaczonej:1)∫^b_af(x)dx=∫^c_af(x)dx+∫^b_cf(x)dx;

2)∫^b_af(x)dx≤∫^b_ag(x) gdy f(x)≤g(x);3)∫^b_a(αf(x)+βg(x))dx=α∫^b_af(x)dx+β∫^b_ag(x)dx;4)|∫^b_af(x)dx|≤∫^b_a|f(x)dx|;5)m(b-a)≤∫^b_af(x)dx≤M(b-a);

Tw(pierwsze tw.główne rach.całkowego):Jeśli funkcja f jest ciągła w przedziale <a;b> to funkcja F określona wzorem:

F(x)=∫^x_af(t)dt ma pochodną w przedziale <a;b> oraz F’(x)=f(x);Tw(drugie tw.ogólne):Jeśli funkcja f jest ciągła w przed <a;b> i F jest

Funkcją pierwotną do f w tym przed to zachodzi wzór:∫^b_af(x)dx=F(x)|^b_a=F(b)-F(a);Tw(o wart śred):Jeśli funkcja f jest ciąg. W przed.

<a;b> to istnieje punkt c ϵ<a;b> taki, że zachodzi wzór:∫^b_af(x)=f(c)(b-c);

5.Całka oznaczona niewł. pierwszego rodzaju:Niech f będzie okreś. I ogr w przedziale <a;+∞> oraz całkowalna w przedziale <a;T>.

Daje to wzór:∫^+∞_af(x)dx=lim_T->+∞∫^T_af(x)dx;6.Całka ozn.niewłaściwa drugiego rodzaju:Niech f będzie określona w <a;b) i nieograniczona

W lewostronnym sąsiedztwie b oraz całkowalna w przed <a,T>:

7.Def:Szeregiem potęgowym o środku w punkcie x₀ i współczynnikach a_nϵR nazywamy szereg:∑^∞_n=0an(x-x₀)ⁿ=a₀+a₁(x-x₀)+…;

Def:Promieniem zbierz. Szeregu potęgowego∑^∞_n=1an(x-x₀)ⁿ nazywamy liczbę R>0 taką że szereg jest zbierz.w przedziale

|x-x₀|<R i rozbierz |x-x₀|>R;8.Tw(o rozwijaniu funkcji w szereg potęgowy):jeśli funkcja f jest klasy C^∞ w otoczeniu Q(x₀,δ) punktu x₀

I pochodne są ograniczone |f⁽ⁿ⁾(x)|≤M dla xϵQ(x₀,δ) to funkcję można przedstawić w postaci szeregu Taylora:f(x)=∑^∞_n=0(f⁽ⁿ⁾(x)/n!)(x-x₀)ⁿ;

9.Def:Dziedzinę naturalną funkcji wielu zmiennych określoną wzorem u=f(x,y,…,z)nazywamy zbiór D_f={(x,y,…,z)ϵR:f(x,y,…,z)ϵR};

10.Pochodne cząstkowe rzędu pierwszego funkcji z=f(x,y) w punkcie wewnętrznym (x₀,y₀)ϵD_f a)względem x:f_x(x₀,y₀)=lim_Δx->0(f(x₀+Δx₁y₀)

-f(x₀,y₀))/Δx;b)względem y:f_y(x₀,y₀)=lim_Δy->0(f(x₀+Δy+y₀)-f(x₀,y₀))/Δy;11.Pochodne cząstkowe rzędu drugiego:

Niech funkcja z=f(x,y) ma pochodne cząstkowe rzędu pierwszego f_x i f_y.Pochodne cząstkowe rzedu drugiego w punkcie (x₀,y₀) nazywamy

F_xx=(f_x)_x(x₀,y₀);f_xy=(f_x)_y(x₀,y₀);f_yx=(f_y)_x(x₀,y₀);f_yy=(f_y)_y(x₀,y₀);

12.Tw(o przyroście):Jeśli funkcja z=f(x,y) jest różniczkowalna w punkcie wew.P₀(x₀,y₀) to jej przyrost wyraża się wzorem:

f(x₀+dx,y₀+dy)-f(x₀,y₀)=f_x(x₀,y₀)dx+f_y(x₀,y₀)dy+R(dx,dy);13.Tw(warunek konieczny i dostateczny na ekstremum):

Jeśli funkcja k-zmiennych u=f(x,y,…,z) jest dwukrotnie różniczkowalna w punkcie wew.P₀ oraz 1)pierwsza pochodna f’(P₀)=D

{fx(P₀)=0;{fy(P₀)=0;{fz(P₀)=0}(war.kon);2)druga poch. f”(P₀)=|fxx fxy fxz;fyx fyy fyz;fzx fzy fzz| a)określona + to w P₀ ma min lokalne;

b)określona – to P₀ ma max lok;c)nieujemnie okreś to może mieć min lok;d)niedodatnio to może mieć max;

e)nieokreślona to funkcja nie ma ekstremum;

14.Równanie różniczkowe o zmiennych rodzielonych:równanie w postaci:y’=f(x)g(y) dla (x,y)ϵD;Równanie róż jednorodne:

Równanie róż.w postaci y’=f(y/x) dla (x,y)ϵD={(x,y)ϵR²:(y/x)ϵI};15.Równanie róż.liniowe:jest to równanie w postaci:y’+f(x)y=g(x) dla

(x,y)ϵD=I x R;gdzie f i g są ciągłe w I;Metoda:1)szukamy RORRLJ;2)szukamy RSRRLS;3)rozwiązanie RRORRLN jest sumą RORRLJ i RSRRLS;

16.Równanie Bernoulliego:niech funkcjie f i g będą ciągłe w przedziale I oraz liczba sϵR-{0,1}. Równanie zapisuje się wzorem:

Y’+f(x)y=g(x)y^s.Równanie to można sprowadzić do równania liniowego przez podstawienie z=y^1-s gdzie y(x) i z(x);

17.Równanie różniczkowe rzędu drugiego:jest to równanie w postaci y”=f(x,y,y’);(x,y,y’)ϵD;gdzie f jest daną funkcją

Określoną w pewnym obszarze DсR³zależną od arg x, funkcji niewiadomej y i pochodnej y’;

18.Równanie różniczkowe liniowe rzędu drugiego o stałych współczynnikach:niech będą dane liczby rzecz.p₁,p₂ϵR i

Funkcja g ciągła w przedziale I.Równanie ma postać y”+p₁y’+p₂y=g(x);dla (x,y,y’)ϵD=IxR²;

RRLJ:

19.Def:Obszar normalny w przestrzeni R²:Obszar zwarty DсR² nazywamy:a)obszarem normalnym względem osi x,gdy da się

Zapisać w postaci:D:{a≤x≤b;{g(x)≤y≤h(x)};funkcjie g i h są ciągłe w przedziale <a;b>;b)obszarem normalnym względem osi y,gdy

Da się zapisać:D:{c≤y≤d;{p(y)≤x≤g(y)};gdzie p i g są ciągłe w przedziale <c;d>;20.Współrzędnymi biegunowymi punktu

P=(x,y)ϵR² nazywamy uporządkowaną parę liczb(r,ϕ) taką, że:{x(r,ϕ)=rcosϕ;{y(r,ϕ)=rsinϕ} dla (r,ϕ)=Δ:{0≤r≤∞;{0≤ϕ≤2π}lub

ϕ₀≤ϕ≤ϕ₀+2π;21.Obszar normalny w przestrzeni R³:obszar zwarty(domknięty i ograniczony)względem płaszczyzny 0xy, gdy da się go

Opisać w postaci:{(x,y) ЄD;{ϕ(x,y)≤z≤Ψ(x,y);gdzie funkcje Ψ,ϕ są ciągłe na obszarze zwartym D;

22.Współrzędnymi walcowymi punktu PЄR³ o wsp kartezjańskich(x,y,z)nazywamy uporządkowaną trójkę liczb (r,y,z) taką, że:

{x(r,y,z)=rcosϕ;{y(r,y,z)=rsinϕ;{z(r,y,z)=z};dla(r,y,z)ϵΔ:{0≤r<∞;{0<ϕ≤2π;{-∞<z<∞};

Inter.geometryczna: J(r;y;z)=|x_rx_yx_z;y_ry_yy_z;z_rz_yz_z|=

|cosy –rsiny 0;siny rcosy 0;0 0 1|;23.Współrzędnymi sferycznymi punktu

PϵR³ o wsp kart(x,y,z)nazywamy uporząkowaną trójkę liczb(ζ;ϕ;ϑ)taką że:{x(ζ;ϕ;ϑ)=ζcosϕsinϑ;{y(ζ;ϕ;ϑ)=ζsinϕsinϑ;{z(ζ;ϕ;ϑ)=ζcosϑ};

dla(ζ;ϕ;ϑ)ϵΔ:{0≤ζ≤∞;{0≤ϕ≤2π;{0≤ϑ≤π};Interpretacja geometryczna:

|J(ζ;ϕ;ϑ)|=ζ²sinϑ;J(ζ;ϕ;ϑ)=|x_ζx_ϕx_ϑ;y_ζy_ϕy_ϑ;z_ζz_ϕz_ϑ|=|cosϕsinϑ –ζsinϕsinϑ ζcosϕcosϑ;sinϕsinϑ –ζcosϕsinϑ sinϕsinϑ;cosϑ 0 –sinϑ|;

24.Gradientem pola skalarnego-ϕ nazywamy pole wektorowe określone wzorem:gradϕ(x)=[ϕ_x(r),ϕ_y(r),ϕ_z(r)];

Dywergencją pola wekt:w nazywamy pole skalarne określone wzorem:dirW(r)=P_x(r)+Q_y(r)+R_z(r);

Rotacją pola wektorowego W:nazywamy pole wektorowe określone wzorem:rotW(r)=|i j k;σ/σx σ/σy σ/σz;P(r) Q(r) R(r)|;