WZORY MATEMATYKA FINANSOWA

1. Stopa procentowa

$r = \ \frac{FV - PV}{\text{PV}}$

1. Kapitalizacja prosta FV

FV = PV (1 + nr)

1. Zarobione odsetki kapitalizacja prosta

FV − PV = PV * n * r

1. Kapitalizacja prosta PV

$PV = \frac{\text{FV}}{1 + nr}$

1. Kapitalizacja złożona FV

FV_n = PV(1 + r)ⁿ

1. Zarobione odsetki kapitalizacja złożona

FV − PV = PV * ((1 + r)ⁿ − 1)

1. Kapitalizacja złożona PV

$PV = \frac{\text{FV}}{{(1 + r)}^{n}}$

1. Kapitalizacja złożona

$\text{FV}_{n} = PV{(1 + \frac{r}{m})}^{n*m}$ $PV = \text{FV}_{n}*\frac{1}{{(1 + \frac{r}{m})}^{n*m}}$

1. Kapitalizacja złożona z góry

$FV1 = PV + PVr + PVrr + PVrrr + \ldots = PV(1 + r + r^{2} + r^{3} = PV\frac{1}{\left( 1 - r \right)} = PV{(1 - r)}^{- 1}$

|r|<1

FV_n = PV * (1 − r)⁻ⁿ

1. Kapitalizacja ciągła

M ∞

1. dla n=1

$\operatorname{}{{(1 + \frac{r}{m})}^{m} = e^{r}}$

e=2,718…

1. dla n

FV_n = PV * e^rn  PV = FV_n * e^−rn

1. Zarobione odsetki

FV − PV = PV * (e^rn − 1)

1. Czas podwojenia kapitału

1. Kapitalizacja prosta

2PV = PV(1 + nr) $n = \frac{1}{r}$

1. Kapitalizacja złożona

2PV = PV(1 + r)ⁿ $n = \frac{ln(2)}{ln(1 + r)}$

1. Kapitalizacja ciągła

2PV = PV * e^rn $n = \frac{ln(2)}{r}$

1. Stopa efektywna i równoważna - Kapitalizacja złożona

$\text{PV}{(1 + r)}^{n} \leq PV{(1 + \frac{r}{m})}^{\text{nm}}$

1. Stopa efektywna

$\left( 1 + r_{\text{ef}} \right) = {(1 + \frac{r}{m})}^{m}$ $r_{\text{ef}} = {(1 + \frac{r}{m})}^{m} - 1$ $r = m\left\lbrack \left( 1 + r_{\text{ef}} \right)^{\frac{1}{m}} - 1 \right\rbrack$

1. Stopa równoważna

(1+r) = (1+r_r)^m $r_{r} = \left( 1 + r \right)^{\frac{1}{m}} - 1$

1. Konwencje

$n = \frac{s}{N}$

s – liczba dni trwania inwestycji (rzeczywista lub 30)

N – liczba dni w roku (360; 365)

1. Równoważność – kapitalizacja prosta

$\text{PV}\left( 1 + n*m_{A}\frac{r_{A}}{m_{A}} \right) = PV\left( 1 + n*m_{B}\frac{r_{B}}{m_{B}} \right)$

r_A = r_B

1. Równoważność – kapitalizacja złożona

$\text{PV}{(1 + \frac{r_{A}}{m_{A}})}^{n*m_{A}} = PV{(1 + \frac{r_{B}}{B})}^{n*m_{B}}$

r_efA = r_efB

1. Kapitalizacja prosta

PV_n1r1 + PV_n2r2 + … + PV_nprp = PV(n1r1 + n2r2 + … + nprp)

FV = PV(1 + n1r1 + n2r2 + … + nprp)

1. Kapitalizacja złożona z dołu

FV = PV(1 + r₁)ⁿ¹(1 + r₂)ⁿ²…(1 + r_p)^np

1. Kapitalizacja ciągła

FV = PVe^n1r1e^n2r2…e^nprp = PVe^{n1r1 + n2r2 + … + nprp}

1. Przeciętna stopa procentowa - kapitalizacja prosta

$\text{PV}\left( 1 + n\overset{\overline{}}{r} \right) = PV(1 + n1r1 + n2r2 + \ldots + nprp)$

$\overset{\overline{}}{r} = \frac{1}{n}(n1r1 + n2r2 + \ldots + nprp)$

1. Przeciętna stopa procentowa - kapitalizacja złożona z dołu

$\text{PV}\left( 1 + \overset{\overline{}}{r} \right)^{n} = PV\left( 1 + r_{1} \right)^{n1}\left( 1 + r_{2} \right)^{n2}\ldots\left( 1 + r_{p} \right)^{\text{np}}$

$\overset{\overline{}}{r} = \sqrt[n]{\left( 1 + r_{1} \right)^{n1}\left( 1 + r_{2} \right)^{n2}\ldots\left( 1 + r_{p} \right)^{\text{np}}} - 1$

1. Przeciętna stopa procentowa - kapitalizacja ciągła

$\text{PV}e^{n\overset{\overline{}}{r}} = PVe^{n1r1 + n2r2 + \ldots + nprp}$

$\overset{\overline{}}{r} = \frac{1}{n}\left( n_{1}r_{1} + n_{2}r_{2} + \ldots n_{p}r_{p} \right)$

1. Kapitalizacja mieszana

FV = PV * (1+r₁)ⁿ¹ * e^n2r2 * (1+n3r3)

$FV = PV\left( 1 + \frac{r_{1}}{m_{1}} \right)^{m1n1}\left( 1 + \frac{r_{2}}{m_{2}} \right)^{m2n2}$

1. Kredyty

• Płatność – R

• Rata kapitałowa – A

• Odsetki – Z

• Wartość udzielonego kredytu – S

R = A + Z

1. Transakcja udzielania i spłaty kredytu

$S = \frac{R_{1}}{\left( 1 + r \right)^{\ }} + \frac{R_{2}}{\left( 1 + r \right)^{\ 2}} + \ldots + \frac{R_{n}}{\left( 1 + r \right)^{\text{n\ }}}$

1. Dług w momencie k

S_k = Sq^k − (R_1q^k − 1 + R_2q^k − 2 + … + R_k 

q = 1+r

1. Dla równych płatności R

$S_{k} = \text{Sq}^{k} - R\frac{q^{k} - 1}{q - 1} = S\frac{q^{n} - q^{k}}{q^{n} - 1}$

1. Wartość nominalna kredytu S – równe płatności

S = A₁ + A₂ + … + A_n

Płatność R:

$R = S*\left( 1 + r \right)^{n}*\frac{r}{\left( 1 + r \right)^{n} - 1} = S*\frac{r}{1 - \frac{1}{\left( 1 + r \right)^{n}}}$

1. Odsetki – równe płatności

Z_k = S_k − 1 * r

1. Dług na końcu – równe płatności

S_k = S_k − 1 − A_k

1. Równe raty kapitałowe

$A_{k} = A = \frac{S}{n}$

1. Wartość nominalna kapitału – malejące płatności

S = A₁ + A₂ + … + A_n = nA 

1. Płatność – malejące płatności

$R_{k} = \frac{S}{n} + Z_{k}$

1. Odsetki – malejące płatności

Z_k = S_k − 1 * r

1. Dług na końcu – malejące płatności

S_k = S_k − 1 − A_k

1. Raty kapitałowe – ustalone płatności

R_k = q * S_k − 1 − S_k

1. Ratalna spłata odsetek

1. Płatności

R₁ = Z₁ = S_r

R₂ = Z₂ = S_r

R_n-1 = Z_n-1 = S_r

R_n = S + S_r = S(1+r)

1. Suma odsetek

Z = Z₁ + Z₂ + … + Z_n = S*r*n

1. Dług bieżący

S₁ = S₂ = … = S_n-1 = S Sn = 0

1. Jednorazowa spłata odsetek

Z_k = [S_qn – (A₁q^n-1 + … + A_n)] = [S – (A₁q^n-1 + … + A_n)q^-n]q^k

Dla k = 1

Z₁ = [S – A₁q^n-1 + … + A_n)q^-n]q

Dla k = n

Z_n = Sqⁿ – (A₁q^n-1 + … + A_n)

q = 1+r

1. Dla równych rat kapitałowych odsetki w k-tej płatności - jednorazowa spłata odsetek

$Z_{k} = \left\lbrack S - \frac{s}{n}\left( q^{n - 1} + \ldots + 1 \right)q^{- n} \right\rbrack q^{k} = \frac{s}{n}\left( n + \frac{q^{- n} - 1}{q - 1} \right)q^{k}$

1. Długi z dodatkową opłatą

R_k = A_k + Z_k + O_k

1. Długi z dodatkową opłatą, jeśli raty kapitałowe są stałe

$O_{k} = \frac{s}{n}*o$ $O = O_{1} + \ldots + O_{n} = n*\frac{S}{n}*o = S*o$

k-ta płatność

$R_{k} = A_{k} + Z_{k} + O_{k} = \frac{S}{n} + \frac{S}{n}*\left( n - l + 1 \right)*r + \frac{S}{n}*o = \frac{S}{n}*\left( 1 + \left( n - k + 1 \right)*r + o \right)$

1. Długi z dodatkową opłatą, jeśli płatności są równe

$R_{k} = R = S*q^{n}*\frac{q - 1}{q^{n} - 1}$

$A_{k} = S\frac{q^{k} - q^{k - 1}}{q^{n} - 1} = S*q^{k - 1}*\frac{q - 1}{q^{n} - 1}$

$O_{k} = S*q^{k - 1}*\frac{q - 1}{q^{n} - 1}*o$

$O = O_{1} + \ldots + O_{n} = S*\frac{q - 1}{q^{n} - 1}*o*\left( 1 + q + \ldots + q^{n - 1} \right) = S*o$

Płatności

$R_{k} = \ S*q^{n}*\frac{q - 1}{q^{n} - 1}$ + $S*q^{k - 1}*\frac{q - 1}{q^{n} - 1}*o$ = $S*\frac{q - 1}{q^{n} - 1}*(q^{n} + o*q^{k - 1})$

1. Realna stopa procentowa

$\text{PV}\left( 1 + r_{\text{re}} \right) = PV\frac{1 + r}{1 + i}$

1. Stopa efektywna

$r_{re,ef} = \frac{r_{\text{ef}} - i}{1 + i}$

1. Oprocentowanie z uwzględnieniem inflacji

$\overset{\overline{}}{i} = \ \sqrt[n]{\left( 1 + i_{1} \right)^{n1}\left( 1 + i_{2} \right)^{n2}\ldots\left( 1 + i_{p} \right)^{\text{np}}} - 1$

1. Renty z inflacją