Spiętrzenie naprężeń i wyznaczanie współczynnika kształtu metodą elastooptyczną.

Odlewnictwo jest dziedziną zajmującą wysoką pozycję w gospodarce kraju. Prowadzi do wytworzenia bardzo zróżnicowanych zarówno pod względem kształtu, jak i wielkości, produktów. Rozwój tej branży udokumentowany jest wysokimi wskaźnikami ekonomicznymi, udoskonalanymi technologiami oraz nowością konstrukcji przy równocześnie ostrzejszych kryteriach odbioru. Bo jak wiadomo odbiór techniczny jest nieodłącznym elementem wytworzenia odlewu i wprowadzenia go do użytku.

Bardzo duża różnorodność kształtu czy wielkości wpływa chociażby na różnorodność własności fizykochemicznych . Należy więc zawsze liczyć się z nieco odmiennymi mechanicznymi właściwościami gotowego odlewu , które z powodu niejednakowych warunków krzepnięcia i stygnięcia mogą być inne nawet w tej samej części, dlatego niezmiernie ważna jest weryfikacja konstrukcji odlewów metodami doświadczalnymi . Jedną z takich metod analizy naprężeń i odkształceń jest metoda elastooptyczna.

Metoda ta polega na doświadczalnym i doświadczalno-rachunkowym wyznaczaniu naprężeń w modelu konstrukcji, gdzie wykorzystuje się światło, jako nośnik informacji, a także związek między właściwościami optycznymi niektórych materiałów, a polem odkształceń. Zjawiskami, które wykorzystuje się w tej metodzie jest polaryzacja światła oraz anizotropia optyczna (dwójłomność wymuszona) wykonanym z materiału przeźroczystego, izotropowego i wykazującego własności dwójłomności wymuszonej. Dwójłomność wymuszona jest to  zjawisko polegające na zmianie współczynnika załamania światła proporcjonalnie do zewnętrznego pola elektrycznego pod wpływem zewnętrznych czynników. W przypadków odkształcenia dochodzi do efektu elastooptycznego, zaś w przypadku naprężeń - piezooptycznego. Jednak po usunięciu źródła wywołującego naprężenia wewnątrz ciała własność ta zanika.

Rys.1 Dwójłomność wymuszona

Efekt piezooptyczny - zmiana dwójłomności wywołana naprężeniami

naprężenia główne i ścinające

$$\sigma_{\text{kl}} = \frac{F_{k}}{S_{l}}$$

Efekt elastooptyczny - zmiana dwójłomności wywołana odkształceniami

prawo Hooke’a γ_i = s_ijσ_j,  i, j = 1, 2, …, 6 $\gamma_{\text{rs}} = \frac{r}{S}$

W klasycznych badaniach elastooptycznych stosuje się modele płaskie. Prześwietlając taki obciążony model wiązką spolaryzowanego światła, otrzymujemy dwa rodzaje miejsc geometrycznych : izokliny i izochromy. Są one jednoznacznie związane z polem odkształceń, a w zakresie liniowo-sprężystych odkształceń materiału – również z polem naprężeń. Na ich podstawie można przeprowadzić analizę rozkładu naprężeń normalnych i stycznych w analizowanym obszarze. W szczególności, podstawowe równanie elastooptyki, wiąże różnicę naprężeń głównych (σ1 – σ2) z efektem optycznym (rzędem izochromy N), równaniem o postaci:

σ1 – σ2 = N fσ

gdzie: fσ – tzw. naprężeniowa wartość rzędu izochromy.

W przypadku wyznaczenia tzw. parametru izokliny α, bezpośrednio z pomiaru można wyznaczyć wartość naprężenia stycznego:

τxy = (N fσ sin 2α)/2

W ogólnym przypadku, w celu określenia składowych normalnych stanu naprężenia, konieczne jest tzw. rozdzielenie naprężeń metodami numerycznymi lub z wykorzystaniem wyników dodatkowych pomiarów wykonywanych innymi metodami. Jednak na nieobciążonych, obciążeniami normalnymi lub stycznymi, krawędziach badanych elementów jest σ2 = 0, tak więc wartość naprężenia działającego stycznie do krawędzi jest wprost proporcjonalna do rzędu izochromy zmierzonego w danym jej punkcie:

(σ1 )i = Ni fσ

co pozwala wyznaczać w takich przypadkach wartość naprężeń maksymalnych na

zasadzie pomiaru maksymalnej wartości rzędu izochromy.

Rys.2. Przykładowy obraz izochorm powstały powstały na tubingu (u góry) oraz narastanie izochrom w rozciąganej próbce epoksydowej z otworem kolejno przy wzrastających siłach (u dołu)

linie jednakowych kierunków naprężeń głównych i linie stałej wartości różnicy naprężeń głównych σ₁-σ₂. Z kolei, wykorzystując izokliny i izochromy, za pomocą podstawowych zależności dla płaskiego stanu naprężeń przeprowadzamy rozdzielenie tych naprężeń.

Obecnie istnieje również możliwość przeprowadzania badań na rzeczywistych konstrukcjach za pomocą optycznie czułych pokryć.

Na powierzchni takiego elementu przymocowuje się cienką powłokę – warstwę elastooptyczną za pomocą kleju z dodatkiem płatkowego pyłu aluminiowego. Uzyskuje się dzięki temu warstwę odbijającą światło – powierzchnię odblaskową. Do powierzchni płaskich badanego elementu przykleja się wprost płaskie płytki wykonane z materiału optycznie czułego. W przypadku powierzchni zakrzywionych powłokę pozostająca jeszcze w stanie plastycznym kształtuje się na badanym elemencie, a następnie po jej stwardnieniu przykleja się do tego elementu. Przy obciążeniu konstrukcji, razem z nią odkształca się naniesiona warstwa elastooptyczna, w której zaistnieje w ogólnym przypadku dwuosiowy stan naprężeń odpowiadający stanowi naprężeń na powierzchni konstrukcji.

Jednak właściwości modelowej próbki mogą być inne niż rzeczywistego odlewu, a wytrzymałość….

Rzeczywisty element może mieć inne właściwości niż modelowa próbka, a wytrzymałość zmęczeniowa części maszyny może być inna niż wytrzymałość próbki z tego samego materiału, dlatego wytrzymałość zmęczeniowa danego elementu będzie zależała od jej wielkości, kształtu i stanu powierzchni.

Pożądany stan polaryzacji światła, umożliwiający śledzenie efektu dwójłomności, uzyskuje się w tzw. polaryskopach. Są one wyposażone w elementy optyczne umożliwiające uzyskanie światła o określonej polaryzacji (kołowej lub liniowej) oraz analizę zmian wywołanych anizotropią optyczną badanego ośrodka. Typowy schemat polaryskopu z transmisyjną wiązką światła pokazano na rysunku.

Rys.3. Schemat polaryskopu transmisyjnego

Podstawowe znaczenie ma tu współczynnik kształtu. Jest on związany z istnieniem karbu, o którym mówimy, gdy w miejscach zmiany kształtu lub wymiarów obciążonych elementów następuje zmiana rozkładu naprężeń; naprężenia doznają spiętrzenia i mogą być istotnie większe od nominalnie obliczonych.

Innymi słowy przez pojęcie karb należy rozumieć w ogólności miejsca zmian poprzecznych przekrojów elementów lub zmiany krzywizn powierzchni ograniczających przedmiot. Karbem są odsadzenia, rowki podłużne i poprzeczne, otwory, wycięcia, gwinty.

Problem karbu jest obecnie bardzo istotny, ponieważ karby są przyczyną około 33% uszkodzeń części maszynowych. Jego działanie można przedstawić poglądowo jako miejscowe zagęszczenie linii sił, a więc trajektorii punktów przekazujących obciążenie elementarnym cząstkom materiału.

Rys.4 Poglądowe przedstawienie działania karbu jako miejscowego zagęszczenie linii sił

Współczynnikiem kształtu α_k nazywamy stosunek największego naprężenia σ_max lub τ_max , występującego na krawędzi karbu, do wartości naprężenia nominalnego, obliczonego metodami wytrzymałości materiałów dla elementu o stałym przekroju równym przekrojowi netto (tzn. osłabionego karbem) , czyli:

$\alpha_{k} = \frac{\sigma_{\max}}{\sigma_{n}}$ , $\alpha_{k} = \frac{\tau_{\max}}{\tau_{n}}$

Dla modeli płaskich z jednoosiowym stanem naprężeń można zapisać:

σ_{max =} K^.m_max oraz σ_n = K^.m_m

gdzie:

m_max – największy rząd izochromy na krawędzi karbu,

m_{m –} nominalny rząd izochromy, który występowałby w modelu o stałym przekroju netto.

Rys.5. Rozkład naprężeń: a) w rozciąganym pręcie płaskim,

b) i c) w pręcie okrągłym z karbem obrączkowym (ujęcie poglądowe przestrzenne)

Działanie karbu w pręcie płaskim wywołuje zmianę liniowego stanu naprężeń na płaski, dwuosiowy stan naprężeń i na przestrzenny, trójosiowy stan naprężeń w pręcie przestrzennym.

Rozkład naprężeń w obszarze karbu zależy tylko do geometrii karbu związanej z wymiarami elementu. Wartość współczynnika α_k=f(ρ/r, R/r) zależy od stosunku promienia krzywizny dna karbu ρ do promienia lub połowy szerokości przekroju r w elementach płaskich w płaszczyźnie karbu oraz od stosunku promienia (połowy szerokości) elementu R w miejscu nie osłabionym karbem do promienia r. Wartość współczynnika kształtu α_k dla najczęściej spotykanych w praktyce karbów konstrukcyjnych można odczytać z wykresów. Promień dna karbu ρ w przypadku ostrych podcięć oblicza się ze wzoru:

ρ = ρ_k + ρ_m,

w którym ρ_k jest promieniem rzeczywistym (konstrukcyjnym) dna karbu, zaś ρ_m jest promieniem minimalnym dna karbu.

Jeśli ρ_k > 5mm, można przyjąć ρ = ρ_k.

α_k =f( , rodzaj obciążenia, kształt karbu)

Rys. 6 Współczynnik kształtu α_k przy rozciąganiu próbki płaskiej z dwustronnym karbem symetrycznym

Rys.7 Współczynnik kształtu α_k przy rozciąganiu próbki okrągłej z karbem obrączkowym

Działanie karbu w konkretnych elementach konstrukcyjnych musi być inne aniżeli w materiale modelowym o liniowej sprężystości. Właściwości materiałów rzeczywistych bowiem w bardzo różnym stopniu odbiegają od właściwości ciał wyłącznie sprężystych lub modelowych. Dlatego też wprowadzono praktyczną miarę wpływu spiętrzenia naprężeń na wytrzymałość zmęczeniową, którą jest współczynnik działania karbu β_k (lub krócej współczynnik karbu). Nazywa się go również efektywnym współczynnikiem spiętrzenia naprężeń dla odróżnienia od teoretycznego współczynnika spiętrzenia naprężeń, czyli współczynnika kształtu α_k.

Współczynnik β_k określa wielkość zmniejszenia wytrzymałości zmęczeniowej na skutek działania karbu i jest ustalany na podstawie stosunku wytrzymałości zmęczeniowej próbki gładkiej Z_gł do wytrzymałości zmęczeniowej próbki z karbem Z_k:

α_k i β_k łączy współczynnik wrażliwości materiału na działanie karbu η_k, mieszczący się w przedziale 0 ≤ η_k ≤ 1:

Silnej wrażliwości materiału na działanie karbu będzie odpowiadał η_k = 1 i wtedy β_k = α_k. Cecha ta powinna być właściwa materiałom doskonale sprężystym, umownie doskonale kruchym, których pękanie nie poprzedza odkształcenie plastyczne. Materiałem najlepiej zbliżonym do tych właściwości jest szkło.

Brak wrażliwości, czyli η_k = 0, dotyczy materiałów doskonale plastycznych, z pewnym wyjątkiem z grupy materiałów dość powszechnie używanych. Chodzi o żeliwo szare o η_k bliskim zera.

Metoda elastooptyczna posiada kilka zasadniczych zalet. Pozwala ona na szybką i jakościową ocenę poziomu naprężeń powierzchni badanego elementu (odlewu) nawet w temperaturze powyżej 15 ^oC. Jest metodą nieniszczącą i można ją porównać z obliczeniami. Metoda elastooptycznej warstwy wierzchniej umożliwia w łatwy sposób ustalić kierunki naprężeń głównych, a dodatkowo pozwala na obserwację obrazu elastooptycznego na powierzchni badanej konstrukcji w obszarze powłoki (jednorazowy obszar badawczy jest znacznie większy niż przykładowo w badaniach punktowych typu tensometria oporowa, czy badania

ultradźwiękowe).