I Prawo Keplera

Wszystkie planety Układu Słonecznego poruszają się po elipsach.
W jednym z ognisk każdej elipsy znajduje się Słońce.

 

Uogólnienie

 

Wszystkie ciała niebieskie Układu Słonecznego poruszają się po
krzywych stożkowych. W ogniskach tych krzywych znajduje się Słońce.

II Prawo Keplera

 

Promień wodzący planety zakreśla równe pola w równych odstępach czasu,
innymi słowy: prędkość polowa planety jest stała.

 

Uogólnienie

 

Moment pędu planety jest stały.

- pole zakreślane przez krążącą planetę
- przyrost drogi w czasie

Pole zakreślane przez krążącą planetę jest trójkątem, podstawmy zatem pole trójkąta:

 

 gdzie:

A - pole jakie zakreśla krążąca planeta,

R - promień orbity,

v - prędkość liniowa planety,

t - jednostka czasu.

Teraz zróbmy następujący krok - pomnóżmy i podzielmy lewą stronę równania przez masę planety m :

 

 Pomnóżmy obie strony przez m, wówczas z prawej strony dalej będziemy mieli constans

 

 Iloczyn masy i prędkości jest pędem ,zaś L - oznacza moment pędu

 

 Skoro moment pędu L jest stały - nie zmienia sie w czasie, to mamy:

 

III Prawo Keplera

 Drugie potęgi okresów obiegu planety wokół Słońca są wprost proporcjonalne do trzecich potęg ich średnich odległości od Słońca.

  

R₁, R₂ - oznaczają średnie odległości planet od Słońca

T₁, T₂- okresy obiegu planet wokół Słońca

Rozważmy planetę poruszającą się w polu grawitacyjnym Słońca. Siła oddziaływania grawitacyjnego będzie równa sile dośrodkowej planety :

  

Podstawiając wzór na siłę oddziaływania grawitacyjnego oraz wykorzystując zależność na przyspieszenie dośrodkowe otrzymujemy:

  

G - stała grawitacji (patrz rozdział Ciążenie powszechne)

Po uproszczeniu mamy:

  

Wiemy, że prędkość liniowa w ruchu po okręgu z okresem T wynosi:  

podstawiając do wcześniejszego równania otrzymujemy :

  

oraz przekształcając otrzymujemy:  

Zarówno G, jak i M są stałymi, zatem możemy zapisać: