Statystyka inżynierska projekt część 2
Zbiór C14
Przygotował: Dawid Toporczyk
Wyznaczanie przedziałów ufności dla wartości oczekiwanej i odchylenia standardowego:
Zbiór X:
Szacowane dla współczynnika ufności:
1 − α = 0, 95
Liczebność próby:
n = 500
Odchylenie standardowe próby:
$$s = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}\left( x_{i} - x_{sr} \right)^{2}}{n}} = 34,38$$
Ze względu na dużą liczebność próby oraz nieznane odchylenie standardowe populacji przedziały ufności dla wartości oczekiwanej liczono ze wzoru:
$$P\left( x_{sr} - U_{1 - \frac{\alpha}{2}} \bullet \frac{s}{\sqrt{n}} < \mu < x_{sr} + U_{1 - \frac{\alpha}{2}} \bullet \frac{s}{\sqrt{n}} \right) = 1 - \alpha$$
A dla odchylenia standardowego ze wzoru:
$$P\left( \frac{s}{1 + \frac{U_{1 - \frac{\alpha}{2}}}{\sqrt{2n}}} < \sigma < \frac{s}{1 - \frac{U_{1 - \frac{\alpha}{2}}}{\sqrt{2n}}} \right) = 1 - \alpha$$
Przedziały ufności dla wartości oczekiwanej:
139, 57 < μ < 145, 60 dla 1 − α = 0, 95
Przedziały ufności dla odchylenia standardowego:
32, 37 < σ < 36, 65 dla 1 − α = 0, 95
Zbiór Y (wszystkie stosowane wzory takie same jak dla zbioru X):
Szacowane dla współczynnika ufności:
1 − α = 0, 95
Liczebność próby:
n = 500
Odchylenie standardowe próby:
s = 53, 97
Przedziały ufności dla wartości oczekiwanej:
253, 76 < μ < 263, 22 dla 1 − α = 0, 95
Przedziały ufności dla odchylenia standardowego:
50, 82 < σ < 57, 54 dla 1 − α = 0, 95
Analiza korelacji między zbiorami X i Y:
Współczynnik korelacji liniowej Pearsona:
$$R_{\text{xy}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n}\left\lbrack \left( x_{i} - x_{sr} \right)\left( y_{i} - y_{sr} \right) \right\rbrack}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n}\left( x_{i} - x_{sr} \right)^{2} \bullet \sum_{i = 1}^{n}\left( y_{i} - y_{sr} \right)^{2}}} = - 0,983$$
Wartość współczynnika korelacji bliska -1 wskazuje na silną korelację liniową ujemną.
Wyznaczanie współczynnika a prostej regresji:
$$a = \frac{\sum_{i = 1}^{n}\left\lbrack \left( x_{i} - x_{sr} \right)\left( y_{i} - y_{sr} \right) \right\rbrack}{\sum_{i = 1}^{n}\left( x_{i} - x_{sr} \right)^{2}} = - 1,543$$
Współczynnik b prostej regresji:
b = ysr − a • xsr = 478, 5
Równanie prostej regresji:
y = −1, 543x + 478, 5
Odchylenie standardowe składnika resztowego:
$$S_{e} = \sqrt{\frac{\left( y_{i}^{'} - y_{sr} \right)^{2}}{n - k}} = 9,87$$
Oznacza to, że przeciętnie wartość prognozowana różni się od wartości rzeczywistej o 9,87.
Współczynnik zmienności resztowej:
$$V_{e} = \frac{S_{e}}{y_{sr}} \bullet 100\% = 3,82\%$$
Wskazuje, że wartości prognozowane różnią się od rzeczywistych o 3,82%.
Współczynnik zbieżności:
$$\varphi^{2} = \frac{\sum_{i = 1}^{n}\left( y_{i} - y_{i}^{'} \right)^{2}}{\sum_{i = 1}^{n}\left( y_{i}^{'} - y_{sr} \right)^{2}} = 0,034$$
Współczynnik determinacji liniowej:
$$R^{2} = \frac{\sum_{i = 1}^{n}\left( y_{i}^{'} - y_{sr} \right)^{2}}{\sum_{i = 1}^{n}\left( y_{i} - y_{sr} \right)^{2}} = 1 - \varphi^{2} = 0,966$$
Współczynnik bardzo zbliżony do 1 pokazuje, że wartość zmiennych y w dużej mierze zależy od zmiennej x.