Politechnika Rzeszowska im. Ignacego Łukasiewicza
Wydział Elektrotechniki i Informatyki
Zakład Podstaw Elektrotechniki i Informatyki

PROJEKT Z TEORI OBWODÓW

Opiekun :

Dr hab. inż. Grzegorz Masłowski

Opracowali:

Damian Kielar

Albert Hawrylak

EE-DI2 - L2

Temat: „Projekt filtru cyfrowego, filtr Butterwortha – LP”

Główne cele:

• Projekt filtru analogowego na podstawie parametrów filtru cyfrowego

• Wyznaczenie transmitancji filtru cyfrowego na podstawie transformacji biliniowej

• Stworzenie programu wyliczającego transmitancje filtrów: prototypowego, znormalizowanego analogowego, cyfrowego w środowisku MathCAD

• Charakterystyki częstotliwościowe i odpowiedź impulsową oraz skokową zaprojektowanego filtru cyfrowego

Wiadomości wstępne:

Filtr jest to fragment obwodu elektrycznego lub obwodu elektronicznego odpowiedzialny za przepuszczanie lub blokowanie sygnałów o określonym zakresie częstotliwości lub zawierającego określone harmoniczne.

Ze względu na przeznaczenie filtry można podzielić na cztery podstawowe rodzaje: dolnoprzepustowe, górnoprzepustowe, środkowoprzepustowe, środkowozaporowe.

Filtry można również podzielić na typy obwodów w jakich są używane: analogowe i cyfrowe.

Filtry pasywne są wykonane tylko z pasywnych elementów RLC. Przy odpowiednim połączeniu elementów można uzyskać wszystkie typy filtrów.

Filtry aktywne wykorzystują zazwyczaj również własności elementów RLC, ale przy wspomaganiu specjalnymi elementami sterującymi oraz dostarczającymi energię do filtrowanego układu.

Istnieje wiele różnych typów filtrów aktywnych, m.in. filtry Butterwortha, filtry Czebyszewa, filtry Bessela, filtry eliptyczne.

Filtrem cyfrowym nazywamy przetwornik czasowo-dyskretnego sygnału wejściowego x[n] na czasowo-dyskretny sygnał wyjściowy y[n]. Filtry cyfrowe charakteryzuje kilka własności, z których najważniejsze to:
- dynamika, czyli jak dobrze tłumi nasz filtr w paśmie zaporowym.
- częstotliwość graniczna lub dwie częstotliwości graniczne, gdy mamy do czynienia z filtrem pasmowym.
 - szerokość zbocza (krawędź), czyli jak "szybko" filtr tłumi.

Ze względu na pasmo przenoszenia rozróżniamy filtry:
-górnoprzepustowy - highpass
- dolnoprzepustowy - lowpass
- środkowoprzepustowy - bandpass
- środkowozaporowy - pass-reject

Charakterystyka amplitudowa- zależność wzmocnienia od częstotliwości;

Na poniższym rysunku przedstawiona jest zakładana budowa filtru (składa sie z dwóch ogniw drugiego rzędu).

Główne zalety filtrów cyfrowych:

• są realizowane za pomocą programu - co za tym idzie łatwo jest coś zmienić bez konieczności zmiany całego układu

• mogą być projektowane, testowane oraz implementowanie na zwykłym komputerze - nie są konieczne wyspecjalizowane, drogie urządzenia, każdy może zaimplementować swój filtr na własnym PC lub laptopie

• są stabilne i odporne na działania czynników fizycznych -takich jak temperatura, która może wpłynąć na wyniki

• świetnie działają dla sygnałów o niskich częstotliwościach - w przeciwieństwie do... no właśnie, analogowych znajomych

• są znacznie bardziej wszechstronne - na przykład filtr cyfrowy może być dopasowywanu do charakterystyki konkretnego sygnału

1. Projektowanie filtru cyfrowego dla określonych parametrów

Filtr cyfrowy będzie zaprojektowany metodą biliniową, która wykorzystuje związki pomiędzy analogowymi filtrami Butterwortha a ich odpowiednikami cyfrowymi. W tej metodzie projektuje się filtry analogowe spełniające określone wymagania, a następnie transformuje się transmitancje tych filtrów H(s) do postaci cyfrowej H(z), stosując podstawienie s = 2f_pr(z-1)/(z+1).

Parametry filtru cyfrowego w Hz

Tłumienie w paśmie zaporowym i przepustowym

gdzie A oznacza tłumnie w dB amplitudowej

charakterystyki częstotliwościowej

(w paśmie przenoszenia i zaporowym)

Pulsacje filtru cyfrowego

Pulsacje cyfrowe unormowane względem częstotliwości próbkowania:

Przeliczenie pulsacji granicznych filtru cyfrowego na pulsacje graniczne filtru analogowego

PROJEKT FILTRU ANALOGOWEGO

Parametry unormowanego dolnoprzepustowego filtru analogowego

Projekt prototypowego filtru dolnoprzepustowego Butterwortha

Rząd N filtru:

Pulsacja ω3dB prototypu

Pulsacja ω3dB unormowanego

Wyznaczam bieguny filtru prototypowego oraz unormowanego

Położenie biegunów prototypowego i unormowanego dolnoprzepustowego filtra Butterwortha piątego rzędu

Transmitancja filtru prototypowego:

Transformacja częstotliwości filtru prototypowego na analogowy - LP -> LP

Podstawienie za s = s' / ω0, gdzie ω0 = ωpass

Transmitancja operatorowa filtru analogowego

Wyznaczenie charakterystyk czestotliwosciowych filtru analogowego

Wyznaczenie charakterystyk czasowych

Odpowiedź skokowa

W celu uzyskania odpowiedzi skokowej najpierw mnożymy transmitancję flitru przez

1/s a następnie obliczamy odwrotną transformatę Laplace'a

Odpowiedź impulsowa

W celu uzyskania odpowiedzi impulsowej obliczamy odwrotną transformatę Laplace'a

z filtru anlogowego

Projekt filtru cyfrowego:

Wyznaczenie transmitancji filtru cyfrowego na podstawie trransformacji biliniowej

HCyfrowy (z) = Hanalogowy (s) | s = 2fpr ( z-1 ) / ( z +1)

Transmitancja filtru cyfrowego

Wyznaczenie charakterystyk czestotliwosciowych

Aby uzyskać ch-kę amplitudową należy w miejsce z podstawić ej2πf/fpr

Wyznaczenie charakterystyk czasowych

Odpowiedz skokowa

Odpowiedz impulsowa

Wnioski

Rozważany przez nas filtr Butterwotha nie ma zafalowań w paśmie przepustowym i zaporowym oraz ma charakterystykę fazową najbardziej zbliżoną do liniowej. Na podstawie analizy charakterystyk można wywnioskować, że filtr pracuje stabilnie i spełnia wymagania.

Na podstawie charakterystyki amplitudowej filtru cyfrowego widać, że maksymalne dopuszczalne tłumienie w paśmie przepustowym jest równe 2dB, a częstotliwość końca pasma przepustowego równa 820Hz. Natomiast w paśmie zaporowym charakterystyka przechodzi przez punkt fpass,Astop, dzięki czemu filtr pracuje prawidłowo.

Część rzeczywista wszystkich biegunów transmitancji ma wartość ujemną, zapewnia to stabilność filtru. Zmiana wartości ω_3dBwpływa jedynie na zmianę promienia okręgu, na którym są rozłożone bieguny, natomiast rząd filtra odpowiada za liczbę biegunów.

Z charakterystyki Nyquista widać że wykres biegnie przed punktem (-1, j0), co oznacza stabilność układu.

Charakterystyki czasowe informują nas o tym czy filtr jest stabilny czy nie. Badany filtr jest stabilny, jego odpowiedź impulsowa dąży do „0” i mamy do czynienia z gasnącymi oscylacjami. Odpowiedź na skok jednostkowy dąży do „0” gdyż, jak wiadomo, filtr dolnoprzepustowy przepuszcza składowe niskoczęstotliwościowe i składową stałą, zaś tłumi składowe o wysokiej częstotliwości.

Rozważany przez nas filtr Butterwortha nie ma zafalowań w paśmie przepustowym i zaporowym oraz ma charakterystykę fazową najbardziej zbliżoną do liniowej. Na podstawie analizy charakterystyk można wywnioskować, że filtr pracuje stabilnie i spełnia wymagania.

Zmiana częstotliwości próbkowania wpływa na rząd filtru. Im większa częstotliwość tym wyższy rząd, a co za tym idzie filtr posiada lepsze właściwości, ale jest bardziej skomplikowany i trudniejszy w realizacji. Częstotliwość próbkowania wpływa także na zbocze charakterystyki amplitudowej - im większa częstotliwość tym bardziej strome zbocze (węższe pasmo przejściowe pomiędzy dwoma poziomami), a co za tym idzie filtr lepiej oddziela poszczególne częstotliwości. Charakterystyk amplitudowa filtru cyfrowego jest funkcją okresową, której okres wynosi 1/fpr.

Invztrans-znajduje odwrotność transformacji f(z)

Float-dokładność miejsc po przecinku

Invlaplace-odwraca transformatę Laplace’a

Simplify-upraszcza wzór

Bibliografia:

L. Gołębiowski, M. Gołębiowski: Obwody elektryczne

T. Zieliński: Od teorii do cyfrowego przetwarzania sygnałów

http://www.maplesoft.com/support/help/