Metoda analityczna wyznaczania linii ugięcia belek: 2 reakcje przemieszczeń: liniowe- ugięcie lub strzałka ugięcia, kątowe- kąt obrotu. Ugięcie- przemieszczenie się środka ciężkości przekroju poprzecznego pręta pod wpływem obciążenia zewnętrznego w kierunku prostopadłym do nieodkształconej osi belki. Kąt obrotu- kąt, o jaki obróci się przekrój poprzeczny na osi belki pod wpływem obciążenia zewnętrznego, w stosunku do położenia pierwotnego. Krzywizna belki: EJ- sztywność belki na zginanie; $\frac{1}{\rho\ } = \frac{- Mg(x)}{\text{EJ}}$ ; $\frac{1}{\rho\ } = \frac{\frac{d^{2}y}{dx^{2}}}{\sqrt{\left\lbrack 1 + \left( \frac{\text{dy}}{\text{dx}} \right)^{2} \right\rbrack^{3}}}$ ; $\frac{\text{Mg}(x)}{\text{EJ}} = - \frac{\frac{d^{2}y}{dx^{2}}}{\sqrt{\left\lbrack 1 + \left( \frac{\text{dy}}{\text{dx}} \right)^{2} \right\rbrack^{3}}}$ ; $\frac{\text{dy}}{\text{dx}} = \text{tgα} = 0$ ; $\text{EI}\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = - M_{g}(x)$. Zginanie ukośne- powstaje gdy para sił wywołująca zginanie nie działa w płaszczyźnie zawierającej główne centralne osie bezwładności przekrojów poprzecznych pręta. W takim przypadku wektor momentu gnącego nie pokrywa się z kierunkiem osi głównych przekrojów poprzecznych jeżeli wektor Mg tworzy kąt α z osią y to moment ten zapisujemy jako dwie składowe: My=Mg*cosα , Mz=Mg*sinα, z,y – współrzędne punktu A.$\sigma A^{'} = \frac{- My*z}{\text{Iy}}$; $\sigma A^{''} = \frac{Mz*y}{\text{Iz}}$; σA= σA’+ σA’’= $\frac{- My*z}{\text{Iy}} + \frac{Mz*y}{\text{Iz}}$; σA=$\frac{- Mg*cos\alpha*z}{\text{Iy}} + \frac{Mg*sin\alpha*y}{\text{Iz}} = 0$. Oś obojętna- jest prostą przechodzącą przez środek ciężkości przekroju poprzecznego, a jej współczynnik kierunkowy (tgβ0) wynosi: tg β0=tgα$\frac{\text{Iy}}{\text{Iz}}$.

Metoda wykreślno-analityczna wyznaczania linii ugięcia: W praktyce przy obliczaniu konstrukcji najczęściej wystarcza wyznaczenie ugięcia i kąta obrotu przekrojów w ściśle określonych miejscach belki, bez wyprowadzania równać ogólnych. W tych przypadkach stosujemy metodę obciążeń wtórnych, opartą na podobieństwie zależności różniczkowych zachodzących pomiędzy ugięciem, momentem zginającym i natężeniem obciążeń zginających. $- M\left( x \right) = \text{EI}\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ całkując otrzymujemy równanie $\text{EI}\frac{\text{dy}}{\text{dx}} = \frac{d\overset{\overline{}}{M}(x)}{\text{dx}} = \overset{\overline{}}{T}(x)$. Po ponownym scałkowaniu otrzymujemy $\text{EIy} = \overset{\overline{}}{M}(x)$; $\frac{\text{dy}}{\text{dx}} = \text{θi} = \frac{\overset{\overline{}}{T}(x)}{\text{EI}}$; $y = \text{fi} = \frac{\overset{\overline{}}{M}(x)}{\text{EI}}$; Aby zrównać stałe całkowania musimy przyjąć odpowiednie schematy. W tym celu muszą być spełnione następujące warunki: 1. jeżeli ugięcie w danym przekroju belki rzeczywistej jest równe 0, to w tym przekroju belki fikcyjnej $\overset{\overline{}}{\text{Mg}}$(x)=0. 2. jeżeli kąt obrotu przekroju belki rzeczywistej jest równy 0, to w tym przekroju belki fikcyjnej $\overset{\overline{}}{T}\left( x \right) = 0$. 3. jeżeli w którymkolwiek przekroju belki rzeczywistej ugięcie i kąt obrotu ≠ 0, to w tym przekroju belki wtórnej: $\overset{\overline{}}{\text{Mg}}\left( x \right) \neq 0\ \ i\ \overset{\overline{}}{T}(x) \neq 0$. Zginanie ze ścinaniem: to taki przypadek wytrzymałości materiałów, w którym na wynik redukcji wszystkich sił działających zewnętrznych po jednej stronie myślowego przekroju, względem środka ciężkości tego przekroju, otrzymamy moment gnący i siłę poprzeczną. $\sum_{}^{}{P_{i_{x}} = - \tau\left( y \right)\text{dxby} - \int_{y}^{y_{\max}}{\text{σdA} + \int_{y}^{y_{\max}}{\left( \sigma + \text{dσ} \right)\text{dA} = 0}}}$; ∫y^ymaxdσdA = τ(y)dxby; $\frac{\text{Mg}}{\text{Iz}}y$= σ(y) – naprężenie normalne powstałe od zginania; dσ(y)=$\ \frac{\text{dMg}}{\text{Iz}}y$; $\int_{y}^{y_{\max}}{\frac{\text{dMg}_{x}}{I_{z}}\text{ydA} = \tau\left( y \right)\text{dxby}};\ \text{dMg}\frac{1}{I_{z}}\int_{y}^{y_{\max}}{\text{ydA} = \tau\left( y \right)\text{dxby}}$; dMgx/dx=T(x); ∫y^ymaxydA =  Sy^ymax; $\frac{\text{dMgx}}{\text{dx}}*\frac{1}{\text{by}*\text{Iz}}\int_{y}^{y_{\max}}{\text{ydA} = \tau\left( y \right)}$; $\tau\left( y \right) = \frac{T\left( x \right)*S_{y}^{y_{\max}}}{\text{by}*\text{Iz}}$ T(x) – siła tnąca. Sy^ymax - moment statyczny względem osi obojętnej tej części przekroju poprzecznego, która zawarta jest między współrzędnymi y i ymax odmierzanymi od osi obojętnej pokrywającą się z osią Z. by – szerokość przekroju poprzecznego belki na poziomie określonym współrzędną y. Iz – moment bezwładności względem osi Z.

Wyboczenie prętów: Wyboczeniem nazywamy taki przypadek, w którym na wynik redukcji wszystkich sił działających po jednej stronie myślowego przekroju otrzymamy siłę przyłożoną w środku ciężkości i ściskającą dany przekrój. W przypadku prętów smukłych, siła ta powoduje zakrzywienie zwane wyboczeniem. $- Mg\left( x \right) = \text{EI}\frac{d^{2}y}{dx^{2}} - \ roz\text{niczkowe}\ ro\text{wnanie}\ \text{ugi}e\text{cia}\ \text{linii}\ \text{pr}e\text{ta}$. $\text{EI}\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = - \text{Mg}\left( x \right) = - P*y$ ; $\text{EI}\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + P*y = 0\ /:\text{EI}$ ; $\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + \frac{\text{Py}}{\text{EI}} = 0$ ; P/EI = k^2 ; y”+k^2y=0 gdzie y”=d^2y/dx^2; y=Asinkx+Bcoskx; x=0 => y=0 =>B=0 => A=/ 0; x=l => y=0 => Asinkl = 0 A=0 i sinkl = 0; jeśli A = 0 pręt nie ulegnie wyboczeniu; k=(n*π)/l ; k^2=(n^2π^2)/l^2=P/EI; P=(n^2π^2EI)/l^2; jeżeli n=0 => P=0; n=1 => P=$\frac{\pi^{2}\text{EI}}{l^{2}}$ => y=Asin$\frac{\pi}{l}x$; n=2 => P=$\frac{{4\pi}^{2}\text{EI}}{l^{2}}$ – 1 siła krytyczna Eulera. $\text{Pkr} = \frac{\pi^{2}EI_{\min}}{lw^{2}}$ – ogólny wzór na siłę krytyczną Eulera gdzie lw – długość wyboczeniowa pręta zależna od warunków zamocowania: przegubowe l=lw; z jednej strony przegub z drugiej utwierdzenie lw=0,7l, utwierdzenie obustronne lw=0,5l; utwierdzenie jednostronne lw=2l; $\sigma_{\text{kr}} = \frac{P_{\text{kr}}}{A} = \frac{\pi^{2}EI_{\min}}{lw^{2}*A}i_{\min} = \sqrt{\frac{I_{\min}}{A}} - \ \text{promie}n\ \text{bezw}l\text{adno}s\text{ci}$; $\frac{P_{\text{kr}}}{A} = \frac{\pi^{2}Ei_{\min}^{2}}{lw^{2}} = \frac{\pi^{2}E}{{(\frac{l_{w}}{i_{\min}})}^{2}} = \frac{\pi^{2}E}{\text{lambda}^{2}}$; λ=lw/imin -> smukłość. Równanie Maxwella- Mohra: $\text{fk} = \left( \frac{\partial V}{\partial Pk} \right),\text{Pk} = 0$; $\text{Vi} = \int_{\text{li}}^{}{\frac{1}{2\text{EJ}}Mg^{2}\ \text{dxi}}$; li- po całej dł. Belki. Mg= Mgi+ mgiPk; $\text{Vi} = \int_{\text{li}}^{}{\frac{1}{2\text{EJ}}{(M\text{gi} + \ m\text{gi}Pk)}^{2}\ \text{dxi}}$; $\text{fk} = \frac{\partial V}{\partial Pk} = \int_{l}^{}{\frac{1}{\text{EJ}}\left( \text{\ M}\text{gi} + \ m\text{gi}Pk \right)\text{mgi}*\text{dxi}}$; $\text{fk} = \int_{l}^{}{\frac{Mgi*mgi}{\text{EJ}}\text{dxi}}$- rownanie Maxwella Mohra dla zginania.

Równanie trzech momentów: Metoda rozwiązywania belek wielopodporowych polega na wykorzystaniu warunku ciągłości belki, a więc faktu, że na każdej podporze końce linii ugięcia obu sąsiadujących ze sobą przęseł mają wspólną styczną. θn = θn1 + θn2; $\theta_{n_{1}} \rightarrow \theta = - \frac{\overset{\overline{}}{T}}{\text{EI}};\ $ $R^{'} = \frac{\varnothing_{n}*a_{n}}{l_{n}}$; $\overset{\overline{}}{T} = - \overset{\overline{}}{R}'$; $\theta_{n_{1}} = - \left( - \frac{\overset{\overline{}}{R}'}{\text{EI}} \right) = \frac{\varnothing_{n}*a_{n}}{l_{n}*EI}$; $\theta_{n_{2}} = \frac{M_{n}l_{n}}{3\text{EJ}} + \frac{M_{n - 1}*l_{n}}{6\text{EI}}$; $\theta_{n} = \theta_{n_{1}} + \theta_{n_{2}} = \frac{\varnothing_{n}*a_{n}}{l_{n}*EI} + \frac{M_{n}*l_{n}}{3\text{EI}} + \frac{M_{n - 1}*l_{n}}{6\text{EI}}$; $\overset{\overline{}}{R}" = \frac{\varnothing_{n + 1}*b_{n + 1}}{l_{n + 1}}$; ${\theta_{n1}}^{'} = - \frac{\overset{\overline{}}{R"}}{\text{EI}} = \frac{{- \varnothing}_{n + 1}*b_{n + 1}}{l_{n + 1}}$; ${\theta_{n2}}^{'} = - \frac{M_{n}l_{n + 1}}{3\text{EI}} - \frac{M_{n + 1}l_{n + 1}}{6\text{EI}}$; θn^′ = θn1^′ + θn2^′; ${\theta_{n}}^{'} = \frac{- \varnothing_{n + 1}b_{n + 1}}{\text{EI}l_{n + 1}} - \frac{M_{n}l_{n + 1}}{3\text{EI}} - \frac{M_{n + 1}l_{n + 1}}{6\text{EI}}$; θn = θn^′; $\frac{\varnothing a_{n}}{l_{n}} + \frac{1}{6}M_{n - 1}l_{n} + \frac{1}{3}M_{n}l_{n} = - (\frac{\varnothing_{n + 1}b_{n + 1}}{l_{n + 1}} + \frac{1}{3}M_{n}l_{n + 1} + \frac{1}{6}M_{n + 1}l_{n})$; $M_{n - 1}l_{n} + 2M_{n}\left( l_{n} + l_{n + 1} \right) + M_{n + 1}l_{n + 1} = - 6\left( \frac{\varnothing_{n}a_{n}}{l_{n}} + \frac{\varnothing_{n + 1\ }b_{n + 1}}{l_{n + 1}} \right) = - 6({\overset{\overline{}}{R}}^{'} + \overset{\overline{}}{R}")$. Twierdzenie Castigliano: $V = \frac{1}{2}(P_{1}f_{1} + P_{2}f_{2} + \ldots + P_{i}f_{i} + \ldots + P_{n}f_{n})$; $\text{δV} = \frac{1}{2}\left( \delta Pi*\delta fi \right);\ \text{δL} = \text{δPifi}$; $V_{2} = \partial V + V + \text{δL} = \frac{1}{2}\left( \text{δPifi} \right) + V + \text{δPifi}$; V1=V2; $V + \frac{\partial V}{\partial Pi}\text{δPi} = \frac{1}{2}\left( \text{δPiδfi} \right) + V + \text{δPifi};\ \ \text{δPiδfi} \approx 0;\ \text{δPi} \neq 0$; $\frac{\partial V}{\partial Pi} = \text{fi}$ ; pochodna cząstkowa energii sprężystej układu względem siły uogólnionej jest równa współrzędnej uogólnionej odpowiadającej tej sile. Równanie kanoniczne metody sił: Inaczej równanie Maxwella-Mohra dla układów statycznie niewyznaczalnych: α11x1 + α12x2 + … + α1nxn + α10 = 0; α21x1 + α22x2 + … + α2nxn + α20 = 0; αn1x1 + αn2x2 + … + αnnxn + αn0 = 0.

Twierdzenie Menabrea i zasada Bettiego: z tw. Castigiliano: $\frac{\partial V}{\partial P} = \text{fc}$ ; $\frac{\partial V}{\partial x} = \text{fD}$ ; Chcemy, żeby fd= 0, więc w pkt. D wstawiamy podporę. Fd= 0, jeśli $\frac{\partial V}{\partial x} = 0$ ; $\frac{\partial V}{\partial x} = 0$- Twierdzenie Menabrea. Pochodna cząstkowa energii sprężystej układu względem reakcji statycznie niewyznaczalnej jest równa 0. Dla przypadku zginania: $\frac{\partial V}{\partial x} = \frac{1}{\text{EJ}}\int_{0}^{l}{\text{Mg}\frac{\partial Mg}{\partial x}\text{dx} = 0}$; $\int_{0}^{l}{\text{Mg}\frac{\partial Mg}{\partial x}\text{dx} = 0}$; Zasada wzajemności prac Bettiego: V= $\frac{1}{2}P1f1'$; Przykładamy najpierw P1, potem P2: V= $\frac{1}{2}P1f1^{'} + \ \frac{1}{2}P2f2^{''} + \ \frac{1}{2}P1f1^{'}'$ ; Odwrotnie: V= $\frac{1}{2}P2f2^{''} + \ \frac{1}{2}P1f1^{'} + \ \frac{1}{2}P2f2^{'}$ ; Energia jest taka sama dla obu przypadków. Po uproszczeniu mamy: P1f1’’=P2f2’ –zasada wzajemności prac Bettiego. Praca sił pierwszego stanu obciążeń na przemieszczeniach uogólnionych wywołanych przez drugi stan naprężeń jest równa pracy sił drugiego stanu obciążeń na przemieszczeniach uogólnionych wywołanych przez stan pierwszy. Zginanie ze skręcaniem: to przypadek, w którym w wyniku redukcji wszystkich sił zewnętrznych działających po jednej stronie przekroju myślowego otrzymamy w tym przekroju moment gnący i moment skręcający. σg=Mg/Wg; τs=Ms/Wo ; Wg=πd^3/32 ; Wo= πd^3/16; Wo=2Wg ; $\sigma_{o}^{n} = \sqrt{\sigma_{g}^{2} + 3\tau_{s}^{2}}$ ; $\sigma_{o} = \sqrt{(\frac{M_{g}}{W_{g}})^{2} + (3\frac{M_{s}}{{2W}_{g}})^{2}} = \sqrt{(\frac{M_{g}}{W_{g}})^{2} + (3\frac{M_{s}2}{{4W}_{g}2})} = \frac{1}{W_{g}}\sqrt{\text{Mg}^{2} + \frac{3}{4}\text{Ms}^{2}}$; $\text{Mz} = \sqrt{\text{Mg}^{2} + \frac{3}{4}\text{Ms}^{2}}$ - moment zastępczy; σo=Mz/Wg <=kz – warunek wytrzymałości przy zginaniu ze skręcaniem.