Patrycja Tomaszewicz gr. 11 B5 26.03.2014
Karolina Tyburska
Ćwiczenie 7
Twierdzenie Betti-Maxwella i jego wykorzystanie
1. Opis doświadczeń
Celem ćwiczenia było przeprowadzenie czterech doświadczeń: pomiaru linii ugięcia belki, sprawdzenia twierdzenia o wzajemności przemieszczeń, sprawdzenie twierdzenia Betti-Maxwella oraz wykorzystanie tego twierdzenia do wyznaczania linii wpływu ugięcia. Ćwiczenie przeprowadzałyśmy dla belki teowej wykonanej z aluminium o schemacie statycznym przedstawionym na poniższym rysunku.
2. Doświadczenie 1 - pomiar linii ugięcia belki
Na początku odczytałyśmy początkowe wartości (OP) wskazań czujników zegarowych umieszczonych w punktach od 1 do 6. Następnie obciążyłyśmy belkę siłami w punkcie 3
P3 = 5kG (49,05 N) oraz w punkcie 6 P6 = 2kG (19,6 N). Zapisałyśmy końcowe odczyty (OK) czujników.
2.1. Wyniki pomiarów
| Nr punktu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Obciążenie | - | - | 3kG | - | - | 2kG |
| OP | 1,3 | 3,8 | 2,63 | 4 | 3,9 | 1 |
| OK | 0,92 | 3,15 | 1,83 | 3,26 | 3,35 | 1,19 |
| δ | 0,38 | 0,65 | 0,8 | 0,74 | 0,55 | -0,19 |
2.2. Obliczenia teoretyczne przemieszczeń punktów 1 i 4
Wykresy zostały opracowane w programie RM-WIN. Do obliczeń poszukiwanych przemieszczeń zastosowałyśmy zasadę prac wirtualnych dla układów odkształcalnych, z uwzględnieniem jedynie wpływu zginania.
Wykres momentów zginających od obciążenia zewnętrznego:
Wykres momentów zginających od obciążenia jednostkowego wirtualnego działającego w miejscu i na kierunku poszukiwanego przemieszczenia w punkcie 1:
Wykres momentów zginających od obciążenia jednostkowego wirtualnego działającego w miejscu i na kierunku poszukiwanego przemieszczenia w punkcie 4:
δ1=$\int_{}^{}{\frac{M \bullet \overset{\overline{}}{M}}{\text{EI}}\text{ds}} = \frac{1}{70 \bullet 10^{9} \bullet 0,222 \bullet 10^{- 8}}(\frac{1}{2} \bullet \frac{5,676}{3} \bullet 0,075 \bullet \frac{2}{3} \bullet 0,064 + \frac{5,676}{3} \bullet 0,15 \bullet \left( 0,053 + \frac{0,011}{2} \right) +$
$+ \frac{1}{2} \bullet 3,784 \bullet 0,15 \bullet \left( 0,053 + \frac{0,011}{3} \right) + \frac{1}{2} \bullet 5,676 \bullet 0,238 \bullet \left( 0,011 + \frac{2}{3} \bullet 0,042 \right) +$
$+ \frac{1}{2} \bullet ( - 1,47) \bullet 0,062 \bullet \frac{0,011}{3}) = 3,98 \bullet 10^{- 4}\ m =$ 0, 398 mm
δ4=$\int_{}^{}{\frac{M \bullet \overset{\overline{}}{M}}{\text{EI}}\text{ds}} = \frac{1}{70 \bullet 10^{9} \bullet 0,222 \bullet 10^{- 8}}\left( \frac{1}{2} \bullet 5,676 \bullet 0,225 \bullet \frac{2}{3} \bullet 0,09675 + 3,887 \bullet 0,075 \bullet \left( 0,09675 + + \frac{0,03225}{2} \right) + \frac{1}{2} \bullet 1,789 \bullet 0,075 \bullet \left( 0,09675 + \frac{0,03225}{3} \right) + \frac{1}{2} \bullet 3,887 \bullet 0,163 \bullet \left( 0,0355 + + \frac{2 \bullet 0,0935}{3} \right) + \frac{1}{2} \bullet \left( - 1,47 \right) \bullet 0,062 \bullet \frac{0,0355}{3} \right) = 7,19 \bullet 10^{- 4}\ m =$ 0, 719 mm
2.3. Porównanie wyników
| Punkt | 1 | 4 |
|---|---|---|
| Wartość doświadczalna | 0,38 mm | 0,74 mm |
| Obliczenia teoretyczne | 0,398 mm | 0,719 mm |
2.4. Linia ugięcia belki
3. Doświadczenie 2 - Sprawdzenie twierdzenia o wzajemności przemieszczeń
W celu przeprowadzenia doświadczenia badaną belkę obciążyłyśmy najpierw w punkcie 2 siłą P2 = 5kG (49,05 N) i zmierzyłyśmy przemieszczenie w punkcie 5 - δ25. Następnie siłę
P5 = 5kG (49,05 N) ustawiłyśmy w punkcie 5 i pomierzyłyśmy przemieszczenie w punkcie 2 δ52. Pomiar wykonałyśmy trzy razy.
3.1. Wyniki pomiarów
| 5kg | 5kg | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| Seria odczytów | Nr punktu | 2 | 5 | 5 | 2 |
| Odczyt I | OP | 3,8 | 3,9 | 3,9 | 3,8 |
| OK | 3,24 | 3,49 | 3,41 | 3,38 | |
| δ | 0,56 | 0,41 | 0,49 | 0,42 | |
| Odczyt II | OP | 3,8 | 3,9 | 4,1 | 3,85 |
| OK | 3,23 | 3,47 | 3,19 | 3,46 | |
| δ | 0,57 | 0,43 | 0,91 | 0,39 | |
| Odczyt III | OP | 3,85 | 3,95 | 3,95 | 3,85 |
| OK | 3,24 | 3,47 | 3,4 | 3,4 | |
| δ | 0,61 | 0,48 | 0,55 | 0,45 | |
| δśr | 0,58 | 0,44 | 0,65 | 0,42 |
δ25 = 0,44 mm
δ52 = 0,42 mm
Twierdzenie o wzajemności przemieszczeń δij = δji zostało spełnione. Wartość przemieszczenia δ25 = 0,44 mm jest w przybliżeniu równa wartości przemieszczenia δ52 = 0,42 mm.
4. Doświadczenie 3 - Sprawdzenie twierdzenia Betti-Maxwella
Belkę obciążyłyśmy grupą sił I: P1 = 1kG (9,8 N), P2 = 2kG (19,6 N), P3 = 2kG (19,6 N) i zmierzyłyśmy przemieszczenia w punktach 4, 5, 6 belki. Następnie przyłożyłyśmy grupę sił II: P4 = 2kG (19,6 N), P5 = 1kG (9,8 N), P6 = 1kG (9,8 N) i pomierzyłyśmy przemieszczenia w punktach 1, 2 i 3 belki. Pomiar wykonałyśmy trzy razy. Celem doświadczenia było sprawdzenie równości $\sum_{j = 1}^{3}{P_{\text{IIj}}\delta_{\text{jI}} = \sum_{i = 1}^{3}{P_{\text{Ii}}\delta_{\text{iII}}}}$ , gdzie:
PIIj (PIi) - siła z grupy II (I) ustawiona w punkcie j (i),
δjI (δiII) - przemieszczenie w punkcie j (i) od grupy sił I (II).
4.1. Wyniki pomiarów
| Seria odczytów | Nr punktu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Odczyt I | OP | 1,3 | 3,85 | 2,66 | 4 | 3,95 | 1 |
| OK | 1,14 | 3,53 | 2,3 | 3,36 | 3,47 | 1,24 | |
| δ | 0,16 | 0,32 | 0,36 | 0,64 | 0,48 | -0,24 | |
| Odczyt II | OP | 1,3 | 3,85 | 2,65 | 4 | 3,95 | 1 |
| OK | 1,15 | 3,54 | 2,3 | 3,36 | 3,47 | 1,24 | |
| δ | 0,15 | 0,31 | 0,35 | 0,64 | 0,48 | -0,24 | |
| Odczyt III | OP | 1,3 | 3,85 | 2,65 | 4 | 3,95 | 1 |
| OK | 1,15 | 3,54 | 2,31 | 3,36 | 3,46 | 1,24 | |
| δ | 0,15 | 0,31 | 0,34 | 0,64 | 0,49 | -0,24 | |
| δśr | 0,15 | 0,31 | 0,35 | 0,64 | 0,48 | -0,24 |
$$\sum_{j = 1}^{3}{P_{\text{IIj}}\delta_{\text{jI}} = 19,6 \bullet 0,64 + 9,8 \bullet 0,48 + 9,8 \bullet \left( - 0,24 \right) =}14,896$$
$$\sum_{j = 1}^{3}{P_{\text{Ii}}\delta_{\text{iII}} = 9,8 \bullet 0,15 + 19,6 \bullet 0,31 + 19,6 \bullet 0,35 =}14,406$$
5. Doświadczenie 4 - wykorzystanie twierdzenia Betti-Maxwella do wyznaczania linii wpływu ugięcia.
Siłę skupioną P2 = 5 kG (49,05 N) przyłożyłyśmy w punkcie 2 belki i zmierzyłyśmy przemieszczenia punktów 1, 2, 3, 4, 5 i 6. Pomiar powtórzyłyśmy trzy razy. Na podstawie otrzymanych danych wyznaczyłyśmy rzędne linii wpływu od poruszającej się siły skupionej P = 1,0 N.
5.1. Wyniki pomiarów
| Seria odczytów | Nr punktu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Odczyt I | OP | 1,30 | 3,85 | 2,66 | 4,00 | 3,95 | 1,00 |
| OK | 0,94 | 3,25 | 1,97 | 3,37 | 3,48 | 1,24 | |
| δ | 0,36 | 0,60 | 0,69 | 0,63 | 0,47 | -0,24 | |
| Odczyt II | OP | 1,30 | 3,85 | 2,66 | 4,00 | 3,95 | 1,00 |
| OK | 0,95 | 3,30 | 1,91 | 3,37 | 3,49 | 1,24 | |
| δ | 0,35 | 0,55 | 0,75 | 0,63 | 0,46 | -0,24 | |
| Odczyt III | OP | 1,30 | 3,85 | 2,65 | 4,00 | 3,95 | 1,00 |
| OK | 0,95 | 3,27 | 1,94 | 3,40 | 3,50 | 1,22 | |
| δ | 0,35 | 0,58 | 0,71 | 0,60 | 0,45 | -0,22 | |
| δśr | 0,35 | 0,58 | 0,72 | 0,62 | 0,46 | -0,23 | |
| Rzędne lini wpływu w 2 od P=1N | 0,007204 | 0,011757 | 0,014611 | 0,01264 | 0,009378 | -0,00476 |
Wyszukiwarka