BADANIE RUCHU WAHADŁA

1. Wprowadzenie

Celem tego doświadczenia jest wyznaczenie wartości przyspieszenia ziemskiego przy użyciu wahadła matematycznego. Do przeprowadzenia go użyję wahadła będącego kulką, zawieszoną na nierozciągliwym sznurku.

Przyrządy, które będą mi potrzebne do doświadczenia:

• sznurek

• pręt, na którym zostaje zawieszony sznurek

• kulka

• stoper

• taśma miernicza

1. Część teoretyczna

Wahadło matematyczne jest to kulka swobodnie zawieszona na nici. Założeniem modelu wahadła matematycznego jest to, aby kulka była punktowa, a cała masa wahadła skupiała się właśnie w niej.

Nić, na której, zawieszona jest kulka w założeniu jest nieważka, co oznacza, że zaniedbujemy jej masę oraz jest nierozciągliwa, przez co nie zmienia swojej długości.

Siła ciężkości (ciężar kulki) F_g = mg  rozkłada się na

dwie składowe F₁oraz F₂. Sila F₂ napina nić. Siła

F₁ powoduje ruch wahadła w kierunku położenia

równowagi, a jej wartość jest równa:

F₁ = F_g sinα

F₁ = mg sinα

Aby wyznaczyć okres tego ruchu (a jest to ruch

harmoniczny, ponieważ siła powodująca powrót do

położenia równowagi jest przeciwnie zwrócona do

wychylenia) zakładam, że wychylenie jest o mały kąt

(max 5 stopni ), a dla małych kątów:

sin α = α

$\alpha = \frac{\text{AB}}{r}$

Ponieważ długość łuku (AB) niewiele różni się od wychylenia x to:

$$\alpha = \frac{x}{l}$$

Wzór na siłę powodującą ruch wahadła:

$$F_{1} = \text{mg}\frac{x}{l}$$

Dlatego po uwzględnieniu znaku wzór przedstawiony jest w następujący sposób:

$$F_{1} = - \text{mg}\frac{x}{l}$$

Wykorzystując podobieństwo do siły sprężystości (F = −kx) porównujemy:

$$- \text{mg}\frac{x}{l} = \ - \text{kx}$$

Współczynnik k wyznaczam ze wzoru na częstość kołową:

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$$

Podniesiony do kwadratu wzór na częstość kołową z wyznaczonym współczynnikiem k podstawiam do wzoru:

$$\frac{\text{mg}}{l} = \ \omega^{2}m$$

Gdzie:

$$\omega = \ \frac{2\pi}{T}$$

Dlatego:

$$\frac{g}{l} = \frac{4\pi^{2}}{T^{2}}$$

Przekształcając powyższy wzór otrzymuję wzór na okres wahań wahadła matematycznego:

$$T = 2\pi\ \sqrt{\frac{l}{g}}$$

Teraz wystarczy przekształcić powyższy wzór i otrzymamy wzór, dzięki któremu możemy wyznaczyć wartość przyśpieszenia grawitacyjnego:

$\mathbf{g}\mathbf{=}\frac{\mathbf{4}\mathbf{\pi}^{\mathbf{2}}\mathbf{l}}{\mathbf{T}^{\mathbf{2}}}$

1. Pomiary

Doświadczenie przeprowadziłam ustalając pewną długość nitki, a następnie odchylając

zawieszony na nitce ciężarek o niewielki kąt i puszczając go do tego mierząc czas potrzebny na

wykonanie pełnych wahnięć.

Czynność tę wykonałam 10 razy. Wyniki przedstawiam w tabeli:

Nr pomiaru	Czas [s]	Czas średni [s]	Okres średni
1.	32,78	$t_{sr} = \frac{t_{1} + t_{2} + t_{3} + t_{4} + t_{5} + t_{6} + t_{7} + t_{8} + t_{9} + t_{10}}{10}$ = 32,823	$T_{sr} = \frac{t_{sr}}{10}$ = 3,282
2.	32,82
3.	32,74
4.	32,84
5.	32,9
6.	32,83
7.	32,77
8.	32,87
9.	32,84
10.	32,84

Długość wahadła: (2,704 ±0,001 ) m

Niepewność serii pomiarów czasu:

$t = \ \frac{t_{\max} - t_{\min}}{2} = \ $0,08

Niepewność pomiaru okresu

$T = \frac{t}{10}$ = 0,008

1. Opracowanie wyników

$g = \frac{4\pi^{2}l}{T^{2}}$ = 9,912388 $\approx \mathbf{9,91}\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}^{\mathbf{2}}}$

Wartość przyśpieszenia ziemskiego ze wzoru: $$g = \frac{4\pi^{2}l}{T^{2}}$$	Maksymalna wartość przyśpieszenia ziemskiego $$g = \frac{4\pi^{2}(l + \Delta l)}{{(T - \Delta T}^{)2}}$$	Minimalna wartość przyśpieszenia ziemskiego $$g = \frac{4\pi^{2}(l - \Delta l)}{{(T + \Delta T}^{)2}}$$	Bezwzględna niepewność pomiaru metodą najmniej korzystnego przypadku $$\text{Δg} = \frac{g_{\max -}g_{\min}}{T^{2}}$$	Wartość przyśpieszenia ziemskiego wraz z niepewnością
9,91 $\frac{m}{s^{2}}$	9,95 $\frac{m}{s^{2}}$	9,85 $\frac{m}{s^{2}}$	0,009	(9,91±0,009)$\ \frac{m}{s^{2}}$

1. Wnioski

Dzięki temu doświadczeniu możemy zaobserwować jak w prosty sposób możemy obliczyć przybliżona wartość przyspieszenia ziemskiego oraz jakie jest działanie wahadła matematycznego. Wynik końcowy nie jest dokładny z powodu całego szeregu czynników wprowadzających niepewność m.in. poprzez:

• Opory powietrza - powodujące ucieczkę energii z wahadła, przez co kolejne wahnięcia miały mniejszą amplitudę.

• Użyta przeze mnie nić niestety nie jest nieważka i jest w pewnym stopniu (choć małym) rozciągliwa.

• Ciężarek zawieszony na nitce, nie jest masą punktową.

• Czas reakcji obserwatora.

• Punkt zaczepu nitki nie jest w rzeczywistości punktowy.

Źródła: Podręcznik „z fizyką w przyszłość 2” ZamKor

http://pl.wikipedia.org/

http://e-doswiadczenia.mif.pg.gda.pl/

Aneta Derwich kl. IIc

nr 5