22. Określenie ciągu funkcyjnego. Zbieżność punktowa i jednostajna ciągu funkcyjnego.
Definicja: Niech fn : A → ℝ, n∈ℕ, będzie funkcyjnym.
(1) Mówimy, że jest on punktowo zbieżny, jeśli ciąg liczbowy (fn(x)) jest zbieżny dla każdego x ∈ A. Powstaje wtedy funkcja f : A → ℝ dana wzorem
f(x)fn(x)
Nazywana granicą ciągu funkcyjnego (fn). Piszemy fn → f.
fn → f wtedy i tylko wtedy, gdy:
∀x ∈ A∀ε∃n0∀n ≥ n0|fn(x)−f(x)| < E
(2) Jeżeli zachodzi
∀ε∃n0∀n ≥ n0∀x ∈ A|fn(x)−f(x)| < E,
To mówimy, że ciąg (fn) jest jednostajnie zbieżny do f i piszemy fn ⇉ f.
Twierdzenie: Jezeli fn ⇉ f, to fn → f. Jezeli fn → f i fn ⇉ g, to g = f.
Przykład:
Niech fn(x) = xn, x ∈ [0,1]. Wtedy fn(x) → 0 dla x ∈ [0,1)i fn(1) → 1 zatem fn → f, gdzie
$$f\left( x \right) = \left\{ \begin{matrix}
0\ \text{dla}\ x \in \lbrack 0,1) \\
1\ \ \text{dla}\text{\ \ \ \ \ }x = 1 \\
\end{matrix} \right.\ $$
Ciąg ten nie jest natomiast jednostajnie zbieżny. Dla dowodu nie wprost przypuśćmy, że:
∀ε > 0∃N∈ℕ∀n ≥ N∀x ∈ [0, 1] |fn(x)−f(x)| < ε.
Weźmy teraz $\varepsilon = \frac{1}{3}$. Z naszej hipotezy wynika, że
$$\exists_{N_{1}}\mathbb{\in N}\forall_{n \geq N_{1}}\forall_{x \in \lbrack 0,1\rbrack}\ \left| f_{n}\left( x \right) - f\left( x \right) \right| < \varepsilon = \frac{1}{3}.$$
Ale ponieważ fN1(x) = xN1 → 1, gdy x → 1 zatem: $\exists_{x_{0} \in \left( 0,1 \right)}\left| F_{N_{1}}\left( x_{0} \right) - 1 \right| < \frac{1}{3}$
Zatem $\left| f_{N_{1}}\left( x_{0} \right) - f\left( x_{0} \right) \right| = \left| f_{N_{1}}\left( x_{0} \right) - 0 \right| = \left| f_{N_{1}}\left( x_{0} \right) - 1 + 1 - 0 \right| \geq \left| 1 - 0 \right| - \left| f_{N_{1}}\left( x_{0} \right) - 1 \right| = 1 - \left| f_{N_{1}}\left( x_{0} \right) - 1 \right| > 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} > \varepsilon = \frac{1}{3},$ co daje sprzeczność z wyborem N1.
Twierdzenie (Jednostajny warunek Cauchy’ego)
Jeżeli ∀ε > 0∃n0∀n, m ≥ n0∀x ∈ A |fn(x)−fm(x)| < ε to ciąg (fn) jest jednostajnie zbieżny.
Wyszukiwarka