| Wydział Matematyki Fizyki i Informatyki | Zespół nr | ||
|---|---|---|---|
| Ćw. nr 1 | Wyznaczanie wartości przyśpieszenia ziemskiego metodą wahadła matematycznego | ||
| Grupa |
Zgodnie z prawem powszechnego ciążenia wszystkie ciała spadając swobodnie w pobliżu powierzchni Ziemi, poruszają się z tym samym przyspieszeniem. Pomijając siłę odśrodkową i siłę Coriolisa, związane z ruchem obrotowym Ziemi, wartość przyśpieszenia ziemskiego można przybliżyć wzorem:
$$g = \frac{\text{GM}}{R^{2}}$$
Rzeczywista wartość zależy od położenia miejsca pomiaru. Ponieważ ziemia nie jest kulą, a geoidą spłaszczoną na biegunach, odległość od środka ziemi jest większa na równiku, gdzie dodatkowo siła odśrodkowa jest największa. Wpływ na pomiar może mieć także geologia miejsca pomiaru. Wykonując ćwiczenie pomijamy te czynniki, przyjmując $Q \cong \ F_{g} = \ \frac{\text{GMm}}{R^{2}} = mg$
Wahadłem matematycznym nazywamy wyidealizowane wahadło fizyczne, w którym pomijamy ciężar i elastyczność nici. W ćwiczeniu posługujemy się metalową kulką zawieszoną na sztywnej nici o ciężarze, który można zaniedbać. Takie wahadło przy małych wychyleniach wykonuje w przybliżeniu ruch drgający prosty, więc okres drgań (T) zbliżony jest do:
$$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$$
Dzięki temu, że okres wahadła prostego dla małych wychyleń nie zależy od jego masy ani amplitudy ruchu, mierząc długość wahadła i okres jego drgań możemy wyznaczyć przyspieszenie ziemskie ze wzoru:
$$g = \frac{4\pi^{2}l}{T^{2}}$$
| Czas 10. wahnięć |
|---|
| L.p. |
| 1. |
| 2. |
| 3. |
| 4. |
| 5. |
| 6. |
| 7. |
| 8. |
| 9. |
| 10. |
| Δt [s] |
|---|
| 0,1 |
| Długość nici |
|---|
| h [cm] |
| 117,5 |
| Średnica kulki |
|---|
| d [mm] |
| 18,55 |
| Δh [cm] |
|---|
| 0,5 |
$$\sum_{}^{}{10t} = 217,8\ \left\lbrack s \right\rbrack$$
$$\overset{\overline{}}{\mathbf{T}}\mathbf{= 2,178\ \lbrack s\rbrack}$$
Niepewność typu A
$$u_{A}\left( T \right) = \ \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}{(T_{i} - \overset{\overline{}}{T})}^{2}}{n(n - 1)}} = \ 0,01218377\ \lbrack s\rbrack$$
Niepewność typu B
$$u_{B}\left( T \right) = \ \frac{T}{\sqrt{3}} = 0,057735027\ \lbrack s\rbrack$$
Złożenie niepewności
$$u_{C}\left( T \right) = \ \sqrt{{u_{A}(T)}^{2} + {u_{B}(T)}^{2}\ }\ \cong \ 0,059\ \lbrack s\rbrack$$
$$\overset{\overline{}}{\mathbf{l}}\mathbf{=}\overset{\overline{}}{\mathbf{h}}\mathbf{+}\frac{\overset{\overline{}}{\mathbf{d}}}{\mathbf{2}}\mathbf{= \ 1,184275\ \lbrack m\rbrack}$$
Niepewność typu B
$$u_{B}\left( l \right) = \ \frac{l}{\sqrt{6}} = \ 0,00204124145231932\ \lbrack m\rbrack$$
$$\overset{\overline{}}{g} = 4\pi^{2}\frac{\overset{\overline{}}{l}}{\overset{\overline{}}{T}} = 9,8559058757709\ \left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack$$
Niepewność pomiaru
$$u\left( g \right) = \ g\ \sqrt{\left( - 2\frac{u_{C}(T)}{\overset{\overline{}}{T}} \right)^{2} + \left( \frac{u_{B}(l)}{\overset{\overline{}}{l}} \right)^{2}} = 0,53430447635935\ \left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack\ $$
T ≅ 2, 178 ± 0, 059 [s]
l ≅ 1, 1843 ± 0, 0020 [m]
$$\mathbf{g \cong 9,}\mathbf{8559}\mathbf{\pm}\mathbf{0,5343}\left\lbrack \frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}^{\mathbf{2}}} \right\rbrack$$
Wartość tablicowa przyspieszenia ziemskiego rejestrowanego w Krakowie $(9,8105\frac{m}{s^{2}})$ pasuje do otrzymanego wyniku. Metoda pomiaru byłaby zdecydowanie zbyt mało dokładna, by dostrzec różnice w wartości przyspieszenia ziemskiego w różnych punktach na ziemi.
Brak dokładności może wynikać z przyjętych przybliżeń oraz niedokładności pomiarów z powodu czynnika ludzkiego.