Politechnika Opolska

Wydział Elektrotechniki, Automatyki i Informatyki

Kierunek: Automatyka i Robotyka

PROJEKT

Studia pierwszego stopnia

Stacjonarne

Przedmiot:

Identyfikacja procesów technologicznych

TEMAT PRACY

Identyfikacja obiektu na podstawie znajomości wejść/wyjść - "Black Box identification "

Prowadzący: Pracę wykonał:

dr hab. inż. Rafał Stanisławski, prof. PO Łukasz Mehl

Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest uzyskanie transmitancje obiektu. Trudność ćwiczenia polega na tym, iż jest ograniczony dostęp do parametrów obiektu. Do dyspozycji jest jedynie sygnał wejściowy podawany na wejście obiektu, oraz sygnał wyjściowy wychodząc z obiektu.

Przebieg ćwiczenia

W celu wyznaczenia transmitancji został przeprowadzony eksperyment identyfikacyjny. Pierwszym etapem pracy było uzyskanie sygnału wejściowego oraz wyjściowego. W tym celu został stworzony układ testowy w programie Matlab-Simulink. układ testowy został przedstawiony na rys. 2.1.

Rys. 2.1 Układ testowy badanego obiektu

Przeprowadzony eksperyment polegał na podaniu na wejście obiektu sygnału pobudzającego obiekt. W tym wypadku obiekt został pobudzony skokiem jednostkowym. Blok To Workspace pozwala wyeksportować zmultipleksowany sygnał do przestrzeni roboczej Matlaba w celu wyznaczenia sygnału wejściowego U oraz sygnału wyjściowego Y. Sygnały te wykorzystywane będą w dalszej części identyfikacji w przyborniku System Identyfication Toolbox. Odpowiedz układu na skok jednostkowy przedstawia rys. 2.2.

Rys. 2.2 Odpowiedź układu na skok jednostkowy

Czas próbkowania wynosi Ts=1s. Okres w jakim został przeprowadzony test wynosi 100 sekund.

Program Matlab oferuje przybornik służący do identyfikacji procesów technologicznych System Identyfication Toolbox. Wywołuje się go przy pomocy polecenia ident w oknie głównym programu. Widok przybornika przedstawia rys. 2.3.

Rys. 2.3 Widok przybornika System Identyfication Toolbox

W celu zaimportowania danych z modelu do przybornika należy wybrać polecenie Import data a następnie Time domain data. Po pojawieniu się okienka przedstawionego na rys. 2.4 należy podać dane wejściowe i wyjściowe układu. W tym celu wykorzystane zostaną utworzone wcześniej macierze U i Y. Po kliknięciu Import dane nasze zostaną zaimportowane do przybornika.

Rys. 2.4 Importowanie danych do przybornika

Pierwszym modelem przy pomocy dokonano identyfikacji to Transfer Function Models. Parametry jakie należy ustawić w celu wyznaczeniu modelu to określenie ilości zer i biegunów modelu. Po przeprowadzeniu serii prób i porównaniu ich wyników, wyznaczono model, który zawiera 4 zera i 4 bieguny. Pokrycie estymowanego modelu z obiektem rzeczywistym wyniósł 86,45 %. Odpowiedź skokowa wyznaczonego modelu została przedstawiona na rys. 2.5, natomiast odpowiedz układu na sygnał wejściowy Signal Builder przedstawia rys. 2.6.

Rys. 2.5 Porównanie odpowiedzi estymowanego obiektu (Transfer Function Models) i obiektu rzeczywistego na skok jednostkowy

Rys. 2.6 Porównanie odpowiedzi estymowanego obiektu (Transfer Function Models) i obiektu rzeczywistego na Signal Builder

Transmitancja estymowanego obiektu:

$$G\left( z \right) = \frac{1.185z^{- 1} + 0.1624z^{- 2} - 0.08074z^{- 3} + 1.03z^{- 4}}{1 - 0.9417z^{- 1} - 0.0103z^{- 2} + 1.01z^{- 3} - 0.9215z^{- 4}}$$

(2.1)

FPE (ang. Final Prediction Error): 0.418

MSE (ang. Mean Squared Error): 0.3225

Drugim modelem przy pomocy dokonano identyfikacji to model ARX (ang. AutoRegressive with eXogenous input). Model ARX jest dyskretnym modelem opisującym stosunek wejścia do wyjścia do procesów stochastycznych. Model opisany jest wzorem:

$$y\left( i \right) = q^{- k}\frac{B\left( q^{- 1} \right)}{A\left( q^{- 1} \right)}u(i)$$

(2.2)

gdzie:

u(i),y(i) – wejście, wyjście obiektu

A(q),B(q)- wielomiany różnicowe

q^-k - operator przesunięcia wstecz sygnału o k wartości

Parametrami które należy określić w przyborniku System Identyfication Tool to stopnie wielomianów A(q) - na, B(q) + 1 - nb oraz opóźnienia wejścia-wyjścia - nk, w postaci ARX:[na nb nk]. Po przeprowadzeniu serii testów wyznaczono model z następującymi parametrami ARX[2 2 1]. Pokrycie estymowanego modelu z obiektem rzeczywistym wyniósł 79,76 %. Odpowiedź skokowa wyznaczonego modelu została przedstawiona na rys. 2.7, natomiast odpowiedz układu na sygnał wejściowy Signal Builder przedstawia rys. 2.8.

Rys. 2.7 Porównanie odpowiedzi estymowanego obiektu (ARX) i obiektu rzeczywistego na skok jednostkowy

Rys. 2.8 Porównanie odpowiedzi estymowanego obiektu (ARX) i obiektu rzeczywistego na Signal Builder

Transmitancja estymowanego obiektu:

$$G\left( z \right) = \frac{0.9424z^{- 1} - 0.1523z^{- 2}}{1 - 1.417z^{- 1} - 0.4655z^{- 2}}$$

(2.3)

FPE (ang. Final Prediction Error): 0.1616

MSE (ang. Mean Squared Error): 0.1512

Trzecim modelem przy pomocy dokonano identyfikacji to model ARMAX (ang. AutoRegressive Moving Average with eXogenous input). Model jest ARMAX dyskretnym modelem wejściowo-wyjściowym dla procesów stochastycznych. Model ten jest wyrażony wzorem:

$$y\left( i \right) = z^{- k}\frac{B\left( z^{- 1} \right)}{A\left( z^{- 1} \right)}u\left( i \right) + \frac{C\left( z^{- 1} \right)}{A\left( z^{- 1} \right)}e(i)$$

(2.4)

Parametrami które należy określić w przyborniku System Identyfication Tool to stopnie wielomianów A(q) - na, B(q) + 1 - nb, C(q) - nc, opóźnienia wejścia-wyjścia - nk, w postaci ARMAX:[na nb nc nk]. Po przeprowadzeniu serii testów wyznaczono model z następującymi parametrami ARMAX[2 2 2 1]. Pokrycie estymowanego modelu z obiektem rzeczywistym wyniósł 84,69 %. Odpowiedź skokowa wyznaczonego modelu została przedstawiona na rys. 2.9, natomiast odpowiedz układu na sygnał wejściowy Signal Builder przedstawia rys. 2.10.

Rys. 2.9 Porównanie odpowiedzi estymowanego obiektu (ARMAX) i obiektu rzeczywistego na skok jednostkowy

Rys. 2.10 Porównanie odpowiedzi estymowanego obiektu (ARMAX) i obiektu rzeczywistego na Signal Builder

Transmitancja estymowanego obiektu:

$$G\left( z \right) = \frac{1.19z^{- 1} + 0.6845z^{- 2}}{1 - 0.1886z^{- 1} - 0.6845z^{- 2}}$$

(2.5)

FPE (ang. Final Prediction Error): 0.13

MSE (ang. Mean Squared Error): 0.1083

Czwartym modelem przy pomocy dokonano identyfikacji to model OE (ang. Output-Error). Model OE jest modyfikacją metody BJ (ang. Boxa-Jenkinsa), gdzie nie czyni się założeń co do skorelowania ciągu zakłóceń. Model ten jest wyrażony wzorem:

$$y_{n} = \frac{B\left( q \right)}{F\left( q \right)}u\left( n - nk \right) + v(n)$$

(2.6)

Parametrami które należy określić w przyborniku System Identyfication Tool to stopnie wielomianów B + 1 - nb, F - nf, opóźnienia wejścia wyrażone w liczbie próbek - nk, w postaci OE:[nb nf nk]. Po przeprowadzeniu serii testów wyznaczono model z następującymi parametrami OE[4 4 1]. Pokrycie estymowanego modelu z obiektem rzeczywistym wyniósł 86,49 %. Odpowiedź skokowa wyznaczonego modelu została przedstawiona na rys. 2.11, natomiast odpowiedz układu na sygnał wejściowy Signal Builder przedstawia rys. 2.12.

Rys. 2.11 Porównanie odpowiedzi estymowanego obiektu (OE) i obiektu rzeczywistego na skok jednostkowy

Rys. 2.12 Porównanie odpowiedzi estymowanego obiektu (OE) i obiektu rzeczywistego na Signal Builder

Transmitancja estymowanego obiektu:

$$G\left( z \right) = \frac{1.187z^{- 1} + 0.1624z^{- 2} - 0.08074z^{- 3} + 1.03z^{- 4}}{1 - 0.9417z^{- 1} - 0.0103z^{- 2} + 1.01z^{- 3} - 0.9215z^{- 4}}$$

(2.7)

FPE (ang. Final Prediction Error): 0.418

MSE (ang. Mean Squared Error): 0.3235

Piątym modelem przy pomocy dokonano identyfikacji to model BJ (ang. Box-Jenkins). Model Boxa-Jenkinsa polega na sprowadzeniu opisu obiektu do transmitancji zapisanej w formie równania sfaktoryzowanego w postaci wielomianów licznika i mianownika. Model ten jest wyrażony wzorem:

$$y_{n} = \frac{B\left( q \right)}{F\left( q \right)}u\left( n - nk \right) + \frac{C\left( q \right)}{D\left( q \right)}e(n)$$

(2.8)

Gdzie pierwszy człon stanowi deterministyczny opis obiektu, z kolei drugi człon opisuje filtrowany szum biały.

Parametrami które należy określić w przyborniku System Identyfication Tool to stopnie wielomianów B + 1 - nb, C + 1 - nc, D + 1 - nd, F - nf, opóźnienia wejścia wyrażone w liczbie próbek - nk, w postaci BJ:[nb nc nf nd nk]. Po przeprowadzeniu serii testów wyznaczono model z następującymi parametrami BJ[4 4 1]. Pokrycie estymowanego modelu z obiektem rzeczywistym wyniósł 88,55 %. Odpowiedź skokowa wyznaczonego modelu została przedstawiona na rys. 2.13, natomiast odpowiedz układu na sygnał wejściowy Signal Builder przedstawia rys. 2.14.

Rys. 2.13 Porównanie odpowiedzi estymowanego obiektu (BJ) i obiektu rzeczywistego na skok jednostkowy

Rys. 2.14 Porównanie odpowiedzi estymowanego obiektu (BJ) i obiektu rzeczywistego na Signal Builder

Transmitancja estymowanego obiektu:

$$G\left( z \right) = \frac{1.344z^{- 1} - 0.06711z^{- 2} + 1.47z^{- 3} + 0.05526z^{- 4}}{1 - 0.7934z^{- 1} + 0.7455z^{- 2} - 0.4226z^{- 3} - 0.3636z^{- 4}}$$

(2.9)

FPE (ang. Final Prediction Error): 0.08921

MSE (ang. Mean Squared Error): 0.05016

Wnioski

Wykonane w ramach projektu zadanie identyfikacji obiektu BlackBoxB zostało wykonane wykorzystując modele: Transfer Function Models, ARX, ARMAX, OE oraz BJ. Każdy z przedstawionych modeli pozwolił uzyskać transmitancję o zadawalającym współczynniku podobieństwa. Narzędzie jakim jest System Identification Tool oferuje szeroki wachlarz narzędzi pozwalających na szybką i łatwą estymację parametrów wybranego modelu i otrzymanie obiektu wyjściowego w postaci transmitancji. Wygodny interfejs pozwala na łatwą interakcję z narzędziem. Analizując otrzymane modele można stwierdzić, że otrzymanie modelu matematycznego obiektu jest stosunkowo proste. Kluczowym aspektem jest odpowiedni poziom dopasowania parametrów modelu w stosunku do obiektu rzeczywistego. Zbyt niskie jak i zbyt wysokie wartości stopni estymowanych wielomianów powodują zbyt duży poziom niedopasowania lub przesztywnienie modelu, co jest niekorzystne. Oznaką przesztywnienia modelu jest bardzo dobre odwzorowanie dla danych, na których obiekt był identyfikowany oraz nieoczekiwane wartości sygnału wyjściowego w przypadku podania innych danych testowych na wejście obiektu.