PRACOWNIA DYPLOMOWA

RAPORT

Miary logarytmiczne stosowane w

Elektronice i telekomunikacji

GNIEZNO 2015

1. Wstęp

Celem niniejszego raportu jest przedstawienie zagadnienia stosowania miar logarytmicznych w elektronice i telekomunikacji. Będzie on składał się z 2 głównych części. Pierwsza zawierała będzie wstęp teoretyczny do podstawowego zagadnienia logarytmu, oraz miar logarytmicznych. W drugiej części natomiast zostanie zaprezentowany program wykonany w środowisku „Matlab” w którym został zaprojektowany filtr dolnoprzepustowy RC.

1. Część teoretyczna

   1. Czym jest logarytm.

- jest to wykładnik potęgi do której należy podnieść stałą wartość podstawową (podstawę logarytmu), aby otrzymać daną liczbę.

Źródło: http://pl.wikipedia.org/wiki/Logarytm#mediaviewer/File:Logarithms.svg

Na wykresie przedstawione zostały 3 przykłady logarytmów. Wykres nr 1 przedstawia logarytm przy podstawie 1,7. Wykres numer 2 przedstawia logarytm naturalny (przy podstawie e). Ostatni wykres przedstawia natomiast logarytm przy podstawie 10. Można z tego wyciągnąć ciekawy wniosek. Mianowicie im większa jest podstawa logarytmu „a”, tym większy jest stopień kompresji wykresu logarytmu.

1. Własności logarytmu.

- logarytm iloczynu liczb dodatnich jest równy sumie logarytmów poszczególnych czynników tego iloczynu przy tej samej podstawie

log_a(b*c) =  log_ab +  log_ac

- logarytm ilorazy liczb dodatnich jest równy różnicy logarytmów dzielnej i dzelnika przy tej samej podstawie.

$$\log_{a}\frac{b}{c} = \ \log_{a}b - \log_{a}c$$

- logarytm potęgi o podstawie dodatniej jest równy iloczynowi wykładnika potęgi i logarytmu podstawy potęgi.

log_ab^c  = c *  log_a

- wzór na zmianę podstawy potęgi

log_ab  = log_cb  : log_ca

Źródło: http://www.math.us.edu.pl/prace/kbj/definicja.html

1. Wielkości logarytmiczne stosowane w telekomunikacji

- w telekomunikacji, z powodu występującej dużej dynamiki zjawisk oraz logarytmicznej skali czułości zmysłów ludzkich, powszechnie stosowane są logarytmiczne wielkości i ich specyficzne jednostki miar. Wielkości te wykorzystuje się przy określaniu wartości proporcjonalnych do przesyłanej energii lub mocy.

Wielkość logarytmiczna „a” jest zapisywana jako iloczyn logarytmu (przy podstawie b) stosunku dwu wielkości A1/A2 i współczynnika K.

$$a = K*\log_{b}\frac{A1}{A2}$$

Wielkość logarytmiczna jest to wielkość określana jako stosunek dwu wartości wielkości fizycznych, które powinny być ściśle sprecyzowane zarówno pod względem charakteru, jak i sposobu ich wyznaczenia.

Neper – jest logarytmem naturalnym stosunku dwu wielkości mocy

$$a_{P} = \ \log_{e}\frac{P1}{P2} = 1Np$$

Oktawa – jest logarytmem binarnym stosunku dwu częstotliwości:

$$a_{f} = \ K_{f}\log_{2}\frac{f_{1}}{f_{2}} = 1\ oktawa$$

Dekada – jest logarytmem dziesiętnym stosunku dwu częstotliwości:

$$a_{f} = \ K_{f}\log_{10}\frac{f_{1}}{f_{2}} = 1\ dekada$$

Bel – jest logarytmem dziesiętnym stosunku dwu wielkości mocy

$$a_{P} = \ \log_{10}\frac{P1}{P2} = 1B$$

W praktyce przeważnie stosuje się jednostkę 10-krotnie mniejszą, czyli dB.

$$1dB = \frac{1}{10}B$$

Decybel – jest najczęściej używany do wyrażania stosunku dwóch wielkości takich jak napięcie, prąd elektryczny, ciśnienie akustyczne, moc

Wyrażanie mocy w dB

$$a_{P} = \ 10\log_{10}\frac{P1}{P2} = 1dB$$

Wyrażanie napięć i prądów w dB

$$a_{P} = \ 20\log_{10}\frac{U1}{U2} = 1dB$$

Stosunek dwóch mocy lub napięć jest miarą względną, która nie precyzuje, o jaką wartość mocy lub napięcia chodzi. Aby podać bezwzględną wartość tych wielkości, należy je porównać z odpowiednią jednostką odniesienia. Sam bel i decybel nie jest miarą ani mocy ani napięcia, ani żadnej wielkości fizycznej. Jest to tylko sposób przedstawienia stosunku dwóch wartości. Decybele znakomicie nadają się na przykład do wyrażania wzmocnienia zasilacza. Ale w zasadzie, bez dodatkowej umowy, nie można wyrażać w decybelach ani mocy ani napięcia. Miara logarytmiczna jest jednak bardzo wygodna i dobrze byłoby wyrażać w ten sposób także wartości mocy i napięć. Żeby to zrobić wystarczy przyjąć jakiś punkt odniesienia, a następnie określać moc lub napięcie w decybelach, w stosunku do przyjętej wartości odniesienia.

dBm – jest to jednostka miary mocy w odniesieniu do 1 mW

$$a_{P} = \ 10\log_{10}\frac{P1}{1mW} = 1dBm$$

dBW – jest to jednostka miary mocy w odniesieniu do 1 mW

$$a_{P} = \ 10\log_{10}\frac{P1}{1W} = 1dBW$$

Zależność między dBm a dBW jest bardzo prosta i wynika z odpowiednich obliczeń i przekształceń jednostek.

P[dBm] −  30 = P[dBW]

P[dBW] +  30 = P[dBm]

Źródło: http://www.math.us.edu.pl/prace/kbj/definicja.html

1. Skala logarytmiczna

W zagadnieniach związanych z dźwiękiem najczęściej wyrażaną w mierze logarytmicznej wielkością jest częstotliwość. Przeanalizujmy jak skonstruowana jest skala logarytmiczna.

Mając przed sobą kartkę papieru w kratkę przyjmijmy, że naszą podstawową jednostką będzie dziesięć kratek. W takim układzie, co dziesięć kratek na naszym wykresie będziemy mieć przyrost częstotliwości o jeden rząd wielkości.1,10,100,1000 itd. Zaczynamy od 1 Hz a nie od zera (w mierze logarytmicznej nie ma zera).

Źródło: http://www.gambit.nazwa.pl/grapher/grapher9/g/N08_d.jpg

Tak więc po dziesięciu kratkach będziemy mieli 10 Hz, po dwudziestu już 100 Hz a po trzydziestu kratkach 1000 Hz itd. Skąd to się bierze ? Policzmy logarytm dziesiętny z 1 Hz. Wyjdzie 0 – jesteśmy na początku naszego wykresu. Logarytm z 10 Hz to 1działka (w naszym przypadku 10 kratek). Logarytm ze 100 Hz to 2działki – 20 kratek itd. Podobnie liczymy dla mniejszych wartości. I tak np. 2 Hz to 0,3 całej podstawowej jednostki, czyli 3 kratki, a 5 Hz to około 7 kratek itd. W mierze logarytmicznej przedstawia się wszelkie charakterystyki częstotliwościowe. Gdyby sporządzić wykres zależności jakiejś wielkości od częstotliwości w zakresie akustycznym (20 Hz – 20000 Hz) w mierze liniowej przyjmując, że jedna kratka to 20 Hz wykres miałby długości (raczej mało wygodne). W mierze logarytmicznej przyjmując jako podstawową działkę 10 kratek wykres będzie miał jakieś .

Źródło: http://slownik-geologiczny.wdfiles.com/local--files/wykres-uziarnienia/Zwir_piaszczysty_morski.GIF

1. Projektowanie filtra dolnoprzepustowego RC

   1. Schemat i opis filtra

Transmitancja filtru dolnoprzepustowego:

$$H\left( f \right) = \ \frac{\text{Uwy}}{\text{Uwe}}$$

Obliczenie transmitancji:

$$X_{c} = \ \frac{1}{\text{jwC}}$$

$$Iwe = \ \frac{\text{Uwe}}{R + \frac{1}{\text{jwC}}}$$

$$Uwy = \ \frac{\text{Uwe}}{R + \frac{1}{\text{jwC}}}*\ \frac{1}{\text{jwC}}$$

$$\frac{\text{Uwy}}{\text{Uwe}} = \ \frac{1}{1 + jwRC} = \ \frac{1}{1 + j*\frac{w}{\frac{1}{\text{RC}}}} = \ \frac{1}{1 + j*\frac{w}{w_{3}}}\ $$

Transmitancja po obliczeniach wynosi:

$$H\left( f \right) = \ \frac{1}{1 + j*\frac{w}{w_{3}}}\ $$

Przyjmując że w = 2πf, a w₃ = 2πf₃, otrzymujemy końcową postać transmitancji:

$$H\left( f \right) = \ \frac{1}{1 + j*\frac{f}{f_{3}}}$$

Moduł transmitancji:

$$\left| H\left( f \right) \right| = \left| \frac{1}{1 + j*\frac{f}{f_{3}}} \right| = \ \frac{1}{\sqrt{1 + {(\frac{f}{f_{3}})}^{2}}}$$

Moduł transmitancji wyrażony w dB:

$$\left| H\left( f \right) \right|_{\text{dB}} = 20log*\ \frac{1}{\sqrt{1 + {(\frac{f}{f_{3}})}^{2}}}$$

$$20log*\ \frac{1}{\sqrt{1 + {(\frac{f}{f_{3}})}^{2}}} = 0 - 20log\sqrt{1 + {(\frac{f}{f_{3}})}^{2}} = \ - 20*\frac{1}{2}\log\left( 1 + \left( \frac{f}{f_{3}} \right)^{2} \right)$$

$$= - 10log*\left( 1 + \left( \frac{f}{f_{3}} \right)^{2} \right)$$

Z powyższego wzoru wynika, że jeśli transmitancja wynosi 0, to stosunek napięć (na wejściu i wyjściu to samo) wynosi 1.

1. Schemat i opis filtra

%%%%%% pasmo 3dB dla podanych parametrów elementów filtru wynosi 50 Hz) %%%%%%

R = 1000; % opór rezystora filtra dolnoprzepustowego RC %%

C = 0.0000031831; % pojemność kondensatora filtra dolnoprzepustowego RC %%

f = 0:1:100;

fl = log10(f);

f3 = 1/2*pi*R*C;

x = f/f3;

xl = log10(x);

h = 1./(1+(j*2*pi*f*R*C)); % transmitancja filtra

hs = abs(h); % moduł transmitancji

hsl = 20*log10(hs); % moduł transmitancji wyrażony w dB

subplot(1,1,1);

plot(f,hsl,'-r');

xlabel('f');

ylabel('20log|H(f)|');

legend('20log|H(f)|');

title('wykres funkcji transmitancji H(f) wyrażonej w dB');

grid on;

grid minor;

% subplot(1,1,1);

% plot(fl,hsl,'-r');

% xlabel('log(f)');

% ylabel('20log|H(f)|');

% legend('20log|H(f)|');

% title('wykres funkcji transmitancji H(f) wyrażonej w dB');

% grid on;

% grid minor;

% subplot(1,1,1);

% plot(xl,hsl,'-r');

% xlabel('log(f/f3)');

% ylabel('20log|H(f)|');

% legend('20log|H(f)|');

% title('wykres funkcji transmitancji H(f) wyrażonej w dB');

% grid on;

% grid minor;

1. Wykresy symulacyjne

Wykres transmitancji wyrażonej w dB, w funkcji częstotliwości

Wykres transmitancji wyrażonej w dB, w funkcji częstotliwości wyrażonej w dB

Wykres transmitancji wyrażonej w dB, w funkcji stosunku częstotliwości (f/f3) wyrażonego w dB

1. Wykresy symulacyjne

Powyższe 3 rysunki przedstawiają wykresy amplitudowo-częstotliwościowe. Parametry rezystora i kondensatora zostały dobrane specjalnie tak, aby częstotliwość tłumienia w paśmie 3dB wynosiła 50 Hz. Wartości tych elementów wyniosły:

R = 1kΩ

C =  0.0000031831 F = 3,1831 µF

Ze wzoru $f_{3} = \frac{1}{2*\pi*R*C}$ łatwo można wyliczyć częstotliwość w wybranym paśmie.

Wszystkie powyższe wykresy cechują się charakterystyką spadkową. Wraz ze wzrostem częstotliwości, jak i również stosunku, transmitancja filtru maleje. Filtr zachowuje się więc odpowiednio do jego właściwości. Składowe częstotliwości dolnych pozostawia bez zmian, natomiast te z górnych częstotliwości stara się jak najmocniej tłumić. To, jak mocno filtr oddziałuje na sygnał zależy przede wszystkim od jego zakresu działania (pasma przenoszenia) oraz parametrów dodatkowych, takich jak między innymi dobroć „Q”.

Spis treści:

1. Wstęp

2. Część teoretyczna

   1. Czym jest logarytm

   2. Własności logarytmu

   3. Wielkości logarytmiczne stosowane w elektronice i telekomunikacji

   4. Skala logarytmiczna

3. Projektowanie filtra dolnoprzepustowego RC

   1. Schemat i opis filtra

   2. Kod programu

   3. Wykresy symulacyjne

   4. Wnioski

BIBLIOGRAFIA

Strony internetowe:

Wikipedia, wolna encyklopedia, http://pl.wikipedia.org/

Instytut matematyki, http://www.math.us.edu.pl

Gambit Centrum oprogramowania i szkoleń, http://www.gambit.nazwa.pl/

Słownik geologiczny, http://slownik-geologiczny.wikidot.com/

Opracowania:

Laboratorium Podstaw Elektroniki instytutu Fizyki Politechniki Łódzkiej

Laboratorium Elektroniczne, Wydział Fizyki i Informatyki stosowanej Akademii górniczo Hutniczej w Krakowie

Literatura:

[1] T. Stacewicz, A. Kotlicki –Elektronika w laboratorium naukowym, PWN, W-wa, 1994.

[2] R. Śledziewski – Elektronika dla Fizyków, PWN, W-wa, 1984.

[3] B. Pióro, M. Pióro – Podstawy elektroniki, WSiP, W-wa, 1997.