Politechnika Łódzka
Wydział Fizyki Technicznej, Informatyki i Matematyki Stosowanej
Kierunek: Matematyka
Specjalność: Matematyka Finansowa i Ubezpieczeniowa
Ubezpieczenia na życie
– kalkulacja składek
Projekt wykonany przez:
| Imię i nazwisko: | Nr indeksu: |
|---|---|
| Joanna Jóźwiak | 158129 |
| Anna Ociepa | 158180 |
| Agnieszka Jaroszewska | 158123 |
Opiekun: dr inż. Violetta Lipińska
Łódź 2011/2012
Spis treści
1. Wprowadzenie……………………………………………………………………………………………………………… …....…..2
2. Oznaczenia i wzory…………………………………………………………………………………………………… ………......…2
2.1. Podstawowe oznacznia……………………………………………………………………………………………………...…..2
2.2. Funkcje komutacyjne………………………………………………………………………….…… ………………….….....….3
3. Założenia i twierdzenia…………………………………………………………………………….………………....….………..3
4. Jednorazowa składka netto……………………………………………………………………….………....……….………….4
4.1. Ubezpieczenie terminowe na wypadek śmierci i dożycie odroczone……….………….....…….………..4
4.1.1.Ubezpieczenie terminowe na wypadek śmierci odroczone……………………….……….......……….5
4.1.2.Ubezpieczenie na dożycie odroczone…………………………………………………….………………….........6
4.2. Ubezpieczenie terminowe na wypadek śmierci odroczone o funkcji wypłaty malejącej schodkowo……………………………………………………………………………………………………………….………………..........6
4.3. Ubezpieczenie terminowe na wypadek śmierci odroczone o funkcji wypłaty rosnącej schodkowo………………………………………………………………………………………………………………………………………...8
4.4. Renta życiowa terminowa płatna z góry odroczona…………………………………………….………....……...9
4.5. Renta życiowa terminowa płatna z dołu odroczona……………………………………………...……………...11
5. Koszty ponoszone przez firmę ubezpieczeniową………………………………………………….…….…………….11
6. Jednorazowa składka netto w pakiecie ubezpieczeniowym……………………………….………….………...11
7. Zwrot składki ……………............………………………………………………………………………….………….………….13
8. Ratalna składka netto……………………………………………………………………………………….……………..……...14
8.1. Ratalna składka netto bez zwrotu składek.................................................................................14
8.2. Ratalna składka netto ze zwrotem składek................................................................................15
9. Ratalna składka brutto……………………………………………………………………………………………………..………15
9.1. Ratalna składka brutto bez zwrotu składek................................................................................15
9.2. Ratalna składka brutto ze zwrotem składek...............................................................................16
10. Instrukcje do arkusza kalkulacyjnego programu Excel…………………………………………………..…….... 18
Wprowadzenie
Pakiet ubezpieczeniowy, który przedstawimy w naszym projekcie składa się z następujących elementów:
terminowej renty życiowej płatnej z dołu,
terminowego ubezpieczenia ciągłego na wypadek śmierci i dożycie,
terminowego ubezpieczenia ciągłego, o malejącej lub rosnącej schodkowo funkcji wypłaty.
Wypłata świadczeń z tytułu powyższych składników następuje w chwili śmierci osoby ubezpieczonej. Dodatkowo, jeśli osoba ubezpieczona umrze przed czasem rozpoczęcia pierwszego elementu, czyli w okresie tzw. „ciszy ubezpieczeniowej”, osoba uposażona otrzyma zakumulowaną wartość składek, które zostały wpłacone do momentu śmierci klienta.
Elementy pakietu mogą występować w dowolnej kolejności, lecz nie mogą one się powtarzać, czyli każdy z nich musi wystąpić tylko raz. Dodatkowo nie mogą one pokrywać się w czasie, innymi słowy, drugi element powinien nastąpić w momencie zakończenia pierwszego, lecz może także być względem niego odroczony.
Składki w pakiecie płacone są przez klienta z góry, od momentu podpisania umowy, do momentu zakończenia drugiego elementu, z wybraną przez niego częstotliwością. Celem tego projektu jest wyznaczenie pojedynczej ratalnej składki brutto. Aby było to możliwe zostanie także policzona jednorazowa oraz ratalna składka netto dla całego pakietu.
Firma ubezpieczeniowa ustala wysokość stopy procentowej, a także koszty związane z niniejszym pakietem, które zostaną omówione dokładniej w dalszej części projektu.
Do wykonania wszystkich obliczeń w tym projekcie wykorzystujemy tablice trwania życia z 2007 roku.
Oznaczenia i wzory
Podstawowe oznaczenia:
Wprowadzimy teraz podstawowe oznaczenia, które będą wykorzystywane w całym projekcie.
(x) – wiek osoby podpisującej polisę ubezpieczeniową;
s – funkcja przeżywalności;
T(x) – zmienna losowa opisująca przyszły czas życia osoby w wieku x;
K(x) – zmienna losowa opisująca całkowitą, przyszłą liczbę przeżytych lat osoby w wieku x;
tpx – prawdopodobieństwo, że osoba w wieku x przeżyje kolejne t lat;
tqx – prawdopodobieństwo, że osoba w wieku x nie przeżyje kolejnych t lat;
µx+t – intensywność wymierania;
m – termin odroczenia ubezpieczenia;
n – czas trwania ubezpieczenia;
jm – jednostka monetarna;
Z – zmienna losowa opisująca wartość obecną wypłaconego świadczenia;
Y – zmienna losowa opisująca wartość obecną renty życiowej;
JSN – jednorazowa składka netto;
RSN – ratalna składka netto;
RSB – ratalna składka brutto;
Funkcje komutacyjne:
Do obliczenia wartości poszczególnych składek netto oraz wartości obecnych rent życiowych wykorzystamy następujące wzory na funkcje komutacyjne:
Dx = lx • vx, Cx = vx + 1 • dx,
$$M_{x}\ = \ \sum_{k = 0}^{\infty}C_{x + k},{\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }N}_{x}\ = \ \sum_{k = 0}^{\infty}D_{x + k},$$
$$R_{x}\ = \ \sum_{k = 0}^{\infty}M_{x + k} = \sum_{k = 0}^{\infty}{\left( k + 1 \right) \bullet C_{x + k}}\ ,$$
gdzie:
$$d_{x} = l_{x} - l_{x + 1},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ l_{x} = l_{0} \bullet s\left( x \right),\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ v = \frac{1}{1 + i}.$$
Założenia i twierdzenia
W naszym projekcie wykorzystujemy następujące założenia:
Nieselektywna teoria przeżywalności
P(T(x)>t) = P(X>x+t|X≥x) dla t > 0 i x > 0;
Twierdzenie:
Jeżeli spełnione jest założenie o braku selekcji, to dla ustalonego x ≥ 0 oraz dowolnego t > 0 zachodzi:
$$\ _{t}^{\ }p_{x} = \frac{s\left( x + t \right)}{s\left( x \right)}$$
Dowód:
$$_{t}^{\ }p_{x} = P\left( T\left( x \right) > t \right) = P\left( X > x + t \middle| X \geq x \right) = \frac{P\left( X > x + t\ \text{\ X} \geq x \right)}{P\left( X \geq x \right)}$$
$$= \frac{P(X > x + t)}{P(X \geq x)} = \frac{s(x + t)}{s(x)}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$$
Założenie o jednostajnej wymieralności między całkowitymi liczbami lat (UDD, z ang. Uniform Distribution of Death) dla x{0, 1, 2, …} i t(0, 1) ma postać:
s(x+t) = (1−t) • s(x) + t • s(x + 1)
Twierdzenie: Gęstość zmiennej losowej T(x) przy założeniu UDD wynosi:
t px•x + t = qx
Dowód:
$$_{t}^{\ }p_{x} \bullet \mu_{x + t} = \frac{s\left( x + t \right)}{s\left( x \right)} \bullet \left\lbrack - \frac{{s_{t}}^{'}\left( x + t \right)}{s\left( x + t \right)} \right\rbrack = - \frac{{s_{t}}^{'}\left( x + t \right)}{s\left( x \right)}$$
$$= \left| \text{przy\ za}lozeniu\ UDD:\ \ \ \ \begin{matrix}
s\left( x + t \right) = \left( 1 - t \right) \bullet s\left( x \right) + t \bullet s\left( x + 1 \right) \\
\end{matrix} \right|$$
$$= - \frac{- s\left( x \right) + s\left( x + 1 \right)}{s\left( x \right)} = \frac{s\left( x \right) - s\left( x + 1 \right)}{s\left( x \right)} = 1 - \frac{s\left( x + 1 \right)}{s\left( x \right)} = q_{x}\text{\ .}$$
Jednorazowa składka netto
W tym rozdziale zostaną wyprowadzone wzory na jednorazowe składki netto wykorzystane w naszym pakiecie ubezpieczeniowym. Będą to składki dla ubezpieczeń typu ciągłego i dyskretnego. Wykazane zostaną zależności pomiędzy tymi dwoma typami składek, a także możliwość zapisania ich za pomocą funkcji komutacyjnych, co zostanie wykorzystane do wykonania większości obliczeń. Dla uogólnienia bierzemy tutaj po uwagę ubezpieczenia i renty życiowe odroczone, gdyż oczywiste jest, że jeśli odroczenie będzie równe 0, to będziemy mieli do czynienia z rentą lub ubezpieczeniem nieodroczonym.
Ubezpieczenie terminowe na wypadek śmierci i dożycie odroczone
Ubezpieczenie terminowe na wypadek śmierci i dożycie jest jednym ze składników naszego pakietu ubezpieczeniowego. Zajmiemy się teraz wyprowadzeniem wzorów na jednorazowe składki netto osobno dla odroczonego ubezpieczenia na wypadek śmierci oraz dla odroczonego ubezpieczenia na dożycie, a następnie wykorzystamy wzór na poszukiwaną składkę, który ma postać:
Dla przypadku dyskretnego:
$$_{m|}^{\ }A_{x:\overset{\overline{}}{n}|}^{\ } =_{m|}^{\ }A_{x:\overset{\overline{}}{n}|}^{1} +_{m|}^{\ }A_{x:\overset{\overline{}}{n}\ |}^{\ \ \ \ \ 1}$$
Oraz dla przypadku ciągłego:
$$_{m|}^{\ }{\overset{\overline{}}{A}}_{x:\overset{\overline{}}{n}|}^{\ } =_{m|}^{\ }{\overset{\overline{}}{A}}_{x:\overset{\overline{}}{n}|}^{1} +_{m|}^{\ }A_{x:\overset{\overline{}}{n}\ |}^{\ \ \ \ \ 1}$$
Ubezpieczenie terminowe na wypadek śmierci odroczone
Jednorazowa składka netto dla ubezpieczenia n -letniego na wypadek śmierci odroczonego o m lat, które wypłaca 1 jm w momencie śmierci osoby ubezpieczonej.
Przypadek dyskretny, czyli taki, w którym wypłata świadczenia z tytułu śmierci ubezpieczonego następuje na koniec roku, w którym nastąpił zgon tej osoby:
$$_{m|}^{\ }A_{x:\overset{\overline{}}{n}|}^{1} = \ \sum_{k = m}^{m + n - 1}{v^{k + 1} \bullet_{k}^{\ }{p_{x} \bullet q_{x + k} = \sum_{k = m}^{m + n - 1}{v^{k} \bullet \frac{l_{x + k}}{l_{x}}}}} \bullet \left( 1 - \frac{l_{x + k + 1}}{l_{x + k}} \right) = \sum_{k = m}^{m + n - 1}{v^{k + 1} \bullet \frac{l_{x + k} - l_{x + k + 1}}{l_{x}}} = \sum_{k = m}^{m + n - 1}{v^{k + 1} \bullet \frac{d_{x + k} \bullet v^{x}}{l_{x} \bullet v^{x}}} = \frac{1}{D_{x}} \bullet \sum_{k = m}^{m + n - 1}C_{x + k} = \frac{1}{D_{x}} \bullet (\sum_{k = 0}^{\infty}{C_{x + k} - \sum_{k = 0}^{m - 1}\begin{matrix}
C_{x + k} - \sum_{k = m + n}^{\infty}C_{x + k}) = \ \\
\ \\
\end{matrix}}\frac{1}{D_{x}} \bullet (\sum_{k = m}^{\infty}{C_{x + k} - \sum_{k = m + n}^{\infty}{C_{x + k})}}$$
=|podstawiamy: k−m=s, k−m−n=c|
$$= \frac{1}{D_{x}} \bullet \left( \sum_{s = 0}^{\infty}C_{x + m + s} - \sum_{c = 0}^{\infty}C_{x + m + n + c} \right) = \frac{M_{x + m} - M_{x + m + n}}{D_{x}}\text{\ .}$$
Przypadek ciągły, czyli taki w którym wypłata świadczenia z tytułu śmierci ubezpieczonego następuje w momencie zgonu tej osoby:
$$_{m|}^{\ }{\overset{\overline{}}{A}}_{x:\overset{\overline{}}{n}|}^{1} = \int_{m}^{m + n}{v^{t} \bullet_{t}^{\ }{p_{x} \bullet_{x + t}\ \text{dt}}}$$
Związek między ubezpieczeniem dyskretnym, a ciągłym:
Twierdzenie: Przy założeniu UDD zachodzi równość:
$$_{m|}^{\ }{\overset{\overline{}}{A}\ _{x:\overset{\overline{}}{n}|}^{1} = \frac{i}{}} \bullet_{m|}^{\ }A_{x:\overset{\overline{}}{n}|}^{1}$$
Dowód:
$$_{m|}^{\ }{\overline{A}}_{x:\overset{\overline{}}{n}|}^{1} = \int_{m}^{m + n}{v^{t} \bullet_{t}^{\ }{p_{x} \bullet_{x + t}\text{dt} = \sum_{k = m}^{m + n - 1}{\text{\ \ }\int_{k}^{k + 1}v^{t}}}} \bullet {_{t}^{\ }p}_{x} \bullet_{x + t}\text{dt} = \left| \text{podstawiamy}:\ t = k + s \right| = \sum_{k = m}^{m + n - 1}{\ \int_{0}^{1}{v^{k + s} \bullet_{k + s}^{\ }p_{x}}} \bullet_{x + k + s}\text{ds} = \sum_{k = 1}^{m + n - 1}{v^{k + 1} \bullet_{k}^{\ }{p_{x} \bullet \int_{0}^{1}v^{s - 1}}} \bullet_{s}^{\ }p_{x + k}{\bullet}_{x + k + s}\ $$
Stosując założenie UDD otrzymujemy dalej:
$$_{m|}^{\ }{{\overline{A}}_{x:\overline{n}|}^{1} =}\sum_{k = m}^{m + n - 1}{v^{k + 1} \bullet_{k}^{\ }{p_{x} \bullet \int_{0}^{1}{v^{s - 1} \bullet q_{x + k}\text{ds} = \sum_{k = m}^{m + n - 1}v^{k + 1}}}} \bullet_{k}^{\ }{p_{x} \bullet q_{x + k}\int_{0}^{1}{v^{s - 1}\text{ds} = \ \frac{i}{} \bullet_{m|}^{\ }A_{x:\overline{n}|}^{1}}}\text{\ .}$$
Ubezpieczenie na dożycie odroczone
Jednorazowa składka netto dla ubezpieczenia na dożycie odroczonego o m lat, które wypłaca 1 jm w momencie dożycia przez osobę ubezpieczoną wieku x+n+m.
$$_{m|}^{\ }{A_{x:\overset{\overline{}}{n}\ |}^{\ \ \ \ \ 1} = v^{m + n} \bullet_{m + n}^{\ }p_{x}} = \ v^{m + n} \bullet \frac{l_{x + m + n} \bullet v^{x}}{l_{x} \bullet v^{x}} = \ \frac{1}{D_{x}} \bullet v^{x + m + n} \bullet l_{x + m + n} = \frac{D_{x + m + n}}{D_{x}}\text{\ .}$$
Ubezpieczenie terminowe na wypadek śmierci odroczone o funkcji wypłaty malejącej schodkowo
Ubezpieczenie n -letnie na wypadek śmierci odroczone o m lat o funkcji wypłaty malejącej schodkowo jest kolejnym ze składników naszego pakietu. Poniżej wyprowadzimy więc wzory na jednorazową składkę netto dla tego ubezpieczenia.
Przypadek dyskretny, czyli taki, w którym wypłata świadczenia z tytułu śmierci ubezpieczonego następuje na koniec roku, w którym nastąpił zgon tej osoby:
$$_{m|}^{\ }{({\text{DA})}_{x:\overset{\overline{}}{n}|}^{1}} = \ \sum_{k = m}^{m + n - 1}{\left( n + m - k \right) \bullet v^{k + 1} \bullet_{k}^{\ }p_{x} \bullet q_{x + k} = \sum_{k = m}^{m + n - 1}{\left( n + m - k \right) \bullet v^{k + 1} \bullet \frac{l_{x + k}}{l_{x}} \bullet \frac{l_{x + k} - l_{x + k + 1}}{l_{x + k}} \bullet \frac{v^{x}}{v^{x}} = \sum_{k = m}^{m + n - 1}{\left( n + m - k \right) \bullet v^{k + 1} \bullet \frac{d_{x + k}}{l_{x}} \bullet \frac{v^{x}}{v^{x}}}}}$$
$$= \frac{1}{D_{x}} \bullet \sum_{k = m}^{m + n - 1}{\left( n + m - k \right) \bullet v^{k + x + 1} \bullet d_{x + k} =}\frac{1}{D_{x}} \bullet \sum_{k = m}^{m + n - 1}{\left( n + m - k \right) \bullet C_{x + k}}$$
$$= \frac{1}{D_{x}} \bullet \left\lbrack \sum_{k = m}^{\infty}{\left( n + m - k \right) \bullet C_{x + k} - \sum_{k = m + n}^{\infty}{\left( n + m - k \right) \bullet C_{x + k}}} \right\rbrack$$
=|podstawiamy:s=k−m;t=k−m−n|
$$= \frac{1}{D_{x}} \bullet \left\lbrack \sum_{s = 0}^{\infty}{\left( n - s \right) \bullet C_{x + m + s} + \sum_{t = 0}^{\infty}{t \bullet C_{x + m + n + t}}} \right\rbrack$$
$$= \frac{1}{D_{x}} \bullet \left\lbrack n \bullet M_{x + m} - \sum_{s = 0}^{\infty}{\left( s + 1 \right) \bullet C_{x + m + s} + \sum_{s = 0}^{\infty}{C_{x + m + s} + \sum_{t = 0}^{\infty}{\left( t + 1 \right) \bullet C_{x + m + n + t}}} - \sum_{t = 0}^{\infty}C_{x + m + n + t}} \right\rbrack$$
$$= \frac{n \bullet M_{x + m} - R_{x + m} + M_{x + m} + R_{x + m + n} - M_{x + m + n}}{D_{x}}\text{\ .}$$
Przypadek ciągły, czyli taki, w którym wypłata świadczenia z tytułu śmierci ubezpieczonego następuje w momencie zgonu tej osoby:
$$_{m|}^{\ }{(D\overset{\overline{}}{A}})_{x:\overset{\overline{}}{n}|}^{1} = \int_{m}^{m + n}{(n + m - \left\lfloor \left. \ t \right\rfloor\ ) \bullet v^{t\ } \bullet_{t}^{\ }{p_{x} \bullet_{x + t}\ \text{dt}} \right.\ }$$
Związek między ubezpieczeniem dyskretnym, a ciągłym:
Twierdzenie: Przy założeniu UDD zachodzi zależność:
$$_{m|}^{\ }{(D\overset{\overline{}}{A})_{x:\overset{\overline{}}{n}|}^{1} = \frac{i}{}} \bullet_{m|}^{\ }{(\text{DA})_{x:\overset{\overline{}}{n}|}^{1}}\ ,$$
gdzie =ln(1 + i).
Dowód:
$$_{m|}^{\ }{(D\overset{\overline{}}{A})_{x:\overset{\overline{}}{n}|}^{1}} = \int_{m}^{m + n}{(n + m - \left\lfloor t \right\rfloor) \bullet v^{t} \bullet_{t}^{\ }{p_{x} \bullet_{x + t}dt = \sum_{k = m}^{m + n - 1}{\text{\ \ }\int_{k}^{k + 1}{(n + m - \left\lfloor t \right\rfloor}}}}) \bullet v^{t} \bullet {_{t}^{\ }p}_{x} \bullet_{x + t}dt = \left| podstawiamy:\ t = k + s \right| = \sum_{k = m}^{m + n - 1}{\ \int_{0}^{1}{(n + m - \left\lfloor k + s \right\rfloor) \bullet v^{k + s} \bullet_{k + s}^{\ }p_{x}}} \bullet_{x + k + s}ds = \sum_{k = 1}^{m + n - 1}{v^{k + 1} \bullet_{k}^{\ }{p_{x} \bullet \int_{0}^{1}{(n + m - \left\lfloor k + s \right\rfloor}}}) \bullet v^{s - 1} \bullet_{s}^{\ }p_{x + k}{\bullet}_{x + k + s}\text{\ .}$$
Stosując założenie UDD otrzymujemy dalej:
$$_{m|}^{\ }{(D\overline{A})}_{x:\overline{n}|}^{1}\ \ \ = \sum_{k = m}^{m + n - 1}{v^{k + 1} \bullet_{k}^{\ }{p_{x} \bullet \int_{0}^{1}{\left( n + m - \left\lfloor k + s \right\rfloor \right) \bullet v^{s - 1} \bullet q_{x + k}\text{ds}}}} = \sum_{k = m}^{m + n - 1}{v^{k + 1} \bullet_{k}^{\ }p_{x}} \bullet q_{x + k} \bullet \int_{0}^{1}{(n + m - \left\lfloor k + s \right\rfloor}) \bullet v^{s - 1}d = \sum_{k = m}^{m + n - 1}{(n + m - \left\lfloor k \right\rfloor) \bullet v^{k + 1} \bullet_{k}^{\ }{p_{x} \bullet q_{x + k} \bullet \int_{0}^{1}{v^{s - 1}\text{ds}}}}\ =_{m|}^{\ }{(DA)}_{x:\overline{n}|}^{1} \bullet \int_{0}^{1}{v^{s - 1}ds = \frac{i}{\delta} \bullet_{m|}^{\ }{(DA)}_{x:\overline{n}|}^{1}}$$
Ubezpieczenie terminowe na wypadek śmierci odroczone o funkcji wypłaty rosnącej schodkowo
Ubezpieczenie n -letnie na wypadek śmierci odroczone o m lat o funkcji wypłaty rosnącej schodkowo może być jednym ze składników naszego pakietu, co zostanie omówione w dalszej części projektu, dlatego poniżej wyprowadzimy więc wzory na jednorazową składkę netto także dla tego ubezpieczenia.
Przypadek dyskretny, w którym wypłata świadczenia następuje na koniec roku, w którym nastąpił zgon tej osoby:
$$_{m|}^{\ }{({\text{IA})}_{x:\overset{\overline{}}{n}|}^{1}} = \ \sum_{k = m}^{m + n - 1}{\left( k - m + 1 \right) \bullet v^{k + 1} \bullet_{k}^{\ }p_{x} \bullet q_{x + k} = \sum_{k = m}^{m + n - 1}{\left( k - m + 1 \right) \bullet v^{k + 1} \bullet \frac{l_{x + k}}{l_{x}} \bullet \frac{l_{x + k} - l_{x + k + 1}}{l_{x + k}} \bullet \frac{v^{x}}{v^{x}} = \sum_{k = m}^{m + n - 1}{\left( k - m + 1 \right) \bullet v^{k + 1} \bullet \frac{d_{x + k}}{l_{x}} \bullet \frac{v^{x}}{v^{x}}}}}$$
$$= \frac{1}{D_{x}} \bullet \sum_{k = m}^{m + n - 1}{\left( k - m + 1 \right) \bullet v^{k + x + 1} \bullet d_{x + k} =}\frac{1}{D_{x}} \bullet \sum_{k = m}^{m + n - 1}{\left( k - m + 1 \right) \bullet C_{x + k}}$$
$$= \frac{1}{D_{x}} \bullet \left\lbrack \sum_{k = m}^{\infty}{\left( k - m + 1 \right) \bullet C_{x + k} - \sum_{k = m + n}^{\infty}{\left( k - m + 1 \right) \bullet C_{x + k}}} \right\rbrack$$
=|podstawiamy:s=k−m;t=k−m−n|
$$= \frac{1}{D_{x}} \bullet \left\lbrack \sum_{s = 0}^{\infty}{\left( s + 1 \right) \bullet C_{x + m + s} + \sum_{t = 0}^{\infty}{(t + n + 1) \bullet C_{x + m + n + t}}} \right\rbrack$$
$$= \frac{R_{x + m} - n \bullet M_{x + n + m} - R_{x + m + n}}{D_{x}}\text{\ .}$$
Przypadek ciągły, w którym wypłata świadczenia następuje w momencie zgonu tej osoby:
$$_{m|}^{\ }{(I\overset{\overline{}}{A}})_{x:\overset{\overline{}}{n}|}^{1} = \int_{m}^{m + n}{(\left\lfloor \left. \ t \right\rfloor + 1 - m) \bullet v^{\text{t\ }} \bullet_{t}^{\ }{p_{x} \bullet_{x + t}\text{\ dt}} \right.\ }$$
Związek między ubezpieczeniem dyskretnym, a ciągłym:
Twierdzenie: Przy założeniu UDD zachodzi równość:
$$_{m|}^{\ }{(I\overset{\overline{}}{A})_{x:\overset{\overline{}}{n}|}^{1} = \frac{i}{}} \bullet_{m|}^{\ }{(IA)_{x:\overset{\overline{}}{n}|}^{1}}$$
Dowód:
$$_{m|}^{\ }{(I\overset{\overline{}}{A})_{x:\overset{\overline{}}{n}|}^{1}} = \int_{m}^{m + n}{(\left\lfloor t \right\rfloor + 1 - m) \bullet v^{t} \bullet_{t}^{\ }{p_{x} \bullet_{x + t}dt = \sum_{k = m}^{m + n - 1}{\text{\ \ }\int_{k}^{k + 1}{(\left\lfloor t \right\rfloor}}}} + 1 - m) \bullet v^{t} \bullet {_{t}^{\ }p}_{x} \bullet_{x + t}dt = \left| podstawiamy:\ t = k + s \right| = \sum_{k = m}^{m + n - 1}{\ \int_{0}^{1}{(\left\lfloor k + s \right\rfloor + 1 - m) \bullet v^{k + s} \bullet_{k + s}^{\ }p_{x}}} \bullet_{x + k + s}ds = \sum_{k = 1}^{m + n - 1}{v^{k + 1} \bullet_{k}^{\ }{p_{x} \bullet \int_{0}^{1}{(\left\lfloor k + s \right\rfloor}}} + 1 - m) \bullet v^{s - 1} \bullet_{s}^{\ }p_{x + k}{\bullet}_{x + k + s}\text{\ .}$$
Stosując założenie UDD otrzymujemy dalej:
$$_{m|}^{\ }{(I\overset{\overline{}}{A})_{x:\overset{\overline{}}{n}|}^{1}} = \sum_{k = m}^{m + n - 1}{v^{k + 1} \bullet_{k}^{\ }{p_{x} \bullet \int_{0}^{1}{\left( \left\lfloor k \right\rfloor + 1 - m \right) \bullet v^{s - 1} \bullet q_{x + k}\text{ds}}}}\ = \sum_{k = m}^{m + n - 1}{(\left\lfloor k \right\rfloor + 1 - m) \bullet v^{k + 1}} \bullet q_{x + k} \bullet \int_{0}^{1}{v^{s - 1}ds = \frac{i}{}} \bullet_{m|}^{\ }{(IA)}_{x:\overline{n}|\ \ }^{1}.$$
Renta życiowa terminowa płatna z góry odroczona
Wartość obecną renty życiowej n-letniej odroczonej o m lat płatnej na początku każdego okresu, którą wyznaczymy poniżej, wykorzystamy m.in. do wyprowadzenia wzorów na wartość obecną renty życiowej płatnej z dołu.
Wprowadźmy dodatkowo:
$$\alpha\left( k \right) = \frac{i \bullet d}{i^{(k)} \bullet d^{(k)}}\ ,\ \ \ \ \ \beta\left( k \right) = \frac{i - i^{(k)}}{i^{(k)} \bullet d^{(k)}},\ \ \ \ \ \alpha,\ \beta\epsilon\left( 0,1 \right),$$
gdzie:
$$d = \ \frac{i}{1 + i}{,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1 + \frac{i^{\left( k \right)}}{k})}^{k} = 1 + i{\ ,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1 - \frac{d^{\left( k \right)}}{k})}^{k} = 1 - d\text{\ .}$$
Renta zgodna:
Renta płatna jeden raz w ciągu roku, przez kolejne n lat:
$$_{m|}^{\ }{{\ddot{a}}_{x\overline{:n}|} = \sum_{k = m}^{m + n - 1}{v^{m} \bullet {\ddot{a}}_{\overline{K\left( x \right) + 1 - m}|} \bullet_{k}^{\ }{p_{x} \bullet q_{x + k} + v^{m} \bullet {\ddot{a}}_{\overline{n}|} \bullet P\left( K\left( x \right) \geq m + n \right)}}} = \sum_{k = m}^{m + n - 1}{v^{m} \bullet \frac{1 - v^{k + 1 - m}}{d} \bullet {_{k}^{\ }p}_{x}{\bullet q}_{x + k} +}v^{m} \bullet {\ddot{a}}_{\overline{n}|} \bullet_{n + m}^{\ }p_{x}\text{\ .}$$
Porównując wartość obecną renty życiowej w metodzie płatności zagregowanych i metodzie płatności indywidualnych otrzymujemy zależność:
$$_{m|}^{\ }{{\ddot{a}}_{x\overline{:n}|} =}\sum_{k = m}^{m + n - 1}{v^{m} \bullet {\ddot{a}}_{\overline{K\left( x \right) + 1 - m}|} \bullet {_{k}^{\ }p}_{x}{\bullet q}_{x + k} +}v^{m} \bullet {\ddot{a}}_{\overline{n}|} \bullet_{n + m}^{\ }p_{x} = \sum_{k = m}^{m + n - 1}{v^{k} \bullet_{k}^{\ }p_{x}^{\ }}\text{\ .}$$
Twierdzenie: Przy założeniu UDD zachodzi równość:
$$_{m|}^{\ }{{\ddot{a}}_{x:\overline{n}} = \frac{N_{x + n} - N_{x + m + n}}{D_{x}}}$$
Dowód:
$${_{m|}^{\ }\ddot{a}}_{x:\overline{n}|}^{\ } = \sum_{k = m}^{m + n - 1}{v^{k} \bullet_{k}^{\ }p_{x}^{\ } = \sum_{k = m}^{m + n - 1}\frac{D_{x + k}}{D_{x}}} = \frac{1}{D_{x}} \bullet (\sum_{k = m}^{\infty}{D_{x + k} - \sum_{k = m + n}^{\infty}D_{x + k})} = \left| \begin{matrix}
podstawiamy:\ k - m = s,\ k - m - n = c\ \\
\end{matrix} \right| = \frac{1}{D_{x}} \bullet (\sum_{s = 0}^{\infty}{D_{x + m + s} - \sum_{c = 0}^{\infty}{D_{x + m + n + c}) = \frac{N_{x + m} - N_{x + m + n}}{D_{x}}}}\text{\ \ .}$$
Renta niezgodna:
Renta płatna k –razy w ciągu roku przez kolejne n lat. Kwota wypłacana w kolejnych okresach ma wartość $\frac{1}{k}.$
Wówczas:
$$_{m|}^{\ }{{\ddot{a}}_{x:\overline{n}|}^{(k)} = \alpha\left( k \right) \bullet_{m|}^{\ }{\ddot{a}}_{x:\overline{n}|} - \beta\left( k \right) \bullet (_{m}^{\ }E_{x} -_{m + n}^{\ }{E_{x}) = \alpha(k) \bullet_{m|}^{\ }{\ddot{a}}_{x:\overline{n}|}}} - \beta\left( k \right) \bullet \left( \frac{D_{x + m}}{D_{x}} - \frac{D_{x + m + n}}{D_{x}} \right) = \alpha\left( k \right) \bullet \frac{N_{x + m} - N_{x + m + n}}{D_{x}} - \beta\left( k \right) \bullet \frac{D_{x + m} - D_{x + m + n}}{D_{x}}\ .$$
Renta życiowa terminowa płatna z dołu odroczona
Renta życiowa n-letnia odroczona o m lat płatna na końcu każdego okresu jest kolejnym elementem naszego pakietu. Jest ona płatna k razy w ciągu roku, a kwota wypłacana na koniec każdego okresu ma wartość $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{k}}$ . Poniżej wyprowadzimy wzór na jej wartość obecną.
$${_{\mathbf{m}\mathbf{|}}^{\mathbf{\ }}\mathbf{a}}_{\mathbf{x}\mathbf{:}\overline{\mathbf{n}}\mathbf{|}}^{\mathbf{(}\mathbf{k}\mathbf{)}}\mathbf{=}_{\mathbf{m}\mathbf{|}}^{\mathbf{\ }}{\ddot{\mathbf{a}}}_{\mathbf{x}\mathbf{:}\overline{\mathbf{n}}\mathbf{|}}^{\mathbf{(}\mathbf{k}\mathbf{)}}\mathbf{-}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{k}}\mathbf{\bullet}\left(_{\mathbf{m}}^{\mathbf{\ }}{\mathbf{E}_{\mathbf{x}}\mathbf{-}_{\mathbf{m}\mathbf{+}\mathbf{n}}^{\mathbf{\ }}\mathbf{E}_{\mathbf{x}}} \right)\mathbf{=}_{\mathbf{m}\mathbf{|}}^{\mathbf{\ }}{{\ddot{\mathbf{a}}}_{\mathbf{x}\mathbf{:}\overline{\mathbf{n}}\mathbf{|}}^{\mathbf{(}\mathbf{k}\mathbf{)}}\mathbf{-}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{k}}\mathbf{\bullet (}\frac{\mathbf{D}_{\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{m}}}{\mathbf{D}_{\mathbf{x}}}\mathbf{-}\frac{\mathbf{D}_{\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{m}\mathbf{+}\mathbf{n}}}{\mathbf{D}_{\mathbf{x}}}\mathbf{)}}\mathbf{=}\mathbf{\alpha}\left( \mathbf{k} \right)\mathbf{\bullet}\frac{\mathbf{N}_{\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{m}}\mathbf{-}\mathbf{N}_{\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{m}\mathbf{+}\mathbf{n}}}{\mathbf{D}_{\mathbf{x}}}\mathbf{-}\mathbf{\beta}\left( \mathbf{k} \right)\mathbf{\bullet}\frac{\mathbf{D}_{\mathbf{x + m}}\mathbf{-}\mathbf{D}_{\mathbf{x + m + n}}}{\mathbf{D}_{\mathbf{x}}}\mathbf{-}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{k}}\mathbf{\bullet}\frac{\mathbf{D}_{\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{m}}\mathbf{-}\mathbf{D}_{\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{m}\mathbf{+}\mathbf{n}}}{\mathbf{D}_{\mathbf{x}}}\mathbf{\text{\ .}}$$
Koszty ponoszone przez firmę ubezpieczeniową
Wyliczając składkę brutto w naszym pakiecie przyjmujemy następujące koszty ponoszone w kolejnych latach przez firmę ubezpieczeniową:
α1 – koszty stałe w pierwszym roku trwania umowy ubezpieczenia;
α – koszty stałe w kolejnych latach trwania umowy ubezpieczenia;
β1ż – koszty związane z sumą ubezpieczenia życiowego w pierwszym roku trwania umowy ubezpieczenia życiowego;
βż – koszty związane z sumą ubezpieczenia życiowego w kolejnych latach trwania umowy ubezpieczenia życiowego;
β1r – koszty związane z sumą ubezpieczenia rentowego w pierwszym roku trwania umowy ubezpieczenia rentowego;
βr – koszty związane z sumą ubezpieczenia rentowego w kolejnych latach trwania umowy ubezpieczenia rentowego;
γ1 – koszty związane ze składką brutto w pierwszym roku trwania umowy ubezpieczenia;
γ – koszty związane ze składką brutto w kolejnych latach trwania umowy ubezpieczenia;
σ1 – koszty związane ze zwrotem ratalnej składki brutto w pierwszym roku trwania umowy ubezpieczenia;
σ - koszty związane ze zwrotem ratalnej składki brutto w kolejnych latach trwania umowy ubezpieczenia.
Jak widać rozróżniamy koszty związane z ubezpieczeniem bądź rentą w pierwszym roku trwania umowy oraz w pozostałych latach. Powyższe koszty dobierane są przez firmę ubezpieczeniową, tak więc klient nie ma wpływu na ich wartość.
Jednorazowa składka netto w pakiecie ubezpieczeniowym
Wprowadźmy dodatkowe oznaczenia, które będziemy wykorzystywać w dalszej części naszego projektu:
n1 - czas obowiązywania pierwszego elementu pakietu;
n2 – czas obowiązywania drugiego elementu pakietu;
n3 – czas obowiązywania trzeciego elementu pakietu;
m1 – odroczenie pierwszego elementu pakietu;
m2 – odroczenie drugiego elementu pakietu w stosunku do poprzedniego elementu;
m3 – odroczenie trzeciego elementu pakietu w stosunku do poprzedniego elementu;
w – długość trwania całego pakietu, gdzie w = m1 + n1 + m2 + n2 + m3 + n3;
k - częstotliwość wypłacania renty w ciągu roku (1,2,3,4,6,12);
l - częstotliwość płacenia składki na fundusz w ciągu roku (1,2,3,4,6,12);
Vs - wysokość wypłacanego świadczenia na wypadek śmierci;
K - stała, o którą powiększa się świadczenie na wypadek śmierci;
H - początkowa wysokość wypłaty ubezpieczenia malejącego/rosnącego;
ΔH - wartość, o którą zmniejsza się/zwiększa się po każdym roku wypłata w ubezpieczeniu malejącym/rosnącym;
R - wysokość wypłacanej renty.
Zakładamy także, że n1, n2, n3, m1, m2, m3, Vs, K, R oraz H są większe od zera, natomiast ΔH jest większa oz zera dla ubezpieczenia rosnącego, a mniejsza od zera dla malejącego.
Ustalmy teraz przykładową kolejność składników w naszym pakiecie, lecz pamiętajmy, że może być dowolnie zmieniana przez klienta. Niech kolejność składników wygląda następująco:
ubezpieczenie malejące/rosnące schodkowo;
renta życiowa płatna z dołu;
ubezpieczenie na wypadek śmierci i dożycie.
Dla podanego układu wprowadźmy teraz oznaczenia na jednorazowe składki netto i wartości obecne rent:
JSN1 jest jednorazową składką netto dla n1-letniego ubezpieczenia malejącego/rosnącego odroczonego o m1 lat względem momentu podpisania umowy z firmą ubezpieczeniową. Aby wartość wypłaty nie mogła być w pewnym momencie wartością mniejszą lub równą zero, należy wprowadzić następujący warunek ograniczający:
H + H • (n1−1) > 0.
Zatem wykorzystując wyprowadzone przez nas wzory z rozdziału 4.2. możemy zapisać wzór na JSN1. Ma on następującą postać:
$$JSN1 = \left( H - H \right) \bullet_{m_{1|}}^{\ }{\overline{A}}_{x:\overline{n_{1}}|}^{1} + H \bullet_{m_{1|}}^{\ }{\left( I\overline{A} \right)_{x:\overline{n_{1}|}}^{1} =} = \frac{i}{\delta} \bullet \left( H - H \right) \bullet \frac{M_{x + m_{1}} - M_{x + m_{1} + n_{1}}}{D_{x}} + \frac{i}{\delta} \bullet H \bullet \frac{R_{x + m_{1}} - R_{x + m_{1} + n_{1}} - n_{1} \bullet M_{x + m_{1} + n_{1}}}{D_{x}}$$
JSN2 jest wartością obecną renty n2 - letniej odroczonej o m2 lat wzglądem pierwszego elementu oraz płatnej z dołu k razy w ciągu roku. Stąd wiadomo, że wypłaca ona kwotę $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{k}}$ w każdym okresie. Oznaczmy dla uproszczenia zapisu czas odroczenia tego elementu względem momentu podpisania umowy jako b. Tak więc b=n1+m1+m2.
Zatem wykorzystując wzór z rozdziału 4.4. możemy wyprowadzić równanie opisujące JSN2. Ma ona podaną poniżej postać:
$$JSN2 = k \bullet R \bullet_{b|}^{\ }a_{x:\overline{n_{2}}|}^{\left( k \right)} = k \bullet R \bullet \left\lbrack \alpha\left( k \right) \bullet \frac{N_{x + b} - N_{x + b + n_{2}}}{D_{x}} - \beta\left( k \right) \bullet \left( 1 - \frac{D_{x + b + n_{2}}}{D_{x}} \right) - \frac{1}{k} \bullet \left( \frac{D_{x + b}}{D_{x}} - \frac{D_{x + b + n_{2}}}{D_{x}} \right) \right\rbrack.$$
JSN3 jest jednorazową składką netto dla n3-letniego ubezpieczenia na wypadek śmierci i dożycie odroczonego o m3 lat względem zakończenia drugiego elementu pakietu. Oznaczmy dla uproszczenia zapisu czas odroczenia tego elementu względem momentu podpisania umowy ubezpieczeniowej jako c. Tak więc c=n1+m1+n2+m2+m3.
Zatem wykorzystując wzór z rozdziału 4.1. możemy wyprowadzić równanie opisujące JSN3. Ma ona następującą postać:
$$JSN3{= V}_{s} \bullet_{c|}^{\ }{\overline{A}}_{x:n_{3}}^{1} + V_{s} \bullet K \bullet_{c|}^{\ }A_{x\overline{:n_{3|}}}^{\ \ \ \ \ 1} = {\frac{i}{\delta} \bullet V}_{s} \bullet \frac{M_{x + c_{\ }} - M_{x + c + n_{3}}}{D_{x}} + V_{s} \bullet K \bullet \frac{D_{x + c + n_{3}}}{D_{x}}\text{\ .}$$
Zatem składając wzory z powyższych podpunktów otrzymujemy ogólne równanie na jednorazową składkę netto dla trzech podanych wcześniej składników naszego pakietu. Oznaczmy ją jako JSN. Mamy więc:
JSN = JSN1 + JSN2 + JSN3 .
Zwrot składki
W tym rozdziale omówimy przypadek, kiedy zgon osoby ubezpieczonej następuje w okresie tzw. „ciszy ubezpieczeniowej”, czyli w okresie przed rozpoczęciem pierwszego elementu pakietu. Oczywiście, jeśli pierwszy element jest odroczony w stosunku do momentu rozpoczęcia umowy.
Jeśli zajdzie powyżej opisana sytuacja, towarzystwo ubezpieczeniowe wypłaca osobie uposażonej zakumulowaną wartość składek, które zostały na to ubezpieczenie do tej pory wpłacone.
Zależność, która opisze nam zakumulowaną wartość składek oznaczmy jako JSNZ oraz zapiszmy ją za pomocą poniższego wzoru:
$$JSNZ = RSN \bullet ({\ddot{a}}_{x:\overline{m_{1}}|}^{\left( l \right)} - {\ddot{a}}_{\overline{m_{1}}|}^{\left( l \right)} \bullet_{m_{1}}^{\ }{p_{x}) =}\text{RSN} \bullet ({\ddot{a}}_{x:\overline{m_{1}}|}^{\left( l \right)} - \frac{{\ddot{a}}_{\overline{m_{1}}|}^{\left( l \right)}}{v^{m_{1}}} \bullet v^{m_{1}} \bullet_{m_{1}}^{\ }{p_{x}) =}$$
$$= RSN \bullet \left( {\ddot{a}}_{x:\overline{m_{1}}|}^{\left( l \right)} - {\ddot{s}}_{\overline{m_{1}}|}^{\left( l \right)} \bullet_{m_{1}}^{\ }E_{x} \right)$$
gdzie ${\ddot{s}}_{\overline{m_{1}}|}^{\left( l \right)}$ jest zakumulowaną wartością renty pewnej ${\ddot{a}}_{\overline{m_{1}}|}^{\left( l \right)}$ i jest równa:
$${\ddot{s}}_{\overline{m_{1}}|}^{\left( l \right)} = \frac{\left( 1 + i \right)^{m_{1}} - 1}{d^{\left( l \right)}}\text{\ .}$$
Zatem możemy zapisać dalej:
$$JSNZ = RSN \bullet \left\lbrack \alpha\left( l \right) \bullet \frac{N_{x} - N_{x + m_{1}}}{D_{x}} \right.\ - \beta\left( l \right) \bullet \left( 1 - \frac{D_{x + m_{1}}}{D_{x}} \right) - \frac{{(1 + i)}^{m_{1}} - 1}{d^{(l)}} \bullet \left. \ \frac{D_{x + m_{1}}}{D_{x}} \right\rbrack.$$
Ratalna składka netto
W tym rozdziale określimy wzór na ratalną składkę netto dla naszego pakietu ubezpieczeniowego. Składki w naszym pakiecie płacone są przez klienta na początku każdego okresu, czyli l – razy w ciągu roku od momentu podpisania umowy z firmą ubezpieczeniową do momentu zakończenia drugiego elementu pakietu. Tak więc czas płacenia składek przez klienta wynosi m1+n1+m2+n2 lat, co oznaczymy jako j. Podzielimy ten rozdział na dwie części, w których wyprowadzimy wzory osobno na ratalną składkę netto bez zwrotu składek oraz ze zwrotem składek.
Ratalna składka netto bez zwrotu składek
Wzór na ratalną składkę netto naszego pakietu ubezpieczeniowego bez zwrotu składek ma postać:
$$RSN = \frac{\text{JSN}}{l \bullet {\ddot{a}}_{x:\overline{j|}}^{\left( l \right)}}\ ,$$
Gdzie przy założeniu UDD:
$${\ddot{a}}_{x:\overline{j}|}^{(l)} = {\ddot{a}}_{x}^{(l)} -_{j}^{\ }{E_{x} \bullet {\ddot{a}}_{x + j}^{(l)}\text{\ \ }}$$
oraz k Ex oznacza współczynnik dyskonta aktuarialnego. Możemy zapisać go za pomocą funkcji komutacyjnych :
$${_{k}^{\ }E}_{x} = v^{k} \bullet_{k}^{\ }p_{x} = \ v^{k} \bullet \frac{l_{x + k} \bullet v^{x}}{l_{x} \bullet v^{x}} = \ \frac{1}{D_{x}} \bullet v^{x + k} \bullet l_{x + k} = \frac{D_{x + k}}{D_{x}}\text{\ .}$$
Twierdzenie: Przy założeniu UDD zachodzi równość:
$${\ddot{a}}_{x:\overline{j}|}^{(l)} = \alpha\left( l \right) \bullet \frac{N_{x} - N_{x + j}}{D_{x}} - \beta\left( l \right) \bullet \left( 1 - \frac{D_{x + j}}{D_{x}} \right).$$
Dowód:
$${\ddot{a}}_{x:\overline{j}|}^{(l)} = {\ddot{a}}_{x}^{(l)} -_{j}^{\ }{E_{x} \bullet {\ddot{a}}_{x + j}^{(l)} = \alpha\left( l \right) \bullet {\ddot{a}}_{x} - \beta\left( l \right) -_{j}^{\ }E_{x} \bullet \left\lbrack \alpha\left( l \right) \bullet {\ddot{a}}_{x + j} - \beta\left( l \right) \right\rbrack = \ }$$
$$= \alpha\left( l \right) \bullet \lbrack{\ddot{a}}_{x} -_{j|}^{\ }{{\ddot{a}}_{x}\rbrack} - \beta\left( l \right) \bullet (1 -_{j}^{\ }{E_{x}) = \alpha(l) \bullet {\ddot{a}}_{x:\overline{j|}}} - \beta(l) \bullet \lbrack 1 -_{j}^{\ }{E_{x}\rbrack =}$$
$$= \alpha\left( l \right) \bullet \frac{N_{x} - N_{x + j}}{D_{x}} - \beta\left( l \right) \bullet \left\lbrack 1 - \frac{D_{x + j}}{D_{x}} \right\rbrack\text{\ .}$$
Ratalna składka netto ze zwrotem składek
Wzór na ratalną składkę netto naszego pakietu ubezpieczeniowego, która uwzględnia zwrot składek ma postać:
$$\text{RSN}\mathbf{Z}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\text{JSN}}}{\mathbf{l}\mathbf{\bullet}{\ddot{\mathbf{a}}}_{\mathbf{x}\mathbf{:}\overline{\mathbf{j}\mathbf{|}}}^{\left( \mathbf{l} \right)}\mathbf{-}\mathbf{\text{JSNZ}}}\mathbf{\ ,}$$
Ratalna składka brutto
W tym rozdziale wyznaczymy wartość ratalnej składki brutto, czyli składki, którą klient będzie płacił firmie ubezpieczeniowej z góry, czyli na początku każdego okresu. Wpłaty te będą miały miejsce l razy w ciągu roku od momentu rozpoczęcia trwania ubezpieczenia, czyli podpisania umowy do momentu zakończenia drugiego elementu tego pakietu. Czas płacenia składek brutto oznaczyliśmy wcześniej jako j. Podzielimy ten rozdział na dwie części, w których wyprowadzimy wzory osobno na ratalną składkę brutto bez zwrotu składek oraz ze zwrotem składek.
Ratalna składka brutto bez zwrotu składek
Wiedząc, że wpływy pieniężne i wydatki klienta powinny być równe, możemy zapisać warunek na ratalną składkę brutto:
$$l \bullet \text{RSB} \bullet {\ddot{a}}_{x:\overline{j|}}^{\left( l \right)}\mathbf{=}\mathbf{JSN + JSNZ + KU1,}$$
gdzie KU jest sumą wszystkich kosztów ponoszonych przez firmę ubezpieczeniową. Opiszemy ją za pomocą poniższego wzoru:
KU1 = KS + KM + KR + KD + KG .
Podamy teraz wzory na pojedyncze koszty, które wystąpiły w powyższym równaniu. Tak więc:
Niech KS będzie wartością obecną sumy kosztów stałych, które odnoszą się do całego naszego pakietu ubezpieczeniowego. Zapiszmy ją za pomocą równania:
$$KS = \alpha_{1} + \alpha \bullet_{1|}^{\ }{\ddot{a}}_{x:\overline{w - 1|}\ }.$$
Niech KM będzie wartością obecną sumy kosztów związanych z ubezpieczeniem o malejącej/rosnącej funkcji wypłaty. Aby koszty naliczone zostały sprawiedliwie i w odpowiedniej ilości wprowadźmy następujący wzór:
$$KM = H \bullet \beta_{1}^{z} \bullet_{m_{1}|}^{\ }{\ddot{a}}_{\overline{n_{1}}|} + \left( H + \frac{n_{1}}{2} \bullet H \right) \bullet \beta^{z} \bullet_{m_{1} + 1|}^{\ }{\ddot{a}}_{x:\overline{n_{1} - 1}|}.$$
Niech KR będzie wartością obecną sumy kosztów związanych z rentą życiową płatną z dołu w podokresach. Możemy zapisać więc następujący wzór:
$$KR = R \bullet \beta_{1}^{r} \bullet_{b|}^{\ }a_{x:\overline{n_{2}}|}^{(k)} + R \bullet k \bullet \beta^{r} \bullet_{b + 1|}^{\ }a_{x:\overline{n_{2} - 1}|}^{(k)}.$$
Niech KD będzie wartością obecną sumy kosztów związanych z ubezpieczeniem na wypadek śmierci i dożycie. Zapiszmy zatem:
$$KD = V_{s} \bullet \beta_{1}^{z}_{c|}^{\ \ = aws\text{mierci\ ubezpieczonego.\ }}{{\ddot{a}}_{x:\overline{n_{3}}|} +}V_{s} \bullet \beta^{z} \bullet_{c + 1|}^{\ \ = aws\text{mierci\ ubezpieczonego.\ }}{{\ddot{a}}_{x:\overline{n_{3} - 1}|} +}V_{s} \bullet K \bullet \beta_{1}^{z} \bullet_{w|}^{\ \ = aws\text{mierci\ ubezpieczonego.\ }}{\ddot{a}}_{x:\overline{1}|}.$$
Niech KG będzie wartością obecną sumy kosztów związanych z ratalną składką brutto. Mamy zatem:
$$KG = l \bullet \text{RSB} \bullet \gamma_{1} \bullet {\ddot{a}}_{x:\overline{1}|}^{\left( l \right)} + \ l \bullet \text{RSB} \bullet \gamma \bullet_{1|}^{\ }{{\ddot{a}}_{x:\overline{j - 1}|}^{(l)}\text{.\ \ \ }}$$
Zatem podstawiając do wzoru:
$$l \bullet \text{RSB} \bullet {\ddot{a}}_{x:\overline{j|}}^{\left( l \right)} = JSN + KU1$$
wyprowadzone powyżej równania otrzymamy:
$$l \bullet \text{RSB} \bullet {\ddot{a}}_{x:\overline{j|}}^{\left( l \right)} = JSN1 + JSN2 + JSN3 + KS + KM + KR + KD + KG\ .$$
Dalej otrzymamy:
$$l \bullet \text{RSB} \bullet {\ddot{a}}_{x:\overline{j|}}^{\left( l \right)} = JSN1 + JSN2 + JSN3 + \alpha_{1} + \alpha \bullet_{1|}^{\ }{\ddot{a}}_{x:\overline{w - 1|}\ } + H \bullet \beta_{1}^{z} \bullet_{m_{1}|}^{\ }{\ddot{a}}_{\overline{n_{1}}|} + \left( H + \frac{n_{1}}{2} \bullet H \right) \bullet \beta^{z} \bullet_{m_{1} + 1|}^{\ }{\ddot{a}}_{x:\overline{n_{1} - 1}|} + R \bullet \beta_{1}^{r} \bullet_{b|}^{\ }a_{x:\overline{n_{2}}|}^{\left( k \right)}$$
$$+ R \bullet k \bullet \beta^{r} \bullet_{b + 1|}^{\ }a_{x:\overline{n_{2} - 1}|}^{(k)} + V_{s} \bullet \beta_{1}^{z}_{c|}^{\ \ = aws\text{mierci\ ubezpieczo}\text{nego.\ }}{{\ddot{a}}_{x:\overline{n_{3}}|} +}V_{s} \bullet \beta^{z} \bullet_{c + 1|}^{\ \ = aws\text{mierci\ ubezpieczonego.\ }}{{\ddot{a}}_{x:\overline{n_{3} - 1}|} +}V_{s} \bullet K \bullet \beta_{1}^{z} \bullet_{w|}^{\ \ = aws\text{mierci\ ubezpieczonego.\ }}{\ddot{a}}_{x:\overline{1}|}$$
$$+ \ l \bullet \text{RSB} \bullet \gamma \bullet_{1|}^{\ }{{\ddot{a}}_{x:\overline{j - 1}|}^{(l)}\text{.\ \ }}$$
Stąd ostateczny wzór na ratalną składkę brutto w naszym pakiecie ubezpieczeniowym ma postać:
$$RSB = \frac{JSN1 + JSN2 + JSN3 + \alpha_{1} + \alpha \bullet_{1|}^{\ }{\ddot{a}}_{x:\overline{w - 1|}\ } + H \bullet \beta_{1}^{z} \bullet_{m_{1}|}^{\ }{\ddot{a}}_{\overline{n_{1}}|}}{l \bullet {\ddot{a}}_{x:\overline{j|}}^{\left( l \right)} - l \bullet \gamma_{1} \bullet {\ddot{a}}_{x:\overline{1}|}^{\left( l \right)} - \text{\ l} \bullet \gamma_{1|}^{\ }{{\ddot{a}}_{x:\overline{j - 1}|}^{\left( l \right)}\text{\ \ }}}$$
$$+ \frac{\left( H + \frac{n_{1}}{2} \bullet H \right) \bullet \beta^{z} \bullet_{m_{1} + 1|}^{\ }{\ddot{a}}_{x:\overline{n_{1} - 1}|} + R \bullet \beta_{1}^{r} \bullet_{b|}^{\ }a_{x:\overline{n_{2}}|}^{(k)} + R \bullet k \bullet \beta^{r} \bullet_{b + 1|}^{\ }a_{x:\overline{n_{2} - 1}|}^{(k)}}{l \bullet {\ddot{a}}_{x:\overline{j|}}^{\left( l \right)} - l \bullet \gamma_{1} \bullet {\ddot{a}}_{x:\overline{1}|}^{\left( l \right)} - \text{\ l} \bullet \gamma_{1|}^{\ }{{\ddot{a}}_{x:\overline{j - 1}|}^{\left( l \right)}\text{\ \ }}}$$
$$+ \frac{V_{s} \bullet \beta_{1}^{z}_{c|}^{\ \ = aws\text{mierci\ ubezpieczonego.\ }}{{\ddot{a}}_{x:\overline{n_{3}}|} +}V_{s} \bullet \beta^{z} \bullet_{c + 1|}^{\ \ = aws\text{mierci\ ubezpieczonego.\ }}{{\ddot{a}}_{x:\overline{n_{3} - 1}|} +}V_{s} \bullet K \bullet \beta_{1}^{z} \bullet_{w|}^{\ \ = aws\text{mierci\ ubezpieczonego.\ }}{\ddot{a}}_{x:\overline{1}|}}{l \bullet {\ddot{a}}_{x:\overline{j|}}^{\left( l \right)} - l \bullet \gamma_{1} \bullet {\ddot{a}}_{x:\overline{1}|}^{\left( l \right)} - \text{\ l} \bullet \gamma_{1|}^{\ }{{\ddot{a}}_{x:\overline{j - 1}|}^{\left( l \right)}\text{\ \ }}}\mathbf{\text{.\ }}$$
Ratalna składka brutto ze zwrotem składek
W tym rozdziale, aby uwzględnić w ratalnej składce brutto zwrot tej składki, należy zapisać następujący warunek:
$$l \bullet \text{RSBZ} \bullet {\ddot{a}}_{x:\overline{j|}}^{\left( l \right)} = \text{JSN} + \text{JSNZ} + \text{KU}2,$$
Wykorzystamy teraz oznaczenia i wzory z poprzedniego rozdziału oraz dodatkowo wprowadźmy:
KU2=KU1 + KZ .
Niech KZ będzie wartością obecną sumy kosztów związanych ze zwrotem składki. Zapiszmy więc wzór:
$$KZ = RSN \bullet_{1} + l \bullet \text{RSN} \bullet \bullet_{1|}^{\ }{\ddot{a}}_{x:\overline{m_{1} - 1}|}^{(l)}.$$
Zatem podstawiając do wzoru:
$$l \bullet \text{RSBZ} \bullet {\ddot{a}}_{x:\overline{j|}}^{\left( l \right)} = JSN + JSNZ + KU2$$
wyprowadzone powyżej równania otrzymamy:
$$l \bullet \text{RSBZ} \bullet {\ddot{a}}_{x:\overline{j|}}^{\left( l \right)} = JSN1 + JSN2 + JSN3 + JSNZ + KS + KM + KR + KD + KG + KZ\ .$$
Dalej otrzymamy:
$$l \bullet \text{RSBZ} \bullet {\ddot{a}}_{x:\overline{j|}}^{\left( l \right)} = JSN1 + JSN2 + JSN3 + JSNZ + \alpha_{1} + \alpha \bullet_{1|}^{\ }{\ddot{a}}_{x:\overline{w - 1|}\ } + H \bullet \beta_{1}^{z} \bullet_{m_{1}|}^{\ }{\ddot{a}}_{\overline{n_{1}}|} + \left( H + \frac{n_{1}}{2} \bullet H \right) \bullet \beta^{z} \bullet_{m_{1} + 1|}^{\ }{\ddot{a}}_{x:\overline{n_{1} - 1}|} + R \bullet \beta_{1}^{r} \bullet_{b|}^{\ }a_{x:\overline{n_{2}}|}^{\left( k \right)}$$
$$+ R \bullet k \bullet \beta^{r} \bullet_{b + 1|}^{\ }a_{x:\overline{n_{2} - 1}|}^{(k)} + V_{s} \bullet \beta_{1}^{z}_{c|}^{\ \ = aws\text{mierci\ ubezpieczonego.\ }}{{\ddot{a}}_{x:\overline{n_{3}}|} +}V_{s} \bullet \beta^{z} \bullet_{c + 1|}^{\ \ = aws\text{mierci\ ubezpieczonego.\ }}{{\ddot{a}}_{x:\overline{n_{3} - 1}|} +}V_{s} \bullet K \bullet \beta_{1}^{z} \bullet_{w|}^{\ \ = aws\text{mierci\ ubezpieczonego.\ }}{\ddot{a}}_{x:\overline{1}|}$$
$$+ \ l \bullet \text{RSB} \bullet \gamma \bullet_{1|}^{\ }{{\ddot{a}}_{x:\overline{j - 1}|}^{(l)} + \ RSN \bullet_{1} + l \bullet \text{RSN} \bullet \bullet_{1|}^{\ }{\ddot{a}}_{x:\overline{m_{1} - 1}|}^{(l)}\text{.\ \ }}$$
Stąd ostateczny wzór na ratalną składkę brutto w naszym pakiecie ubezpieczeniowym ma postać:
$$RSBZ = \frac{JSN1 + JSN2 + JSN3 + JSNZ + \alpha_{1} + \alpha \bullet_{1|}^{\ }{\ddot{a}}_{x:\overline{w - 1|}\ } + H \bullet \beta_{1}^{z} \bullet_{m_{1}|}^{\ }{\ddot{a}}_{\overline{n_{1}}|}}{l \bullet {\ddot{a}}_{x:\overline{j|}}^{\left( l \right)} - l \bullet \gamma_{1} \bullet {\ddot{a}}_{x:\overline{1}|}^{\left( l \right)} - \text{\ l} \bullet \gamma_{1|}^{\ }{{\ddot{a}}_{x:\overline{j - 1}|}^{\left( l \right)}\text{\ \ }}}$$
$$+ \frac{\left( H + \frac{n_{1}}{2} \bullet H \right) \bullet \beta^{z} \bullet_{m_{1} + 1|}^{\ }{\ddot{a}}_{x:\overline{n_{1} - 1}|} + R \bullet \beta_{1}^{r} \bullet_{b|}^{\ }a_{x:\overline{n_{2}}|}^{(k)} + R \bullet k \bullet \beta^{r} \bullet_{b + 1|}^{\ }a_{x:\overline{n_{2} - 1}|}^{(k)}}{l \bullet {\ddot{a}}_{x:\overline{j|}}^{\left( l \right)} - l \bullet \gamma_{1} \bullet {\ddot{a}}_{x:\overline{1}|}^{\left( l \right)} - \text{\ l} \bullet \gamma_{1|}^{\ }{{\ddot{a}}_{x:\overline{j - 1}|}^{\left( l \right)}\text{\ \ }}}$$
$$+ \frac{V_{s} \bullet \beta_{1}^{z}_{c|}^{\ \ = aws\text{mierci\ ubezpieczonego.\ }}{{\ddot{a}}_{x:\overline{n_{3}}|} +}V_{s} \bullet \beta^{z} \bullet_{c + 1|}^{\ \ = aws\text{mierci\ ubezpieczonego.\ }}{{\ddot{a}}_{x:\overline{n_{3} - 1}|} +}V_{s} \bullet K \bullet \beta_{1}^{z} \bullet_{w|}^{\ \ = aws\text{mierci\ ubezpieczonego.\ }}{\ddot{a}}_{x:\overline{1}|} + \ RSN \bullet_{1} + l \bullet \text{RSN} \bullet \bullet_{1|}^{\ }{\ddot{a}}_{x:\overline{m_{1} - 1}|}^{(l)}}{l \bullet {\ddot{a}}_{x:\overline{j|}}^{\left( l \right)} - l \bullet \gamma_{1} \bullet {\ddot{a}}_{x:\overline{1}|}^{\left( l \right)} - \text{\ l} \bullet \gamma_{1|}^{\ }{{\ddot{a}}_{x:\overline{j - 1}|}^{\left( l \right)}\text{\ \ }}}\mathbf{\text{.\ }}$$
Dodatkowo przyjmuje się następujący warunek, który muszą spełniać koszty wyznaczane przez firmę ubezpieczeniową oraz ratalna składka brutto ze zwrotem składek, aby pakiet był opłacalny dla klienta:
RSBZ ≤ 125%•RSN
Instrukcje do arkusza kalkulacyjnego programu Excel
W ostatnim rozdziale opiszemy, jak korzystać ze stworzonego przez nas arkusza kalkulacyjnego. Arkusz o nazwie „Panel klienta” służy do uzupełnienia przez klienta odpowiednich danych do wyliczenia jednorazowej i ratalnej składki netto oraz ratalnej składki brutto. W arkuszu tym są także widoczne wartości tych składek. Podamy teraz kilka instrukcji, jakie komórki należy uzupełnić i w jakie wartości powinny się w nich znaleźć oraz kilka warunków, których spełnienie jest niezbędne do poprawnego działania tego arkusza.
W komórkach, które są wypełnione na żółto wpisz lub wybierz z listy dane osoby, która podpisuje umowę ubezpieczeniową.
W komórkach, które są wypełnione na zielono wpisz lub wybierz z listy odpowiednie dane dotyczące pakietu ubezpieczeniowego.
Pamiętaj o tym, że elementy pakietu nie mogą się powtarzać oraz że nie mogą się pokrywać.
Momenty rozpoczęcia oraz zakończenia wszystkich elementów muszą być liczbami naturalnymi lub równymi zero.
Wpisane parametry: Vs, K, R, H muszą być większe od zera.
Jeśli wybrałeś w arkuszu „Panel klienta” w polu „płeć ubezpieczanej osoby” K lub M, to odpowiednio w arkuszu „kobiety” lub „mężczyźni” w komórce wypełnionej kolorem czerwonym wpisz wartość stopy procentowej i, pamiętając, żeby była ona większa od zera. Następnie w arkuszu „koszty” w komórkach o takim samym kolorze uzupełnij wysokość kosztów, pamiętając, aby były one większe od zera oraz żeby wszystkie koszty oprócz α1 i α były wyrażone w %.
RSBZ ≤ 1, 25 • RSN
który przez odpowiedni dobór kosztów musi być spełniony.
Jeśli w którymś momencie podczas wypełniania wyznaczonych komórek w całym arkuszu zauważysz wyskakujący komunikat, musisz zmienić wpisane przez siebie wartości.
Bibliografia:
[1] „Actuarial Mathematics” Newton L. Bowers, Hans U. Gerber, James C. Hickman, Donald A. Jones, Cecil J. Nesbitt, The Society of Actuaries, 1986
[2] „Podstawy matematyki ubezpieczeń na życie”, Błaszczyszyn B., Rolski T., Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 2004
[3] Tablice trwania życia opublikowane przez GUS z roku 2007