1. Techniczna realizacja pętli regulacji cyfrowej

1. Cyfrowy model UAR

Układ UAR składa się z regulatora cyfrowego, zawierającego przetwornik analogowo-cyfrowy, jednostkę liczącą i przetwornik cyfrowo-analogowy oraz obiekt regulacji.
Regulator cyfrowy przetwarza spróbkowany i skwantowany sygnał błędu regulacji e(nT_p) w ciąg sterujący u(nT_p). Obliczanie ciągu sterującego odbywa się zgodnie z algorytmem (P PI PD PID). Ograniczona liczba bitów w strukturze regulatora cyfrowego, na którym są zapisywane zakodowane wartości błędu regulacji w chwilach próbkowania, oznacza ograniczoną liczbę poziomów określających ciąg możliwych wartości ciągu sterującego. Przetwornik C/A przetwarza sygnał na sygnał schodkowy

1. Algorytm regulatora cyfrowego typu PI

Równanie wejść- wyjścia regulatora analogowego PI

$$u\left( t \right) = k_{p}\left\lbrack e\left( t \right) + \frac{1}{T_{i}}\int_{0}^{t}{e\left( \tau \right)d\tau} \right\rbrack$$

Równanie wejścia- wyjścia regulatora dyskretnego PI uzyskujemy z dyskretyzacji równania analogowego.

$$u\left( nT_{p} \right) = k_{p}\left\{ e\left( nT_{p} \right) + \frac{T_{p}}{T_{i}}\sum_{k = 0}^{n}{e\left( kT_{p} \right)} \right\}$$

Obliczanie ∫₀^te(τ)dτ jako suma pól prostokątów:

Obliczanie ∫₀^te(τ)dτ jako suma pól trapezów:

$$\int_{0}^{t}{e\left( \tau \right)d\tau \approx \frac{T_{p}}{2}\sum_{k = 0}^{n}\left\{ e\left\lbrack \left( k - 1 \right)T_{p} \right\rbrack + e\left( kT_{p} \right) \right\}}$$

$$u\left( nT_{p} \right) = k_{p}\left\{ e\left( nT_{p} \right) + \frac{T_{p}}{T_{i}}\sum_{k = 0}^{n}\left\{ e\left\lbrack \left( k - 1 \right)T_{p} \right\rbrack + e\left( kT_{p} \right) \right\} \right\}$$

k_p- wzmocnienie
T_p- czas zdwojenia
T_d- czas wyprzedzania
e(t)- uchyb regulacji

1. Cyfrowy Algorytm PD

$$u\left( t \right) = K_{p}\left\lbrack e\left( t \right) + T_{d}\frac{\text{de}}{\text{dt}} \right\rbrack$$

G_r(s) = K_p(1+T_ds)

1. Czasowe wskaźniki jakości regulacji

• Sygnał zadany – skok jednostkowy

• Wyniki pomiarów:
  – uchyb maksymalny (maksymalna odchyłka regulacji)
  – uchyb statyczny (odchyłka statyczna)
  – czas regulacji
  – przeregulowanie

• względne

• bezwzględne
  – czas opóźnienia
  – czas narastania

Typowa odpowiedź skokowa
Parametry:
y(t) – wielkość regulowana
y_max – wartość maksymalna
y_ust – wartość ustalona– dopuszczalna odchyłka wartości regulowanej
t_r – czas regulacji

Uchyb regulacji

• Uchyb maksymalny e_max, y_max, y_ust
• Uchyb statyczny e_ust, y_z, y_ust

Uchyb maksymalny decyduje o bezpieczeństwie obiektu regulacji. Często istnieją ograniczenia na wartość maksymalną.

Uchyb statyczny określa jakość regulacji w warunkach ustalonych.

Przeregulowanie

$$\kappa = \frac{e_{\max}}{y_{\text{ust}}}$$

$$\kappa = k_{\text{osc}} = \frac{e_{2}}{e_{1}} = \frac{y_{e_{2}}}{y_{e_{1}}}$$

Przeregulowanie określa dynamiczną dokładność regulacji. Podobnie jak uchyb maksymalny, zbyt duże przeregulowanie może doprowadzić do zniszczenia układu. Przeregulowanie względne, nazywane oscylacyjnością układu, jest to iloraz sąsiednich amplitud odpowiedzi oscylacyjnej i jest miarą szybkości tłumienia oscylacji wielkości regulowanej. Jeśli oscylacyjność wynosi 1, to układ jest na granicy stabilności.

Parametry czasowe

t_R – czas regulacji (ustalania):czas, po którym wartość sygnału wyjściowego układu nie będzie odbiegać od wartości tego sygnału w stanie ustalonym o więcej niż D (D=1, 2, 5%); jest miarą jakości dynamicznej odpowiedzi skokowej układu automatyki

t_o – czas opóźnienia: czas, po którym odpowiedź skokowa osiąga 50% swojej wartości końcowej

t_n – czas narastania: czas potrzebny do wzrostu odpowiedzi skokowej układu od 10% do 90% wartości ustalonej

1. Częstotliwościowe wskaźniki jakości regulacji

Wskaźniki związane z charakterystyką częstotliwościową

• pasmo przenoszenia

• zapas stabilności
  – zapas modułu
  – zapas fazy

pasmo przenoszenia- zakres częstotliwości sygnałów przenoszonych przez układ
Pasmo to określa:
-w przypadku układu rezonansowego pulsacja rezonansowa ω_r, dla której moduł transmitancji widmowej układu zamkniętego jest maksymalny

Lm(ω_r) = 20 log|G(jω_r)| = maLm(ω_r)

- w przypadku układu inercyjnego pulsacja ω_d, dla których moduł transmitancji widmowej zmniejsza się o $\sqrt{2}$ krotnie (-3 dB)

$\left| G\left( j\omega_{d} \right) \right| = \frac{1}{\sqrt{2}}$ Lm(ω_d) = −3dB

Zapas stabilności ( zapas modułu i fazy) układu zamkniętego- wyznaczamy na podstawie charakterystyki częstotliwościowej układu otwartego

Lm = Lm₀(ω_−π) ∖ nφ = π + φ₀(ω_g)

φ₀(ω_g)- przesunięcie fazowe, jakie wprowadza transmitancja układu otwartego
φ- zapas fazy
|G(jω_r)|- moduł transmitancji widmowej układu otwartego

(ω_−π)-częstotliwość dla której transmitancja widmowa układu otwartego wprowadza przesunięcie fazowe−π

7. Całkowe wskaźniki jakości regulacji

Całkowe wskaźniki jakości są tzw. wskaźnikami globalnymi (całościowymi), które na poziomie syntezy układu regulacji wyrażają także interpretację energetyczną czy ekonomiczną.
Za ich pomocą można ocenić jakość regulacji w stanie ustalonym (dokładność statyczną) jak i w stanie nieustalonym (zapas stabilności, prędkość działania).

Postać ogólna wskaźników całkowych

Całkowe kryteria (wskaźniki) jakości w przypadku ogólnym stanowią funkcjonały typu

I = ∫₀^Tf[e(t), r(t), y(t),t)dt

gdzie:
e(t) – uchyb regulacji
r(t) – sterowanie (wartość zadana)
y(t) – wyjście (wartość regulowana)
f – funkcja uchybu, sterowania, wyjścia i czasu
T – czas wyznaczania, dąży do nieskończoności, zwykle w praktyce przyjmuje się czas regulacji

Dobór regulatora ze względu na wskaźniki całkowe

Metoda dokładna doboru parametrów regulatora polega na minimalizacji wybranego wskaźnika ze względu na wartość poszukiwanych parametrów, np.: $\frac{\text{δI}}{\delta K_{p}} = 0,\ \frac{\text{δI}}{\delta T_{i}} = 0,\ \frac{\text{δI}}{\delta T_{d}} = 0$

Minimalizacja wartości wybranego wskaźnika ma pewne uzasadnienie fizyczne, gdyż stanowi on pewną miarę strat energetycznych układu. W praktyce otrzymanie zadowalających rezultatów jest utrudnione ze względu na trudności z analitycznym przeprowadzeniem powyższych optymalizacji.

1) całka z uchybu I₁ = ∫₀^∞e(t) dt

2) całka z modułu uchybu (IAE - Integral Absolute Error) I_1m = ∫₀^∞|e(t)| dt

3) caka z modułu uchybu pomnożonego przez czas (ITAE - Integral Time Absolute Error) I_1t = ∫₀^∞|e(t)|t dt

4) całka z kwadratu uchybu (ISE - Integral Square Error) - I₂ = ∫₀^∞e²(t) dt

5) całka z sumy ważonej uchybu przyrostu sterowania względem wartości ustalonej I_2u = ∫₀^∞[e²(t)+ρu²(t)]dt

6) całka z iloczynu czasu i odchyłki sterowania u(t) od jego wartości ustalonej u_ust (CE - Control Effort) $I_{\text{CE}} = \int_{0}^{\infty}{t\left| \frac{u\left( t \right) - u_{u\text{st}}}{u_{\text{ust}}} \right|\ \text{dt}}$

9. Obiekty regulacji i ich aproksymacje

Obiektem regulacji może być urządzenie, zespół urządzeń lub proces technologiczny, w którym w wyniku zewnętrznych oddziaływań realizuje się pożądany algorytm działania.
Na obiekty regulacji oddziałują: zmienne wejściowe (nazywane sygnałami nastawiającymi "u"), zmienne szkodliwe (Nazywane sygnałami zakłócającymi "z")
Na wyjściu obiektu regulacji otrzymujemy sygnały wyjściowe nazywane: zmiennymi regulowanymi "y".

Do prawidłowego zaprojektowania układu regulacji niezbędna jest znajomość właściwości obiektów regulacji, to znaczy zależność pomiędzy wielkościami wejściowymi i wyjściowymi.
Stany ustalone - w których wielkości te pozostają niezmienne w czasie określa się charakterystykami statycznymi.
Stany nieustalone - wielkości zmienne w czasie opisywane są przy pomocy charakterystyk dynamicznych.

Wyróżnia się dwie grupy obiektów:
A) obiekty astatyczne (bez samowyrównania) - których wartość odpowiedzi skokowej dąży do nieskończoności i nie osiąga nowego stanu ustalonego
B) obiekty statyczne (z samowyrównaniem) - których odpowiedzi skokowe dążą do wartości skończonej

Obiekty i ich charakterystyki skokowe:

9. Klasyfikacja metod syntezy układów automatycznej regulacji

Kryteria stosowane dla oceny jakości pracy oraz dla syntezy układów regulacji można podzielić na dwie grupy:

1. Kryteria pozwalające na wyznaczenie współczynnika wzmocnienia i stałychczasowych regulatora, mianowicie:

   • kryterium optymalnego modułu

   • całkowy wskaźnik jakości

2. Kryteria pozwalające tylko na wyznaczenie współczynnika wzmocnienia regulatora, mianowicie:

   • kryterium amplitudy rezonansowej w zastosowaniu do nomogramów Hallai Blacka,

   • kryterium zapasu wzmocnienia i fazy,

   • kryterium miejsca geometrycznego pierwiastków,

   • kryterium stabilności aperiodycznej,

   • całkowy wskaźnik jakości zastosowany w sposób uproszczony.

W związku z powyższym, w przypadku zastosowania któregokolwiek kryterium z drugiej grupy, należy wstępnie i możliwie dobrze przyjąć wartości stałych czasowych regulatora.

9. Ogólne przesłanki doboru regulatorów

Ogólnie sygnał wyjściowy regulatora ma trzy składowe:
- składową proporcjonalną P
- składową całkującą I
- składową różniczkującą D

Składową proporcjonalną nazywamy część sygnału wyjściowego regulatora proporcjonalną do sygnału uchybu. Składowa ta powoduje przeważnie zmniejszenie błędów statycznych, a więc w stanach ustalonych polepsza się dokładność pracy układu. W szczególności układ lepiej odtwarza sygnał sterujący i lepiej kompensuje działanie zakłóceń. Wpływa na zmniejszenie czasu regulacji.

Składową całkującą nazywamy część sygnału wyjściowego regulatora będącą całką z sygnału uchybu. Powoduje ona zwiększenie klasy układu, a więc likwiduje błędy statyczne. W stanach ustalonych układ całkowicie odtwarza układ sterujący i całkowicie kompensuje działanie zakłóceń. Ujemnym skutkiem samej składowej całkującej jest znaczne wydłużenie czasu regulacji.

Składowa różniczkująca jest pochodną z sygnału uchybu. Składowa ta występuje jedynie w stanach przejściowych a zanika w stanach ustalonych. Powoduje skrócenie czasu regulacji przez przyspieszenie początkowej fazy procesu przejściowego.

Przewidywany skutek	Typ regulatora
Zmniej. błędu statycznego odpowiedzi na skokowy sygnał sterujący lub zakłócający	Regulator P G(s) = K
-||-; Wydłużenie czasu regulacji	Regulator PI $$G\left( s \right) = K + \frac{K}{T_{i}s}$$
-||-; Skrócenie czasu regulacji	Regulator PD lub człon korekcyjny PD G(s) = K(Tds + 1)
-||-; Skrócenie czasu regulacji	Regulator PID $$G\left( s \right) = K(1 + T_{d}s + \frac{1}{T_{i}s})$$

Regulator PI zapewnia dobrą jakość regulacji tylko przy zakłóceniach o małych częstotliwościach.

Regulator PD zapewnia szersze pasmo regulacji niż regulator PI, ale z gorszą jakością regulacji przy małych częstotliwościach. Akcja różniczkująca wzmacnia również wszelkie szumy przetwornika pomiarowego, a ponadto przynosi niewielkie korzyści dla τ/T > 0,5.

Założenia odnośnie metod:

• Mają być w miarę proste

• Najlepiej, aby nie było konieczności dokładnej znajomości modelu obiektu

• Potrzebne parametry powinny być łatwe do zarejestrowania, zmierzenia i wyznaczenia

• Powinny dawać wyniki w miarę szybko

• Eksperyment niezbędny do przeprowadzenia nie powinien zaburzać samego procesu

• Powinna istnieć możliwość samoczynnego doboru nastaw przez regulator

12. Test drgań Zieglera-Nicholsa

Zamknięty układ regulacji ustawić na; k=0, Ti=inf. Td=0, następnie zwiększać wartość nastawy k, aż do wystąpienia oscylacji niegasnących, o stałej amplitudzie. Zanotować k, odczytać okres drgań. Na podstawie tabeli dobrać parametry:

Typ reg.	kp	Ti	Td
P	0.5∙kkr	---	---
PI	0.45∙kkr	0.85∙Tosc	---
PID	0.6∙kkr	0.5∙Tosc	0.125∙Tosc

12. Test odpowiedzi skokowej Zieglera-Nicholsa

Metoda czasowa Z_N polega na odentyfikacji obiektu jako inercyjnego I-go rzędu z opóźnieniem, czyli w postaci zastępczej transmitancji:

$$G\left( s \right) = \frac{K}{\text{Ts} + 1}e^{- sT_{0}}$$

K - wzmocnienie obiektu
T - stała czasowa
T₀ - czas opóźnienia

Nastawy Z-N metoda czasowa:

Typ reg.	kp	Ti	Td
P	0.5∙T/kT0	---	---
PI	0.9∙ T/kT0	T0/0.3∙T	---
PID	1.2∙ T/kT0	2∙T0/T	0.5∙T0/T

12. Zastosowanie Karty Nicholsa do syntezy UAR

Karta Nicholsa jest to wykres we współrzędnych moduł logarytmiczny - argument, na który naniesiono siatkę linii stałych wartości modułu transmitancji układu zamkniętego (M) i fazy układu zamkniętego φ. Rysując na karcie Nicholsa logarytmiczną charakterystykę częstotliwościową układu otwartego (co jest parametrem wykresu), można ocenić własności układu zamkniętego nie tylko pośrednio za pomocą zapasów modułu i fazy, ale od razu także widać, czy wartość M jest bliska 1 dla małych ω i jaka jest wartość modułu rezonansowego. Jeżeli charakterystyka amplitudowo - fazowa nie wchodzi do wnętrza obszaru którego brzegiem jest na wykresie Nicholsa krzywa odpowiadająca założonym wartości modułu rezonansowego to układ nie wymaga korekcji. Jeżeli zaś charakterystyka wchodzi do wnętrza obszaru to należy zastosować człon korekcyjny.

12. Przesłanki doboru okresu próbkowania

Kryterium	Zasada określenia	Uwagi
tw.Shannona	$$T_{0} \leq \frac{\pi}{\omega_{b}}$$	filtracja harm. powyż. ωb
częstotliwość własna	$$T_{0} = \left( \frac{1}{8} - \frac{1}{16} \right)\frac{1}{\omega_{f}}$$	układ zamk.
95% stanu ustalonego	$$T_{0} = \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{12} \right)T_{95}$$
czas opóźnienia	T0 = (1.2−0.35)Tu T0 = (0.35−0.22)Tu	0.1 ≤ Tu/T ≤ 1 1 ≤ Tu/T ≤ 1
czas narastania	T0 = (0.5−0.25)Tg	w układzie otw. lub zamk.
param.układu oscylacyj.	$$T_{0} = \frac{2\pi}{20\omega\sqrt{1 - \xi^{2}}}$$	układ zamk.
stała różniczk. (PID)	T0 = (0.1−0.5)TD

12. Model ciągłego obiektu regulacji w przestrzeni stanu

WÓZEK

f(t) - siła działająca na wózek (stała)
M - masa wózka
g - przyspieszenie ziemskie
Cr - współczynnik tarcia tocznego
y - przemieszczenie
y' - prędkość
y" - przyśpieszenie

Równanie:

M • y″+M • g•C_r•y′=f(t) /:M i y" na jedną stronę

$$y'' = - g \bullet C_{r} \bullet y' + \frac{1}{M} \bullet f(t)$$

Opis przestrzeni stanu

Przyjmujemy zmienne stanu:

x₁ = y(t)

$$\left\{ \begin{matrix} {x^{'}}_{1} = x_{2} \\ {x'}_{2} = - g \bullet C_{r} \bullet x_{2} + \frac{1}{M} \bullet f(t) \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\left\{ \begin{matrix} \text{DX} = A \bullet X + B \bullet f(t) \\ y = C \bullet X + D \bullet f(t) \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\left\lbrack \frac{{x'}_{1}}{{x'}_{2}} \right\rbrack = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & - g \bullet C_{r} \\ \end{bmatrix} \bullet \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 1/M \\ \end{bmatrix} \bullet f(t)$$

$$y = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \end{bmatrix} \bullet \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \end{bmatrix} + \left\lbrack 0 \right\rbrack \bullet f(t)$$

$$A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & - g \bullet C_{r} \\ \end{bmatrix}\text{\ \ \ \ \ }B = \begin{bmatrix} 0 \\ \frac{1}{M} \\ \end{bmatrix}$$

$$C = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \end{bmatrix}\text{\ \ \ \ \ }D = \left\lbrack 0 \right\rbrack$$

12. Sterowalność i obserwowalność

Sterowalność - liniowy układ sterowania jest sterowalny, jeżeli dla dowolnego stanu początkowego x(0) możemy zastosować takie sterowanie u(t), które w skończonym czasie t_f spowoduje sprowadzenie sygnału wyjściowego do zera (x(t_f)=0).

Sterowalność można sprawdzić na kilka sposobów, np.:

• poprzez sprawdzenie kryterium rzędu macierzy Kalmana, Ω=[B AB A²B ... A^n-1B], gdzie A– macierz stanu, B – macierz wejść (zob. równanie stanu),

• poprzez sprawdzenie odwracalności macierzy Grama (równoważne do kryterium Kalmana),

• wyznaczenie rzędu macierzy Hautusa,

• wyznaczenie rzędu macierzy wygenerowanej za pomocą nawiasów Liego.

Pierwsze cztery sposoby dotyczą liniowych układów, natomiast ostatni dotyczy nieliniowych układów (takich jak układ łańcuchowy). Jeśli układ jest sterowalny, rząd obliczonej macierzy będzie równy rzędowi układu.

Obserwowalność - Układ jest obserwowalny, jeżeli przy dowolnym sterowaniu można określić wartości wszystkich zmiennych stanu w chwili t₀ na podstawie znajomości sterowania u(t₀, t) i odpowiedzi y(t₀, t).

Aby określić czy układ jest obserwowalny należy wyznaczyć macierz Kalmana postaci

Ʊ=[C^T A^TC^T (A^T)²C^T ... (A^T)^n-1C^T],

a następnie sprawdzić czy jej rząd jest pełny, tzn. czy

rank(Ʊ)=n,

gdzie:

n - wymiar macierzy stanu A.

Obserwowalność można także stwierdzić po sprawdzeniu sterowalności układu dualnego.

Jeśli układ jest obserwowalny to jest wykrywalny. Dla układu wykrywalnego możliwe jest skonstruowanie obserwatora Luenbergera.

12. Rozwiązanie równania stanu.

Niech dany będzie ogólny liniowy model przestrzeni stanów w postaci równań stanu:

DX = AX + Bu(t)

y = CX + Du(t)

Rozwiązanie ogólne dane jest wówczas równaniem tzw. wzór Cauchy-Bellmana:

x(t) = Φ(t,t₀)x(t₀) +  ∫_t0^tΦ(t,τ)B(τ)u(τ) dτ

Gdzie Φ(t,τ) macierz przejścia określona jest jako Φ(t,τ) ≡ U(t)U⁻¹(τ) gdzie U(t) jest podstawową macierzą rozwiązania, która spełnia zależność: $\dot{U} = A\left( t \right)U(t)$. Rozwiązanie równania można traktować jako sumę składowej ustalonej x_u(t) i składowej swobodnej (przejściowej) x_p(t) otrzymanej w wyniku rozwiązania równania różniczkowego jednorodnego. x(t) = x_u(t) + x_p(t).

12. Regulatory od stanu

Do realizacji tego typu regulacji i przeprowadzenia syntezy potrzebny jest:

• opis dynamiki obiektu postaci

  • x(k+1) =Ax(k)+Bu(k) - dyskretne równanie stanu

  • y(k)=Cx(k)+Du(k) - dyskretne równanie wyjścia

• informacja o sterowalności i obserwalności obiektu

• stan początkowy x(t₀)

• komputerowy system wspomagania projektowania do wyznaczania macierzy K liniowego sprzężenia zwrotnego od stanu postaci:

  • u(k)= –Kx(k)

Projektowanie układu sterowania "od stanu" składa się z następujących kroków:

• na podstawie znajomości wymaganych wartości pierwiastków równania charakterystycznego układu zamkniętego wyznacza się zadane równania charakterystyczne

• przyjmuje się proporcjonalny charakter zależności sterowania i stanu (u=–kx) i wyznacza równanie charakterystyczne układu zamkniętego

• porównując zadane równanie charakterystyczne z równaniem układu zamkniętego uzyskuje się liniowy układ równań (k,parametry)

• rozwiązując układ równań wyznacza się wzmocnienie od k1 do kn

Wady regulacji układu ze sprzężeniem "od stanu":

• wymagana jest znajomość wszystkich zmiennych stanu

• wymagane są idealne czujniki pomiarowe o nieograniczonym paśmie

• stosowanie wielu czujników pomiarowych może być technicznie niemożliwe lub kosztowne

• uszkodzony 1 czujnik może spowodować niestabilność układu

12. Regulator “od stanu” „Dead-Beat”.

Algorytm sterowania Dead-Beat jest stosowany dla układów dyskretnych i polega na takim doborze wzmocnień liniowego sprzężenia zwrotnego od stany, aby bieguny układu zamkniętego spełniały warunek λ_i = 0 dla i=1,2,…n. W takim przypadku, jeśli tylko rozpatrywany układ dyskretny jest sterowalny, to może zostać sprowadzony przez regulator do stanu końcowego x_k(t) = 0 w nie więcej niż n krokach. Słuszność takiej zasady sterowania można wykazać analizując rozwiązanie jednorodnego równania stanu dla układu n-tego rzędu z liniowym sprzężeniem zwrotnym.

u(kT₀) = r(kT₀) − Kx(kT₀)

x[T₀(k+1)] = (A_D−B_DK)x(kT₀) + B_Dr(kT₀)

Po oznaczeniu (A_D−B_DK) = R i przyjęciu k₀ = 0 T₀ = 1  , r(kT₀) = 0 otrzymamy

$$y\left( kT_{0} \right) = C_{D}\{ A_{D}^{k - k_{0}}x\left( k_{0}T_{0} \right) + \sum_{i = k_{0}}^{k - 1}{A_{D}^{k - i - 1}B_{D}u(iT_{0})\}}$$

x(1)=Rx(0)

x(2)=R²(0)

x(N)=R^N(0)

Jeśli chcemy uzyskać dla ostatniego kroku x(N)=0, to może to być spełnione dla dowolnego warunku początkowego tylko gdy R^N=0. Równanie charakterystyczne dla systemu zamkniętego jest w postaci

det[zI−R] = α_n + α_n − 1z + α_n − 2z² + …α₁z^n − 1 + zⁿ = 0

Z twierdzenia Cayleya-Hamiltona wynika

α_n + α_n − 1R + α_n − 2R² + …α₁R^n − 1 + Rⁿ = 0

Równanie R^N=0 będzie spełnione dla N=n i α_n= α_n-1 = α_n-2 = … = α₁ = 0. Co więcej, równanie charakterystyczne przyjmuje postać det[zI-R] = zⁿ = 0 co może zostać spełnione wyłącznie dla zerowych wartości własnych macierzy stanu układu zamkniętego.

Jedynym parametrem, który możemy zmieniać projektując regulator typu Dead-Beat jest okres dyskretyzacji T₀. Zasadniczym problemem przy projektowaniu tego typu regulatora jest dobór odpowiedniego czasu dyskretyzacji. Przyjecie zbyt krótkiego czasu dyskretyzacji powoduje wzrost amplitudy sygnału sterującego poza zakres liniowości urządzenia wykonawczego i zanik efektu ustabilizowania układu w czasie nT₀.

12. Regulator „od stanu” LQ.

Regulator liniowo-kwadratowy (LQ) może zostać zastosowany także w wersji dyskretnej dla modelu procesu w postaci

x(k+1)=A_D x(k) + B_D u(k),

y(k)=C_D x(k).

Dobór parametrów takiego regulatora dla modelu odbywa się poprzez minimalizację funkcji celu

$$J = \frac{1}{2}\sum_{k = 0}^{\infty}{{\lbrack e}^{T}\left( k \right)\text{Qe}\left( k \right) + u^{T}\left( k \right)\text{Ru}(k)\rbrack}$$

Gdzie Q i R są symetryczne, Q ≥ 0, R>0, e(k) = r – x(k).

Dla danego Q i R oraz nieskończonego horyzontu czasowego optymalizacji, optymalną macierz liniowych sprzężeń zwrotnych K uzyskujemy poprzez iteracyjne rozwiązanie dyskretnego równania Riccatiego. S_i + 1 = A_D^TS_iA_D − A_D^TS_iB_D(R + B_D^TS_iB_D)⁻¹B_D^TS_iA_D + Q. Dla obserwowalnej pary (A,C) ciąg {S_i} (i do naturalnych), generowany dla danego warunku początkowego S₀ przez równanie jest zbieżny do symetrycznej, nieujemnej macierzy S, umożliwiającej utworzenie asymptotycznie stabilnego, liniowego sprzężenia zwrotnego stanu

u(x(kT₀)) = −Kx(kT₀)gdzie K = (R + B_D^TSB_D)⁻¹B_DSA_D.

Regulator LQ zastosowany dla stabilizacji od niezerowego stanu końcowego daje błąd ustalony. Błąd ten można zlikwidować wprowadzając odpowiednie człony całkujące

$$\int_{}^{}{\overset{\Rightarrow}{}x_{I}\left( k + 1 \right) = x_{I}\left( k \right) + \ r - y(k)}$$

12. Idea realizacji cyfrowych algorytmów kompensacyjnych (metoda Ragazziniego).

Metoda bezpośrednia Ragazziniego opracowana w latach 60’ wydaje się prosta i oczywista, ale w realizacji praktycznej napotyka wiele ograniczeń. Dany jest model cyfrowy obiektu, poszukiwany jest sterownik (algorytm cyfrowy), który daje „lepsze” położenie biegunów układu zamkniętego (lepsze właściwości dynamiczne). Ragazzini zaproponował, aby przyjąć dobrą transmitancję układu i wyznaczyć ze związku w układzie regulacji algorytm sterowania. Dobre właściwości określane są przez:

$$G\left( s \right) = \frac{kw_{11}^{2}}{s^{2} + 2\zeta w_{11} + w_{n}^{2}}$$

ζ=0,7 → ϰ=4,6% $t_{r} = \frac{4,4}{w_{n}}$ $w_{n} = \frac{1}{T}$

$$G\left( z \right) = \frac{G_{R}\left( z \right)G_{0}(z)}{1 + G_{R}(z)} - \frac{G(z)}{1 - G(z)}$$

12. Wykorzystanie symulacji komputerowej do syntezy UAR.

Zadanie syntezy polega na określeniu struktury i parametrów regulatora dla danego układu regulacji (przy określonych warunkach jakie powinien spełniać taki układ). Wykorzystuje się do tego symulację z wykorzystaniem modelu matematycznego, zapisanego w postaci programu komputerowego np. Matlab z pakietem Simulink. Matlab jest interaktywnym oprogramowaniem wysokiego poziomu wydajnie wspierającym pracę przy projektowaniu i analizie układów sterowania. Po zdefiniowaniu modelu można przeprowadzać symulacje z użyciem wybranej metody całkowania z poziomu menu Simulinka lub po wpisaniu odpowiednich poleceń w oknie komend Matlaba.

Spis treści:

1. Techniczna realizacja pętli regulacji cyfrowej

2. Model cyfrowego UAR

3.Cyfrowy algorytm PI

4. Cyfrowy Algorytm PD

5. Czasowe wskaźniki jakości regulacji

6. Częstotliwościowe wskaźniki jakości regulacji

7. Całkowe wskaźniki jakości regulacji

8. Wskaźniki jakości regulacji określane przez rozkład biegunów

9. Obiekty regulacji i ich aproksymacje

10. Klasyfikacja metod syntezy układów automatycznej regulacji

11. Ogólne przesłanki doboru regulatorów

12. Metoda Zieglera-Nicholsa - test drgań

13. Metoda Zieglera-Nicholsa - Test skoku jednostkowego

14. Wykorzystanie karty Nicholsa do syntezy UAR

15. Przesłanki doboru okresu próbkowania

16. Model ciągłego obiektu regulacji w przestrzeni stanu

17. Sterowalność, obserwowalność

18. Rozwiązanie równania stanu

19. Regulator "od stanu"

20. Regulator “od stanu” Dead-Beat

21. Regulator “od stanu” LQ

22. Idea realizacji cyfrowych algorytmów kompensacyjnych (metoda Ragazziniego)

23. Wykorzystanie symulacji komputerowej do syntezy UAR.