Pomierzone przewyższenia
Od do dh N
A-1 0,932 4
1-B 0.319 6
A-2 2,187 4
Itp. Itp. Itp.∖nZA=225,383 m
ZB=226,383m
ZC=230,056m
1) obliczenie przybliżonych wysokości reperów wyznaczonych
Z10 =ZA+h1=226,315
Z20=ZA+h3=227,570
Z30=ZA+h5=227,564
2) Obliczenie przybliżonych przewyższeń
h10=Z10- ZA=
h20=ZB- Z10=
h30=Z20- ZA=
h40=ZC- Z20=
h50=Z20- ZB=
h60=ZC- Z30=
h70=Z20- Z10=
h80=Z30- Z10=
h90=Z20- Z30=
3)obliczenie macierzy współczynników
A=dZ1 dZ2 dZ3
1 0 0
-1 0 0
0 1 0
0 -1 0
0 0 1
0 0 -1
-1 1 0
-1 0 1
0 1 -1
4)obliczenie wyrazów wolnych
L= dh -h10
5)obliczenie macierzy wag
P= $\frac{n}{N}$
0,25 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0,16 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0,25 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0.33 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0.3 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0,25 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
6)obliczenie niewiadomych poprzez rozwiązanie układu równań
metoda najmniejszych kwadratów (ATPA )−1 ATPL
a) AT
A= $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & - 1 \\ - 1 & 1 & 0 \\ - 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & - 1 \\ \end{bmatrix}$ AT= $\begin{bmatrix} 1 & - 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & - 1 & 0 & 1 & - 1 \\ \end{bmatrix}$
B)
ATP= $\begin{bmatrix} 0.25 & - 0.16 & 0 & 0 & 0 & 0 & - 1 & - 0.25 & 0 \\ 0 & 0 & 0.25 & - 0.33 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & - 0.33 & 0 & 0.25 & - 1 \\ \end{bmatrix}$
c) AT PA
$$\begin{bmatrix}
1.67 & - 1.00 & - 0.25 \\
- 1.00 & 2.58 & - 1.00 \\
- 0.25 & - 1.00 & 2.58 \\
\end{bmatrix}$$
d) macierz odwrotna (ATPA )−1
a11=${( - 1)}^{1 + 1}\left| \begin{matrix} 2.58 & - 1.00 \\ - 1.00 & 2.58 \\ \end{matrix} \right|$=5.66
a12=${( - 1)}^{1 + 2}\left| \begin{matrix} - 1 & - 1 \\ - 0.25 & 2.58 \\ \end{matrix} \right|$=2.83
a13=${( - 1)}^{1 + 3}\left| \begin{matrix} - 1 & 2.58 \\ - 0.25 & - 1 \\ \end{matrix} \right|$=1.645
a21=${( - 1)}^{2 + 1}\left| \begin{matrix} - 1 & - 0.25 \\ - 1 & 2.58 \\ \end{matrix} \right|$=-2.83
a22=${( - 1)}^{2 + 2}\left| \begin{matrix} 1.67 & - 0.25 \\ - 0.25 & 2.58 \\ \end{matrix} \right|$=4.245
Itp.
Wyznacznik macierzy A:
Det A=$\left| \begin{matrix} 1.67 & - 1 & - 0.25 \\ - 1 & 2.58 & - 1 \\ - 0.25 & - 1 & 2.58 \\ \end{matrix} \right|$= 6.205
Macierz dopełnień
D= $\left| \begin{matrix} 5.656 & 2.83 & 1.645 \\ 2.83 & 4.246 & 1.920 \\ 1.645 & 1.92 & 3.308 \\ \end{matrix} \right|$
A−1= $\frac{1}{det(A)}$ x DT
A−1=$\left| \begin{matrix} 0.913 & 0.456 & 0.265 \\ 0.456 & 0.684 & 0.307 \\ 0.265 & 0.309 & 0.533 \\ \end{matrix} \right|$
e) (ATPA )−1 x AT
f) (ATPA )−1 x AT x P
g) (ATPA )−1 x AT x P x L
$\hat{X}$=$\begin{bmatrix} 0.7 \\ 6.8 \\ - 1.4 \\ \end{bmatrix}$ w [mm]
dZ1=0.0007m
dZ2=0.0068m
dZ3=-0.00014m
7) obliczenie uzgodnionych wysokości reperów [m] $\hat{Z_{i}}$= dZ1+Z10
$\hat{z_{1}}$=0.0007+226.315= 226.3157
$\hat{Z_{2}}$=0.0068+227.570=227.5768
$\hat{Z_{3}}$=0.0014+227.564=227.5626
8)obliczenie odchyłek losowych do obserwowanych przewyższeń
V=A$\hat{x}$ –L
A$\hat{x}$= A x $\hat{x}$
V=A$\hat{x}$ –L [mm]
9) obliczenie uzgodnionych wartości przewyższeń [m]
hi + vi =$\hat{h}$
0.932 + 0.0007 =0.9327
Itp.
10) kontrola obliczeń
a)obliczenie przewyższeń na podstawie uzgodnionych wysokości reperów
$\hat{h_{1}}$= $\hat{z_{1}}$ -ZA
$\hat{h_{2}}$=ZB - $\hat{z_{1}}$
Itp.
b) porównanie przewyższeń na podstawie uzgodnionych wysokości reperów
11) obliczenie estymatora wariacji resztowej ${\hat{\sigma}}^{2}$ = $\frac{v^{T}\text{Pv}}{n - u}$
vT= $\left| \begin{matrix} 0.7 & 3.3 & 6.8 & 0.2 & - 1.4 & - 0.6 & - 1.9 & 5.9 & 0.2 \\ \end{matrix} \right|$
vT x P
vT x P x v
Obliczenie odchylenia standardowego (błędu średniego) $\hat{\sigma_{0}}$ na jedno stanowisko niwelatora[mm]
$\hat{\sigma_{0}}$ = $\sqrt{{\hat{\sigma}}^{2}\ }$
12)obliczenie macierzy kowarencyjnej dla uzgodnionych wysokości reperów Cov($\hat{z}$) =${\hat{\sigma}}^{2}{(A^{T}\text{PA}\ )}^{- 1\ }$
13) obliczenie odchyleń standardowych uzgodnionych wysokości [mm]
σZ1=