Istota analizy dokładnościowej i jej podstawowe zależności

Zadania pomiarowe, które spotykamy w praktyce pomiarów inżynieryjnych, a pomiarów realizacyjnych w szczególności, wymagają niejednokrotnie odrębnego zaprojektowania sposobu ich rozwiązania, tj. opracowania określonej metody pomiaru i tyczenia, ustalenia dokładności tych prac, doboru właściwego sprzętu pomiarowego itd. Dokładności poszczególnych etapów prac pomiarowych i tyczeniowych należy ustalić w taki sposób, aby zapewnić odpowiednią dokładność ostatecznych wyników pomiaru i rezultatów tyczenia. W tym celu przeprowadzana jest w ramach wyżej wymienionego procesu projektowania analiza dokładnościowa, zwana niekiedy także wstępną analizą dokładnościową. Słowo „wstępna” służy wówczas do zaznaczenia, że analiza ta poprzedza wykonanie zadania pomiarowego. Należy ja odróżniać od oceny dokładnościowej przeprowadzanej po ukończeniu określonego fragmentu zadania pomiarowego, np. po założeniu osnowy realizacyjnej, wytyczeniu wskaźników konstrukcyjnych itp. Ocena dokładnościowa opiera się na konkretnym materiale obserwacyjnym, podczas gdy w analizie operujemy przewidywanymi dokładnościami wykonania poszczególnych czynności lub zespołów czynności pomiarowych.
Nie trzeba specjalnie podkreślać, że analiza dokładnościowa ma szczególnie istotne znaczenie w pomiarach realizacyjnych z uwagi na fakt, iż często nie ma możliwości powtarzania pomiarów lub wytyczeń wykonanych z niewystarczającą dokładnością. Zbyt mała dokładność tyczenia obiektu może pociągnąć za sobą konieczność przeprowadzenie czasochłonnej regulacji lub nawet kosztownego demontażu połączonego z przeprojektowaniem wzniesionego już fragmentu realizowanej budowli. Nie można także wykluczyć, ze nadmierne błędy tyczenia mogą w znaczny sposób przyczynić się do katastrowy budowli lub awarii urządzenia.

1. Schemat lokalizujący wstępną analizę dokładnościową w procesie realizacji

Inżynierskie zadanie realizacyjne np. budowa zakładu przemysłowego, budowa mostu. Z każdego takiego zadania wynika realizacyjne zadanie pomiarowe określone zasadniczo przez niżej wymienione elementy:
- Układ geometryczny (tj. wymiary i kształt) oraz położenie realizowanego obiektu,
- wymagania dokładnościowe odnoszące się do wymiarów, kształtu i położenia tego obiektu
Na treść realizacyjnego zadania pomiarowego składają się jeszcze inne elementy, które w znacznym stopniu mogą decydować o sposobie jego rozwiązania. Są one następujące:
- metody realizacji obiektu (metody budowy i montażu),
- warunki realizacji, a zarazem warunki, w których wykonywane będą pomiary i tyczenia;
- organizacja, terminy i czasy trwania czynności budowlanych i montażowych.
Dla danego zadania pomiarowego ustalany jest najkorzystniejszy sposób jego rozwiązania przez opracowanie możliwych wariantów projektowych i wybranie spośród nich wariantu najbardziej odpowiadającego wszystkim elementom tego zadania. W wyniku powyższych prac projektowych sformułowane zostają zalecenia wykonawcze techniczno-organizacyjne, jak rodzaj osnowy realizacyjnej, sposób jej zakładania i kontrolowania, metody tyczenia punktów szczegółowych obiektu, instrumenty i sprzęt pomiarowy, sposoby stabilizacji i zaznaczania punktów, metody i dokładności pomiaru, szczegółowa kolejność czynności pomiarowych, organizacja prac pomiarowych, dopuszczalne rozbieżności w pomiarach kontrolnych itp.
Częścią tego procesu projektowego jest analiza dokładnościowa, zmierzająca do ustalenia dokładności poszczególnych czynności pomiarowych w dostosowaniu do wymagań dokładnościowych sprecyzowanych w projekcie technicznym realizowanego obiektu.

1. Kiedy występuje potrzeba odrębnego zaprojektowania odrębnego sposobu rozwiązania określonego zadania pomiarowego, a tym samym przeprowadzenia odpowiedniej analizy dokładnościowej?

Taka potrzeba występuje gdy:
a) obiekt techniczny przewidziany do realizacji charakteryzuje się nowym i skomplikowanym rozwiązaniem konstrukcyjnym, nową metodą budowy lub montażu;
b) narzucone są szczególnie wysokie lub złożone wymagania dokładnościowe odnoszące się do wymiarów, kształtu i położenia elementów realizowanego obiektu;
c) przewidywane są specyficzne warunki pomiaru lub tyczenia, np. wysoka temperatura, drgania podłoża, ograniczony dostęp do obiektu w trakcie jego realizacji, ograniczony czas wykonania pomiarów;
d) planowane są pomiary doświadczalne mające na celu np. zbadanie dokładności określonej metody pomiarowej, wyznaczenie wielkości wpływu określonego czynnika fizycznego na dokładność pomiaru, oszacowanie dokładności prac montażowych.

1. Zależności między dokładnością pomiaru realizacyjnego a wymaganiami dokładnościowymi. Przypadek zmiennej jednowymiarowej.

X_d ≪ X_r ≪ X_g

X_d − X_n ≪ X_r − X_n ≪ X_g − X_n ∖ n

-Wielkość ΔX’ (jednowymiarową) przyrównamy teraz do błędu granicznego M_x wielkości jednowymiarowej X z tytułu błędów prac pomiarowych lub wyraźniej mówiąc do błędu granicznego wytyczenia wielkości jednowymiarowej X:
M_x = ΔX’ a ściślej powinno być M_x ≤ ΔX’
-Zależność między błędem granicznym M_x a odpowiadającym mu błędem średnim m_x przy założeniu określonego prawdopodobieństwa W nieprzekroczenia bezwględnej wartości błędu granicznego M_x
M­x­ = r m_x

W(prawopodobieństwo)	0,950	0,990	0,999
r	2,0	2,6	3,3

- Przechodząc do wielkości dwuwymiarowej (X_p, Y_p) postępujemy analogicznie:
M’_x = ΔX’ ; M’_Y = ΔY’ lub M’_x ≤ ΔX’ ; M’_Y ≤ ΔY’
, a następnie M’_x = r’ m_x ; M’_Y = r’ m_Y

W(prawopodobieństwo)	0,950	0,990	0,999
r’	2,5	3,0	3,7

$${X^{'} = K \bullet X^{} = r \bullet m_{x}\backslash n}{m_{x} = \frac{K \bullet X^{}}{r}\backslash n}$$

$${m_{X} \ll \frac{K_{X} \bullet X^{}}{r'}\backslash n}{m_{Y} \ll \frac{K_{Y} \bullet Y^{}}{r'}}$$

W przypadku gdy przedmiotem wymagań dokładnościowych jest wyznaczenie określonej wielkości a nie jej wytyczenie, wartości współczynników K, K_X, K_Y stają się równe 1, a wielkości ΔX, ΔY należy traktować jako odchyłki graniczne wyznaczenia wielkości X, Y na podstawie pomiaru.

Zależność między elipsą błędu sredniego E_śr a elipsą graniczną E_w. (Dotyczy tylko zmiennych 2-wymiarowych)

7. Niezawodność a dokładność. Relacja zaburzenie/odpowiedź w modelu liniowym.

7.1. Ogólnie o niezawodności sieci

Niezawodność wyznaczeń położenia punktów bądź zmian tego położenia ma istotne znaczenie w pomiarach geodezyjnych każdego rodzaju. Fundamentalną rolę pojęcie to pełni w geodezyjnych pomiarach inżynierskich, takich jak pomiary w procesie ustawiania i montażu maszyn i urządzeń, pomiary przemieszczeń i odkształceń zapór wodnych oraz obwałowań zbiorników retencyjnych czy monitorowanie zachowania się obiektów znajdujących się w bliskim sąsiedztwie głębokich wykopów pod wielokondygnacyjne budynki. Przekazanie bowiem specjaliście oceniającemu stopień bezpieczeństwa budowli błędnej wielkości przemieszczenia może mieć w pewnych sytuacjach bardzo poważne konsekwencje.
Teoria niezawodności sieci wytworzyła obszerną bazę pojęciową a także i metodologiczną w zakresie analizy modeli wyrównawczych pod kątem ich funkcjonowania w warunkach występowania zaburzeń (tj. błędów grubych, omyłek) w obserwacjach. Wymienia się tu:
- sformułowanie ścisłych relacji miedzy zaburzeniem w obserwacji a odpowiedzią modelu,
- wyjaśnienie sposobu rozchodzenia się zaburzeń w strukturze sieci
- wprowadzenie miar niezawodności wewnętrznej i zewnętrznej sieci,
- zaproponowanie kryteriów niezawodności sieci.
2 znamienne przykłady postulatów teorii niezawodności, mające swoje bezpośrednie odpowiedniki w metodyce projektowania pomiarów inżynieryjnych:
- teoria niezawodności sieci opiera się na istnieniu w sieci obserwacji nadliczbowych, przypisując konstrukcjom bez elementów nadliczbowych dyskwalifikujący je zerowy poziom niezawodności;
jest to zgodne z podstawową zasadą przestrzegana w metodyce projektowania pomiarów inżynieryjnych, że sieci niemające elementów nadliczbowych nie powinny być dopuszczane do zastosowań praktycznych;
- teoria niezawodności postuluje, aby wskaźnik niezawodności wewnętrznej dla każdej obserwacji w sieci wynosił przynajmniej 0.71, co w szczególnym przypadku układu z liczbą 1 niewiadomą oznacza wymaganie wykonania przynajmniej 2 obserwacji; wymaganie to jest zgodne z zaleceniem stosowanym w metodyce projektowania pomiarów inżynieryjnych, a będącym wynikiem prostego rozumowania nie odwołującego się do aparatu matematycznego teorii niezawodności.

7.2. Niezawodność a dokładność

Mimo stosowania kontroli diagnostycznych w procesie wyrównania obserwacji możliwe jest pozostawienie obserwacji obarczonej błędem grubym, a więc dopuszczenie jej wraz z innymi obserwacjami do udziału w procesie obliczania niewiadomych. Następstwem tego jest wyznaczenie wartości niewiadomych obarczonych wpływem tego błędu. Porównawcza ocena dokładności niewiadomych, oparta na ocenie stopnia wzajemnej zgodności wyników pomiaru, nie jest w istocie oceną stopnia zgodności wyznaczonych wartości niewiadomych z ich wartościami prawdziwymi (nieznanymi). Nie jest więc oceną dokładności w ścisłym tego słowa znaczeniu.
Na skutek niewyeliminowania obserwacji obarczonej błędem grubym wyznaczona pozycja punktu P, tj. P_wyzn może odbiec od pozycji prawdziwej P_pr znacznie bardziej niżby to wynikało z obszaru ufności w postaci elipsy granicznej, skonstruowanego na podstawie wzajemnej zgodności wykonanych obserwacji.

1. Brak błędu grubego b) błąd gruby w jednej obserwacji

Ponieważ kwestia wykrywalności błędów grubych w obserwacjach jest ściśle związana z pojęciem niezawodności konstrukcji (sieci) pomiarowej, można stwierdzić, iż niezawodność konstrukcji rzutuje na faktyczną dokładność wyznaczenia położenia punktów w tej konstrukcji, a także na poprawność oszacowania tej dokładności.

SCHEMAT POKAZUJĄCY WARUNEK UZYSKANIA ODPOWIEDNIEJ DOKŁADNOŚCI OSTATECZNEGO PRODUKTU TECHNOLOGII OPARTEJ NA SIECI POMIAROWEJ:

Dokładność ostatecznego produktu technologii pomiarowej warunkowana jest precyzją pomiaru elementów sieci i odpowiednim poziomem niezawodności procesu pomiaru i opracowania jego wyników, w tym odpowiednim poziomem niezawodności sieci.

7.3. UŚCIŚLENIE POJĘCIA NIEZAWODNOŚCI

Do wykrywania obserwacji obarczonych błędem grubym, konieczne jest występowanie w sieci nadliczbowości obserwacji, zapewniającej nadmiar informacyjny układu ze względu na wyznaczane parametry.

Poziom niezawodności sieci jest tym wyższy, im mniejsze jest prawdopodobieństwo niewykrycia obserwacji odstającej i tym samym dopuszczenia jej do udziału w procesie wyznaczania niewiadomych, a wskutek tego – do zniekształcenia ich wartości.

W teorii niezawodności wyróżnia się pojęcie niezawodności wewnętrznej oraz niezawodności zewnętrznej.
Niezawodność wewnętrzna, uważana za pojęcie podstawowe, określana jest poprzez odwołanie się do wzajemnej kontrolowalności obserwacji:
Poziom niezawodności wewnętrznej sieci jest tym wyższy, im wyższy jest stopień wzajemnej kontrolowalności obserwacji w tej sieci.

Wzajemna kontrolowalność – związki pomiędzy obserwacjami pozwalające wyznaczyć wartość danej obserwacji na podstawie wartości innych obserwacji. Niespełnienie tych związków wykraczające poza granice wynikające z określonej dokładności pomiaru daje nam informację (sygnał) o zaistnieniu nieprawidłowości w wynikach pomiaru (poj. Bł. Gruby, kilka bł. Grubych).

GRADACJA POZIOMÓW NIEZAWODNOŚCI WEWNĘTRZNEJ

1. Układ obserwacyjny nie daje sygnału o wystąpieniu błędu grubego (brak obserwacji nadliczbowych), np. wiszący ciąg niwelacyjny;

2. Układ daje sygnał o wystąpieniu błędu grubego, ale nie pozwala go zlokalizować (zbyt mała liczba obserwacji nadliczbowych), np. obwodnica niwelacyjna;

3. Układ daje sygnał o wystąpieniu błędu grubego i pozwala go zlokalizować (dostateczna liczba obserwacji nadliczbowych), np. obwodnica niwelacyjna uzupełniona ciągami przewiązującymi.

Niezawodność zewnętrzna rozumiana jest jako stopień zniekształcenia wyznaczonych współrzędnych punktów sieci na skutek niewykrycia błędu grubego w danej obserwacji.

7.4. RELACJA ZABURZENIE/ODPOWIEDŹ W MODELU LINIOWYM (obserwacje nieskorelowane)

A_sx = y_s + v_s;              C_ys = I

gdzie A_s = SA,   y_s = Sy,   v_s = SV;    S − macierz standaryzujaca taka,  ze S^TS = C_y⁻¹ 

A (n x u) – macierz współczynników, macierz pełnego rzędu
x (u x 1) – wektor parametrów (niewiadomych)
y (n x 1) – wektor wyników obserwacji
C_y (n x n) – macierz kowariancji wyników obserwacji
v (n x 1) – wektor poprawek, jakie należy dodać do wyników obserwacji, aby otrzymać wartości prawdziwe mierzonych wielkości

$${\hat{v}}_{s} = \ - Hy_{s}\backslash n$$

$$\begin{bmatrix} {\hat{v}}_{Si(i)} \\ {\hat{v}}_{Sj(i)} \\ \end{bmatrix} = - \begin{bmatrix} & & \\ & \left\lbrack H \right\rbrack_{\text{ii}} & \\ & \left\lbrack H \right\rbrack_{\text{ji}} & \\ \end{bmatrix} \bullet \begin{bmatrix} \\ \mathbf{}y_{S(i)\ } \\ \\ \end{bmatrix} = - \begin{bmatrix} h_{1i} \bullet y_{\text{Si}} \\ \\ h_{\text{ni}} \bullet y_{\text{Si}} \\ \end{bmatrix}$$

${\hat{v}}_{Si(i)} = - \left\lbrack H \right\rbrack_{\text{ii}} \bullet \mathbf{}y_{\text{Si}}$ – odpowiedź w miejscu zaburzenia (istotny wyraz na głównej przekątnej);

${\hat{v}}_{Sj(i)} = - \left\lbrack H \right\rbrack_{\text{ji}} \bullet \mathbf{}y_{\text{Si}}$ – odpowiedź w miejscu poza zaburzeniem (istotny wyraz H_ji – ta sama kolumna);
Własności operatora H:

• macierz symetryczna H^T = H;

• macierz idempotentna H • H = H;

• rz(H) = Tr(H);

• każdy element na głównej przekątnej ma wartość w zakresie 0 ≤ h_ii ≤ 1;

• wartość bezwzględna wyrazu pozadiagonalnego |h_ji|_max = 0, 5

h_ii - miara obserwacji wewnętrznej charakteryzującej obserwację i-tą;

$$\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}\sigma_{\hat{y}\text{si}}^{2} = \frac{u}{n},\ gdzie\ \ \sigma_{\hat{y}\text{si}}^{2} = {\left\{ C_{\hat{y}s} \right\}\text{\ \ }}_{\text{ii}}\text{\ \ }\backslash n$$

Wyróżnia się następujące rodzaje reakcji (odpowiedzi) modelu na zaburzenie:

1. Reakcja lokalna, tj. reakcja w miejscu wystąpienia zaburzenia (i): L_i(i) = −[H]_ii • y_Si. Przyjęto, że błąd gruby i-tej obserwacji będzie przyjęty jako jednostkowy, czyli L_i(i) = −H_ii.

2. Reakcja quasi-globalna Q_(i), tj. reakcja całego modelu z wyłączeniem reakcji w miejscu wystąpienia zaburzenia.

3. Reakcja globalna G_(i), tj. reakcja całego modelu. $G_{\left( i \right)} = \sqrt{\left\lbrack \Delta{\hat{v}}_{S}^{2} \right\rbrack}$.

Wykresy reakcji lokalnej, quasi-globalnej i globalnej przy |Δy_Si|=1 jako funkcji odchylenia standardowego$\mathbf{\ }\mathbf{\sigma}_{{\hat{\mathbf{v}}}_{\mathbf{\text{Si}}}}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{h}_{\mathbf{\text{ii}}}}$.

W przypadku gdy nie ma postawionych warunków zewnętrznych to żaden wykres nie osiągnie 1, a będzie dążył do niej asymptotycznie (jeśli są same warunki wewnętrzne).

W punkcie $\sigma_{{\hat{v}}_{\text{Si}}} = 0$ każda z reakcji równa jest zeru, co oznacza brak odpowiedzi modelu na zaburzenie. Nie ma obserwacji nadliczbowych, co jest niedopuszczalne.

W przedziale $0 < \sigma_{{\hat{v}}_{\text{Si}}} < 0,71$ reakcja quasi-globalna przewyższa reakcję lokalną. Oznacza to, że reakcja w jakiejś obserwacji (bądź obserwacjach) poza miejscem zaburzenia może być większa od reakcji w miejscu wystąpienia zaburzenia. Rozsiany efekt zaburzenia jest większy, niż same zaburzenie w obserwacji.

W punkcie $\sigma_{{\hat{v}}_{\text{Si}}} = 0,71$ reakcje quasi-globalna i lokalna zrównują się i wynoszą Q_(i) = L_(i) = 0, 5.

W przedziale $0,71 < \sigma_{{\hat{v}}_{\text{Si}}} < 1$ reakcja lokalna coraz bardziej dominuje nad reakcją quasi-globalną. Oznacza to, że reakcja w miejscu wystąpienia zaburzenia jest większa od reakcji w jakiejkolwiek innej obserwacji.

Zbliżenie się $\sqrt{h_{\text{ii}}}$ do jedności powoduje wzrost nadliczbowości.

Punkt $\sigma_{{\hat{v}}_{\text{Si}}} = 1$ i odpowiadające mu wartości reakcji, mogą być osiągnięte jedynie przez wprowadzenie do modelu odpowiedniego warunku na niewiadome.

Kryterium dla niezawodności wewnętrznej modelu (sieci):

• dla i-tej obserwacji: $\sigma_{{\hat{v}}_{\text{Si}}} = \sqrt{h_{\text{ii}}} > 0,71$;

• dla całej sieci: $\sigma_{{\hat{v}}_{\text{Si}}} = \sqrt{h_{\text{ii}}} > 0,71;\ \ \ \ \ dla\ kazdej\ obserwacji\ i = 1,\ldots,n$

Ograniczenia górne:

• aspekt ekonomiczny;

• im więcej wykonujemy obserwacji, tym większe prawdopodobieństwo popełnienia błędu grubego.

Teoria niezawodności sieci jako podbudowa pojęciowa metodyki projektowania pomiarów inżynieryjnych

1) Dla 1 obserwacji: miara niezawodności 0, macierz niezawodności 1x1.

2) Dla 2 obserwacji: miara niezawodności 0.5, macierz niezawodności 2x2.

3) Dla 3 obserwacji: miara niezawodności ?, macierz niezawodności 3x3.

Wniosek: Macierz niezawodności ma taki wymiar, ile obserwacji jest w układzie.

Układ obserwacji: 3 obserwacje, 1 niewiadoma (jednakowo dokładne σ = 1)

x = y₁

x = y₂

x = y₃

A • x = y

$$\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{bmatrix} \bullet \left\lbrack x \right\rbrack = \begin{bmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \\ \end{bmatrix}$$

H = (I − A_s(A_S^TA_S)⁻¹A_S^T)

$$H = I - \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{bmatrix}\left( \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{bmatrix} \right)^{- 1} = \begin{bmatrix} 2/3 & - 1/3 & - 1/3 \\ - 1/3 & 2/3 & - 1/3 \\ - 1/3 & - 1/3 & 2/3 \\ \end{bmatrix}$$

Układ obserwacji: 1 obserwacja, 1 niewiadoma

x = y

A • x = y

[1] • [x] = [y]

H = I − [1][1] = 0

Układ obserwacji: n obserwacji, 1 niewiadoma (n → ∞)

A • x = y

$\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{bmatrix} \bullet \left\lbrack x \right\rbrack = \begin{bmatrix} y_{1} \\ \ldots \\ y_{n} \\ \end{bmatrix}$

H = (I − A_s(A_S^TA_S)⁻¹A_S^T)

$$H = I - \frac{1}{n}AA^{T} = \begin{bmatrix} 1 - \frac{1}{n} & - \frac{1}{n} & - \frac{1}{n} \\ - \frac{1}{n} & 1 - \frac{1}{n} & - \frac{1}{n} \\ - \frac{1}{n} & - \frac{1}{n} & 1 - \frac{1}{n} \\ \end{bmatrix}$$

Teoria niezawodności sieci:

• relacja zaburzenie–odpowiedź;

• propagacja zaburzeń obserwacyjnych;

• miary niezawodności;

Obszar wspólny:

• kryterium niezawodności wewnętrznej;

• wymaganie obserwacji nadliczbowych;

• przestrzeń obserwacji niedostrzegalnych (unikanie tego rodzaju zaburzeń).

Pytanie: Jak można obliczyć miarę niezawodności zewnętrznej dla każdej obserwacji?

MDB – minimalny wykrywalny błąd

$$\text{MD}B_{i} = \sigma_{i}\sqrt{\frac{\lambda}{h_{\text{ii}}}}$$

σ_i – odchylenie standardowe;

λ – parametr niecentralności w globalnym teście modelu λ(α,β);

h_ii – miara niezawodności wewnętrznej; im większa, tym MDB mniejsze;

H₀ – hipoteza zerowa zakładająca bezbłędność;

Odpowiedź: Wstawić MDB za wektor x w MNK.