I. Definicje

(1) przestrzeń liniowa

Przestrzeń liniowa (rzeczywista) (V, +, ⋅), + : V × V → V, ⋅ : ℝ × V → V, takie że (V, +) jest grupą, działanie ⋅ jest rozdzielne względem dodawania wektorów i dodawania skalarów, ⋅ ma właściwości mieszanej łączności

a ⋅ (b⋅v) = (a⋅b) ⋅ v

oraz

1 ⋅ v = v

dla a, b ∈ ℝⁿ, v ∈ V

(2) podprzestrzeń liniowa

Podzbiór U ⊂ V zawierający wraz z każdym układem wektorów jego dowolną kombinację liniową.

(3) podprzestrzeń afiniczna

Podzbiór H ≠ ⌀ ⊂ E zawierający wraz z każdym układem punktów wszystkie jego środki ciężkości.

(4) baza przestrzeni liniowej

Baza przestrzeni liniowej V (skończenie wymiarowej) to układ wektorów v₁, …, v_n, taki że

• V = lin(v₁, …,  v_n)

• Układ v₁, …, v_n jest liniowo niezależny

(5) środek ciężkości

Układ punktów p₀, …, p_m ∈ E o wagach a₀, …, a_m∈ℝ, gdzie a₀ + … + a_m = 1 to punkt

p = a₀p₀ + … + a_mp_m

Nazywamy środkiem ciężkości, gdzie $\overrightarrow{\text{qp}} = a_{0}\overrightarrow{qp_{0}} + \ldots + a_{m}\overrightarrow{qp_{m}}$ dla q ∈ E.

af(p₀, …, p_m) - zbiór wszystkich środków ciężkości punktów p₀, …, p_m.

(6) mnożenie macierzowe

Mamy dwie macierze: A ∈ M_m × n i B ∈ M_n × p, gdzie A = [a_ij] i B = [b_jk]. Macierz C = A ⋅ B = [c_ik] ∈ M_m × p nazywamy iloczynem macierzy A i B, gdzie

$$c_{\text{ik}} = \sum_{j = 1}^{n}a_{\text{ij}} \cdot b_{\text{jk}}$$

(7) wyznacznik

Wyznacznik macierzy kwadratowej A ∈ M_n × n:

• Dla n = 1: detA = [a₁₁]

• Dla n ≥ 2: $\det A = \sum_{j = 1}^{n}{\left( - 1 \right)^{1 + j} \cdot a_{1j} \cdot \det A_{1j}}$

Gdzie A_1j- macierz powstała z macierzy A poprzez skreślenie pierwszego wiersza oraz j-tej kolumny.

(8) standardowy iloczyn skalarny

W ℝⁿ: <(x₁,…,x_n), (y₁,…,y_n) >   = x₁y₁ + x₂y₂ + … + x_ny_n

Wynikiem iloczynu skalarnego jest skalar.

(9) norma i odległość w przestrzeni euklidesowej

Długością (normą) wektora v ∈ V nazywamy liczbę $\left| v \right| = \sqrt{< v,v >}$. Standardowa norma w ℝⁿ: $\left| v \right| = \sqrt{v_{1}^{2} + \ldots + v_{n}^{2}}$, gdzie v = (v₁,…,v_n). Własności normy: a∈ℝ, u, v ∈ V

• |v| = 0 ↔ v = Θ

• |av| = |a| ⋅ |v|

• |u+v| ≤ |u| + |v|

(10) kat pomiędzy wektorami

Kąt nieskierowany pomiędzy wektorami u, v ∈ V{Θ}

$$\sphericalangle\left( u,v \right) = \arccos\frac{< u,v >}{\left| u \right| \cdot |v|} \Leftrightarrow \cos{\sphericalangle\left( u,v \right)} = \frac{< u,v >}{\left| u \right| \cdot |v|}$$

(11) iloczyn wektorowy

Standardowym iloczynem wektorowym w R³ nazywamy funkcję przypisującą wektorom u = (u₁, u₂,u₃) i v = (v₁,v₂,v₃) wektor:

$$u \times v = \left( \left| \begin{matrix} u_{2} & u_{3} \\ v_{2} & v_{3} \\ \end{matrix} \right|, - \left| \begin{matrix} u_{1} & u_{3} \\ v_{1} & v_{3} \\ \end{matrix} \right|,\left| \begin{matrix} u_{1} & u_{2} \\ v_{1} & v_{2} \\ \end{matrix} \right| \right)$$

(12) sinus/cosinus hiperboliczny

$\cosh x = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$.

$\sinh x = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$.

$\tanh x = \frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}}$.

$\coth x = \frac{e^{x} + e^{- x}}{e^{x} - e^{- x}}$.

(13) symetralna, dwusieczna, wysokość, środkowa w trójkącie

Symetralna boku – prosta prostopadła do boku i przechodząca przez jego środek. Jest zbiorem punktów płaszczyzny równo odległych od końców boków.

Dwusieczna kąta – półprosta zawarta w kącie i jego osi symetrii, o początku w wierzchołku. Jest zbiorem punktów równo oddalonych od ramion.

Środkowa – odcinek łączący wierzchołek ze środkiem przeciwnego boku

Wysokość – odcinek łączący wierzchołek z jego rzutem prostopadłym na prostą zawierającą przeciwny bok.

(14) okrąg opisany na wielokącie i wpisany w wielokąt

Okrąg opisany na wielokącie – okrąg zawierający wszystkie wierzchołki wielokąta i sam wielokąt.

Okrąg wpisany w wielokąt – okrąg zawarty w wielokącie i styczny do wszystkich prostych zawierających boki.

(15) graniastosłup, ostrosłup

Niech ℙ będzie wielokątem wypukłym i niech punkt p nie należy do płaszczyzny wielokąta ℙ. Ostrosłupem o podstawie ℙ i wierzchołku p nazywamy zbiór conv(ℙ, p) (otoczkę wypukłą).

$V = \frac{1}{3}P\left( \mathbb{P} \right) \cdot d\left( p,H \right)$, gdzie H⊃ℙ.

Niech ℙ będzie wielokątem wypukłym i niech wektor v nie będzie równoległy do płaszczyzny. Graniastosłupem o podstawach ℙ i ℙ + v nazywamy zbiór:

$$\mathbb{Q}\left( \mathbb{P},v \right) = \bigcup_{0 \leq \alpha \leq 1}^{}{\mathbb{P} + \text{αv}}$$

V = P(ℙ) ⋅ d(q+v,H), gdzie H⊃ℙ i q∈ℙ.

(16) walec, stożek

Stożek – efekt obrotu trójkąta prostokątnego dookoła dowolnej przyprostokątnej.

P = πr(r+l), $V = \frac{1}{3}\pi r^{2}h$, gdzie $l = \sqrt{r^{2} + h^{2}}$

Walec – efekt obrotu prostokąta dookoła dowolnego boku.

P = 2πr(r+h), V = πr²h

(17) dodawanie i mnożenie liczb zespolonych

Działania na zbiorze liczb zespolonych:

(x,y) + (x^′,y^′) = (x+x^′,y+y^′)

(x,y) ⋅ (x^′,y^′) = (xx^′−yy^′,xy^′+yx′)

(18) moduł i argument liczby zespolonej

Moduł liczby zespolonej z = (x + yi)

$$\left| z \right| = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$$

Argument liczby zespolonej z = x + yi ≠ 0 to liczba φ∈ℝ taka że:

$$z = \left| z \right|\left( \frac{x}{|z|} + \frac{y}{|z|}i \right) = \left| z \right|\left( \cos\varphi + i\sin\varphi \right) = \left| z \right| \cdot e^{\text{iφ}}$$

$$\left\{ \begin{matrix} \cos\varphi = \frac{x}{|z|} \\ \sin\varphi = \frac{y}{|z|} \\ \end{matrix} \right.\ $$

(19) mnożenie kwaternionów

i² = j² = k² = −1 = ijk

i → j → k → i

⋅	1	i	j	k
1	1	i	j	k
i	i	-1	k	-j
j	j	-k	-1	i
k	k	j	-i	-1

Jeżeli mnożymy zgodnie ze strzałką to jest znak + a wynikiem jest trzecia litera, jeżeli przeciwnie to znakiem jest – a wynikiem jest trzecia litera ale z minusem.

(20) przestrzeń rzutowa

Przestrzeń rzutowa to zbiór punktów ℝⁿ i kierunków prostych stworzonych z tych punktów.

(21) współrzędne jednorodne

(22) izometria

Każda izometria przestrzeni ℝⁿ jest złożeniem co najwyżej n + 1 symetrii względem hiperpłaszczyzn (czyli przekształceniem afinicznym o wymiarze n + 1)

Każde przekształcenie afiniczne:

-przekształca podprzestrzeń afiniczną na podprzestrzeń afiniczną

-zachowuje środki ciężkości

-zachowuje podział odcinka

Każde podobieństwo dodatkowo:

-zachowuje kąty w szczególności zachowuje prostopadłość

-mnoży k-wymiarową objętość przez s^k, gdzie s jest skalą podobieństwa (w szczególności mnoży pole przez s² i objętość 3-wymiarową przez s³

-posiadanie przekształcenie odwrotne, które jest podobieństwem o skali $\frac{1}{s}$.

Każda izometria dodatkowo:

-zachowuje długość

-zachowuje objętość

-ma przekształcenie odwrotne, które jest izometrią.

(23) macierz przekształcenia liniowego

Mamy przekształcenie liniowe φ : V → W. ℬ = (v₁,…,v_n) jest bazą przestrzeni liniowej V, 𝒞 = (w₁,…,w_n) - baza przestrzeni liniowej W.

$$W \ni \varphi\left( v_{j} \right) = \sum_{i = 1}^{m}a_{\text{ij}}w_{i}$$

$$A = \left\lbrack a_{\text{ij}} \right\rbrack_{\begin{matrix} 1 \leq i \leq m \\ 1 \leq j \leq n \\ \end{matrix}}$$

A = M_𝒞ℬ(φ) - macierz przekształcenia liniowego φ w bazach ℬ i 𝒞.

(24) współrzędne biegunowe

Punktowi (x, y) przyporządkowujemy parę liczb r, φ, tak że $r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$, a φ jest kątem skierowanym, który tworzy wektor (x,y) z dodatnią półosią OX. r > 0, φ ∈ [0, 2π).

(25) współrzędne sferyczne w ℝ³.

Równikiem nazywamy przekrój sfery otwartą półpłaszczyzną xOy. Południkiem zerowym nazywamy przekrój sfery otwartą półpłaszczyzną xOz. Punkt w takim układzie ma następujące parametry: r – odległość punktu (x, y, z) od punktu O. α ∈ ( − π, π) - długość geograficzna, kąt skierowany, który tworzy wektor [x,y,0] z wektorem e₁. $\beta \in \left( - \frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right)$ - kąt skierowany, który tworzy wektor [x, y, z] z płaszczyzną xOy, czyli równikiem.

(26) rzut stereograficzny z bieguna północnego. Jest to rzutowanie punktu sfery na płaszczyznę z zachowaniem kątów.

(27) rzut Mercatora

(28) symetria

$$S_{H}\left( X \right) = X + 2 \cdot \overrightarrow{X,\text{pro}j_{H}\left( H \right)}$$

(29) równanie ogólne i kierunkowe prostej

Równaniem ogólnym prostej nazywamy równanie Ax + By + C = 0, gdzie A² + B² > 0

Równaniem kierunkowym prostej nazywamy równanie postaci y = mx + n, gdzie $m = - \frac{A}{B}$ i $n = - \frac{C}{B}$.

(30) wektor normalny do prostej/płaszczyzny

Wektorem normalnym do prostej l nazywamy wektor, który jest prostopadły do l (prostopadły do wektora kierunkowego). Wszystkie wektory normalne prostej l ⊂ ℝ² są równoległe do pewnego wektora N ≠ Θ.

(31) mimośród stożkowej

Mimośród elipsy (odpowiednio hiperboli, paraboli) jest równy stosunkowi odległości dowolnego jej punktu od najbliższego ogniska do odległości tego punktu od najbliższej kierownicy.

(32) kierownica stożkowej

To linia, której odległość od dowolnego punktu stożkowej pozostaje w stałym stosunku do odległości tego punktu od ogniska.

II. Twierdzenia i własności

(1) wzór na macierz odwrotna

Jeżeli A = [a_ij]_n × n i detA ≠ 0, to

$A^{- 1} = \left( \left\lbrack \frac{\left( - 1 \right)^{i + j} \cdot \det A_{\text{ij}}}{\det A} \right\rbrack_{1 \leq i,j \leq n} \right)^{T}$,

Gdzie macierz A_ij ∈ M_{n − 1 × n − 1} powstaje z A poprzez skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny.

(2) własności wyznacznika

Dla A, B ∈ M_n × n, k, l = {1,…,n}, k ≠ l, a ≠ 0, b∈ℝ.

• det(S_kl(A)) = −detA

• det(r_k^a(A)) = adetA

• det(p_kl^b(A)) = detA

• detA^T = detA

• det(A⋅B) = detA ⋅ detB

• $\det{\left( A^{- 1} \right) = \frac{1}{\det A}}$, o ile detA ≠ 0, ponieważ $A \cdot A^{- 1} = I = \begin{bmatrix} 1 & \ldots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \ldots & 1 \\ \end{bmatrix}$.

Gdzie S_kl-zmiana k-tego wiersza z l-tym, k ≠ l, r_k^a - pomnożenie k-tego wiersza przez a ≠ 0∈ℝ, p_kl^b – dodanie do wiersza k-tego, wiersza l-tego pomnożonego przez b.

(3) twierdzenie Camera

Jeżeli układ równań liniowych AX = B, gdzie A jest macierzą kwadratową stopnia n oraz detA ≠ 0 to układ ma dokładnie jedno rozwiązanie:

$x_{j} = \frac{\det A_{j}}{\det A}$, j = {1,…,n}, gdzie A_j to macierz powstała z macierzy A poprzez zastąpienie j-tej kolumny kolumną B.

(4) twierdzenie Kroneckera–Capellego

Niech AX = B, gdzie A ∈ M_m × n, będzie układem równań liniowych. Wówczas:

• Układ nie jest sprzeczny ⇔rz A = rz [A⋮B]

• Układ gdy nie jest sprzeczny, to jego rozwiązanie zależy od (n−rz A) parametrów.

(5) nierówność Schwarza

Dla wektorów u, v ∈ Vzachodzi właściwość |<u,v>| ≤ |u| ⋅ |v|. Ponadto jeśli |<u,v>| = |u| ⋅ |v| ⇔ u, v są liniowo zależne

(6) twierdzenie cosinusów i twierdzenie Pitagorasa

Twierdzenie cosinusów: c² = a² + b² − 2ab ⋅ cosγ. Z tego wynika twierdzenie pitagorasa: Jeśli $\gamma = \frac{\pi}{2}$, a więc $\cos{\frac{\pi}{2} = 0} \Leftrightarrow c^{2} = a^{2} + b^{2}$.

(7) własności iloczynu wektorowego

Dla u, v, w ∈ ℝ³, a, b ∈ R

• u × v = −v × u

• (au+bv) × w = au × w + bv × w

• u × v = Θ ⇔ u, v są liniowo zależne

• u × v⊥lin(u,v) - jest prostopadły do u i do v

• |u×v| = |u| ⋅ |v| ⋅ sin∢(u,v)

• det(u,v,u×v) > 0 dla wektorów u, v liniowo niezależnych.

(8) objętość sympleksu i równoległościanu

Objętością k-wymiarowego sympleksu Δ(p₀,…,p_k) nazywamy liczbę

$\text{Vo}l_{k}\left( \Delta\left( p_{0},\ldots,p_{k} \right) \right) = \frac{1}{k!}\sqrt{\det\begin{bmatrix} \langle v_{1},v_{1}\rangle & \cdots & \langle v_{1},v_{k}\rangle \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \langle v_{k},v_{1}\rangle & \cdots & \langle v_{k},v_{k}\rangle \\ \end{bmatrix}}$, gdzie $v_{i} = \overrightarrow{p_{0}p_{i}}$, oraz i = 1, 2…k

Objętość k-wymiarowego równoległościanu

$$\text{Vo}l_{k}\left( \mathbb{Q}\left( \Delta\left( p_{0},\ldots,p_{k - 1} \right),v \right) \right) = \frac{1}{\left( k - 1 \right)!}\sqrt{\det\begin{bmatrix} \langle v_{1},v_{1}\rangle & \cdots & \langle v_{1},v_{k}\rangle \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \langle v_{k},v_{1}\rangle & \cdots & \langle v_{k},v_{k}\rangle \\ \end{bmatrix}}$$

(9) sinus/cosinus sumy różnicy katów

sin(α+β) = sinαcosβ + cosαsinβ

sin(α−β) = sinαcosβ − cosαsinβ

cos(α+β) = cosα ⋅ cosβ − sinα ⋅ sinβ

cos(α−β) = cosα ⋅ cosβ + sinα ⋅ sinβ

(10) suma/różnica sinusów cosinusów

$$\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}$$

$$\sin\alpha - \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha - \beta}{2}\cos\frac{\alpha + \beta}{2}$$

$$\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}$$

$$\cos\alpha - \cos\beta = - 2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\sin\frac{\alpha - \beta}{2}$$

(11) punkt przecięcia symetralnych, dwusiecznych, środkowych w trójkącie

Symetralne przecinają się w środku okręgu opisanego

Dwusieczne kątów przecinają się w środku okręgu wpisanego

Środkowe przecinają się w środku ciężkości

(12) wzory na pole trójkąta: Herona, używający promienia okręgu wpisanego/opisanego

Wzór Herona: $S = \sqrt{p\left( p - a \right)\left( p - b \right)\left( p - c \right)}$

S = rp, gdzie r- promień okręgu wpisanego

$S = \frac{\text{abc}}{4R}$, gdzie R- promień okręgu opisanego

(13) cechy przystawania/podobieństwa trójkątów

Rozważmy trójkąty ABC i ΔA′B′C′. Cechy przystawania trójkątów:

SSS: a = a′, b = b′, c = c′

SAS: a = a′, b = b′, γ = γ′

ASA: a = a′, β = β′, γ = γ′

(14) kąt wewnętrzny, pole i obwód wielokąta foremnego

Pole: $P = n \cdot \frac{1}{2}\text{ar}$

Kąt wewnętrzny: $\alpha = \frac{n + 2}{n}\Pi$

Obwód: l = na

(15) warunki wpisania/opisania czworokąta na okręgu

Na czworokącie można opisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy miar jego przeciwległych kątów są równe.

W czworokąt można wpisać okrąg, wtedy i tylko wtedy, gdy sumy jego przeciwległych boków są równe.

(16) wzory na objętość ostrosłupa, graniastosłupa

Ostrosłup: $V = \frac{1}{3}P\left( \mathbb{P} \right) \cdot d(p,H)$, gdzie ℙ to wielokąt wypukły i ℙ⊂H

Graniastosłup: V = P(ℙ) ⋅ d(q+v,H), q∈ℙ, ℙ⊂H

(17) wzory na objętość czworościanu i ośmiościanu foremnego oraz sześcianu

Czworościan: $V = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4} \cdot H = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{12}$

Sześcian:V = a³

Ośmiościan:$V = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{3}$

(18) wzory na objętość i pole kuli oraz torusa
Kula: P = 4πR², $V = \frac{4}{3}\pi R^{3}$

Torus: P = 2πr ⋅ 2πR = 4π²Rr, V = 2πR ⋅ πr² = 2π²Rr²

Gdzie R- obwód duży, r- obwód mały.

(19) macierz translacji, symetrii

T_v, gdzie v = (a,b) ∈ ℝ² lub v = (a,b,c) ∈ ℝ³ wtedy macierz translacji we współrzędnych jednorodnych ma postać

W ℝ²: $\ \begin{bmatrix} 1 & 0 & a \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$, w ℝ³: $\begin{bmatrix} \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 0 & a \\ 0 & b \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 1 & c \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix}$.

Symetrie osiowe w przestrzeni ℝ²: $S_{\text{OX}} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$, $S_{\text{OY}} = \begin{bmatrix} - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$.

Symetrie płaszczyznowe w ℝ³: $S_{\text{xOy}} = \begin{bmatrix} \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix}$, $S_{\text{xOz}} = \begin{bmatrix} \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix}$, $S_{\text{yOz}} = \begin{bmatrix} \begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix}$

Symetrie osiowe w ℝ³: $S_{\text{OX}} = \begin{bmatrix} \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix}$, $S_{\text{OY}} = \begin{bmatrix} \begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix}$, $S_{\text{OZ}} = \begin{bmatrix} \begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & - 1 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix}$

(20) wzajemne przeliczenie współrzędnych kartezjańskich i biegunowych

Kartezjańskie na biegunowe:

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$, $\cos{\varphi = \frac{x}{r}} = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ lub $\sin\varphi = \frac{y}{r} = \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$

Biegunowe na kartezjańskie:

x = rcosφ, y = rsinφ

(21) macierze obrotów wokół osi w ℝ²

r^α((x,y)) = (xcosα−ysinα,xsinα+ycosα)

r^α(e₁) = (cosα,sinα) na wektorze [1,0]

r^α(e₂) = ( − sinα, cosα) na wektorze [0,1]

Macierz przekształcenia: $\begin{bmatrix} \cos\alpha & - \sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha \\ \end{bmatrix}$

(22) macierze rzutów na osie i płaszczyzny układu współrzędnych

Rzuty prostopadłe na osie w ℝ²: $P_{\text{OX}} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$, $P_{\text{OY}} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$

Rzuty prostopadłe na płaszczyzny układu w ℝ³: $P_{\text{xOy}} = \begin{bmatrix} \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix}$, $P_{\text{xOz}} = \begin{bmatrix} \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix}$, $P_{\text{yOz}} = \begin{bmatrix} \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix}$. Rzuty na osie w ℝ³robi się tak samo jak rzuty na płaszczyznę tylko z zerowaniem dwóch współrzędnych.

Rzut na dowolną prostą w ℝ³. Mamy dwa przypadki:

• x = c dla prostych pionowych

• y = mx + n dla pozostałych

(23) niezmienniki izometrii

Patrz definicja 22.

(24) własności symetrii

-symetria S_H jest inwolucją, czyli złożona sama ze sobą daje tożsamość (dwukrotna symetria daje ten sam punkt)

-S_H jest izometrią (zachowuje wszystkie odległości)

-S_H(X) = X ⇔ X ∈ H

(25) równanie ogólne a równanie parametryczne prostej

Równaniem parametrycznym prostej p + lin(v) nazywamy układ równań:

$\left\{ \begin{matrix} x = p_{1} + tv_{1} \\ y = p_{2} + tv_{2} \\ \end{matrix} \right.\ $, gdzie t∈ℝ

Równaniem ogólnym prostej nazywamy równanie Ax + By + C = 0, gdzie A² + B² > 0

Równanie ogólne parametryczne

$\left\{ \begin{matrix} x = - tB \\ y = - \frac{C}{B} + tA \\ \end{matrix} \right.\ $, przy założeniu, że B ≠ 0

$\left\{ \begin{matrix} x = - \frac{C}{B} - tB \\ y = tA \\ \end{matrix} \right.\ $, przy założeniu, że A ≠ 0

Równanie parametryczne ogólne

$\left\{ \begin{matrix} x = p_{1} + tv_{1} \\ y = p_{2} + tv_{2} \\ \end{matrix} \right.\ $. Przy założeniu że $v_{1} \neq 0 \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} t = \frac{x - p_{1}}{v_{1}} \\ y = p_{2} + \frac{x - p_{1}}{v_{1}} \cdot v_{2} \\ \end{matrix} \Rightarrow \underset{A}{} \right.\ x - \underset{B}{}y + \underset{C}{} = 0$. Zakładając że v₂ ≠ 0 też dochodzimy do tego samego wniosku

(26) odległość punktu od płaszczyzny

Wyraża się wzorem: $d\left( P,\Pi \right) = \frac{\left| Ax + By + Cz + D \right|}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}$ dla płaszczyzny Π : Ax + By + Cz + D = 0 i punktu P = (x,y,z).

(27) odległość płaszczyzn równoległych

l₁ : A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 i l₂ : A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0.

$d\left( l_{1},l_{2} \right) = \frac{\left| D_{1} - D_{2} \right|}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}$(muszą być równoległe wektory normalne dlatego tylko odejmujemy wyrazy wolne)

(28) kat przecięcia prostych

To kąt pomiędzy wektorami kierunkowymi tych prostych lub kąt pomiędzy ich wektorami normalnymi.

(29) odległość dwóch prostych w ℝ³

Odległość nierównoległych prostych L1 = p + lin (v) oraz L2  =  q  +  lin (w) wyraża sie wzorem:

$d\left( L_{1},L_{2} \right) = \frac{\left| < v \times w,\overrightarrow{\text{pq}} > \ \right|}{\left| \left| v \times w \right| \right|}$.

(30) wzajemne położenie okręgów

Niech 0 < r ≤ R. Rozważmy okręgi C(P,  r) oraz C(Q, R) w płaszczyźnie π. Niech d  =  |SQ|. Wówczas:

• jeżeli d  =  0  =  R  −  r, to okręgi pokrywają sie;

• jeżeli 0  <  d  <  R  −  r, to okręgi są rozłączne, zaś B(P, r) ⊂  B(Q, R);

• jeżeli d  =  R  −  r  >  0, to okręgi są styczne wewnętrznie, w szczególności maja dokładnie jeden punkt wspólny, zaś $\overset{\overline{}}{B}\left( P,\ r \right) \subset \ \overset{\overline{}}{B}(Q,R)$;

• jeżeli 0  <  R  −  r  <  d  <  R  +  r, to okręgi przecinają sie, w szczególności maja dokładnie dwa punkty wspólne, zaś zbiory B(P, r) ∖ B(Q,R) oraz B(Q,R)  ∖ B(P,r)są niepuste;

• jeżeli d  =  R  +  r, to okręgi są styczne zewnętrznie, w szczególności maja dokładnie jeden punkt wspólny będący jedynym punktem wspólnym ich kół domkniętych;

• jeżeli d  >  R  +  r, to okręgi są rozłączne, podobnie jak ich koła domknięte.

(31) klasyfikacja równań stopnia drugiego z dwiema niewiadomymi

Jeżeli P jest funkcją kwadratową w ℝ², to zbiór P⁻¹(0) jest jednym z poniższych tworów:

• ⌀

• Punktem

• Prostą

• Sumą mnogościową dwóch prostych równoległych

• Sumą mnogościową dwóch prostych przecinających się

• Elipsą

• Hiperbolą

• Parabolą

(32) własności ogniskowe hiperboli

III. Twierdzenia z dowodami

(1) sinus sumy

(2) I cecha przystawania trójkątów

(3) odległość punktu od prostej

(4) wzór na pierwiastki stopnia n z liczby zespolonej

Wśród liczb zespolonych nie ma liczb ujemnych, tak samo nie można powiedzieć, że i jest dodatnie lub ujemne. w∈ℂ jest pierwiastkiem stopnia n∈ℕ z liczby zespolonej, gdy wⁿ = z. Jeżeli z = |z|(cosφ+isinφ) to z posiada dokładnie n różnych pierwiastków stopnia n-tego.

$w_{k} = \sqrt[n]{\left| z \right|}\left( \cos{\frac{\varphi + 2k\Pi}{n} + i\sin\frac{\varphi + 2k\Pi}{n}} \right)$, gdzie k = {0,1,…,n−1}

Dowód:

Jeżeli w = |w|(cosφ + isinφ) jest pierwiastkiem stopnia n-tego z liczby z∈ℂ to wⁿ = z. Ze wzoru Moivre’a mamy: |w|ⁿ(cosnψ + isinnψ) = |z|(cosφ + isinφ). Stąd:

|w|ⁿ = |z|∧nψ = φ + 2kΠ

$$\left| w \right| = \sqrt[n]{|z|} \land \psi = \frac{\varphi + 2k\Pi}{n}$$

Dla k = {0,1,…,n−1}, bo t∈ℤ, l = k + tn

$$\frac{\varphi + 2l\Pi}{n} = \frac{\varphi + 2k\Pi}{n} + 2t\Pi$$

(5) klasyfikacja wielościanów foremnych

Z dokładnością do podobieństwa istnieje dokładnie pięć wielościanów foremnych:

-czworościan o ścianach będących trójkątami równobocznymi

-sześcian o ścianach będących kwadratami

-ośmiościan o ścianach będących trójkątami równobocznymi

-dwunastościan o ścianach będących pięciokątami foremnymi

-dwudziestościan o ścianach będących trójkątami równobocznymi

Dowód: Załóżmy że ścianami wielościanu foremnego są n-kąty foremne i w każdym wierzchołku stykają się dokładnie k takich n-kątów foremnych. Suma kątów płaskich przy danym wierzchołku wielościanu jest mniejsza od 2Π (warunek wypukłości wierzchołków). Zatem:

$$k \cdot \frac{n - 2}{n}\Pi < 2\Pi$$

$$1 - \frac{2}{n} < \frac{2}{k}$$

$$1 < \frac{2}{k} + \frac{2}{n}$$

Gdzie oczywiście k ≥ 3 oraz n ≥ 3. A więc mamy następujące przypadki: dla

$$k = 3,\frac{1}{3} < \frac{2}{n},n < 6 \Rightarrow n \in \left\{ 3,4,5 \right\}$$

$$k = 4,\frac{1}{2} < \frac{2}{n},\ n < 4 \Rightarrow n = 3$$

$$k = 5,\frac{3}{5} < \frac{2}{n},\ n < \frac{10}{3} \Rightarrow n = 3$$

Dla k = 6 wychodzi n > 3, co nie zgadza się z naszym założeniem. Załóżmy, że wielościan ma F ścian oraz $E = \frac{\text{Fn}}{2}$ (każda krawędź należy do dwóch n-kątów), a także $V = \frac{\text{Fn}}{k}$ (każdy wierzchołek należy do k ścian). Mamy więc następujące przypadki:

1. k = 3,  n = 3

2. k = 3,  n = 4

3. k = 3,  n = 5

4. k = 4,  n = 3

5. k = 5,  n = 3

Z równania 2 = F − E + V wynika:

Z przypadku I: $F - \frac{3}{2}F + F = 2 \Rightarrow \frac{1}{2}F = 2 \Rightarrow F = 4$ - czworościan foremny

Z przypadku II: $F - 2F + \frac{4}{3}F = 2 \Rightarrow \frac{1}{3}F = 2 \Rightarrow F = 6$ - sześcian

Z przypadku III: $F - \frac{5}{2}F + \frac{5}{3}F = 2 \Rightarrow \frac{1}{6}F = 2 \Rightarrow F = 12$ - dwunastościan foremny

Z przypadku IV: $F - \frac{3}{2}F + \frac{3}{4}F = 2 \Rightarrow F = 8$ – ośmiościan foremny

Z przypadku V: $F - \frac{3}{2}F + \frac{3}{5}F = 2 \Rightarrow \frac{1}{10}F = 2 \Rightarrow F = 20$ - dwudziestościan foremny

(6) własności ogniskowe elipsy

struct samochod {

char marka[20], model[30];

int rok;

};

struct tablica_aut[10];

// PLIKI BINARNE

void odczyt_bin(){

FILE* binarny=fopen("plik.bin”,”r”);

fread(tablica_aut, sizeof(struci samochod), 10, binarny);

fclose(binarny);

}

void zapis_bin(){

FILE* binarny=fopen("plik.bin”,”w”);

fwrite(tablica_aut, sizeof(struci samochod), 10, binarny);

fclose(binarny);

}

void odczyt_txt(){

FILE* tekstowy=fopen("plik.txt”,”r”);

char znak;

while((znak=getc(tekstowy))!=EOF)

{

print("%c”, znak);

}

fclose(tekstowy);

}

void zapis_txt(){

FILE* tekstowy=fopen("plik.txt”,”w”);

int i;

for(i=0;i<10;i++)

{

fprint(tekstowy, "Marka %s\n Model %s\n Rok %d\n\n”,&tablica_aut[i].marka, &tablica_aut[i].model, tablica_aut[i].rok);

}

fclose(tekstowy);

}

DYNAMICZNE STRUKTURY DANYCH

struct element{

int liczba;

struct element *next;

} *head, e;

void push(int liczba);

struct element pop();

void pobierz();

void wypisz();

int main(){

pobierz();

system("PAUSE”);

return 0;

}

void push(int liczba){

struct element *e=malloc(sizeof(struct element));

e->liczba=liczba;

e->next=head;

head=e;

}

struct element pop(){

struct element *e=head;

head=head->next;

return *e;

}

void wypisz(){

struct element *e=head;

while(e!=NULL)

{

printf("%d”,e->liczba);

e=e->next;

}

}

void pobierz(){

char wyjscie=”n”;

int liczba;

do {

printf("Podaj liczbe”);

scanf("%d”, &liczba);

push(liczba);

printf("Czy chcesz podac nastepna?”);

fflush(stdin);

scanf("%c”, &wyjscie);

} while (wyjscie==’t’);

pop();

wypisz();

}