Jacek Pelczarski
C8

Układy współrzędnych

Układ odniesienia, układ współrzędnych uzupełniony o pomiar czasu. Dobór tego pierwszego zależy od rodzaju opisywanego zagadnienia: na płaszczyźnie i w przestrzeni trójwymiarowej stosuje się np. zwykle odpowiedni typ układu współrzędnych kartezjańskich, a w zagadnieniach, w których mamy do czynienia z symetrią sferyczną, układ współrzędnych sferycznych.

W mechanice klasycznej przejście od opisu zjawiska w jednym układzie odniesienia do jego opisu w drugim określone jest przez przekształcenie Galileusza, w fizyce współczesnej analogiczną rolę pełni transformacja Lorentza.

Opis zjawisk fizycznych w ogólności zależy od wyboru układu odniesienia (niezmienniczość). Wyróżnia się inercjalne układy odniesienia, w których spełnione są wszystkie zasady dynamiki Newtona, oraz nie spełniające I i II zasady tejże dynamiki, układy odniesienia nieinercjalne, gdzie działają pozorne siły bezwładności.

Układ współrzędnych kartezjańskich, układ współrzędnych prostokątnych, układ współrzędnych, który na płaszczyźnie tworzą dwie, a w przestrzeni trzy wzajemnie prostopadłe proste - noszą nazwę osi układu, a miejsce ich przecięcia jest jego początkiem. Położenie punktu określa się przez podanie odległości od początku układu do punktów otrzymanych przez rzutowanie prostopadłe danego punktu na poszczególne osie. Układ wprowadził w XVII w. R. Descartes.

Układ współrzędnych walcowych, jeden z podstawowych układów współrzędnych. Położenie punktu A definiuje się tu przez podanie kąta ϕ, określającego kierunek na płaszczyźnie od wybranego punktu (tzw. początku układu) do punktu powstającego przez rzut prostokątny punktu A na tę płaszczyznę, odległości R pomiędzy tymi punktami oraz odległości punktu A od wybranej powierzchni z. Współrzędne walcowe związane są ze współrzędnymi kartezjańskimi (x, y, z) następującymi relacjami: x = R cosϕ, y = R sinϕ, z=z.

Układ współrzędnych sferycznych, jeden z podstawowych układów współrzędnych. Pierwszym układem współrzędnych sferycznych był układ współrzędnych astronomicznych, umożliwiający określanie położenia ciał na sferze niebieskiej.
W układzie tym podaje się dwa zorientowane kąty: kąt θ pomiędzy wyróżnioną płaszczyzną ( horyzontem, ekliptyką, równikiem niebieskim, w zależności od rodzaju układu) a prostą wiodącą od obserwatora do ciała niebieskiego oraz kąt ϕ pomiędzy płaszczyzną wybranego (konwencjonalnie) koła wielkiego, prostopadłego do wyróżnionej płaszczyzny, a kołem wielkim przechodzącym przez dane ciało. W układzie fizycznych współrzędnych sferycznych kąty te uzupełnia się odległością R od obserwatora (początek układu współrzędnych sferycznych) do danego ciała.
Współrzędne sferyczne związane są ze współrzędnymi kartezjańskimi x, y, z następującymi relacjami: x = R cosϕ cosθ, y = R sinϕ cosθ, z = sinθ. Na płaszczyźnie stosuje się układ współrzędnych biegunowy będący zredukowanym do dwóch wymiarów układem współrzędnych sferycznych.

Układ inercjalny (inaczej inercyjny) – układ odniesienia, względem którego każde ciało, niepodlegające zewnętrznemu oddziaływaniu z innymi ciałami, porusza się bez przyspieszenia (tzn. ruchem jednostajnym prostoliniowym lub pozostaje w spoczynku). Istnienie takiego układu jest postulowane przez pierwszą zasadę dynamiki Newtona. Zgodnie z zasadą względności Galileusza wszystkie inercjalne układy odniesienia są równouprawnione i wszystkie prawa mechaniki i fizyki są w nich identyczne.

Inercjalny układ odniesienia można również zdefiniować jako taki układ, w którym nie pojawiają się pozorne siły bezwładności.

Nieinercjalny układ odniesienia – układ odniesienia poruszający się ruchem niejednostajnym względem jakiegokolwiek inercjalnego układu odniesienia.

Transformacja równań ruchu z układu inercjalnego do układu nieinercjalnego powoduje, że w równaniu ruchu zapisanym w układzie nieinercjalnym pojawiają się dodatkowe wyrazy, których wartość zależy od ruchu układu nieinercjalnego względem inercjalnego. Wyrazy te mają wymiar siły i dlatego mówimy, że w takim układzie występują pozorne siły. Przykładem takich sił jest siła bezwładności i siła Coriolisa.

Układ współrzędnych normalnych jest bardzo często stosowany w fizyce, np. w kinematyce i akustyce, gdyż jest związany z trajektorią ruchu danego obiektu. Tworzą go trzy wersory: eτ - styczny, en - normalny, i eb - binormalny .

Rysunek 5:  Układ współrzędnych normalnych

Wersor styczny eτ jest styczny do trajektorii, a więc jest równoległy do wektora prędkości v(t), czyli

v ( t ) = d r d t = v e τ

Można więc wyliczyć eτ

e τ = v ( t ) v = d r d t | d r d t |

Wersor normalny en leży w płaszczyźnie prostopadłej do wersora eτ, więc ma nieskończenie wiele możliwości orientacji. Istnieje bardzo prosta procedura, która pozwala usunąć tę niejednoznaczność i zdefiniować go w sposób jednoznaczny.

Zauważmy, że

e τ · e τ = 1

Zróżniczkujmy ten wzór względem czasu:

d e τ d t e τ + e τ d e τ d t = 0

skąd wynika, że eτ jest prostopadłe do deτdt. Możemy więc po prostu zdefiniować eτ poniższym wzorem, by znormalizować go do jedności

e n = d e τ d t | d e τ d t |

W przestrzeni 2D chwilowy promień krzywizny trajektorii leży zawsze w płaszczyźnie krzywej (bo nie ma innego wyboru) i jest prostopadły do stycznej, czyli do wersora eτ. W przestrzeni 3D jest to zagadnienie dużo trudniejsze i potrzebna jest pewna ,,umowa społeczna''. Umówiono się, że kierunek chwilowego promienia krzywizny trajektorii (czyli kierunek normalny) jest równoległy do en.

Trzeci wersor triady wersorów normalnego układu współrzędnych, wersor binormalny, jest już bardzo łatwo określić. Jest to po prostu wynik iloczynu wektorowego wersora stycznego i wersora normalnego (dla układu prawoskrętnego - zwróćmy uwagę, że iloczyn wektorowy jest nieprzemienny)

e b = e τ × e n

Wektor prędkości jest dany wzorem [v ( t ) = d r d t = v e τ ] więc przyspieszenie znajdujemy niemal natychmiast

a = d v d t = v ˙ e τ + v e ˙ τ = v ˙ e τ + v | d e τ d t | e n

Przyspieszenie ma zatem dwie składowe: pierwsza opisuje przyspieszenie styczne do trajektorii ruchu, a druga opisuje przyspieszenie dośrodkowe. Szczególnie dobrze to widać gdy ruch odbywa się po okręgu o stałym promieniu.