Ćwiczenie nr 77 - Pomiar odległości ogniskowych soczewek cienkich
Wstęp
Cel ćwiczenia: zapoznanie się z procesem wytwarzania obrazów przez soczewki cienkie oraz z metodami wyznaczania odległości ogniskowych soczewek cienkich.
Tabelki pomiarów
Metoda wzoru soczewkowego
S-odległość przedmiotu od soczewki
S’- odległość soczewki od ekranu
$\overset{\overline{}}{S'}$-średnia wartość S’f’- odległość ogniskowa( ze wzoru)
| S[cm] | S’[cm] | $\overset{\overline{}}{\mathbf{S'}}$[cm] | f’[cm] |
|---|---|---|---|
| 58,0 | 11,5 | 14,2 | 12,875≈12,9 |
| 12,3 | 13,5 | ||
| 16,0 | 21,0 | 25,5 | 23,875≈23,9 |
| 26,0 | 23,0 | ||
| 14,0 | 31,0 | 29,0 | 28,9 |
| 26,8 | 28,8 | ||
| 60,0 | 12,0 | 14,0 | 12,875≈12,9 |
| 11,7 | 13,8 |
Metoda Bessela
d-odległość przedmiotu od ekranu
C1- położenie soczewki, w którym na ekranie powstanie ostry, powiększony obraz przedmiotu
C2- położenie soczewki, w którym na ekranie powstanie ostry, pomniejszony obraz przedmiotu
C- odległość między dwoma położeniami soczewki
fsk’- odległość ogniskowa soczewki skupiającej
fu’- odległość ogniskowa układu soczewek (skupiająca + rozpraszająca)
-Dla soczewki skupiającej
| D[cm] | C1[cm] | C2[cm] | C=|C2-C1[|[cm] | fsk’[cm] |
|---|---|---|---|---|
| 44,0 | 13,5 | 30,4 | 16,9 | 9,337 |
| 44,0 | 14,0 | 30,6 | 16,6 | 9,434 |
| 44,0 | 13,3 | 29,5 | 16,2 | 9,509 |
| 50,0 | 12,5 | 37,2 | 24,7 | 9,450 |
| 50,0 | 12,9 | 37,5 | 24,6 | 9,474 |
| 50,0 | 13,5 | 36,8 | 23,3 | 9,786 |
| 45,5 | 13,5 | 31,5 | 18,0 | 9,595 |
| 45,5 | 12,9 | 32,4 | 19,5 | 9,286 |
| 45,5 | 13,8 | 32,2 | 18,4 | 9,515 |
-Dla układu soczewek
| D[cm] | C1[cm] | C2[cm] | C=|C2-C1[|[cm] | fsk’[cm] |
|---|---|---|---|---|
| 56,5 | 16,2 | 33,2 | 17,0 | 12,846 |
| 56,5 | 17,5 | 34,6 | 17,1 | 12,831 |
| 56,5 | 16,8 | 35,8 | 19,0 | 12,528 |
| 72,5 | 14,0 | 51,8 | 37,8 | 13,198 |
| 72,5 | 14,7 | 52,5 | 37,8 | 13,189 |
| 72,5 | 15,0 | 53,1 | 38,1 | 13,119 |
| 86,7 | 13,5 | 68,2 | 54,7 | 13,047 |
| 86,7 | 13,0 | 67,7 | 54,7 | 13,047 |
| 86,7 | 13,1 | 67,0 | 53,9 | 13,298 |
Przykładowe obliczenia
Obliczanie odległości ogniskowej soczewki skupiającej metodą wzoru soczewkowego.
$$\frac{1}{f'} = \frac{1}{S'} + \frac{1}{S}$$
$$f' = \frac{S'S}{S^{'} + S}$$
${f'}_{1} = \frac{12,9*58,0}{12,9 + 58,0} = 10,5528914cm \approx 10,553cm$
$\overset{\overline{}}{f^{'}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n}f_{i}}{n} = \frac{10,553 + 9,584 + 9,431 + 10,617}{4} = 10,04625cm \approx 10,05cm$
Obliczanie odległości ogniskowej soczewek metodą Bessela.
- soczewki skupiającej
$${f'}_{\text{sk}} = \frac{1}{4}\left( \ d - \frac{c^{2}}{d} \right)$$
${f'}_{sk1} = \frac{{44,0}^{2} - {16,9}^{2}}{4*44,0}9,377216cm \approx 9,377cm$
$$\overset{\overline{}}{{f'}_{\text{sk}}} = \frac{9,337 + 9,434 + 9,509 + 9,450 + 9,474 + 9,786 + 9,595 + 9,286 + 9,515}{9} = 9,4916636cm \approx 9,49cm$$
-układu soczewek
$${f'}_{u} = \frac{1}{4}\left( \ d - \frac{c^{2}}{d} \right)$$
$${f'}_{u2} = \frac{{56,5}^{2} - {17,0}^{2}}{4*56,5} = 12,8311504cm \approx 12,831cm$$
$$\overset{\overline{}}{{f'}_{u}} = \frac{12,846 + 12,831 + 12,528 + 13,198 + 13,198 + 13,119 + 13,047 + 13,047 + 13,298}{9} = 13,01253457cm \approx 13,01cm$$
- soczewki rozpraszającej
Używamy układu dwóch soczewek: poprzednio badanej skupiającej i rozpraszającej o nieznanej długości ogniskowej.
$$\frac{1}{f_{u}} = \frac{1}{f_{\text{sk}}} + \frac{1}{f_{r}}$$
$$\frac{1}{f_{r}} = \frac{1}{f_{u}} - \frac{1}{f_{\text{sk}}}$$
$$f_{r} = \ \frac{f_{\text{sk}}*f_{u}}{f_{\text{sk}} - \ f_{u}}$$
$${f'}_{r} = \frac{13,01*9,49}{9,49 - 13,01} = \frac{123,89}{- 3,52} = - 35,07525568cm \approx - 35,1cm$$
|f′r| = 35, 1cm
Niepewności pomiarowe
a)Odchylenie standardowe dla wartości średnich ogniskowych:
$$S_{\overset{\overline{}}{x}} = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}\left( \overline{x} - x_{i} \right)^{2}}{n(n - 1)}}$$
$S_{\overset{\overline{}}{f}} = \sqrt{\frac{\left( 10,553 - 10,046 \right)^{2} + \left( 9,584 - 10,046 \right)^{2} + \left( 9,431 - 10,046 \right)^{2} + \left( 10,617 - 10,046 \right)^{2}}{4\left( 4 - 1 \right)}} \approx 0,3129cm \approx 0,32$cm
b)Niepewność odległości ogniskowej soczewki skupiającej i układu soczewek jako odchylenie standardowe średnich
$$S_{\overset{\overline{}}{\text{fsk}}} = \sqrt{\frac{\begin{matrix}
\left( 9,377 - 9,492 \right)^{2} + \left( 9,434 - 9,492 \right)^{2} + \left( 9,509 - 9,492 \right)^{2} + \left( 9,450 - 9,492 \right)^{2} + \left( 9,474 - 9,492 \right)^{2} + \\
\left( 9,786 - 9,492 \right)^{2} + \left( 9,595 - 9,492 \right)^{2} + \left( 9,286 - 9,492 \right)^{2} + \left( 9,515 - 9,492 \right)^{2} \\
\end{matrix}}{9\left( 9 - 1 \right)}} = 0,046950461cm \approx 0,05cm$$
$${}_{\begin{matrix}
S_{\overset{\overline{}}{\text{fu}}} = \sqrt{\frac{\begin{matrix}
\left( 12,846 - 13,013 \right)^{2} + \left( 12,831 - 13,013 \right)^{2} + \left( 12,528 - 13,013 \right)^{2} + \left( 13,198 - 13,013 \right)^{2} \\
+ \left( 13,198 - 13,013 \right)^{2} + \\
\left( 13,119 - 13,013 \right)^{2} + \left( 13,047 - 13,013 \right)^{2} + \left( 13,047 - 13,013 \right)^{2} + \left( 13,298 - 13,013 \right)^{2} \\
\end{matrix}}{9\left( 9 - 1 \right)}} \\
= 0,079901cm \approx 0,08cm \\
\end{matrix}}$$
Niepewność ogniskowej dla soczewki rozpraszającej metoda różniczki zupełnej
$${f'}_{r} = \left| \frac{{\partial f'}_{r}}{{\partial f'}_{u}} \right| \bullet {f'}_{u} + \left| \frac{{\partial f'}_{r}}{{\partial f'}_{s}} \right| \bullet {f'}_{s} = \frac{{f'}_{s}^{2}{f'}_{u}}{\left( {f'}_{s} - {f'}_{u} \right)^{2}} + \frac{{f'}_{u}^{2}{f'}_{s}}{\left( {f'}_{s}{- f'}_{u} \right)^{2}} = \frac{\left( 9,49 \right)^{2} \bullet 0,08 + \left( 13,01 \right)^{2} \bullet 0,05}{\left( 9,49 - 13,01 \right)^{2}} = 1,264512284\ cm \approx 1,3cm$$
Wnioski
Wyniki: odległość ogniskowa
-dla soczewki skupiającej metodą wzoru soczewkowego:
f’=10,05±0,32 cm
-dla soczewki skupiającej metodą Bessela:
f’sk=9,49±0,05 cm
-dla układu soczewek metodą Bessela:
f’u=13,01±0,08 cm
-dla soczewki rozpraszającej
f’r=35,1±1,3 cm
W powyższym ćwiczeniu mierzyliśmy ogniskową soczewki dwiema metodami: wzoru soczewkowego i Bessela. Ta druga okazała się być dokładniejsza. Wpływ na to mógł mieć fakt, że w metodzie Bessela powtarza się pomiar tylko dla wartości C jako różnicy dwóch położeń soczewki, więc błędy wynikłe z rozrzucenia płaszczyzn są małe. Natomiast w metodzie wzoru soczewkowego wielokrotnie mierzymy dwie wartości: S’ oraz S. Wpływ na niedokładny pomiar mogły mieć:
niedoskonałość ludzkiego oka, co pociąga za sobą niedokładności związane ze znalezieniem ostrego obrazu,
niedokładność związana z pominięciem grubości soczewek,
światło padające z innych stanowisk laboratoryjnych,
dodatkowa obrączka w oprawie, której nie powinno tam być.