1. Poch cząstk II-go rz. Poch miesz
Niech funkcja f ma poch cząstk 𝝏f/𝝏x, 𝝏f/𝝏y przynajmniej na otoczeniu pkt P(x₀, y₀). Pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji f w pkt P(x₀, y₀) określamy wzorami: . , . Pochodne cząstkowe nazywamy poch cząstk mieszaną rzędu 2-go.
2. Tw o równości poch miesz. (Schwartza)

Jeżeli pochodne cząstk są ciągłe w pkt P(x₀, y₀) to są równe, tj. =. Uwaga: założenie ciągłości pochodnych mieszanych w tw. Schwartza jest istotne. Jeżeli pochodne mieszane istnieją, ale nie są ciągłe, to rowność ta może okazać się fałszywa.

3. Pochodne cząstkowe wyższych rzędów. Tw. o równości pochodnych mieszanych wyższych rzędów. Klasa C_k(D)

Def. Niech funkcja f ma pochodne cząstkowe rzędu n2 przynajmniej na otoczeniu punktu (x₀, y₀). Pochodne cząstkowe rzędu 1-go w pkt P(x₀, y₀) pochodnych cząstkowych rzędu n funkcji f nazywamy pochodnymi cząstkowymi rzędu n+1 funkcji f w pkt P(x₀, y₀). Jeżeli funkcja f ma pochodne cząstkowe n w każdym punkcie zbioru otwartego to mówimy, że na tym zbiorze są określone pochodne cząstkowe rzędu n funkcji f. Pochodną cząstkową rzędu n-tego funkcji f w pkt P(x₀, y₀), powstałą w wyniku k-krotnego różniczkowania względem zmiennej x i następnie l-krotnego różniczkowania względem zmiennej y, gdzie k+l=n oznaczamy przez:

Tw. Schwartza. Jeżeli funkcja f ma pochodne cząstkowe mieszane różniące się tylko kolejnością różniczkowania i pochodne te są ciągłe w pewnym obszarze DcRⁿ, to są one w tym obszarze równe.

Def. Klasą C_k(D) nazywamy zbiór wszystkich funkcji f(P), które mają w zbiorze D ciągłe pochodne cząstkowe aż do rzędu k włącznie.
4. Tw. o pochodnej funkcji złożonej

Niech: 1. funkcja x=x(t), y=y(t) mają pochodne właściwe w pkt t_0, 2. funkcja z=f(x,y) ma ciągłe pochodne cząstkowe 1-go rzędu w pkt (x(t₀), y(t₀)). Wtedy funkcja złożona F(t)=f(x(t),y(t)) ma pochodną właściwą w punkcie t0 oraz , gdzie pochodne dx/dt, dy/dt obliczone są w punkcie t0, a pochodne cząstkowe 𝝏f/ 𝝏x, 𝝏f/ 𝝏y w pkt (x(t0), y(t0)).

5. Pochodne wyższych rzędów funkcji złożonej

Pochodne cząstowe także są funkcjami złożonymi:

jeżeli założymy istnienie i ciągłość pochodnych cząstkowych II rzędu dla funkcji f, a ponadto istnienie II pochodnej dla funk. x(t), y(t) to korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej możemy wyprowadzić wzór na pochodną rzędu II: z′′_t2=[z′_t]′_t=[f′x⋅x_t′+ f′y⋅y_t′]′= (f′x)′_t⋅x_t′+ f′x⋅x_t2′′+ (f′y)′_t⋅y_t′+ f′y⋅y_t2′′=[f′′_X2⋅x_t′+ f′′_xy⋅y_t′]x′_t+f′_x⋅x′′_t2+ [f′′_yx⋅x_t′+ f′′_y2⋅y_t′]y′_t+f′_y⋅y′′_t2. korzystając z równości pochodnych mieszanych:

z′′_t2=f′′_x2(x_t′)²+2f_xy′′⋅x′(t)⋅y′(t)+f′′_y2(y_t′)²+f′_x⋅x′′_t2

6.Pochodne cząstkowe funkcji złożonej

Niech: 1. funkcja x=x(u,v), y=y(u,v) mają pochodne cząstkowe 1-go rzędu w pkt (u₀,v₀), 2. funkcja z=f(x,y) ma ciągłe pochodne cząstkowe 1-go rzędu w pkt (x(u₀,v₀), y(u₀,v₀)). Wtedy funkcja złożona F(u,v)=f(x(u,v),y(u,v)) ma w pkt (u0,v0) poch cząstk wyrażone wzorami: , gdzie pochodne cząstkowe 𝝏x/𝝏u, 𝝏x/𝝏v, 𝝏y/𝝏u, 𝝏y/𝝏v obliczone są w punkcie (u0,v0) a pochodne cząstkowe 𝝏f/ 𝝏x, 𝝏f/ 𝝏y w pkt (x(u0,v0), y(u0,v0)).

7. Różniczki wyższych rzędów

Niech funkcja z=f(z,y) będzie klasy C². df=f’_x(x,y)⋅dx+ f’_y(x,y)⋅dy; przy ustalonych: dx i dy ta różniczka df jest pewną funkcją zmiennych x i y klasy C¹. Różniczkę tej funkcji nazywamy różniczką zupełną rzędu II funkcji f i oznaczamy symbolem d²f(x,y). d²f=d(df)=d [f’_x⋅dx+ f’_y⋅dy]= [f’_x⋅dx+ f’_y⋅dy]’_Xdx+[f’_x⋅dx+ f’_y⋅dy]’_ydy= f’’_x2⋅dx²+2f’’_xydx⋅dy+ f’_y2⋅dy²

8.Przyrost i różniczka funkcji n- zmiennych

Tw o przyroście: Jeżeli funkcja f(x₁..x_n) ma w pewnym otoczeniu punktu P₀=(x₁⁰,x₂⁰....x_n⁰)pochodne cząstkowe f’x₁,f’x₂,..f’x_n, które są ciągłe to przyrost tej funkcji Δf=f(x₁⁰+Δx₁,x₂⁰+Δx₂....x_n⁰+Δx_n)-f(x₁⁰,x₂⁰....x_n⁰). Przyrost Δt można przedstawić w postaci: Δt=∑ⁿ_i=1f’x_i(P₀)Δx_i+ℵ⋅ρ, ρ=√∑ⁿ_i=1(Δx_i)²; ℵ→0 gdy ρ→0;

Def. Funkcję f(x₁...x_n) nazywamy różniczkowalną w punkcie P₀ jeżeli ∃A_i (i=1,2,..n), że Δt możemy zapisać w postaci: Δt=∑ⁿ_i=1A_iΔx_i+o(ρ). Jeżeli funkcja f ma w pewnym otoczeniu punktu P₀, pochodne cząstkowe f’x₁...f’x_n, które w tym punkcie są ciągłe, to jest ona różniczkowalna w punkcie P₀.

9.Pochodna kierunkowa

Niech AcRⁿ będzie zbiorem otwartym i f: AR. Pochodną kierunkową funkcji f w punkcie w kierunku wektora nazywa się pochodną względem zmiennej t funkcji u=f(P⁰+tv) dla t=0 i oznacza się symbolem Gdy v jest wersorem to używa się oznaczeń Jest to tzw. pochodna kierunkowa funkcji f w punkcie w kierunku półprostej l wyznaczonej przez wersor v i o początku w punkcie.

TW. wzór na poch kierunkową. Jeżeli ma ciągłe pochodne cząstkowe w punkcie to pochodna kierunkowa funkcji f w punkcie w kierunku wektora wynosi: .

10.Gradient.Twierdzenie o przyrostach

Wektor , którego współrzędnymi są pochodne cząstkowe odwzorowania f:, gdzie AcRⁿ jest zbiorem otwartym, w punkcie nazywa sie gradientem tego odwzorowania w punkcie P⁰ i oznacza się symbolem: .

TW. Jeżeli funkcja f spełnia następujące warunki: jest ciągła w przedziale domkniętym <x0, x>, jest różniczkowalna w przedziale otwartym (x0, x) to istnieje taki punkt c∈(x0, x), dla którego f(x) - f(x0) = f '(c)(x - x0).

11. Twierdzenie Taylora dla funkcji n zmiennych
Niech funkcja f(P) będzie funkcją klasy Cⁿ w pewnym otoczeniu O punktu P₀(x₁⁰, x₂⁰, … , x_n⁰). Niech h₁ i h₂ oznaczają dowolnie dobrane , ale dostatecznie małe przyrosty zmiennych niezależnych, tak, aby punkt P(x₁⁰+h₁, x₂⁰+h₂, … , x_n⁰+h_n) też należy do tego otoczenia, wówczas istnieje taka liczba Ѳ spełniająca nierówność 0<Ѳ<1, że przyrost .
12. Ekstremum funkcji n zmiennych
Niech f(P) będzie funkcja n zmiennych określoną w pewnym obszarze D. Mówimy że funkcja f(P) ma max (min) lokalne słabe w pkt P₀D, jeżeli istnieje takie sąsiedztwo S(P₀), że dla każdego P należącego do S jest spełniona nierówność f(P)≤f(P₀) (f(P)≥f(P₀)). Maksima i minima lokalne nazywamy ekstremami. Jeżeli spełnione są nierówności ostre wówczas mówimy o max (min) lokalnym mocnym (właściwym).
13. WK istnienia ekstremum funkcji 2-óch zmiennych. Punkt stacjonarny
TW. Jeżeli funkcja f(x,y) ma pochodne cząstkowe 1-go rzędu w punkcie P₀=(x₀, y₀) i ma w tym punkcie ekstremum to f’_x(P₀)=0 i f’_y(P₀)=0.
Def. Niech f: DR (D Punkt P₀=(x₀, y₀)D, w którym jest spełniony warunek f’_x(P₀)=0 i f’_y(P₀)=0 nazywamy punktem stacjonarnym
14. WW istnienia ekstremum funkcji 2-óch zmiennych
Jeżeli f(x,y) jest klasy C² w otoczeniu punktu P₀=(x₀, y₀) a ponadto f’_x(P₀)=f’_y(P₀)=0 oraz W(P₀)>0 to funkcja f ma w punkcie x₀ mak (min)

TW. Niech: 1. odwzorowanie (1) przekształca wzajemnie jednoznacznie obszar regularny D₀ na obszar D 2. Funkcje (1) są klasy C¹ w obszarze D₀ 3. Funkcja f(x,y) jest ciągła w obszarze D, wtedy = lokalne gdy f’’_x2(P₀)<0 (f’’_x2(P₀)>0).
15. Znajdowanie największej i najmniejszej wartości funkcji 2-óch zmiennych w obszarze domkniętym
Dla znalezienia wartości największej w obszarze trzeba policzyć wszystkie jej maksima lokalne i spośród nich wybrać największe. Jeżeli funkcja f(P) jest określona w obszarze domkniętym D to może ona przyjmować wartość największą nie tylko w punkcie w którym ma ekstremum lecz także na brzegu zbioru D. Poszukując wartości największej lub najmniejszej w obszarze domkniętym wystarczy ograniczyć się do zbadania ekstremum oraz zmienności funkcji na brzegu zbioru. Druga z tych czynności sprowadza się do badania funkcji.

16. Def całki oznaczonej funkcji 1-ej zmiennej
Niech funkcja f będzie określona i ograniczona na przedziale [a,b]. Całkę oznaczoną z funkcji f na przedziale [a,b] definiujemy wzorem lim_δ(P)→0 ∑_k=1ⁿ f(x_k*)∙∆x_k = ∫_a^bf(x)dx o ile granica ta nie zależy od sposobu wyboru podziału ani od sposobu wyboru punktów pośrednich x_k*.

17. Interpretacja całki oznaczonej (pole trapezu krzywoliniowego, objętość bryły obrotowej, droga przebyta)
1. Niech D oznacza trapez krzywoliniowy ograniczony wykresem ciągłej nieujemnej funkcji f, osią x oraz prostymi x=a i x=b. Pole |D| tego trapezu jest z def. sumą prostokątów ∆D_k przybliżających ten trapez gdy δ(P)→0, gdzie ∆D_k jest prostokątem o podst. [x_k-1, x_k] i wys. f(x_k*). |D|=lim_δ(P)→0∑_k=1ⁿ|∆D_k| =lim_δ(P)→0∑_k=1ⁿf(x_k*)∙∆x_k= ∫_a^bf(x)dx
2. Niech V oznacza bryłę ograniczoną powierzch. powstałą z obrotu wykresu funkcji nieujemnej i ciągłej y=f(x), a≤x≤b wokół osi x. |V| jest granicą sum objętości walców ∆V_k przybliżający te bryły, gdy średnica podziału δ(P)→0. Każdy walec ∆V_k ma taką postac. |V|= lim_δ(P)→0∑_k=1ⁿ|∆V_k|= lim_δ(P)→0∑_k=1ⁿπ∙f²(x_k*)∙∆x_k=∙f²(x)dx
3. Niech S oznacza drogę przebytą w przedziale czasowym [α,β] przez punkt poruszajacy się ze zmienną szybkością. Droga S jest granicą sum dróg elementarnych ∆S_k przebytych w czasie ∆t_k=t_k-t_k-1 z szybkością stałą gdy δ(P)→0. S= lim_δ(P)→0∑_k=1ⁿ|∆S_k|= lim_δ(P)→0∑_k=1ⁿV(t_k*)∙∆t_k=
18. WW istnienia całki oznaczonej (w terminach ciągłości)
Jeśli funkcja f jest ograniczona na przedziale [a,b] i ma na tym przedziale skończoną liczbę punktów nieciągłości I rodzaju to jest ona na nim całkowalna
19. TW Newtona-Leibniza ( I gł tw rach całk.). Liniowość całki oznaczonej
TW. Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale [a,b] to ∫_a^bf(x)dx=F(b)-F(a) gdzie F(x) oznacza dowolną funkcję pierwotną dla f na tym przedziale.
TW. Jeżeli funkcje f i g są całkowalne na przedziale [a,b] to dla dowolnych α, β: ∫_a^b[αf(x)+βg(x)]dx= α∫_a^bf(x)dx+β∫_a^bg(x)dx.
20. TW o całkowaniu przez części i przez podstawienie całki oznaczonej
1. Jeżeli funkcje f i g mają ciągłą pochodną na [a,b] to ∫_a^bf(x)∙g’(x)dx=[f(x)∙g(x)]_a^b-∫_a^bf’(x)∙g(x)dx.

2. Jeżeli funkcja [a,b]→[α,β] ma ciągłą pochodną na przedziale [a,b],(a)=α, (b)=β, funkcja f(t) jest ciągła na [α,β] to: ∫_a^bf((x))∙’(x)dx=∫_α^βf(t)dt.
21. TW o równości całek oznaczonych
Niech f będzie całkowalna na [a,b] oraz niech g różni się od f tylko w określonej liczbie punktów tego przedziału. Wtedy funkcja g także jest całkowalna na [a,b] oraz ∫_a^bg(x)dx=∫_a^bf(x)dx.
22. Addytywność całki oznaczonej względem przedziałów całkowania
Jeżeli f(x) jest całkowalna na [a,b] oraz c jest punktem pośrednim tego przedziału to jest ona całkowalna na przedziale [a,c] i [c,b] i ponadto: ∫_a^bf(x)dx=∫_a^cf(x)dx+∫_c^bf(x)dx
23. Zachowanie nierówności i moduł całki oznaczonej
TW. Jeżeli funkcje f i g są ciągłe na przedziale [a,b] i f(x)≤g(x),to ≤
Wn. Jeżeli funkcja f jest calkowalna na przedziale [a,b] to ||≤
24. Wartość średnia funkcji (w terminie całki oznaczonej). Interpretacje geometryczna i fizyczna
Def. Niech funkcja f będzie całkowalna na [a,b]. Jej wartością średnią na tym przedziale nazywamy liczbę f_śr= . Intr. geo. Jeżeli funkcja f jest ciągła i nieujemna na przedziale [a,b] to jej wartość średnia na tym przedziale jest wysokościa prostokąta o podstawie ab, którego pole jest równe polu trapezu krzywoliniowego ograniczonego wykresem funkcji f , osią x oraz prostymi x=a i x=b. Inter. fiz. wartości średniej jest szybkość średnia punktu poruszającego się w pewnym przedziale czasu.
25. Całka oznaczona funkcji parzystej, nieparzystej i okresowej.
Jeżeli funkcja f jest całkowalna i nieparzysta na przedziale [-a,a] to =0
Jeżeli funkcja jest calkowalna i parzysta na przedziale [-a,a] to =2
Jeżeli funkcja f jest określona i ma okres T i jest całkowalna na [0,T], to dla każdego aR jest ona calkowalna na przedziale [a, a+T]i
26. Funkcja górnej granicy całkowania. Jej ciągłość
Def. Niech funkcja f będzie określona i całkowalna na przedziale [a,b] oraz niech c[a,b]. (1) F(x)=, x[a,b]- funkcja górnej granicy całkowania. Jeżeli funkcja f jest całkowalna na przedziale [a,b] to (1) jest ciągła na [a,b]
27. II gł tw rachunku całkowego (o pochodnej funkcji górnej granicy całkowania)
Jeżeli funkcja f jest całkowalna na przedziale [a,b] oraz ciągła w punkcie x₀[a,b] to wówczas funkcja F(x)= ma pochodną w punkcie x₀: F’(x₀)=f(x₀)
28. Długość krzywej
Jeżeli krzywa wyznaczona jest równaniem postaci y=f(x), przy czym funkcja f(x) ma w przedziale a≤x≤b pochodną ciągłą, to długość krzywej w tym przedziale wyraża się wzorem L=∫_a^bdx. Jeżeli krzywa dana jest parametrycznie za pomocą równań x=g(t), y=h(t), przy czym funkcje g(t) i h(t) mają w przedziale t₁≤t≤t₂ ciągłe pochodne oraz krzywa nie ma części wielokrotnych to długość łuku wyraża się wzorem L=
29. Pole powierzchni obrotowej. Praca wykonana przez zmienną siłę
1. Niech funkcja nieujemna f ma ciągłą pochodną na przedziale [a,b], wtedy pole powierzchni S powstałej z obrotu wykresu funkcji f wokół osi x: |S|=2π . Niech funkcja f ma ciągłą pochodną na przedziale [a,b] a ponadto a ≥0, wtedy pole powierzchni S powstałe z obrotu wykresu funkcji f wokół osi y: |S|=2π .

2. Załóżmy, że równolegle do osi OX działa siła, która ciągnie bryłę. Praca wykonana przez tą siłę od a do b wyraża się wzorem W=

30. Całka niewłaściwa w przedziale nieskończonym. Definicje. Interpretacja geometryczna.
Jeśli funkcja f jest całkowalna na przedziale [a,T] gdzie T>a oraz istnieje granica skończona (1) to nazywamy ją całka niewłaściwą funkcji f w przedziale [a, +∞) i oznaczamy symbolem . Jeżeli granica skończona (1) istnieje to mówimy że całka z funkcji f na przedziale [a, +∞) istnieje lub jest zbieżna. Jeżeli granica skończona (1) nie istnieje lub jest nieskończona to mówimy że całka z funkcji f na przedziale [a, +∞) nie istnieje lub jest rozbieżna.

31. Kryterium porównawcze dla całki niewłaściwej na przedziale nieskończonym
Jeżeli funkcje f i g są określona na przedziale [a, +∞), całkowalne w każdym przedziale [a,T], T>a oraz f(x)≤g(x) dla każdego x≥a to zbieżność całki zapewnia zbieżność , a rozbieżność całki zapewnia rozbieżność
32. Kryterium całkowe zbieżności szeregów
Niech funkcja f: [n₀, +∞)→[0, +∞) będzie nierosnąca nN, wówczas szereg i są jednocześnie zbieżne lub rozbieżne
33. Całka niewłaściwa funkcji nieograniczonej. Definicje
Niech funkcja f będzie określona na przedziale [a,b) i nieograniczona w lewostronnym sąsiedztwie punktu b oraz całkowalna w każdym przedziale [a, b-ε], ε>0. Jeżeli istnieje granica skończona lim_ε→0+ to nazywamy ją całką niewłaściwą z funkcji f w danym przedziale. Analogicznie okreslamy całkę niewłaściwą z funkcji f w przedziale (a,b], która jest nieograniczona w prawostronnym sąsiedztwie punktu a oraz całkowalna w każdym przedziale [a+ε, b], ε>0: . Jeżeli skończona granica (1) i (2) istnieje to mówimy, że całka jest zbieżna, przeciwnie rozbieżna.

Jeżeli funkcja f jest określona na przedziale (a,b) i nieograniczona w prawostronnym sąsiedztwie punktu a i lewostronnym sąs. b oraz istnieją całki niewłaściwe , c to całką niewłaściwą funkcji f w przedziale (a,b) nazywamy sumą tych całek.

Jeżeli funkcja f jest określona na przedziale [a,c) i (c,b] i nieograniczona w sąsiedztwie punktu c oraz istnieją całki niewłaściwe to całką niewłaściwą funkcji f w przedziale [a,b] nazywamy sumą tych całek.

34. Podstawowe definicje całki podwójnej w prostokącie
Rozważmy prostokąt π na płaszczyźnie określonej nierównościami: a≤x≤b, c≤y≤d. Niech funkcja f(x,y) będzie funkcja określoną w prostokącie. Prostokąt π dzielimy na n prostokątów π_k o stronach równoległym stronom prostokąta π i podział ten oznaczmy P_n. W każdym prostokącie π_k wybieramy punkt P_k(x_k, y_k). Przez f(P_k) oznaczamy wartość funkcji w punkcie P_k. Suma całkowa funkcji f w prostokącie π: S_n=, gdzie ∆δ_k – pole prostokata π_k. Przez δ_n=max d_k oznaczmy średnicę podziału P. Rozważmy ciąg podziału P_n prostokąta π. Nazywamy go normalnym jeżeli odpowiadający mu ciąg średnic δ_n→0 gdy n→∞. Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziału prostokąta π ciąg sum całkowych S_n jest zbieżny do tej samej granicy skończonej niezależnie od sposobu wyboru punktów pośrednich P_k to tę granicę nazywamy całką podwójną z funkcji f w prostokącie π i oznaczamy symbolem .
35. Interpretacje geometryczne i fizyczne całki podwójnej w prostokącie
1) Jeżeli funkcja f jest stała w prostokącie π, tzn. f(x,y)=c>0 to dla każdego n Sn==cσ. σ-pole prostokąta π . Całka podwójna w tym przypadku jest równa objętości prostopadłościanu o polu podstawy σ i wysokości c.
Jeżeli funkcja f jest ciągła w prostokącie π i dodatnia to suma całkowa S_n równa się sumie objętości prostopadłościanów o polach podstaw ∆σ_k i wysokościach f(P_k), Całka podwójna w tym przypadku jest równa z definicji objętości bryły V ograniczonej płaszczyznami z=0 x=a x=b y=c y=d oraz wykresem funkcji z=f(x,y)
2) Jeżeli funkcja q(x,y) jest gęstością powierzchniową masy prostokąta π to oznacza z definicji masę tego prostokąta.
36. Własności całki podwójnej w prostokącie. Wartość średnia. Twierdzenie o wartości średniej
Jeżeli funkcja f jest całkowalna w prostokącie π, a a jest dowolna stałą to funkcja af też jest całkowalna i ponadto =a
Jeżeli funkcje f i g są całkowalne w prostokacie π to w tym prostokącie całkowalna jest ich suma f+g i ponadto =
Jeżeli podzielimy prostokat π na dwa prostokąty π₁ i π₂ i jeżeli funkcja f jest całkowalna w prostokątach π₁ i π₂ to jest całkowalna w prostokącie π i: = +
Jeżeli funkcja f jest całkowalna w prostokącie π i dla każdego Pπ zachodzi nierówność m≤f(P)≤M to mσ≤≤ Mσ
Def. Liczbę nazywamy wartością średnią funkcji f w prostokącie π
TW. Jeżeli funkcja f jest ciągła w prostokącie π to istnieje takie c należące do π, że fśr=f(c)
37. Twierdzenie o zmianie całki podwójnej na całkę iterowaną
Jeżeli funkcja f jest całkowalna w prostokącie π ( a≤x≤b; c≤y≤d) to = lub
38. Obszar normalny. Całka podwójna w tym obszarze. Wzory do obliczania całki podwójnej w obszarze normalnym. Zbiór regularny
Zbiór domknięty D na płaszczyźnie określony nierównościami: a≤x≤b; (x)≤y≤ψ(x), gdzie (x) i ψ(x) są to funkcje ciągłe w przedziale [a,b] nazywamy obszarem normalnym względem osi x. Niech funkcja f(x,y)będzie określona w prostokącie π ( a≤x≤b; c≤y≤d), gdzie c=inf (x), d=sup ψ(x). f*(x,y)=f(x,y) dla (x,y)D lub =0 dla (x,y) nie należących do D. Całka podwójną z funkcji f w obszarze normalnym D nazywamy całkę ==
Zbiór D nazywamy regularnym jeżeli jest sumą D₁D₂…D_n obszarów normalnych względem osi x lub y, które nie maja punktów wspólnych. Całkę podwójna określamy jako sumę całek w obszarach normalnych D₁ … D_n: =
39.Interpretacje geometryczne i fizyczne całki podwójnej w obszarze normalnym
1)Niech f(x,y) będzie funkcja ciągłą w obszarze regularnym D przy czym . Wtedy przedstawia objętość bryły o podstawie D ograniczonej powierzchnia będącą wykresem funkcji f oraz powierzchnią walcową utworzoną z prostych równoległych do osi z i przechodzących przez brzeg obszaru D. Całka przedstawia z definicji pole obszaru D
2) Jeżeli funkcja q(x,y) jest gęstością powierzchniową masy obszaru regularnego D to całka przedstawia masę m tego obszaru. Całki =M_x oraz =M_y przedstawiają momenty statyczne względem osi x i y
40. Zmiana zmiennych w calce podwójnej. Jakobian
Rozważmy parę funkcji ciągłych: x=x(u,v) i y=y(u,v) (1), które przekształcają zbiór D₀ w płaszczyźnie UV na zbiór D w płaszczyźnie XY. Załóżmy że funkcje są klasy C¹. J(u,v)=|x’_u(u,v), x’_v(u,v); y’_u(u,v), y’_v(u,v)|. Taką nową funkcję nazywamy jakobianem przekształcenia (1).

Tw. o rozwijaniu funkcji w szereg Taylora 1)Niech f ma poch. dowolnego rzędu w otoczeniu O(x₀) punktu x₀ 2) dla każdego CO(x₀), wtedy dla każdego xO(x₀) zachodzi równość: f(x)=i ponadto szereg ten jest zbieżny.

Tw o jednoznaczności rozwinięcia funkcji w szereg potęgowy: Jeżeli na otoczeniu pkt x₀ funkcja jest sumą szer. potęgowego to jest to jej szereg Taylora. Jeśli f(x)= dla każdego xO(x₀) to C_n= dla każdego nN

41. Wprowadzenie zmiennych biegunowych w calce podwójnej
x=rcosϕ, y=rsinϕ; r interpretujemy jako długość wektora o początku w (0,0) i końcu w (x,y). ϕ- oznacza miarę kąta miedzy promieniem wodzącym pkt P a dodatnią częścią osi Ox. Parę (r, ϕ) nazywamy współrzędnymi biegunowymi na płaszczyźnie

42. Całka potrójna w prostopadłościanie. Podstawowe definicje
Rozważmy prostopadłościan π określony nierównościami a≤x≤b; c≤y≤d; p≤z≤q oraz funkcję f(x,y,z) określoną w tym prostopadłościanie. Dzielimy prostopadłościan π na n prostopadłościanów π_k; k=1, 2, …, n o objętościach ∆V_k. Podział ten oznaczmy symbolem P_k. Niech d_k oznacza długość przekątnej prostopadłościanu π_k. Najmniejszą z nich, czyli min d_k=δ_n nazywamy średnicą P_n. W każdym prostopadłościanie π_k wybieramy punkt P_k(x_k, y_k, z_k). Obliczamy f(P_k) i S_n= nazywamy sumą całkową funkcji f w prostopadłościanie π. Rozważmy ciąg normalny podziału P_n, tzn taki ciąg, gdzie δ_n→0 i n→∞. Jeżeli dla każdego ciągu normalnego podziału prostopadłościanu π, ciąg sum S_n jest zbieżny do tej samej granicy skończonej niezależnie od wyboru punktu P_k to tę granicę nazywamy całka potrójną funkcji f w prostopadłościanie i oznaczamy lub
43. Interpretacje geometryczne i fizyczne całki potrójnej
Jeżeli f(P) wszędzie =1 w prostopadłościanie π to całka przedstawia objętość prostopadłościanu π.
Jeżeli funkcja q(P) jest gęstościa objętościową masy prostopadłoscianu π to całka przedstawia masę tego prostopadłościanu
44. Własności całki potrójnej w prostopadłościanie. Wartość średnia. Twierdzenie o wartości średniej
Całka potrójna w prostopadłościanie posiada własności analogiczne do własności całki podwójnej.
Def. Niech funkcja f będzie ciągła w prostopadłościanie π o objętości V wówczas f_śr= nazywamy wartością średnią funkcji f.
TW. Jeżeli funkcja f jest ciągła w prostopadłościanie π to istnieje taki punkt c należący do tego prostopadłościanu że f_śr=f(c)
45. Twierdzenie o zmianie całki potrójnej na całkę iterowaną.
Jeżeli funkcja f jest ciągła w prostopadłościanie π: a≤x≤b; c≤y≤d; p≤z≤q to =
46. Całka potrójna w obszarze normalnym. Wzory do obliczania.
Zbiór domknięty Ω określony nierównościami ϕ (x,y)≤ z ≤ψ(x,y) gdzie (x,y)D, który jest obszarem regularnym, a funkcje ϕ, ψ są ciągłe w obszarze D nazywamy obszarem normalnym względem płaszczyzny XY. Analogicznie określamy obszar normalny

względem płaszczyzn XZ i YZ. Niech na tym obszarze określona będzie funkcja f(x,y,z). Całkę potrójną z funkcji f w obszarze Ω określamy: = (1) gdzie f*(P)=f(P) gdy PΩ lub =0 gdy Pπ\Ω. Jeżeli funkcja f wszędzie =1 w obszarze Ω to calka (1) przedstawia z definicji objętość tego obszaru. =
47. Zmiana zmiennych w całce potrójnej. Jakobian
Przypuśćmy że przekształcenie x=x(u,v,w) y=y(u,v,w) z=z(u,v,w) (1) odwzorowuje wzajemnie jednoznacznie zbiór regularny Ω₀ w przestrzeni UVW na zbiór regularny Ω o współrzędnych x,y,z przy czym każda z funkcji (1) będzie klasy C¹ i ponadto funkcja f(x,y,z) jest funkcją ciągła w obszarze Ω oraz jakobian przekształcenia (1) J=|x’u; x’v; x’w; y’u; y’v; y’w; z’u; z’v; z’w|≠0; wówczas =
48. Współrzędne sferyczne
Położenie punktu w przestrzeni można opisać trójką liczb (r, ϕ, ψ), gdzie r- oznacza odl pkt P od początku ukł współrzednych, ϕ- oznacza miarę kąta miedzy rzutem promienia wodzącego pkt P na płaszczyznę xOy, a dodatnią częścią osi Ox, ψ - oznacza miarę kąta miedzy promieniem wodzącym punktu P, a płaszczyzną xOy.

x = rcosϕ cos ψ, y = rsinϕ sin ψ, z = rcosφ ψ, J=r² sinψ. =

49. Współrzędne cylindryczne (walcowe)

Położenie punktu w przestrzeni można opisać trójką liczb (r, ϕ, z), gdzie r- oznacza odl rzutu pkt P na płaszcz xOy od początku ukł współrzednych, ϕ- oznacza miarę kąta miedzy rzutem promienia wodzącego pkt P na płaszczyznę xOy, a dodatnią częścią osi Ox, z-współrzędna.
x = rcosϕ, y = rsinϕ, z = z, J(r,ϕ,z)= r

=

50. Krzywa(prosta, zamknięta), kierunek
Def. Zbiór punktów (x,y) na płaszczyźnie określonych równościami x=x(t) , y=y(t), tє[α,β] (1) gdzie x(t) i y(t) funkcje ciągłe, nazywamy krzywą na płaszczyźnie, t to parametr. Wartości α, β odpowiadają punkty A=(x(α),y(α)) B=(x(β),y(β)).

Def. Krzywą określoną równaniami (1) nazywamy prostą jeśli t₁≠ t₂ ->(x(t₁), y(t₁) ≠(x(t₂), y(t₂)).

Def. Krzywą nazywamy otwartą jeśli A nierówna się B. (dwa końce krzywej)

Def. Jeśli jedynym punktem wielokrotnym krzywej jest punkt początkowy i końcowy, tzn. jeśli w

łuku zwykłym dopuścimy A=B to krzywą nazywamy krzywą zamkniętą zwykłą.

Kierunek: krzywej o równaniu (1) można nadać kierunek przypisując A za początek a B za koniec, albo na odwrot. W I przyp. kier krzywej jest zgodny ze wzrostem parametru. W II przyp. kier. niezgodny. Krzywej której nadano kierunek nazywamy krzywą skierowaną i oznaczamy . Gdy krzywe i różnią się tylko kierunkiem to oznaczamy = -.

51. Całka krzywoliniowa skierowana. Podstawowe definicje. Interpretacja fizyczna
Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziału przedziału [α,β] ciąg sum S_n= = jest zbieżny do tej samej granicy skończonej niezależnie od wyboru punktów pośrednich c_k to granicę tę nazywamy całką krzywoliniową skierowaną pary funkcji P i Q po krzywej i oznaczamy symbolem (3) lub (4).
Jeżeli jest wektorem siły w punkcie (x,y) o współrzędnych (P(x,y),Q(x,y)) to całka (3) lub (4) przedstawia pracę siły wzdłuż krzywej
52. Twierdzenie o zmianie całki krzywoliniowej skierowanej na całkę oznaczoną
Jeżeli funkcje P(x,y) i Q(x,y) są ciągłe na krzywej o przedstawieniu parametrycznym (1) gdzie funkcje x(t) i y(t) są klasy C¹ to całka (3) istnieje i ponadto =
53. Skierowanie krzywej względem swego wnętrza
Przypuśćmy, że krzywa K jest zamknięta i kawałkami gładka i P₀ jest punktem wewnętrznym jednej z jej części. Utwórzmy wektor styczny skierowany zgodnie z kierunkiem tej krzywej i wektor normalny opoczątku w pkr P₀ i skierowany od przeciwnie do wskazówek zegara; oznaczmy przez D wnętrze krzywej K. Jeżeli wektor jest skierowany do wnętrza zbioru D to mówimy, że krzywa jest skierowana dodatnio względem swego wnętrza. W przeciwnym przypadku jest skierowana ujemnie.

54. Twierdzenie Greena
Jeżeli funkcje P(x,y) i Q(x,y) są klasy C¹ w obszarze normalnym D względem osi x lub y przy czym brzeg K tego obszaru jest krzywą skierowaną dodatnio względem wnętrza to: =
55. Twierdzenie o niezależności calki krzywoliniowej skierowanej od kształtu drogi całkowania. Wnioski.
Jeżeli funkcje P(x,y) i Q(x,y) są klasy C¹ w obszarze jednospójnym D to spełnienie nierówności Q’_x=P’_y (1) w każdym punkcie tego obszaru jest warunkiem koniecznym i wystarczającym na to aby po otwartej krzywej zawierającej się w D nie zależała od kształtu tej krzywej a tylko od punktów A i B.
1. Jeżeli funkcje P i Q są klasy C¹ i spełniają warunek (1) w obszarze jednospójnym D to =0 (2) dla każdej kawałkami gładkiej krzywej zamkniętej c zawierającej się w D
2. Jeżeli funkcje P i Q są klasy C¹ w obszarze jednospójnym D oraz dla każdej kawałkami gładkiej krzywej zamkniętej c zawierającej się w D jest spełniony warunek (2) to w każdym punkcie tego obszaru jest spełniony warunek (1)
56. Warunek istnienia funkcji z danymi pochodnymi cząstkowymi. Jej znalezienie
Przypuśćmy, że P(x,y) i Q (x,y) są klasy C¹ w prostokącie D, że a<x<b i c<y<d. Sprawdzamy czy istnieje w tym obszarze funkcja U(x,y), która ma takie własności: (1). Gdy (1) istnieje, to: i P(x,y) i Q (x,y) są klasy C¹ więc drugie pochodne mieszane są równe: Jeżeli (1) istnieje to warunek jest spełniony. Warunek jest konieczny, by U spełniała warunek (1). Okazuje się, że warunek ten jest także wystarczający , gdzie (x₀,y₀) dowolny punkt CD. ,
57. Całka krzywoliniowa nieskierowana. Podstawowe definicje
Rozważmy krzywą L o równaniach parametrycznych x=x(t), y=y(t), α≤t≤β i przypuśćmy że w każdym punkcie krzywej L jest określona funkcja f(x,y). Niech α=t₀<t₁<…<t_n=β będzie podzialem przedziału [α,β]. Niech A_k=(x_k,y_k)=(x(t_k),y(t_k)). W każdym przedziale [t_k-1, t_k] wybieramy punkty τ_k, punktom tym odpowiadają punkty C_k=(ε_k,η_k)=(x(τ_k),y(τ_k)). Utwórzmy sumę S_n= (2), gdzie ∆l_k-długość krzywej A_k-1A_k. Rozważmy normalny ciąg podziału przedziału [α,β]. Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziału przedziału [α,β] ciąg sum (2) jest zbieżny do tej samej granicy skończonej niezależnie od wyboru

punktów τ_k to tę granicę nazywamy całką krzywoliniową nieskierowaną funkcji f po krzywej L i oznaczamy symbolem (3)
58. Interpretacje geometryczne i fizyczne całki krzywoliniowej nieskierowanej
Jeżeli f(x,y) wszędzie=1 to ciąg sum (2) jest stały. Całka (3) przedstawia wtedy długość krzywej L.
Jeżeli f(x,y) jest dodatnia i ciągła to całka (3) przedstawia pole powierzchni M.
Jeżeli q(x,y) jest gęstościa liniową masy krzywej L to całka przedstawia masę krzywej L.
Współrzędne środka masy krzywej L: =
59. Zamiana całki krzywoliniowej nieskierowanej na całkę oznaczoną
Jeżeli funkcja f(x,y) jest ciągła na krzywej L o równaniu parametrycznym x=x(t), y=y(t), α≤t≤β gdzie funkcje x, y są klasy C¹ to całka istnieje i ponadto

60. Gładki płat powierzchniowy. Cała powierzchniowa niezorientowana. Podstawowe definicje.
Gładkim płatem powierzchniowym nazywamy wykres funkcji z=f(x,y), (x,y)D. W definicji zakładamy że funkcja f jest klasy C¹. Taką funkcję nazywamy gładkim płatem powierzchniowym względem płaszczyzny XY. W sposób analogiczny określamy gładki płat powierzchniowy względem płaszczyzn YZ i XZ.
Rozważmy gładki płat powierzchniowy Ω o równaniu z=f(x,y); (x,y)D. Niech na tym płacie jest określona funkcja F(x,y,z). Wprowadzamy funkcję F*(x,y,z)=F(x,y,z) gdy (x,y)D lub =0 gdy (x,y) nie należy do D. Rozważmy prostokąt π który zawiera funkcje. Dzielimy go na n prostokątów π,…,π_n i w każdym z tych małych prostokątów wybieramy punkt P_k(x_k,y_k)π_k. Wprowadzamy punkt A_k=(x_k,y_k,f(x_k,y_k)) gdy (x,y)D lub=(x_k,y_k,0) gdy nie należy. Oznaczmy symbolem ∆S_k pole tej części płaszczyzny stycznej do Ω w punkcie A_k która leży nad π_k. Niech S_n= (2). Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziału prostokąta π ciąg sum (2) jest zbieżny do tej samej granicy skończonej niezależnie od wyboru punktu P_k to (2) nazywamy całką powierzchniową niezorientowaną funkcji f po płacie Ω i oznaczamy symbolem
61. Interpretacje geometryczne i fizyczne całki powierzchniowej niezorientowanej
Jeżeli funkcja F(x,y,z) wszędzie=1 to przedstawia pole płata Ω
Jeżeli q(x,y,z) jest gęstością powierzchniową masy płata Ω to całka przedstawia masę płata Ω
62. Obliczanie całki powierzchniowej niezorientowanej
Jeżeli funkcja F jest ciągła na płacie Ω to istnieje i można ją obliczyć za pomoca wzoru: =

63. Szereg funkcyjny, jego zbieżność. Szereg potęgowy. Promień zbieżności. Przedział zbieżności. Ich obliczanie
Szeregiem funkcyjnym nazywamy wyrażenie postaci (1). Mówimy, że szereg (1) jest zbieżny w punkcie x₁ gdy szereg liczb jest zbieżny.
Szeregiem potęgowym o środku w punkcie x₀ i współczynnikach c_n nazywamy szereg funkcyjny postaci (2). Jeżeli szereg (2) jest zbieżny w punkcie x₁ to jest on zbieżny bezwzględnie w każdym punkcie x₂ dla którego |x₂-x_0|<|x₁-x₀|.
Istnieje taka liczba R(promień zbieżności szeregu)[0,+∞) że szereg (2) jest zbieżny bezwzględnie w przedziale (x₀-R,x₀+R)-(przedział zbieżności) i rozbieżny w przedziale (-∞,x₀-R) i (x₀+R,∞). Gdy R=∞(0) to szereg (2) jest zbieżny w każdym punkcie(tylko w punkcie x₀). Promień zbieżności szeregu (2) może być obliczany R=R=

64. Szereg Taylora. Szereg Maclaurina. Wielomian Taylora. Wzór Taylora z resztą Lagrange’a. Twierdzenie o rozwijaniu funkcji w szereg Taylora. Twierdzenie o jednoznaczności rozwijania funkcji w szereg potęgowy.
Def. szeregów Taylora i Maclaurina. Niech f ma w x₀ pochodną dowolnego rzędu.

Dla x₀=0 jest to szereg Maclaurina.

Tw. Wzór Taylora z resztą La Grange’a: Jeżeli f ma: 1) ciągłą pochodną rzędu n-1 na [x₀;x), 2) pochodną skończoną rzędu n na (x₀,x) to

Tw. o rozwijaniu funkcji w szereg Taylora 1)Niech f ma poch. dowolnego rzędu w otoczeniu O(x₀) punktu x₀ 2) dla każdego CO(x₀), wtedy dla każdego xO(x₀) zachodzi równość: f(x)=i ponadto szereg ten jest zbieżny.

Tw o jednoznaczności rozwinięcia funkcji w szereg potęgowy: Jeżeli na otoczeniu pkt x₀ funkcja jest sumą szer. potęgowego to jest to jej szereg Taylora. Jeśli f(x)= dla każdego xO(x₀) to C_n= dla każdego nN

65. Szeregi Maclurina dla funkcji e^x, sinx, cosx
sinx=, cosx=, e^x=

66. Twierdzenie o różniczkowaniu szeregu potęgowego. Przykład zastosowania

Niech liczba 0<R≤∞ będzie promieniem zbieżności szeregu potęgowego wtedy i jest zbieżny na przedziale (-R,R) i. UWAGA! Podobny wzór jest prawdziwy dla postaci:

Przykład: Oblicz . Rozpatrzmy szereg . korzystamy z TW. ;

67. Twierdzenie o całkowaniu szeregu potęgowego. Przykład zastosowania
TW: Niech liczba 0<R≤∞ będzie promieniem zbieżności szeregu potęgowego, x₀=0 wtedy szereg jest zbieżny dla każdego xє(-R, R), ponadto . UWAGA! Podobny wzór jest prawdziwy dla postaci: .

Przykład: ln(1+x). Wiemy, że szereg geom. 1-t+t²-t³+…= jest zbieżny w (-1,1) w przedziale (-1,1).

68. Równania różniczkowe. Rozwiązanie szczególne. Rozwiązanie ogólne. Zagadnienie Cauchy’ego. Warunki początkowe. Rząd równania różniczkowego. Krzywa całkowa
Def. Równaniem różniczkowym zwyczajnym nazywamy równanie postaci F (x, y, y’, y”, y^(n’)) = 0 w którym F - funkcja wiadoma o n+2 zmiennych, y(x) - niewiadoma określona na przedziale (a, b);

Def. Rozwiązaniem szczególnym równania F(x, y, y’, y”, y^(n’)) = 0 nazywamy każdą pojedynczą funkcję spełniającą to równanie.

Def. Rozwiązaniem ogólnym równania F(x, y, y’, y”, y^(n’)) = 0 nazywamy zbiór wszystkich rozwiązań tego równania.

Def. Zagadnieniem Cauchy’ego dla równania F(x, y, y’, y”, y^(n’)) = 0 nazywamy następujące zagadnienie: „znaleźć rozwiązanie szczególne danego równania F(x, y, y’, y”, y^(n’)) = 0 które spełnia warunki początkowe”: y(x₀) = y₀; y’(x₀) = y₁ ; …; y^(n’) = y_n-1; W tych wartościach liczby y₀, y₁…y_n-1 są znane i nazywamy wartościami początkowymi

Def. Liczbę n (w równaniu F (x, y, y’, y”, y^(n’)) = 0) nazywamy rzędem równania różniczkowego

Def. Wykres każdego rozwiązania szczególnego równania różniczkowego nazywamy krzywą całkową tego równania.

69. Równanie o zmiennych rozdzielonych. Postać różniczkowa równania. Przykłady
Niech f(x) określ. na (a,b) i g(x) określ. na (c,d) są ciągłe g(x)≠0

Def. Równanie różniczkowe postaci: y’(x)= o f. niewiadomej y(x) nazywamy równ. różniczkowym o zmiennych rozdzielonych. Jeśli dy/dx = f(x)/g(y) to można to zapisać w postaci różniczkowej: g(y)dy=f(x)dx

Przykł1:wtedy . Jeśli G(y) – jest f. pierwotną dla g(y) i F(x) jest funkcją pierwotną dla f(x) to mamy G(y)=F(x)+C; – równanie ogólne y’(x)=f(x)/g(y(x))

Przykł2: znajdź rozwiązanie szczególne: spełnia w.p. y(0)=0, x=0, y=0, ∫e^ydy = ∫cosxdx; e^y= sinx+C; e⁰=sin0 + C; 1=C; e^y=sinx+1 oraz ln(e^y=ln(sinx+1). l=ln(sinx+1) rozwiązanie zagadnienia Cauche’go

70. Rozwiązanie liniowe rzędu 1-go. Jednorodne i niejednorodne
Def. dy/dx + p(x)y = f(x); p(x), f(x) – f. dane i ciągłe w (a, b); nazywamy równaniem różniczkowym liniowym rzędu 1-go: jednorodnym gdy f(x)=0, niejednorodnym f(x)≠0

Przykład: dy/dx –e^xy=0 – równ. liniowe rzędu 1-go jednorodne (p(x)=e^x, f(x)=0). dy/dx+2sinx*y=cosx – równ. liniowe rzędu 2-go niejednorodne (p(x)=2sinx, f(x)=cosx). dy/dx + y² = 0 nie jest równ. liniowym rzędu 1-go

71. Rozwiązanie równania liniowego rzędu 1-go jednorodnego
dy/dx + p(x)y=0; Równanie dy/dx + p(x)y=0 spełnia funkcja y(x)=0; Jeśli y(x)≠0 to to równanie jest równ. o zmiennych rozdzielonych. dy/dx = -p(x)y; ∫dy/y = ∫-p(x)dx; niech P(x)-pierwotna dla p(x); ln|y| = -P(x) + C₁, C₁єR; |y|=e^-P(x) * e^C1, C₁ єR; y = e^C1 * e^-P(x) lub y= - e^C1 * e^-P(x) C=e^C1; y = C * e^-P(x), C≠0

Rozw. ogólne równania dy/dx + p(x)y=0: y =C*e^-P(x), CєR

Rozważamy zagadnienie Cauche’go dla tego równania: y(x₀)=y₀; y₀=C*e^-P(x0) C=y₀* e^-P(x0)

W: Jeśli funkcja P(x) jest ciągła w przedziale (a, b) to wzór:” y = ce^-P(x), c є R przedstawia rozwiązanie ogólne zadanego równania. Zagadnienie Cauchy’ego dla zadanego równania ma dokładnie 1. rozwiązanie.

72. Rozwiązanie równania liniowego rzędu 1-go niejednorodnego. Metoda uzmienniania stałej
Metoda polega na tym, że we wzorze: y=Ce^-P(x), CєR, zastępujemy stałą C funkcją C(x) i tak dobieramy funkcję, aby y(x) = C(x)e^-P(x) była rozwiązaniem ogólnym równania dy/dx+p(x)y=f(x). Niech y(x)=C(x)e^-P(x) jest rozw. równania dy/dx+p(x)y=f(x). Liczymy pochodną: dy/dx=C’(x)e^-P(x)+ C(x)e^-P(x)(-P(x)). podstawiamy do wzoru dy/dx+p(x)y=f(x): C’(x)e^-P(x)+ C(x)e^-P(x)(-P(x))+p(x)[ C(x)e^-P(x)]=f(x)

f(x)= C’(x)e^-P(x); C’(x)=f(x) e^P(x); C(x)= ∫f(x)e^P(x)dx+C₁; y(x)=[ ∫f(x) e^P(x)dx+C₁] e^-P(x)=C₁ e^-P(x)+ e^-P(x) ∫f(x) e^P(x)dx

Wniosek: rozwiązanie ogólne równania dy/dx+p(x)y=f(x) jest sumą: rozwiązania ogólnego równania dy/dx+p(x)y = 0 i rozwiązania szczególnego równania dy/dx+p(x)y=f(x).

73. Rozwiązanie równania liniowego rzędu 1-go niejednorodnego. Metoda przewidywań

Rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego można zapisać, jako sumę rozwiązanie ogólnego równania jednorodnego oraz rozwiązania szczególnego. Równanie szczególnego możemy wyznaczyć metodą przewidywania, tzn. jeżeli p(x) = const a q(x) jest wielomianem, funkcją wykładniczą, sin, cos lub kombinacją wymienionych to istnieje rozwiązanie szczególne (RS) w tej samej postaci, ale z innymi współczynnikami, które wyliczamy po podstawieniu do równania.

np. 1) q(x) [a,b,c,k,w- stałe znane], 2) RS [A,B,C- stałe nieznane]: 1) ae^kx 2) Ae^kx lub 1) asin(wx)+bcos(wx) 2)Asin(wx)+Bcos(wx) lub 1) a, a+bx, a+bx +cx² 2) A,A+Bx, A+Bx+Cx²

74. Równanie liniowe rzędu 2-go o stałych współczynnikach jednorodne. Rozwiązanie za pomocą równania charakterystycznego.
y'' + py' + qy = 0, p,qєR- jest to równ. różniczkowe liniowe jednorodne II rzędu o stałych współczynnikach. Jego równaniem charakterystycznym jest równanie: r² + ar + b = 0 (*). Rozwiązanie równania różniczkowego jest w zależności od pierwiastków równania (*): dwa pierwiastki rzeczywiste (r₁, r₂) to rozwiązanie ogólne: C₁e^r1x + C₂e^r2x; jeden pierwiastek rzeczywisty (r₀) to RO: C₁e^r0x + C₂xe^r0x; pierwiastki zespolone (a+bi, a-bi) to RO: C₁e^axcosbx + C₂e^axsinbx

75. Równanie liniowe rzędu 2-go o stałych współczynnikach niejednorodne. Rozwiązanie metodą uzmiennienia stałych.
Równanie różniczkowe liniowe niejednorodne: y'' + ay' + b = f(x) można rozwiązać metodą uzmiennienia stałych, czyli stałe C₁ i C₂ zamienić na funkcje C₁(x), C₂(x) które będą spełniały układ równań: 1) C'₁(x)y₁(x) + C'₂(x)y₂(x) = 0; 2) C'₁(x)y'₁(x) + C'₂(x)y'₂(x) = f(x), z którego wyliczamy algebraicznie C'₁, C'₂, a następnie całkując C₁, C₂. UWAGA!! współczynnik przy y'' musi być 1. Jeśli nie jest dzielimy obustronnie przez niego równanie.

76. Równanie liniowe rzędu 2-go o stałych współczynnikach niejednorodne. Metoda przewidywań.

Metoda przewidywań polega na odgadnięciu rozwiązania szczególnego równania a następnie na zapisaniu rozwiązania ogólnego: a) jeśli f(x) jest wielomianem wtedy rozwiązanie przewidujemy w postaci wielomianu tego samego stopnia; b) jeśli funkcja ma postać to rozwiązanie szczególne przyjmuje postać gdzie R(x) jest wielomianem stopnia Q(x); c) jeśli f(x) ma postać sin(x) lub cos(x) wtedy rozwiązanie przewidujemy w postaci a sin(x) + b cos(x); d) suma rozwiązań szczególnych równania oraz będzie rozwiązaniem szczególnym równania

77. Równanie zupełne. Rozwiązanie

Niech będą dane funkcje P(x,y) i Q(x,y) klasy C₁ w pewnym obszarze normalnym D, i niech Q(x,y) będzie różne od zera w tym obszarze D. dy/dx = -P(x,y)/Q(x,y), P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 (*). Mówimy, że równanie (*) jest równaniem różniczkowym zupełnym, gdy istnieje taka funkcja u(x,y) klasy C₂ w obszarze D, której różniczka zupełna równa się lewej stronie tego równania. u'_xdx + u'_ydy = P(x,y)dx + Q(x,y)dy, czyli u'_x = P(x,y) i u'_y = Q(x,y)

Rozwiązanie: du = 0, czyli u(x,y) = C – jest to rozw. ogólne równania (*) zapisane w postaci uwikłanej