1. CEL ĆWICZENIA

Celem ćwiczenia jest doświadczalna weryfikacja teoretycznego sposobu wyznaczania środka ścinania. Oprócz tego sprawdzenie położenia środka ścinania w stosunku do położenia środka ciężkości w przekrojach niesymetrycznych [1].

1. WSTĘP TEORETYCZNY

   1. Środek ścinania

Biorąc pod uwagę pręt obciążony siłą poprzeczną T działanie tej siły zostaje w tym przypadku zrównoważone w przekroju poprzecznym układem elementarnych sił stycznych τdA.
W związku z tym, że na konturze przekroju naprężenia styczne, które tam występują mają kierunek styczny do tego konturu można wywnioskować, że w przekroju występują składowe naprężeń stycznych τ_xy i τ_xz.

Rys.1. Pręt obciążony siłą poprzeczną i rozkład naprężeń stycznych

Opierając się na twierdzeniu mówiącym o równowartości odpowiadających sobie naprężeń stycznych w przekrojach podłużnych pręta pojawiają się naprężenia τ_yx i τ_zx:

τ_yx = τ_xy oraz τ_zx = τ_xz (1)

W związku z tym w przekroju poprzecznym pręta możemy zaobserwować pojawienie się sił wewnętrznych τ_xydA, τ_xzdA oraz siły poprzecznej T, które bezwzględnie muszą spełniać ogólne warunki równowagi brzmiące następująco:

Σ P_iy=0 ∫_Aτ_xy dA = T (2)

Σ P_iz=0 ∫_Aτ_xz dA = 0

Σ M_io=0 ∫_A(τ_xyz − τ_xz y)  dA = T

Jeżeli do czynienia mamy z przekrojem poprzecznym, który posiada osie symetrii, oraz siła poprzeczna przechodzi przez punkt, w którym te linie się krzyżują, wówczas powyższe warunki zostają spełnione. Jeżeli mamy do czynienia z przekrojem niesymetrycznym to równanie równowagi momentów nie zostaje spełnione. Skutkiem takiego stanu będzie wzajemne przemieszczenie się przekrojów poprzecznych względem siebie, a także ich obrót w swej płaszczyźnie. Dlatego właśnie poza ścięciem wystąpi również zjawisko skręcenia pręta, które wywołane będzie momentem skręcającym, którego wartość można wyliczyć ze wzoru:

M_s =   − ∫_A(τ_xyz − τ_xz y) dA (3)

Siły T oraz M_s możemy zredukować do siły wewnętrznej P_w= T, jednak siła ta jest przesunięta względem środka przekroju o wartość k₁ obliczaną ze wzoru

$k_{1} = \ \frac{- \int_{A}^{}{(\tau}_{\text{xy}}z - \tau_{\text{xz}}\ y)\ dA}{T}$. (4)

Analogicznie może zostać wyznaczona przez nas duga wielkość ( k₂), która odpowiada przesunięciu siły poprzecznej w przypadku, kiedy działa ona wzdłuż drugiej osi przekroju pręta.

Definicja środka ścinania brzmi następująco:

Środkiem ścinania nazywamy taki punkt o współrzędnych k₁ i k₂, leżący w płaszczyźnie przekroju poprzecznego, przez który przechodząca siła poprzeczna wywołuje w pręcie jedynie ścinanie bez skręcania.

Warto zauważyć, że w przypadku, kiedy kierunek siły poprzecznej przechodzi przez środek ścinania, wówczas w przekrojach pręta można zaobserwować tylko ścinanie. Skręcanie w takiej sytuacji nie występuje. Dodatkowo jeżeli mamy do czynienia z przekrojem symetrycznym, wówczas zawsze środek ścinania leży na osi symetrii tego przekroju.

Współrzędne środka ścinania w pręcie o przekroju ceowym ( w ceowniku).

Rys. 2. Ceownik obciążony siłą poprzeczną

Siła P zostaje zredukowana do siły poprzecznej T i momentu gnącego M_g (zostało to przedstawione na rysunku numer 3) w przekroju poprzecznym odległym o x (0≤x≤l) od utwierdzenia.

Rys. 3. Siły wewnętrzne w przekroju ceownika odległym od końca.

Przy założeniu, że naprężenia styczne są stałe na grubości ścianki możemy wyznaczyć ich wartość przy pomocy wzoru Żurawskiego. W przypadku naprężeń stycznych w pułkach stosujemy wzór:

$\tau_{\text{xy}} = \frac{TS_{y}(y_{1})}{gI_{y}}$ (5)

Natomiast jeśli mamy do czynienia ze środnikiem konieczne jest wykorzystanie wzoru:

$\tau_{\text{xz}} = \frac{TS_{y}(z_{1})}{bI_{y}}$ (6)

gdzie:

S_y(y₁)- moment statyczny względem osi obojętnej y odciętej części przekroju półek przez oś y₁; S_y(z₁)- moment statyczny względem osi obojętnej y odciętej części przekroju środnika przez oś z₁;

b- grubość środnika;

g- grubość półki;

I_y- moment bezwładności przekroju względem osi y.

Rys. 4. Określanie momentów statycznych.

Po odpowiednich przekształceniach przeprowadzonych we wzorach na naprężenia styczne uzyskujemy następujące zależności:

$\tau_{\text{xy}} = \frac{T}{2I_{y}}h_{0}m$ (7)

$\tau_{\text{xz}} = \frac{T}{8bI_{y}}\lbrack b\left( h^{2} - {4z}^{2} \right) + B\left( H^{2} - h^{2} \right)\rbrack$ (8)

Wykresy dla tych naprężeń przedstawia rysunek poniżej:

Rys. 5. (a) wykresy naprężeń stycznych oraz (b) wynik redukcji sił w przekroju.

Wynikiem redukcji jest otrzymanie w przekroju sił T_y i T_z

Ostatecznie współrzędna k, która wyznacza położenie środka ścinania w przekroju ceowym względem osi środnika może być wyliczona ze wzoru:

$k = \frac{gh_{0}^{2}}{4I_{y}}{(B - b)}^{2}$ (9)

1. RYSUNEK I OPIS STANOWISKA POMIAROWEGO

Rys. 6. Schemat stanowiska do wyznaczania środka ścinania

1. Ramka
2. Belka jednostronnie utwierdzona
3. Czujnik zegarowy
4. Szalka
5. Listwa kontrolna

1. CZĘŚĆ OBLICZENIOWA

Tabela 1. Wymiary geometryczne

Wymiary geometryczne pręta	[mm]
Długość pręta (l)	417
Wysokość przekroju (H)	42,9
Szerokość półki (B)	20,8
Szerokość środnika (b)	2,7
Wysokość półki (g)	3

Tabela 2. Pomiary

Siła [kG]	P1+P2	P3	0,5	P4	0,75	P5	1
Siła [N]	14,3	5	5	P4	7,5	P5	10
Położenie szalki względem osi środnika przy braku skręcania k [mm]	23	15	12	10

Przyjmując 1N = 0.1 kG [4]

Tabela 3. Wartości analityczne

Wielkości wyliczone
Współrzędna ys środka ciężkości [mm]	14,42
Współrzędna zs środka ciężkości [mm]	0
Moment bezwładności Iy [mm^4]	61069, 08
Wskaźnik wytrzymałości Wy [mm^3]	2847, 04

OBLICZENIA:

1. Współrzędne środka ciężkości przekroju:

• współrzędna zs

$z_{s} = \frac{S_{y}}{A}$ (10)

gdzie:

A- pole przekroju

S_y– moment statyczny względem osi y

Oś y pokrywa się z osią symetrii, więc moment statyczny względem niej jest równy 0.

z_s = 0 [mm]

• współrzędna y _s wyznaczana przez oś pomocniczą z ₁, styczną na krawędzi H przekroju

$y_{s} = \frac{S_{z_{1}}}{A}$ (11)

gdzie:

S_z1– moment statyczny względem osi z ₁

$y_{s} = \frac{\left( 42,9 \times 20,8 \right) \times 10,4 - (36,9 \times \left( 20,8 - 2,7 \right)) \times 9,05}{\left( 42,9 \times 20,8 \right) - (36,9 \times \left( 20,8 - 2,7 \right))} \approx 14,42\ \lbrack mm\rbrack$ (12)

1. Moment bezwładności Iy

$$I_{y} = \frac{H^{3} \times B}{12} - \frac{h^{3} \times (B - b)}{12}$$

$$I_{y} = \frac{{42,9}^{3} \times 20,8}{12} - \frac{{36,9}^{3} \times (20,8 - 2,7)}{12} = 61069,08\ \lbrack\text{mm}^{4}\rbrack$$

1. Wskaźnik wytrzymałości Wy

$W_{\mathbf{y}}\mathbf{=}\frac{I_{y}}{e}$ (13)

gdzie:

$e = \frac{H}{2}$- maksymalna odległość punktu przekroju od osi y

$$e = \frac{H}{2} = 21,45\ \lbrack mm\rbrack$$

$$W_{\mathbf{y}}\mathbf{=}\frac{61069,08\ }{21,45} = 2847,04\ \lbrack\text{mm}^{3}\rbrack$$

1. Współrzędna k położenia środka ścinania

$k = \frac{g \times h_{0}^{2} \times {(B - b)}^{2}}{4 \times I_{y}}$ (14)

gdzie:

$h_{0} = \frac{1}{2} \times (H + h)$ (15)

$$h_{0} = \frac{1}{2} \times \left( 42,9 + 36,9 \right) = 39,9\ \left\lbrack \text{mm} \right\rbrack$$

$$k = \frac{3 \times {39,9}^{2} \times {(20,8 - 2,7)}^{2}}{4 \times \ 2847,04} \approx 137,39\ \lbrack mm\rbrack$$

Środek ścinania leży oddalony o 137,39 mm od osi środnika.

1. Wyznaczanie dopuszczalnej siły obciążającej P_dop

σ_dop = 60 MPa

$\frac{M}{W_{y}} \leq \sigma_{\text{dop}}$ (16)

M = P _dop · l (17)

$$W_{\mathbf{y}}\mathbf{=}\frac{61069,08\ }{21,45} = 2847,04\ \lbrack\text{mm}^{3}\rbrack$$

$$\frac{416 \times \ P_{\text{dop}}}{2847,04\ \text{mm}^{3}}\mathbf{\leq}60\ MPa$$

P_dop ≤ 410, 63 N

Dopuszczalna wartość jaką można przyłożyć do pręta wynosi około 438 N.

Wyznaczenie środka ścinania z wszystkich pomiarów:

P_r1 × x = (P_r2 + P_i)(k^′ − x)

$$\frac{P_{r1}}{P_{r2} + P_{i}} = \frac{k^{'} - x}{x}$$

$$\frac{P_{r1}}{P_{r2} + P_{i}} + 1 = \frac{k^{'}}{x}$$

$$x = \frac{k^{'}}{\frac{P_{r1}}{P_{r2} + P_{i}} + 1}$$

gdzie:
P_r1 - siła nacisku ramki
P_r2 - siła nacisku szalki
P_i – wartości sił nacisku kolejnych ciężarków
k’- przesunięcie środka ścinania podczas prób pomiaru
x - rzeczywista współrzędna y środka ścinania.

1. Wyznaczanie środka ścinania

P_r1 =9,7 N

P_r2 =4,6 N

1. Dla pierwszego pomiaru:

P=0

k'= 23 mm

$$x = \frac{23}{\frac{9,7N}{4,6N + 0} + 1}$$

x = 7, 40 mm

1. Dla drugiego pomiaru:

P=5N

k'= 15 mm

$$x = \frac{15}{\frac{9,7N}{4,6N + 5\ N} + 1}$$

x = 7, 46 mm

1. Dla trzeciego pomiaru:

P=7,5 N

k'= 13 mm

$$x = \frac{13}{\frac{9,7N}{4,6N + 7,5\ N} + 1}$$

x = 7, 22 mm

1. Dla czwartego pomiaru:

P=10

k'= 12 mm

$$x = \frac{12}{\frac{9,7N}{4,6N + 10\ N} + 1}$$

x = 7, 21 mm

1. Uśrednione wyniki:

$$x_{sr} = \frac{7,40\ mm + 7,46\ mm + 7,22\ mm + 7,21\ mm\ }{4} = 7,3225mm\ $$