Andrzej Cichoń	W2 C3 L5
6. Wyznaczanie stosunku Cp/Cv dla powietrza metodą Clementa-Desormesa.	11.05.2013r.

Uwagi:

1. Wstęp teoretyczny

Gaz to stan skupienia materii. Określamy go czterema parametrami: objętość V, ciśnienie p, masę M oraz temperaturę T. Parametry te są ze sobą ściśle powiązane( ukazuje nam to równanie gazu doskonałego). Gaz doskonały jest matematycznym modelem gazu, jest abstrakcyjny. Charakteryzuje się on m.in. brakiem oddziaływań międzycząsteczkowych, cząsteczki są traktowane jako punkty materialne, a ich zderzenia są idealnie sprężyste. Równanie gazu doskonałego przedstawia się następująco: pv = nRT, gdzie n to liczba moli gazu. Z tegoż równania wynikają prawa przemian gazowych:

-Przemiana izotermiczna; zachodząca przy stałej temperaturze. Ciśnienie i zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do objętości. Równanie przemiany izotermicznej (prawo Boyle'a - Mariotte'a) ma postać:
p₁V₁ = p₂V₂ czyli pV = const.

-Przemiana izobaryczna; ma miejsce , gdy ciśnienie gazu nie ulega zmianie (jest stałe). Objętość i temperatura gazu w tej przemianie zmieniają się wprost proporcjonalnie do siebie.

-Przemiana izochoryczna: -zachodzi, gdy objętość gazu nie ulega zmianie (stała objętość naczynia) a ciśnienie i temperatura gazu zmieniają się wprost proporcjonalnie do siebie.

-Istnieje także przemiana podczas której gaz nie wymienia ciepła z otoczeniem. Jest to przemiana adiabatyczna.

1. Wykonanie pomiaru

Kurek zaworu Z ustawić w położeniu A, za pomocą pompki wytworzyć nadwyżkę ciśnienia w balonie h1. Po wytworzeniu nadwyżki ciśnienia kurek zaworu Z przestawić do pozycji B. Odczekać minutę odczytać wartość h1. Za pomocą kurka Z połączyć balon z ciśnieniem atmosferycznym. Po wyrównaniu się poziomów cieczy w manometrze kurek zaworu z ustawić w położeniu, odczekać 3-4 minuty i odczytać wartość h2. Ćwiczenie powtórzyć 10 razy.

Wzory

Stan gazu posiadającego sprężystość opisuje się za pomocą 4 parametrów: objętości V, masy M, temperatury T i ciśnienia p. Parametry te są ze sobą w ścisły sposób powiązane a związek ten opisuje równanie gazu doskonałego, który wyprowadza się w oparciu o kinetyczną teorię gazów i ma postać:

$\frac{\mathbf{\text{pV}}}{\mathbf{T}}$ = const

Wartość wyrażenia pV/T dla 1 mola gazu w warunkach normalnych wynosi

R = 8,31$\frac{\mathbf{J}}{\mathbf{mol \bullet K}}$

i nosi nazwę stałej gazowej, a równanie gazu doskonałego ma postać:

p V = RT

Z tego równania wynikają prawa przemian: izotermicznej, izobarycznej i izochorycznej.

Jedną z wielkości fizycznych opisujących własności ciał jest ciepło właściwe, dla gazów wygodnie jest posługiwać się ciepłem właściwym molowym, które zależy od warunków w jakich odbywa się zmiana temperatury gazu. Bardzo ważną przemianą gazów jest przemiana adiabatyczna. Zachodzi ona gdy poddany przemianie gaz nie wymienia ciepła z otoczeniem: ΔQ = 0, stąd korzystając z I zasady termodynamiki otrzymuje się:

ΔU = -ΔW.

Skoro ΔW = pΔV to: C_VΔT + pΔV = 0

Podstawiając wartość p obliczoną z równania gazu doskonałego otrzymano:

C_V ΔT + $\frac{\mathbf{\text{RT}}}{\mathbf{V}}$ ΔV = 0

Po różniczkowaniu i całkowaniu otrzymuje się równanie:

C_V lnT +RlnV =const

Jeśli C_P – C_V = R to: T^C_VV^C_P−CV= const

Wprowadzając ℵ = C_P/C_V otrzymano : TV^{ℵ − 1} = const

Skoro T = $\frac{\mathbf{\text{pV}}}{\mathbf{R}}$ to : pV^ℵ = const jest to ostateczne równanie przemiany adiabatycznej zwanej prawem Poissona.

By wyznaczyć wartość stosunku C_P/C_V należy znaleźć związek pomiędzy zmianą ciśnienia w czasie rozprężania adiabatycznego, w czasie sprężania izotermicznego i szukaną wartością ℵ.

Logarytmując a następnie różniczkując wzory: pV = const oraz pV^ℵ = const otrzymano:

$\frac{\mathbf{\text{dp}}}{\mathbf{p}}\mathbf{+ \ \aleph}$ $\frac{\mathbf{\text{dV}}}{\mathbf{V}}$ = 0 i $\frac{\mathbf{\text{dp}}}{\mathbf{p}}\mathbf{+ \ }$ $\frac{\mathbf{\text{dV}}}{\mathbf{V}}$ = 0

Uwzględniając przyrosty końcowe otrzymano: $\frac{\mathbf{p}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{p}}\mathbf{+ \aleph}$ $\frac{\mathbf{V}}{\mathbf{V}}$ = 0 i $\frac{\mathbf{p}}{\mathbf{p}}\mathbf{+ \ }$ $\frac{\mathbf{V}}{\mathbf{V}}$ = 0

Po przekształceniu otrzymano: $\frac{\mathbf{p}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{V}}$ = - ℵ $\frac{\mathbf{V}}{\mathbf{V}}$ oraz $\frac{\mathbf{p}}{\mathbf{V}}$ = - $\frac{\mathbf{p}}{\mathbf{V}}$

A następnie: ℵ $\frac{\mathbf{p}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{p}}$ $\frac{\mathbf{p}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{p}_{\mathbf{1 - \ \ }\mathbf{P}_{\mathbf{2}}\mathbf{\text{\ \ \ }}}}$

Ciśnienie mierzy się manometrem poprzez różnicę poziomów cieczy w manometrze, korzystając ze wzoru na ciśnienie hydrostatyczne p = ρgh otrzymano:

$$\mathbf{\aleph = \ }\frac{\mathbf{h}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{h}_{\mathbf{1\ - \ \ }\mathbf{h}_{\mathbf{2}}}}$$

h₁ – różnica poziomów cieczy w manometrze wytworzona za pomocą pompki

h₂ – różnica poziomów cieczy w manometrze powstała po adiabatycznym rozprężeniu gazu.

4. Obliczenia 

$$\mathbf{\aleph = \ }\frac{\mathbf{h}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{h}_{\mathbf{1\ - \ \ }\mathbf{h}_{\mathbf{2}}}}$$

Obliczono średnią wartość arytmetyczną ℵ ∖ n

ℵ_sr =$\text{\ \ }\frac{1,27 + 1,16 + 1,18 + 1,20 + 1,21 + 1,19 + 1,17 + 1,15 + 1,16 + 1,16}{10}\ $= $\frac{11,85}{10}\text{\ \ }$=1,185

4. Niepewności pomiarowe

-Niepewność pomiaru h₁ i h₂, uwzględniając niepewności wzorcowania i eksperymentatora.

Δdl = 1mm

Δel = 6mm

$u(l)\ = \sqrt{\frac{\left( \Delta_{d}l \right)^{2} + \left( \Delta_{e}l \right)^{2}}{3}}$ = $\sqrt{\frac{\left( 1 \right)^{2} + \ \left( 6 \right)^{2}}{3}} = \sqrt{\frac{37}{3}} = 3,51$ mm = 0,351 cm

-Niepewność standardowa:

$u\left( x \right) = \ \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}\left( x_{i} - x \right)^{2}}{n(n - 1)}}$ =

=$\ \sqrt{\frac{\begin{matrix} \left( 1,27 - 1,185 \right)^{2} + \left( 1,16 - 1,185 \right)^{2} + \ \left( 1,18 - 1,185 \right)^{2} + \left( 1,20 - 1,185 \right)^{2} + \left( 1,21 - 1,185 \right)^{2} + \left( 1,19 - 1,185 \right)^{2} + \\ \left( 1,17 - 1,185 \right)^{2} + \ \left( 1,15 - 1,185 \right)^{2} + \left( 1,16 - 1,185 \right)^{2} + \left( 1,16 - 1,185 \right)^{2} \\ \end{matrix}}{10 \bullet 9}} = \ $

=$\sqrt{\frac{0,01145}{90}}$= 0,011

$\overset{\overline{}}{\aleph}$= 1,185(11)

• Niepewność rozszerzona dla k=2

u(ℵ_s)= k• u(ℵ_s)= 2• 0,011= 0,022

ℵ_s= 1,185 ± 0,022

4. Wnioski

Wartość współczynnika otrzymana w ćwiczeniu wynosi: 1,185 ± 0,022

Wartość współczynnika χ dla powietrza suchego według tablic wynosi 1.403, pod ciśnieniem 760mm Hg, oraz w temperaturze 15° - warunki w których zostało przeprowadzone ćwiczenie były inne, dlatego też wynik doświadczenia odbiega od wartości umieszczonej w tablicach.

Na wynik wpłynęły także niepewność pomiaru h₁ i h_2, niedokładne odczytanie wartości h₁ i h₂ ze skali manometru, co było związane ze zbyt szybkim lub zbyt wolnym otwieraniem zaworu. Doświadczenie potwierdza przyjęte założenie C_P > Cv.