| Ćwiczenie nr 24 | badanie drgań wahadła sprężynowego | Data 16.03.2011 |
|---|---|---|
| Wydział Budownictwa I | - |
Uwagi:
I. Wstęp teoretyczny:
Jednym z rodzajów ruchu, często spotykanym w fizyce, jest ruch drgający, w którym ciało porusza się tam i z powrotem po tej samej drodze. Ruchem drgającym poruszają się np. wahadło w zegarze, ciężarek zawieszony na sprężynie, czy też atomy w sieci krystalicznej. Szczególnym przykładem ruchu drgającego jest ruch harmoniczny prosty.
Ruch harmoniczny między innymi obserwuje się w przypadku wahadła matematycznego, gdzie drgania odbywają się pod wpływem składowej siły ciężkości. Drgania harmoniczne mogą odbywać się pod wpływem siły sprężystości, co obserwujemy na przykładzie wahadła sprężynowego. Wahadło te stanowi swobodnie zwisająca sprężyna obciążona na końcu masą m. Zgodnie z prawem Hoocke’a dla odkształceń sprężystych mamy zależność:
F = −kx
gdzie:
k – współczynnik sprężystości sprężyny,
x – wydłużenie sprężyny.
F = −mω2x
stąd:
$$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$
Wahadło sprężynowe jest układem drgającym masy zaczepionej na jednym końcu sprężyny i masy sprężyny, która rozłożona jest wzdłuż jej długości l.
II. Cel ćwiczenia:
Celem naszego doświadczenia jest obserwacja ruchu harmonicznego ciężarka zawieszonego na sprężynie, tzw. wahadła sprężynowego, rys.1. Ciężarek zawieszony na sprężynie spoczywa w położeniu, które jest położeniem równowagi. Jeśli ciężarek pociągniemy w dół poniżej położenia równowagi i puścimy, zacznie wykonywać drgania w górę i w dół.
Na ciężarek spoczywający w położeniu równowagi działają dwie siły, które muszą się wzajemnie równoważyć. Są to siła ciężkości działająca pionowo w dół i siła sprężystości F rozciągniętej sprężyny, zwrócona przeciwnie do kierunku odkształcenia. Zgodnie z prawem Hooka, przy małych odkształceniach siła sprężystości jest proporcjonalna do odkształcenia x0.
W ruchu drgającym prostym wartość siły jest więc zmienna (proporcjonalna do wychylenia). Z tego wynika, że i wartość przyspieszenia w tym ruchu jest też zmienna – wprost proporcjonalna do wychylenia (ponieważ masa ciała jest stała).
III. Tabela pomiarów i obliczenia:
| Nr płytki | Łączna masa | Siła | Wydłużenie sprężyny | Czas 50 drgań [śr] | Okres |
|---|---|---|---|---|---|
| 1. | 0,03358 | 0,535 | 0,062 | 38,41 | 0,768 |
| 2. | 0,06733 | 0,867 | 0,123 | 45,34 | 0,907 |
| 3. | 0,10099 | 1,197 | 0,186 | 51,71 | 1,034 |
| 4. | 0,13463 | 1,527 | 0,248 | 57,52 | 1,150 |
| 6. | 0,16831 | 1,857 | 0,310 | 62,80 | 1,256 |
| 7. | 0,20202 | 2,188 | 0,373 | 68,28 | 1,366 |
| 8. | 0,23576 | 2,519 | 0,436 | 73,54 | 1,471 |
| 9. | 0,26952 | 2,850 | 0,499 | 75,82 | 1,511 |
| 10. | 0,30322 | 3,181 | 0,560 | 79,78 | 1,596 |
| Nr płytki | Masa płytki | Masa płytki po zważeniu | Różnica |
|---|---|---|---|
| 1 | 33,58 | 33,50 | |
| 2 | 33,75 | 33,67 | |
| 3 | 33,66 | 33,57 | |
| 4 | 33,64 | 33,57 | |
| 6 | 33,68 | 33,61 | |
| 7 | 33,71 | 33,62 | |
| 8 | 33,74 | 33,65 | |
| 9 | 33,76 | 33,66 | |
| 10 | 33,70 | 33,61 |
Dane:
Wydłużenie obciążonej sprężyny 23,8 cm
Waga szalki 21,00 g
Masa sprężyny 0,06221 kg
dm = 0, 00005m
dl = 0, 001m
el = 0, 005m
dt = 0, 01s
et = 0, 5m
$$u\left( x \right)\sqrt{\frac{\left(_{e}l \right)^{2}{+ \left(_{d}l \right)}^{2}}{3}} = \sqrt{\frac{0,000001 + 0,000025}{3}} = 0,0029m$$
$u\left( m \right) = \frac{0,00005}{\sqrt{3}} = 0,000029$kg
$u\left( t \right) = \sqrt{\frac{\left(_{d}t \right) + \left(_{e}t \right)}{3}} = 0,29$s
$$u\left( T \right) = \frac{0,29}{50} = 0,0058$$
Okresy drgań:
$T_{1} = \frac{38,41}{50} = 0,768s$
$T_{2} = \frac{45,34}{50} = 0,907s$
$T_{3} = \frac{51,71}{50} = 1,034s$
$T_{4} = \frac{57,52}{50} = 1,150s$
$T_{6} = \frac{62,80}{50} = 1,256s$
$T_{7} = \frac{68,28}{50} = 1,366s$
$T_{8} = \frac{73,54}{50} = 1,471$s
$T_{9} = \frac{75,82}{50} = 1,511s$
$T_{10} = \frac{79,78}{50} = 1,596$s
Siła działająca (dodatkowo wliczono wagę szalki)
F = m • g [N]
F1 = 0, 05458 • 9, 81 = 0, 535 F2 = 0, 08833 • 9, 81 = 0, 867
F3 = 0, 12199 • 9, 81 = 1, 197 F4 = 0, 15563 • 9, 81 = 1, 527
F6 = 0, 18931 • 9, 81 = 1, 857 F7 = 0, 22302 • 9, 81 = 2, 188
F8 = 0, 25676 • 9, 81 = 2, 519 F9 = 0, 29052 • 9, 81 = 2, 850 F10 = 0, 32422 • 9, 81 = 3, 181
Obliczanie niepewności standardowej:
$$u_{c}\left( F \right) = \sqrt{\left\lbrack g \bullet u\left( m \right) \right\rbrack^{2}}$$
$$u_{c}\left( F \right) = \sqrt{\left\lbrack 9,81 \bullet 0,000029 \right\rbrack^{2}} = 0,000284\ $$
Obliczanie wartości współczynnika k ze wzoru:
$$k = \frac{4\pi^{2}}{T^{2}}\left( m + \frac{1}{3}m_{s} \right)$$
$$k_{1} = \frac{4\pi^{2}}{{0,768}^{2}}\left( 0,05458 + \frac{0,06221}{3} \right) = 5,042$$
$$k_{2} = \frac{4\pi^{2}}{{0,907}^{2}}\left( 0,08833 + \frac{0,06221}{3} \right) = 5,234$$
$$k_{3} = \frac{4\pi^{2}}{{1,034}^{2}}\left( 0,12199 + \frac{0,06221}{3} \right) = 5,270$$
$$k_{4} = \frac{4\pi^{2}}{{1,150}^{2}}\left( 0,15563 + \frac{0,06221}{3} \right) = 5,265$$
$$k_{6} = \frac{4\pi^{2}}{{1,256}^{2}}\left( 0,18931 + \frac{0,06221}{3} \right) = 5,257$$
$$k_{7} = \frac{4\pi^{2}}{{1,366}^{2}}\left( 0,22302 + \frac{0,06221}{3} \right) = 5,157$$
$$k_{8} = \frac{4\pi^{2}}{{1,471}^{2}}\left( 0,25676 + \frac{0,06221}{3} \right) = 5,063$$
$$k_{9} = \frac{4\pi^{2}}{{1,511}^{2}}\left( 0,29052 + \frac{0,06221}{3} \right) = 5,382$$
$$k_{10} = \frac{4\pi^{2}}{{1,596}^{2}}\left( 0,32422 + \frac{0,06221}{3} \right) = 5,346$$
| (ki-$\overset{\overline{}}{k}$) | (ki-$\overset{\overline{}}{k}$)2 | |
|---|---|---|
| 1. | -0,182 | 0,033 |
| 2. | 0,010 | 0,000 |
| 3. | 0,046 | 0,002 |
| 4. | 0,041 | 0,002 |
| 6. | 0,033 | 0,001 |
| 7. | -0,067 | 0,004 |
| 8. | -0,161 | 0,026 |
| 9. | 0,158 | 0,025 |
| 10. | 0,122 | 0,015 |
$\overset{\overline{}}{k} = 5,224$
$$u\left( k \right) = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{9}\left( k_{i} - \overset{\overline{}}{k} \right)^{2}}{8 \bullet 9}}$$
$$\sum_{i = 1}^{9}\left( k_{i} - \overset{\overline{}}{k} \right)^{2} = 0,108$$
u(k) = 0, 002
Obliczanie wartości współczynnika k metodą regresji liniowej:
$$a = \left\lbrack n\left( \sum_{i = 1}^{n}{F_{i}x_{i}} \right) - \left( \sum_{i = 1}^{n}F_{i} \right)\left( \sum_{i = 1}^{n}x_{i} \right) \right\rbrack \times \frac{1}{X}$$
$$X = n\left( \sum_{i = 1}^{n}F_{i}^{2} \right) - \left( \sum_{i = 1}^{n}F_{i} \right)^{2}$$
$$\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}\left( x_{i} - aF_{i} \right)^{2}}{n - 2}}$$
$$S_{a} = \sigma\sqrt{\frac{n}{X}}$$
$$\sum_{i = 1}^{9}{F_{i} = 16,721}$$
$$\sum_{i = 1}^{9}x_{i} = 2,797$$
$$\sum_{i = 1}^{9}F_{i}^{2} = 37,625$$
$$\sum_{i = 1}^{9}x_{i}^{2} = 1,103$$
$$\sum_{i = 1}^{10}{F_{i}x_{i}} = 5,978$$
X = 59, 033
a = 0, 191
σ = 0, 122
Sa = 0, 048
$$k = \frac{1}{a} = 5,220$$
$$u\left( k \right) = \ \sqrt{\left( \frac{- 1}{a^{2}}\text{\ x\ }S_{a} \right)^{2}} = \ 0,130$$
IV. Wnioski:
W doświadczeniu celem było zbadanie ilości drgań wahadła sprężynowego i obliczenie współczynnika sprężystości k, który jest równy co do wartości siły powodującej jednostkowe wychylenie. Współczynnik k wyliczony został ze wzoru $k = \frac{4\pi^{2}}{T^{2}}\left( m + \frac{1}{3}m_{s} \right)$ wynosi 5,224 ± 0,002.
Współczynnik k wyliczony z regresji liniowej wynosi 5,210 ± 0,130. Porównując obie wartości współczynnika k przyjąć można uwzględniając niepewności, że te wartości są równe, co wskazuje na dokładność przeprowadzonego doświadczenia i popełnieniu niewielkich błędów.
Analizując wykres wywnioskować, można ze wydłużenie sprężyny się wprost proporcjonalne do ciężaru obciążenia sprężyny. Poszczególne punkty wykresu pokrywają się z ogólną linia trędu, oczywiście nie obeszło się bez pewnych błędów jakie wskazują końcowe punkty ale niepewności niwelują te odchylenia.
Wyszukiwarka