Politechnika Śląska data: 21.11.2012
Wydział Inżynierii Środowiska i Energetyki
Energetyka Komunalna

Numer ćwiczenia: 5

WYZNACZANIE MOMENTU BEZWŁADNOŚCI BRYŁ.

Sekcja 1:

Bartosz Pawełkiewicz

Michał Ciemięga

1. Wstęp teoretyczny:

Momentem bezwładności - nazywamy wielkość charakteryzująca sposób rozmieszczenia masy bryły wokół osi obrotu, w ruchu obrotowym bryły sztywnej, wielkość ta identyfikuje masę w ruchu po okręgu.

Momentem bezwładności I bryły względem danej osi nazywamy sumę iloczynów mas poszczególnych punktów bryły i kwadratów ich odległości od danej osi, a więc:

Tak zapisujemy moment bezwładności dla bryły sztywnej będącej zbiorem punktów materialnych.

W przypadku bryły o ciągłym rozkładzie masy, dzielimy ją w myśli na nieskończenie małe części i sumowanie w powyższym wzorze zastępujemy całkowaniem. W wyniku tych przekształceń otrzymujemy:

I = ∫ r²dm

gdzie:

dm - masa elementu objętości bryły odległego o r od osi.

Twierdzenie Steinera – twierdzenie mechaniki oraz wytrzymałości materiałów opisujące sposób znajdowania momentu bezwładności danej bryły względem danej osi przy danym momencie bezwładności względem osi równoległej i przechodzącej przez środek masy bryły. Jego autorem jest Jakob Steiner.

Mówi, że moment bezwładności bryły sztywnej względem dowolnej osi jest równy sumie momentu bezwładności względem osi równoległej do danej i przechodzącej przez środek masy bryły oraz iloczynu masy bryły i kwadratu odległości między tymi dwiema osiami, co można wyrazić wzorem

gdzie:

– moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy,

– moment bezwładności względem osi równoległej do pierwszej osi,

– odległość między osiami,

– masa bryły.

Moment bezwładności osiąga minimalną wartość, gdy oś przechodzi przez środek masy.

1. Przebieg doświadczenia:

a) wyznaczenie masy m pręta

b) zmierzenie długości l pręta i odległości osi obrotu x

c) wyznaczenie czasu t liczby n okresów oraz trzykrotne powtórzenie pomiaru

d) wyznaczenie masy m krążka

e) zmierzenie czasu t liczby n okresów wahnień oraz trzykrotne powtórzenie pomiaru

f) zapisanie błędów bezwzględnych poszczególnych pomiarów

1. Obliczenia i pomiary:

Wyniki pomiarów i obliczenia dla pręta:

t^1	75,94s
t^2	75,91s
t^3	75,60s

l=86cm=0,86m

m=335g=0,335kg

x=41,5cm=0,415m

Obliczanie momentu bezwładności dla pręta:

I_s= ($\frac{1}{12} \bullet m \bullet l^{2}$)

I_s= ($\frac{1}{12} \bullet 0,335 \bullet {0,86}^{2}$)

I_s= ($\frac{1}{12} \bullet 0,248$)

I_s= 0,0206kg·m²

Wyniki pomiarów i obliczenia dla krążka:

t^1	47,69
t^2	47,97
t^3	47,36

m=1270g=1,27kg

d=13,5cm=0,135m

R=15cm=0,15m

Obliczanie momentu bezwładności dla krążka:

I_s= ($\frac{1}{2} \bullet m \bullet R^{2}$)

I_s= ($\frac{1}{2} \bullet 1,27 \bullet {0,15}^{2}$)

I_s= ($\frac{1}{2} \bullet 0,0285$)

= 0,0143 kg·m²

Stosując twierdzenie Steinera o momencie bezwładności względem osi równoległych mamy do powyższych wzorów mamy:

dla pręta:

I_o= I_s •  m•x²= m($\frac{1}{12} \bullet l^{2}$ + x²)

I_o= 0,335($\frac{1}{12} \bullet {0,86}^{2}$ + 0, 42²)

I_o=0,0797 kg·m²

dla krążka:

I_o= I_s •  m•d²= m($\frac{1}{2} \bullet R^{2}$ + d²)

I_o= 1,27($\frac{1}{2} \bullet {0,15}^{2}$ + 0, 14²)

I_o=0,0392 kg·m²

Obliczanie średniego okresu drgań dla pręta i tarczy:

T_p=$\frac{t_{1} + t_{2} + t_{3}}{3n}$ T_k=$\frac{t_{1} + t_{2} + t_{3}}{3n}$

T_p=$\frac{75,94 + 75,91 + 75,60}{150}$ T_k=$\frac{47,69 + 47,97 + 47,36}{150}$

T_p=1, 52 T_k=0,953

Bryły zawieszone na poziomej osi obrotu, nie przechodzącej przez środek masy, wykonują drgania z okresem: $T = 2\pi\sqrt{\frac{I_{o}}{m \bullet g \bullet a}}$, z tego wynika że: I_o=$\frac{m g a T^{2}}{4{\pi}^{2}}$

Gdzie:

m-masa pręta/tarczy

g- przyspieszenie ziemskie

a-odległość osi obrotu od środka masy

Stosując powyższy wzór obliczamy moment bezwładności pręta i tarczy dla wahadła fizycznego:

dla pręta:

I_o=$\frac{m g a T^{2}}{4{\pi}^{2}}$

I_o=$\frac{0,335 9,81 0,42 {1,52}^{2}}{4{3,14}^{2}}$=0,0809kg·m²

dla tarczy:

 I_o=$\frac{m g a T^{2}}{4{\pi}^{2}}$

 I_o=$\frac{1,27 9,81 0,14 {0,953}^{2}}{4{3,14}^{2}}$=0,0402kg·m²

Wyliczamy błąd względny:

ΔI_preta=$\ \Delta m(\frac{1}{12} \bullet l^{2}$+x²)+m( l•Δl + 2x $\bullet \Delta x) = \ 0,002(\frac{1}{12} \bullet {0,86}^{2}$+0, 42²)+0,335(0,86 •0, 001 + 0, 84 •0, 001)= 0,000476+0,0005695=0,00105 kg·m²

ΔI_tarczy=$\ \ \Delta m(\frac{1}{2} \bullet R^{2}$+d²)+m(R•ΔR + 2d $\bullet \Delta d) = \ 0,002(\frac{1}{2} \bullet {0,15}^{2}$+0, 14²)+1,27(0,15•0, 001 + 0, 28 •0, 001)=0,0004145 + 0,0005461=0,0009606 kg·m²

Wyliczamy błąd bezwzględny:

$|\frac{\text{ΔI}}{I}|$=$\left| \frac{\text{Δm}}{m} \right| + \left| \frac{\text{Δa}}{a} \right| + 2|\frac{\text{ΔT}}{T}|$

dla pręta:

$|\frac{\text{ΔI}}{I}|$=$\left| \frac{0,002}{0,335} \right| + \left| \frac{0,001}{0,42} \right| + 2|\frac{0,0028}{1,52}|$=0,0059701+0,0023809+0,0018421

$\left| \frac{\text{ΔI}}{I} \right|\ = 0,00083$ •I

Wzór:

ΔI = 0, 0000661

Metoda wahadła:

$\left| \frac{\text{ΔI}}{I} \right|\ = 0,00083$ •I

ΔI = 0,0000671

dla tarczy:

$|\frac{\text{ΔI}}{I}|$=$\left| \frac{0,002}{1,27} \right| + \left| \frac{0,001}{0,14} \right| + 2|\frac{0,0042}{0,953}|$=0,0015748+0,0071428+0,0088142

$|\frac{\text{ΔI}}{I}| =$0,00071•I

Wzór:

ΔI = 0, 0000278

Metoda wahadła:

$\left| \frac{\text{ΔI}}{I} \right|\ = 0,00071$ •I

ΔI = 0,0000285

1. Wyniki

	Wzór	Metoda wahadła
Pręt	(0,0797±0,0000661) kg·m^2	(0,0809±0,0000671) kg·m^2
Tarcza	(0,0392±0,0000278) kg·m^2	(0,0402±0,0000285) kg·m^2