1.Definicja funkcji pierwotnej. Twierdzenie podstawowe o funkcjach pierwotnych. Definicja całki nieoznaczonej

2.Podać twierdzenia o całkowaniu przez części i podstawienie.

3.Metody całkowania funkcji wymiernych, trygonometrycznych

4. Definicja całki oznaczonej właściwej z uwagami.Własności całki oznaczonej właściwej. Podać twierdzenia o wartości średniej i główne.

5.Definicja całki oznaczonej niewłaściwej pierwszego rodzaju wraz z interpretacją geometryczną.

6.Definicja całki oznaczonej niewłaściwej drugiego rodzaju wraz z interpretacją.

7.Definicja szeregu potęgowego i promienia zbieżności.

8.Twierdzenie o rozwijaniu funkcji w szereg potęgowy Taylora.

9.Podać definicję dziedziny naturalnej funkcji wielu zmiennych.

10.Podać definicję pochodnych cząstkowych rzędu pierwszego dla funkcji dwóch zmiennych

11.Podać definicję pochodnych cząstkowych rzędu drugiego funkcji dwóch zmiennych.

12.Twierdzenie o przyroście dla funkcji dwóch zmiennych i wnioski

13.Podać warunek konieczny i dostateczny na ekstremum funkcji wielu zmiennych.

14.Podać definicję równania różniczkowego o zmiennych rozdzielonych i jednorodnego

15.Podać definicję równania różniczkowego liniowego oraz metodę rozwiązywania tego równania.

16. Podać definicję równania różniczkowego Bernoulliego oraz metodę rozwiązywania tego równania.

17.Równania różniczkowe rzędu drugiego sprowadzalne do równań różniczkowych rzędu pierwszego.

18.Zapisać równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach .Podać definicję podstawowego układu rozwiązań R.R.L.J. oraz podać R.O.R.R.L.J. Omówić metodę uzmienniania stałych wyznaczania R.O.R.R.L.N

19.Podać definicję obszaru normalnego w przestrzeni R² względem osi x i y wraz z interpretacją geometryczną

20. Podać definicję współrzędnych biegunowych w przestrzeni R² wraz z interpretacją geometryczną. Obliczyć jakobian

21.Podać definicję obszaru normalnego w przestrzeni R³ względem osi z wraz z interpretacją geometryczną.

22. Podać definicję współrzędnych walcowych w przestrzeni R³ wraz z interpretacją geometryczną. Obliczyć jakobian

23.Podać definicję współrzędnych sferycznych w przestrzeni R³ wraz z interpretacją geometryczną. Obliczyć jakobian.

1.Def. Funkcją pierwotną funkcji f w przedziale I nazywamy funkcje F taką, że F’(x)=f(x) dla xϵI. Wyznaczenie funkcji pierwotnej jest operacją odwrotną do wyznaczenia pochodnej. Tw.(warunek dostateczny na istnienie funkcji pierwotnej)Jeśli funkcja jest ciągła w przedziale to ma w tym przedziale funkcje pierwotną. Tw.(o funkcjach pierwotnych) Każde dwie funkcje pierwotne do danej funkcji w przedziale różnią się o funkcje się o funkcje stałą. Def. Całką nieoznaczoną funkcji f w przedziale I nazywamy zbiór wszystkich funkcji pierwotnych do tej funkcji w tym przedziale, który oznaczamy∫f(x)dx = F(x) + C dla xϵI gdzie F jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale I, a C jest dowolną stałą.

2.Tw.(o całkowaniu przez części) Jeśli funkcje f i g mają ciągłe pochodne w przedziale I to zachodzi wzór ∫f(x)g^′(x)dx=f(x)g(x) − ∫f^′(x)g(x)dx.Tw.(o całkowaniu przez podstawienie) Jeśli funkcje h ma ciągłą pochodną w przedziale I, a funkcja g jest ciągła w przedziale h(I) to zachodzi wzór ∫g(h(x)) * h^′(x)dx = ∫g(t)dt|t = h(x).

3. Każdą funkcje wymierną niewłaściwą można przedstawić jednoznacznie w postaci sumy wielomianu i funkcji wymiernej właściwej, a więc $\frac{\text{Pm}(x)}{\text{Qn}(x)} = \text{Wm} - n\left( x \right)\frac{\text{Rk}\left( x \right)}{\text{Qn}\left( x \right)}\text{dla}\ k < n$gdzie R_k jest resztą z dzielenia wielomianu P_m(x) przez wielomian Q_n(x).

Każdą funkcje wymierną niewłaściwą można przedstawić jednoznacznie w postaci sumy ułamków prostych pierwszego rodzaju$\frac{A}{{(X - \text{Xo})}^{k}}\ \text{dla}\ \text{kϵN}$ i ułamków prostych drugiego rodzaju$\frac{\text{Ax} + B}{{(x^{2} + \text{px} + q)}^{k}}\ $ i p²-4g<0.

Całkowanie funkcji trygonometrycznych:

Typ 1.Całki postaci A)∫sin(ax)cos(bx)dx  B)∫sin(ax)sin(bx)dx  C)∫cos(ax)cos(bx)dx  wyznaczymy wykorzystując tożsamości trygonometryczne: A)$\text{sinαcosβ} = \frac{1}{2}\lbrack\sin\left( \alpha + \beta \right) + \sin(\alpha - \beta)$B)$\ \text{sinαsinβ} = \frac{1}{2}\lbrack\cos\left( \alpha - \beta \right) - \cos(\alpha + \beta)$C)$\ \text{cosαcosβ} = \frac{1}{2}\lbrack\cos\left( \alpha + \beta \right) + \cos(\alpha - \beta)$

Typ 2. Całki postaci A)∫sin^2kxdx B) ∫cos^2kxdx C) ∫sin^2kxcos^2kxdx wyznaczymy wykorzystując tożsamości trygonometryczne A)$\sin^{2}\alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$ B)$\ \cos^{2}\alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$ C)$\text{sinαcosα} = \frac{1}{2}\sin 2\alpha$

Typ 3.Całki tego typu wyznaczamy prze podstawienie:A) ∫R₁(sinx)cosxdx = |sinx=t,cosxdx=dt| = ∫R₁(t)dt B) ∫R₂(cosx)sinxdx = |cosx=t,−sinxdx=dt| = ∫R₂(t)dt C)$\ \int_{}^{}{R_{3}(sinx,cosx)dx = |tg\frac{x}{2} = t,x = 2arctgt,dx = \frac{2}{1 + t^{2}}dt,}\text{sinx} = \frac{2t}{1 + t^{2}},cosx = \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}}$|=$\int_{}^{}{R_{3}(}\frac{2t}{1 + t^{2}},\ \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}})$*$\ \frac{2}{1 + t^{2}}\text{dt}$ D)$\ \int_{}^{}{R_{4}(\sin^{2}x,sinx,cosx,\cos^{2}x)dx = |tgx = t,x = arctgt,dx = \frac{1}{1 + t^{2}}dt,}\text{si}n^{2}x = \frac{t^{2}}{1 + t^{2}},sinxcosx = \frac{t}{1 + t^{2}},cos^{2}x = \frac{1}{1 + t^{2}} = \int_{}^{}{R_{4}(}\frac{t^{2}}{1 + t^{2}},\frac{t}{1 + t^{2}},\frac{1}{1 + t^{2}})*\frac{1}{1 + t^{2}}\text{dt}$

4. Def. Całką oznaczoną Riemanna z funkcji ograniczonej f po przedziale <a,b> nazywamy liczbę, którą oznaczamy i określamy wzorem ∫_a^bf(x)dx =$\operatorname{}{\sum_{k = 1}^{n}{f(c}}k)\text{xk}$ o ile powyższa granica istnieje i niezależny od wyboru ciągu przedziałów normalnych($\Pi\hat{}n$)i wyboru przedziałów C^n. Przyjmujemy: 1)∫_a^af(x)dx = 0 2)∫_a^bf(x)dx = −∫_b^af(x)dx a>b Tw.(warunek konieczny całk. Funkcji) Jeśli funkcja f jest całkowalna po przedziale domkniętym <a,b> to jest na tym przedziale ograniczona. Tw(warunek dostateczny całk. Funkcji) Jeśli funkcja f jest ograniczona w przedziale [a,b] i ma w tym przedziale skończoną liczbę punktów nieciągłości pierwszego rodzaju, to jest na tym przedziale całkowalna. 1Twierdzenie główne rachunku całkowego: Jeśli funkcja f jest ciągła w przedziale <a,b> to funkcja F określona wzorem :F(x)=∫_a^xf(t)dt xϵ<a,b> ma pochodna w przedziale <a,b> oraz F’(x)=f(x) xϵ<a,b>. Zatem funkcja F jest funkcją pierwotną do funkcji f w przedziale <a,b>. 2twierdzenie główne rachunku całkowego: Jeśli funkcja f jest ciągła w przedziale <a,b> i F jest funkcją pierwotną do funkcji f w tym przedziale to zachodzi wzór Newtona Leibnitza ∫_a^bf(x)dx = F(x)|_a^b=F(b) − F(a) Własności całki oznaczonej: 1)Jeśli funkcje f i g są całkowalne w przedziale <a,b> oraz α,βϵR to zachodzi wzór∫_a^b[αf(x) + βg(x)]dx = α∫_a^bf(x)dx + β∫_a^bg(x)dx 2) Jeśli funkcja f i g jest całkowalna w przedziale <a,b> oraz Cϵ<a,b> to zachodzi wzór ∫_a^bf(x)dx = ∫_a^cf(x)dx + ∫_c^bf(x)dx 3) Jeśli funkcje f i g są całkowalne w przedziale <a,b> oraz f(x) <=g(x) xϵ<a,b> to zachodzi nierówność: ∫_a^bf(x)dx ≤ ∫_a^bg(x)dx 4) Jeśli funkcja f jest całkowalna w przedziale <a,b> to zachodzi nierówność: |∫_a^bf(x)dx|≤∫_a^b|f(x)|dx 5)Jeśli funkcja f jest całkowalna w przedziale <a,b> to zachodzą nierówności: m(b-a)<=∫_a^bf(x)dx ≤ M(b − a) Twierdzenie o wartości średniej: Jeśli funkcja f jest ciągła w przedziale <a,b> to istnieje punkt Cϵ(a,b)taki że zachodzi wzór: ∫_a^bf(x)dx = f(c)(b − a) Liczbę f(c) nazywamy wartością średnią funkcji f w przedziale <a,b>

5 Def. Całki niewłaściwej pierwszego rodzaju: niech funkcja f będzie określona i ograniczona w przedziale <a,+∞) oraz całkowalna w przedziale <a,T>, dla Tϵ(a,+∞) Całką niewlaściwą pierwszego rodzaju z funkcji f na przedziale <a,+∞>nazywamy granice którą oznaczamy : ∫_a^+∞f(x)dx = ∫_a^Tf(x)dx Gdy granica ta jest właściwa to mówimy że całka niewłaściwa jest zbieżna , a w przypadku przeciwnym ze jest rozbieżna. Podobno definiuje się pozostałe całki niewłaściwe 1rodzaju : ∫_−∞^af(x)dx = ∫_T^af(x)dx | ∫_−∞^+∞f(x)dx = ∫_−∞^af(x)dx + ∫_a^+∞f(x)dx

6 Def calki niewłaściwej drugiego rodzaju: Niech funkcja f będzie określona w przedziale <a,b) i nieograniczona w lewostronnym sąsiedztwie punktu b oraz całkowalna w przedziale <a,T> dla Tϵ(a,b) całką niewłaściwą drugiego rodzaju z funkcji f na przedziale <a,b) nazywamy granicę która oznaczamy : ∫_a^bf(x)dx = ∫_a^Tf(x)dx gdy ta granica jest właściwa to mówimy że ta całka niewłaściwa jest zbieżna a w przeciwnym przypadku ze jest rozbiezna.

7. Szeregiem potęgowym o środku w punkcie x_oϵR i współczynnikach a_nϵR dla nϵN_o nazywamy szereg funkcyjny postaci: $\sum_{n = 0}^{\infty}a_{n}\left( x - x_{0} \right)^{n} = a_{0}{(x - x_{0})}^{0} + a_{1}{(x - x_{0})}^{1} + a_{2}{(x - x_{0})}^{2} + \ldots$

Szereg potęgowy jest zawsze zbieżny w punkcie x=x₀.

Promieniem zbieżności szeregu potęgowego $\sum_{n = 0}^{\infty}a_{n}\left( x - x_{0} \right)^{n}$ nazywamy liczbę R>0 taką, że szereg jest zbieżny w przedziale |x-x₀|<R i rozbieżny w zbiorze |x-x₀|>R.

Gdy szereg jest zbieżny tylko w punkcie x=x₀ , to przyjmijmy, że R=0.
Gdy szereg jest zbieżny w każdym punkcie xϵ(-∞ ; +∞), to przyjmujemy, że R=+∞.
8. Twierdzenie o rozwijaniu funkcji w szereg potęgowy.

Jeśli funkcja f jest klasy C^∞ w otoczeniu Q(x₀,δ)punktu x₀ i pochodne są wspólnie ograniczone |f⁽ⁿ⁾(x)|≤M dla xϵQЄQ(x₀,δ) i nϵN_o to funkcję można przedstawić w postaci sumy szeregu potęgowego Taylora o środku w punkcie x₀ , a więc

f(x)=$\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{f^{\left( n \right)}(x_{0})}{n!}\left( x - x_{0} \right)^{n} = f\left( x_{0} \right) + \frac{{f'(x}_{0})}{1!}\left( x - x_{0} \right)^{} + \frac{{f'(x}_{0})}{2!}\left( x - x_{0} \right)^{2} + \ldots$ dla Q(x₀,δ).

Szereg o środku w punkcie x_o=0 nazywamy szeregiem Maclaurina.

Można wykazać, że zachodzą rozwinięcia funkcji w szereg Maclaurina:

1. $\frac{1}{1 - x} = \sum_{n = 0}^{\infty}x^{n}$dla xϵ(-1 ; 1) R=1

2. $e^{x} = \sum_{n = 0}^{\infty}{\frac{1}{n!}*x^{n}}$ dla xϵ(-∞ ; +∞) R=∞

3. $\text{sinx} = \sum_{n = 0}^{\infty}{{( - 1)}^{n}*\frac{x^{2n + 1}}{\left( 2n + 1 \right)!}}$ dlaxϵ(-∞ ; +∞) R=∞

4. $\text{cosx} = \sum_{n = 0}^{\infty}{{( - 1)}^{n}*\frac{x^{2n}}{\left( 2n \right)!}}$ dlaxϵ(-∞ ; +∞) R=∞

9. Dziedziną naturalną funkcji k-zmiennych określoną wzorem

u=f(x,y,…,z) nazywamy zbiór D_f={(x,y,…,z)ϵRⁿ: f(x,y,…,z)ϵR}.

10.Pochodną cząstkową rzędu pierwszego funkcji z=f(x,y) w punkcie wewnętrznym (x₀,y₀) ЄD_f

a) względem zmiennej x nazywamy granicę właściwą (skończoną), którą oznaczamy f_x(x₀,y₀)=$\operatorname{}\frac{f\left( x_{0} + X,y_{0} \right) - \ f(x_{0},y_{0})}{X}$

b) względem zmiennej y nazywamy granicę właściwą, którą oznaczamy f_y(x₀,y₀)=$\operatorname{}\frac{f\left( x_{0},\ y_{0} + y \right) - \text{\ f}\left( x_{0},y_{0} \right)}{y}\text{\ .}$

11. Pochodne cząstkowe drugiego rzędu:

Niech funkcja z=f(x,y) ma pochodne cząstkowe rzędu pierwszego f_x(x,y) i f_y(x,y) w pewnym otoczeniu punktu wewnętrznego (x₀,y₀)ЄD_f.

Pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji f w punkcie (x₀,y₀) oznaczamy i określamy wzorami:

f_xx(x₀,y₀)=(f_x)_x(x₀,y₀)

f_xy(x₀,y₀)=(f_x)_y(x₀,y₀)

f_yx(x₀,y₀)=(f_y)_x(x₀,y₀)

f_yy(x₀,y₀)=(f_y)_y(x₀,y₀)

12. Twierdzenie o przyroście funkcji:

Jeśli funkcja z=f(x,y) jest różniczkowalna w punkcie wewnętrznym P₀=(x₀,y₀)ЄD_f, to jej przyrost wyraża się wzorem f(x₀+dx,y₀+dy)-f(x₀,y₀)=f_x(x₀,y₀)dx+f_y(x₀,y₀)dy+R(dx,dy) dla [dx,dy]ЄQ(0,δ)

przy czym $\operatorname{}{\frac{R(dx,dy)}{\sqrt{\text{dx}^{2} + \text{dy}^{2}}} = 0}$

Z powyższego wzoru wynika, że dla małej liczby δ>0:

a) przyrost funkcji można przybliżać różniczką, a więc f(x₀+dx,y₀+dy)-f(x₀,y₀)≈ f_x(x₀,y₀)dx+f_y(x₀,y₀)dy dla [dx,dy]ЄQ(0,δ)

b) wartość funkcji można przybliżać wzorem: f(x₀+dx,y₀+dy)≈ f(x₀,y₀)+ f_x(x₀,y₀)dx+f_y(x₀,y₀)dy dla [dx,dy]ЄQ(0,δ)

c) błąd bezwzględny jaki popełniamy przy obliczaniu wartości funkcji f(x₀,y₀) gdy wartości zmiennych x₀ i y₀ są obarczone błędami bezwzględnymi Δx i Δy wyznaczamy ze wzoru:

Δ f(x₀,y₀)= |f_x(x₀,y₀)|Δx+|f_y(x₀,y₀)|Δy.

13. Tw. (warunek konieczny i dostateczny na ekstremum)

Jeśli funkcja k zmiennych w=f(x,y … z) jest dwukrotnie różniczkowana w punkcie wewnętrznym P₀(x₀,y₀ … z₀) € D_f oraz

1. Pierwsza pochodnia f^`(P₀) = 0 , f_x(P₀)=0, f_y(P₀)=0 … f_z(P₀)=0 (warunek konieczny)

2. Druga pochodna f^``(P₀) jest w punkcie P₀

1. Dodatnio określona – funkcja w punkcie P₀ minimum lokalne właściwe

2. Ujemnie określona – funkcja ma w punkcie P₀ maksimum lokalne właściwe

3. Nieujemnie określona – to funkcja może mieć w punkcie P₀ minimum lokalne

4. Niedodatnio określona – to funkcja może mieć w punkcie P₀ maksimum lokalne

5. Nieokreślona – to funkcja nie ma ekstremum w punkcie P₀

14. niech f i g będą funkcjami ciągłymi w przedziałach odpowiednio I i J. Równanie różniczkowe postaci y^`=f(x)g(y) dla (x,y) € D = I x J nazywamy równaniem o zmiennych rozdzielonych. Rozwiązanie ogólne tego równania poszukujemy metodą rozdzielenia zmiennych. W tym celu równanie zapisujemy w postaci różniczkowej

$$\frac{\text{dy}}{\text{dx}} = f\left( x \right)g\left( y \right)$$

$$\frac{\text{dy}}{g(y)} = f\left( x \right)\text{dx}$$

$$\int_{}^{}{\frac{\text{dy}}{g(y)} = \int_{}^{}{f\left( x \right)\text{dx}}}$$

Przyjmy jąć oznaczenia F(x)= ∫f(x) i G(y)=$\int_{}^{}\frac{\text{dy}}{g(y)}$ otrzymamy rozwiązanie ogólne równania różniczkowego w postaci uwikłanej G(y)=F(x)+c , gdy funkcja jest odwracalna to otrzymamy rozwiązanie w postaci jawnej y=G^-1(F(x)+c)

Równanie różniczkowe jednorodne - niech funkcja f będzie ciągła w przedziale I €R. Równanie różniczkowe postaci y^`=f($\frac{y}{x})$ dla (x,y) € R² $\frac{y}{x}\ \ I$ nazywamy równaniem jednorodnym. Równanie to sprowadzamy do równania o zmiennych rozdzielnych przez podstawienie

$$\frac{y}{x} = u$$

y=ux

y`=u`x+y

podstawiając do równania otrzymamy

u^`x+u=f(u)

u^`x=f(u)-u

$$\frac{\text{du}}{\text{dx}}x = f\left( u \right) - u$$

$$\frac{\text{du}}{f\left( u \right) - u} = \frac{\text{dx}}{x}$$

Otrzymaliśmy równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielnych

15. niech funkcja f i g będą ciągłe w przedziale I. Równania różniczkowe postaci y^`+f(x)y=g(x) dla (x,y) € D= I × R nazywamy równaniem liniowym. Gdy g(x)=0 to równanie nazywamy jednorodnym a w przypadku przeciwnym niejednorodnym. R.O.R.R.L.N. wiedzie przez rozwiązanie ogólne równania różniczkowego liniowego jednorodnego (R.O.R.R.L.J.). Schemat postępowania:

a) szukamy R.O.R.R.L.J

y`+f(x)y=0

$$\frac{\text{dy}}{\text{dx}} = - f\left( x \right)y$$

$$\frac{\text{dy}}{y} = - f\left( x \right)\text{dx}$$

$\int_{}^{}{\frac{\text{dy}}{y} = - \int_{}^{}{f\left( x \right)\text{dx}}}$

Przyjmując F(x) = ∫f(x)dx  < = > F(x)=f(x)

Otrzymamy

ln|y|=-F(x)+ln|c|

ln|y|-ln|c|=-F(x)

ln|$\frac{y}{c}| = - F(x)$

$\frac{y}{c} = e$^-F(x)

y₀=c * e^-F(x)

b) szukamy R.S.R.R.L.N metodą uzmienniania stałej

y_*=c(x) * e^-F(x)

y`=c`(x) * e^-F(x) + c(x) * e^-F(x) *(-f(x))

Podstawiamy do równania

c`(x)* e^-F(x) * c(x) * e^-F(x) *(-f(x)) + f(x)c(x) e^-F(x)=g(x)

c`(x) e^-F(x)=g(x)

c`(x)=g(x) e^F(x)

c(x)=∫g(x) e^F(x) dx

y_*=(∫g(x) e^F(x) dx) e^-F(x)

c) R.O.R.R.L.N. jest sumą

y=y₀+y_*

y=c e^-F(x) +(∫g(x) e^F(x) dx) e^-F(x)

y=[ c+ ∫g(x) e^F(x) dx] e^-F(x)

16. Podać definicję równania różniczkowego Bernoulliego oraz metodę rozwiązywania tego równania.

Niech funkcje f i g będą ciągłe w przedziale I oraz sϵR-{0,1}. Równanie różniczkowe postaci: y’+f(x)y=g(x)*y^s dla (x,y)ϵD=IxR-{0} nazywamy równaniem Bernoulliego. Gdy s=0 to mamy równanie liniowe niejednorodne, a gdy s=1 mamy równanie liniowe jednorodne. Równanie to można sprowadzić do równania liniowego przez podstawienie:

z=y^1-s gdzie y(x) i z(x)

z’=(1-s)y^-s*y’

(1-s)y^-sy’+(1-s)y^1-s=(1-s)g(s)

z’+(1-s)z=(1-s)g(s) - otrzymaliśmy równanie liniowe niejednorodne.

17. Równanie różniczkowe rzędu drugiego sprowadzalne do równań rzędu pierwszego.

a) równanie różniczkowe rzędu drugiego postaci y’’=f(x,y’) przez podstawienie: y’=u przy czym y(x) i u(x) oraz y’’=u’ sprowadza się do równania różniczkowego rzędu pierwszego: u’=f(x,u)

b) równanie różniczkowe rzedu drugiego postaci y’’=f(y,y’) przez podstawienie: y’=u(y), y’’=u’(y)*y’, czyli y’’=u’(y)*u(y) sprowadza się do równania różniczkowego rzędu pierwszego: u’*u=f(y,u).

18.Zapisać równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach. Podać definicję podstawowego układu rozwiązań R.R.L.J. oraz podać R.O.R.R.L.J. Omówić metodę uzmienniania stałych wyznaczania R.O.R.R.L.N.

Niech będą dane liczby rzeczywiste p₁,p₂ϵR i funkcja g ciągła w przedziale I. Równanie różniczkowe rzędu drugiego postaci *) y’’+p₁y’+p₂y=g(x) dla (x,y,y’)ϵD=IxR² nazywamy równaniem liniowym o stałych współczynnikach. Gdy g(x)=0 dla xϵI, to równanie liniowe nazywamy jednorodnym, a w przypadku przeciwnym niejednorodnym. Można wykazać, że przez każdy punkt (x₀,y₀,y₁)ϵD przechodzi dokładnie jedno rozwiązanie równania różniczkowego *). Rozwiązanie ogólne równania różniczkowego liniowego niejednorodnego RORRLN*) wiedzie przez rozwiązanie ogólne równania różniczkowego liniowego jednorodnego (RORRLJ) **).

Szukamy RORRLJ

**) y’’+p₁y’+p₂y=0

Gdy funkcje y₁ i y₂ klasy C² są rozwiązaniami równania RRLJ **) i tworzą fundamentalny układ rozwiązań tego równania, co oznacza, że wyznacznik Wrońskiego jest różny od zera, to ich kombinacja liniowa y₀=C₁y₁(x)+C₂y₂(x) jest RORRLJ.

19.Def(całka podwójna po prostokącie) całka podwójna z funkcji ograniczonej f po prostokącie P nazywamy granicę, którą oznaczamy

$$\iint_{P}^{}{f\left( x,y \right)\text{dP}\ \operatorname{}{\sum_{n \rightarrow 1}^{n}{f(x_{k},y_{k}}}})P_{k}$$

O ile granica ta jest właściwa i nie zależy od wyboru ciągu przedziałów normatywnych(π_n) prostokąta P i wyboru punktów (x_k,y_k)∈ P_n dla k=1,2…n

Def(obszary normalne w przestrzeni R²) Obszar zwarty D∈R² nazywamy:

a)obszarem normalnym względem osi x gdy da się zapisać w postaci

D: {a≤x≤b i g(x)≤y≤h(x) } przy czym g i h są siągłe w przedziale<a,b>

b)obszarem normalnym względem osi y, gdy da się zapisać w postaci:

D: {c≤y≤d i p(y)≤x≤q(y) } przy czym funkcje p i q są ciągłe w przedziale <c,d>

20.Def.(współrzędnych biegunowych w przestrzeni R²)Współrzędne biegunowe punktu P=(x,y)∈R² nazywamy uporządkowaną parę liczb (r,ϕ) taką, że: {x(r,ϕ)=rcosϕ , y(r,ϕ)=rsinϕ } dla (r,ϕ)∈: {0≤r≤∞ , 0≤ϕ≤2π lub ϕ₀≤ϕ≤ϕ₀+2π }

Tw(o zmianie zmiennych w całke podwójną) Jeśli funkcja f jest ciągła na obszacze zwartym D∈R²oraz 1. istnieje odwzorowanie {x=x(u,v) , y=y(u,v) dla(u,v)∈, które jest klasy C’ oraz przekształca różnowartościowo obszar zwarty ∈R² na obszar zwarty D. 2. Jakobian tego przekształcenia J(u,v) =|$\begin{matrix} x_{u}(u,v) & x_{v}(u,v) \\ y_{u}(u,v) & y_{v}(u,v) \\ \end{matrix}$|≠0 dla(u,v)∈ to zachodzi wzór ∬_Df(x,y)dD = ∬f(x(u,v),y(u,v))|J(u,v)|d

21.Def(obszaru normalnego w przestrzeni R³) obszar zwarty(domknięty i ograniczony) G∈R³ nazywamy obszarem normalnym względem płaszczyzny 0xy gdy da się zapisać w postaci G:{(x,y)∈D , ϕ(x,y)≤z≤ψ(x,y) } gdzie funkcje ϕ i ψ są ciągłe na obszarze zwartym D∈R²

Tw.(o iteracji całki potrójnej po obszarze normalnym) Jeśli funkcji f jest ciągła na obszarze normalnym ∈R³ względem płaszczyzny 0xy a więc G:{(x,y)∈D , ϕ(x,y)≤z≤ψ(x,y) } w przypadku gdy obszar D jest normalny względem osi X, a więc D: {a≤x≤b i g(x)≤y≤h(x)} dalejwzór na całke potrójną

23 Współrzędnymi sferycznymi punktu PЄR³ o współrzędnych kartezjańskich (x,y,z) nazywamy uporządkowaną trójkę liczb (ro,fi,teta) taką, że

x(ro,fi,teta)=rocosfisinteta

y(ro,fi,teta)=rosinfisinteta

z(ro,fi,teta)=rocosteta

dla (ro,fi,teta)ЄΔ:

te trzy w klamrze:

0≤ro<∞

0≤fi≤2π

0≤teta≤π

Jakobian – wyprowadzenie:

J(ro,fi,teta)=$|\begin{matrix} x_{\text{ro}} & x_{\text{fi}} & x_{\text{teta}} \\ y_{\text{ro}} & y_{\text{fi}} & y_{\text{teta}} \\ z_{\text{ro}} & z_{\text{fi}} & z_{\text{teta}} \\ \end{matrix}|$ = |$\begin{matrix} \text{cosfisinteta} & - \text{rosinfisinteta} & \text{rocosficosteta} \\ \text{sinfisinteta} & \text{rocosfisinteta} & \text{rosinficosteta} \\ \text{costeta} & 0 & - \text{rosinteta} \\ \end{matrix}|$=-ro²sinteta

| J(ro,fi,teta)|=ro²sinteta