2. W celu oszacowania średniej powierzchni wybudowanych w 1993r. w Warszawie mieszkań, wylosowano niezależnie 120 wybudowanych w tym okresie mieszkań i otrzymano dla nich następujący rozkład powierzchni mieszkalnej (w m2):
powierzchnia mieszkalna (w m2) x0i-x1i |
Liczba Mieszkań ni |
Xi | Xi*ni | (xi-x)2ni |
|---|---|---|---|---|
| 15 - 25 | 10 | 20 | 200 | 4695,89 |
| 25 - 35 | 25 | 30 | 750 | 3404.72 |
| 35 - 45 | 40 | 40 | 1600 | 111,56 |
| 45 – 55 | 30 | 50 | 1500 | 2081,67 |
| 55 – 65 | 10 | 60 | 600 | 3359,89 |
| 65 – 75 | 5 | 70 | 350 | `4012,94 |
| Suma | 270 | 5000 | 17666,67 |
Zbudować przedział ufności dla średniej powierzchni mieszkań wybudowanych w Warszawie w badanym roku, przyjmując współczynnik ufności 0.90.
DANE:
n = 120
L=0,10
P= 1- L = 1- 0,10 = 0,90 czyli UL = 1,65 rozkład normalny
( obliczamy 0,10/2 = 0,05 -> 1- 0,05 = 0,95 szukamy w tablicach tej wartości i odczytujemu co mamy w pionie i w poziomie )
Obliczam średnią arytmetyczną :
X= (Exi*ni)/n
X = 5000 / 120 = 41,67
Obliczam wariację:
S2 ( x)= E(xi – x)2 *ni/ n
S2 (x) = 17666,67 / 120 =147,22
S(x) = Ţ147,22 = 12,13
Wzór:
P{( x-UL * s(x)/√n ≤ µ ≤ x + UL * s(x)/ √n} = 1- L
P{ 41,67 – 1,65 * 12,13/√120 ≤ µ ≤ 41,67 + 1,65 * 12,13/ √120} 1-0,10
P{ 39,84 ≤ µ ≤ 43,50}
Odp.
Na mierniku uniwersalnym TLM dokonano segregacyjnych pomiarów tranzystorów badając napięcie . Techniczna norma tego napięcia dla badanego typu tranzystorów wynosi 60 V, natomiast dla 27 losowo wybranych tranzystorów zanotowano średnie napięcie 51 V, przy odchyleniu standardowym 21 V. Czy na tej podstawie można twierdzić , przyjmując poziom istotności 0,02 , że średnie napięcie wszystkich tranzystorów jest mniejsze od 60 V.
Dane:
N = 27
X = 51 Ho : u1 = 60
S(x) = 21
L = 0,02 H1: u1< 60
Wzór:
t = (x-u)/ S(x) * √n-1
t = (51 – 60)/ 21 * √27-1
t = -9/21)/ √26
t= -0,43 / 5,10
t = -2,193
dla tl 0,02 = 2,479 2t0,04 ; 26 = 2,162
Obszar krytyczny mieści się w przedziale od (-∞, 2,162>
Odp. Ho odrzucamy ponieważ t = - 2,193 mieści się w obszarze krytycznym , H1 przyjmujemy.
Dokonano 7 niezależnych pomiarów szybkości początkowej pocisku wystrzelonego z pewnej broni i otrzymano następujące wyniki ( w m/sek ): średnia arytmetyczna = 604,96 , a wariancja = 1,262. Przyjmując współczynnik ufności 0.98 oszacować metodą przedziałową średnią szybkość początkową wystrzelonego z tej broni pocisku.
Dane:
N = 7
X = 604,96
S2 (x) =1,262 czyli S(x) = √1,262 = 1,12
L = 0,98
tl = 0,02; 6 = 3.143
Wzór:
P{( x-tL * s(x)/ √n-1 ≤ µ ≤ x + tL * s(x)/ √n-1 } = 1- L
P{ (604,96 – 3,143 * 1,12/√6 ≤ µ ≤ 604,96 + 3,143 * 1,12/√6)} = 0,98
P{604,96 – 3,52/2,45 ≤ µ ≤ 604,96 + 3,52/2,45} = 0,98
P{ 603, 52 ≤ µ ≤ 606,40} = 0,98
Odp. Średnia szybkość początkowa wystrzelonego pocisku mieści się w przedziale (603,52 ; 606,40) z prawdopodobieństwem 0,98.
5. Sprawdzić hipotezę, że poniższy empiryczny rozkład wyników uzyskanych przez 200 uczniów pewnej szkoły podstawowej w biegu na 100m jest zgodny z rozkładem normalnym. Zastosować test zgodności chi-kwadrat:
| Czas w s. | L. uczniów Ni |
Xi | Ni*xi | (xi-x)2 *ni |
|---|---|---|---|---|
| 12-14 | 10 | 13 | 130 | 136,90 |
| 14-16 | 40 | 15 | 600 | 1299,60 |
| 16-18 | 100 | 17 | 170 | 5929,00 |
| 18-20 | 45 | 19 | 855 | 4234,05 |
| 20-22 | 5 | 21 | 105 | 684.45 |
| Suma | 85 | 1860 | 12284,00 |
Dane:
N = 200
6. W celu oszacowania struktury procentowej rodzaju kontraktacji w indywidualnych gospodarstwach rolnych spośród tych, które prowadzą kontraktację. Otrzymano następujące dane:
| Rodaj kontraktacji | Liczba gospodarstw |
|---|---|
- zboża i ziemniaki -buraki i rośliny przemysłowe -bydło -trzoda chlewna |
21 123 50 166 |
Zbudować przedział ufności ze współczynnikiem 0.95 dla procentu gospodarstw prowadzących kontraktację na buraki i rośliny przemysłowe w tym powiecie.
Dane:
N = 360
m = 123
l = 0,05 dla 1- 0,05 = 0,95 uL = 1,96
wskaźnik struktury
p = m / n
p = 123 / 360 = 0,34
Wzór:
P{ m/n - u L √[m/n(1-m/n)]/n < p <m/n + u L √[m/n(1-m/n)]/n } = 1-L
P{ 0,34 – 1,96 √0,34 (1-0,34)]/ 360 < p < { 0,34 + 1,96 √0,34 (1-0,34)]/ 360} = 0,95
P{ 0,34 – 1,96 *(√0,34 * 0,66/ 360) < p < { 0,34 + 1,96 (√0,34 * 0,66/ 360)} = 0,95
P{ 0,34 – 1,96 * (0,47 / 18,97) < p < { 0,34 + 1,96 * 0,47 / 18,97)} = 0,95
{ 0,34 – 1,96 * (0,025) < p < { 0,34 + 1,96 *0,025 } = 0,95
P {0,34 – 0,049 < p < 0,34 + 0,049 } = 0,95
P {0,291 < p < 0,389} = 0,95
Odp. Przedział ufności mieści się w przedziale od 29,10 do 38,90% z prawdopodobieństwem 0,95.
8. W pewnej uczelni zbadano miesięczne dodatkowe dochody 120 wylosowanych studentów . Okazało się , że średnie dochody w tej grupie wynoszą 542,5 zł. , a wariancja 29881,216 (zł)2. Zweryfikować na poziomie istotności 0.05 hipotezę , że średni dochód studentów badanej uczelni wynosi 500 zł.
Dane:
X = 542,5
N = 120
S2(x) = 29881,216
√S2(x) = S(x) = 172,86 Ho: u = 500
L = 1-0,95 = 0,05 H1: u ≠ 500
Wzór:
U =( x-u)/ S(x) * √n
U = [( 542,5 – 500)/ 172,86] * √120
U = ( 42,5/ 172,86)* 10,95
U = 2,69
UL = 1,95
Obszar krytyczny mieści się w przedziale od (-∞ ; -1,95> U <1,95; + ∞)
Odp. Wartość 2,69 mieści się w obszarze krytycznym dlatego odrzucamy hipotezę zerową i przyjmujemy hipotezę alternatywną.
10. Normy jakościowe stwierdzają, że „dobra” piłka tenisowa opuszczona przy temperaturze 20 stopni C z dwu i półmetrowej wysokości na twarde podłoże powinna odskoczyć na wysokość 140 cm. Dla losowej próby 25 piłek pochodzącej z dużej partii otrzymano średnią wysokość odbicia 138,2 cm oraz odchylenie standardowe 5 cm. Co można na podstawie otrzymanych wyników – na poziomie istotności 0,05- twierdzić o jakości piłek w całej partii?
Dane:
N = 25
X = 138,20
S(x) = 5
L = 0,05 Ho: u = 140
H1: u ≠140
Wzór:
t = (x-u)/ S(x) * √n-1
t = 138,2 – 140/5 * √24
t = -0,36 * 4,90
t = 1,76
s = n-1 = 25 – 1 = 24
Dla L= 0,05 ⇒ t 0,05 ; 24 = 2,064
Obszar krytyczny mieści się w przedziale od (-∞, -2,064> U < 2,064; +∞)
Odp. Liczba 1,76 nie mieści się w obszarze krytycznym dlatego H0 nie odrzucamy.
14. Badaniem objęto dwie próby losowe; pierwsza liczyła 200 pracowników, druga 400 pracowników. Ustalono, że w pierwszej próbie było 60 pracowników zarabiających powyżej 2500 zł, a w drugiej 260 pracowników zarabiających poniżej 2500 zł. Na poziomie istotności 0,05 sprawdzić, czy różnice w procentach pracowników zarabiających powyżej 2500 zł są istotne.
Dane:
n1 = 200 n2 = 400
m1 = 60 m2 = 260
Ho: p = 2500
L= 0,05 H1: p >2500
p = m/n
p1 = 60/200 = 0,3 p2 = 260/400 = 0,65
p = (m1+m2)/(n1 + n2) = 320/600 = 0,53
n = (n1 * n2)/(n1 +n2) = 80000 / 600 = 133,33
u = ( m1/n1 – m2/n2 )/ √ [ p(1-p)/n ]
u = 0,3 – 0,65)/ √0,53 (1 – 0,53)/ 133,33
u = -0,35/ 0,04 = -8,75
L= 0,05
2L = 0,10
U0,10 = 1,65
Obszar krytyczny mieści się w przedziale od <1,65; +∞)
Odp. Przyjmujemy Ho ponieważ -8,75 nie mieści się w przedziale obszaru krytycznego.
15. W celu oszacowania rozrzutu jednostkowego kosztu produkcji pewnego artykułu produkowanego przez różne zakłady , wylosowano niezależnie do próby 80 zakładów produkcyjnych i otrzymano następujące wyniki badania tego kosztu ( w zł):
koszt jednostkowy x0i-x1i |
Liczba zakładów Ni |
Xi | Xi*ni | (Xi-ni)2ni |
|---|---|---|---|---|
| 20 - 40 | 10 | 30 | 300 | 17222,50 |
| 40 – 60 | 16 | 50 | 800 | 7396,00 |
| 60 – 80 | 24 | 70 | 1680 | 54 |
| 80 – 100 | 18 | 90 | 1620 | 6160,50 |
| 100 – 120 | 12 | 110 | 1320 | 17787,00 |
| E | 350 | 5720 | 48620 |
Przyjmując współczynnik ufności 0.95 oszacować metodą przedziałową średni jednostkowy koszt produkcji tego artykułu.
N= 80
Obliczone:
S2(x) = 607,75
S(x) = 24,65
X = 71,50
L= 0,95 to ul = 0,05 = 1,96
Wzór:
P{( S(x) -UL * s(x)/√2n ≤ S(x) ≤ S(x) + UL * s(x)/ √2n} = 1- L
P{ ( 24,65 – 1,96 *24,65/ √2*80 ≤ S(x) ≤(24,65 + 1,96 *24,65/ √2*80 )
P{( 20,83 ≤ S(x) ≤ 28,47)}
Odp. Odchylenie standardowe jednostkowego kosztu produktu badanego artykułu mieści się w przedziale od 20,83 do 28,47 z prawdopodobieństwem 0,95.
16. i 28 Spośród żarówek wyprodukowanych przez pewną fabrykę wylosowano niezależnie 100 sztuk i sprawdzono ich jakość. 16 żarówek okazało się złych. Przyjmując współczynnik ufności 0,99 oszacować procent braków w wyprodukowanej partii żarówek.
Dane:
N =100
M =16 wskaźnik struktury p = m / n = 16/100 = 0,16
L= 0,99
uL = 2,58
Wzór:
P{ m/n - u L √[m/n(1-m/n)]/n < p <m/n + u L √[m/n(1-m/n)]/n } = 1-L
P{ 0,16 – 2,58 * √0,16(1 – 0,16)/100 < p < { 0,16 + 2,58 * √0,16(1 – 0,16)/100} =0,99
P{ 0,16 – 2,58 *√0,0013 < p < 0,16 + 2,58 * √0,0013} = 0,99
P{ 0,065 < p<0,025 } = 0,99
Odp.
18. i 41 Wysunięto hipotezę, że wiek lekarzy pracujących na wsiach jest taka sama jak wiek lekarzy miejskich. Dwie losowe próby o liczebnościach odpowiednio 400 lekarzy wiejskich i 500 lekarzy miejskich dały następujące wyniki: średni wiek lekarza wiejskiego wynosi 43 lata a wariancja 69,9 (lat)2, natomiast średni wiek lekarza miejskiego wynosi 48 lat a wariancja 90,2. Na poziomie istotności 0,05 sprawdzić wysuniętą hipotezę.
Dane:
Wieś Miasto
N1= 400 n2= 500
X1= 43 x2 = 48
S2(x)1 = 69,9 S(x)2 = 90,2
Wzór:
U = x1-x2)/ √S(x)1/n1 + √S(x)2/n2
22. W celu oszacowania procentu inżynierów zatrudnionych w przemyśle maszynowym znającym dwa języki obce, wylosowano niezależnie próbę 200 inżynierów zatrudnionych w przedsiębiorstwach tego przemysłu. Okazało się, że w tej próbie jest 32 inżynierów znających dwa obce języki. Metodą przedziałową oszacować nieznany procent inżynierów ,zatrudnionych w przedsiębiorstwach tego przemysłu, znających dwa obce języki. Przyjąć współczynnik ufności 0.90
Dane:
n = 200
m = 32
L = 0,90 Wskaźnik struktury:
p = m/n = 32 / 200 = 0,16
U0,10 = 1,65
Wzór:
P{ m/n – uL * √(m/n*[(1-m/n)] ≤ p ≤ m/n + uL * √m/n * [(1 – m/n)]} = 1-L
P{ 0,16 – 1,65 * √0,16 * (1-0,16) ≤ p ≤ 0,16 + 1,65 * √0,16 * (1-0,16)}= 0.90
P{ 0,16 – 1,65 * √0,16 * (0,84) ≤ p ≤ 0,16 +1,65 * √0,16 * (0,84)} = 0.90
P{ 0,16 – 1,65 * √0,13 ≤ p ≤ 0,16 +1,65 * √0,13} = 0.90
P{ 0,16 – 1,65 * 0,36 ≤ p ≤ 0,16 + 1,65 *0,36}
P{ 0,16 – 0,59 ≤ p ≤ 0,16 + 0,59 }= 0,90
P{ -0,43 ≤ p ≤ 0,75}= 0,90
23. Dokonano 7 niezależnych pomiarów szybkości początkowej pocisku wystrzelonego z pewnej broni i otrzymano następujące wyniki ( w m/sek ): średnia arytmetyczna = 604,96 , a wariancja = 1,262. Przyjmując współczynnik ufności 0.98 oszacować metodą przedziałową odchylenie standardowe szybkości początkowej wystrzelonego z tej broni pocisku.
Dane:
N = 7
X = 604,96
S2(x)= 1,262 H 2 0,05L,s = H 2 0,01, 6 = 16,812
L = 0,98 H 2 1 - 0,5L ,s = H 2 0,99, 6 = 0,872
UL = 1- 0,98 = 0,02
S = n-1 = 7-1 =6
Wzór:
P{ ([n* S2(x))/H 2 0,05L,s < S2 (x)< (n* S2(x))/H 2 1 - 0,5L ,s] = 1-L
P{ [7 * 1,262)/ 16,812] < < S2 (x)< [(7 * 1,262)/0,872]} = 0,98
P{[8,83/ 16,812] < S2 (x)< [8,83 /0,872]} = 0,98
P{0,53 < S2 (x)< 10,13} = 0,98
P{ 0,73 < √ S2 (x)< 3,18 } = 0,98
Odp. Odchylenie standardowe początkowe wystrzelonego pocisku mieści się w przedziale od ( 0,73; 3,18) z prawdopodobieństwem 0,98.
24. Dokonano 7 pomiarów ciśnienia w komorze spalania pewnego typu silnika rakietowego i otrzymano następujące wyniki ( w kG/cm2 ) : średnia arytmetyczna = 31,45 , a wariancja = 0,391. Metodą przedziałową oszacować średnie ciśnienie w komorze spalania tego silnika , przyjmując współczynnik ufności 0.99.
Dane:
N = 7
X = 31,45
S2(x) = 0,391
L = 0,99
Wzór:
P{( x-tL * s(x)/ √n-1 ≤ µ ≤ x + tL * s(x)/ √n-1 } = 1- L
P{ 31,45 – 3,707 *0,625 /√6 ≤ µ ≤ (31,45 + 3,707)* 0,625 /√6} = 0,99
P{ 31,45 – 3,707 *0,625 /2,45 ≤ µ ≤ (31,45 + 3,707)* 0,625 /2,45} = 0,99
P{ 31,45 – 3,707 *0,26 ≤ µ ≤ 31,45 + 3,707* 0,26} = 0,99
P{ 31,45 – 0,96≤ µ ≤ 31,45 + 0,96} = 0,99
P{ 30,49 ≤ µ ≤ 32,41} = 0,99
Odp. Średnie ciśnienie w komorze spalania silnika mieści się w przedziale 0d (30,49 ; 32,41) z prawdopodobieństwem 0,99.
25. W pewnym bakteriologicznym doświadczeniu obserwowano długość życia beztlenowych bakterii roślinnych Vibrio. W wybranej losowo kolonii bakteryjnej , liczącej 1027 bakterii, stwierdzono, że przeciętna długość życia bakterii wynosi 26,3 min. , przy odchyleniu standardowym = 4,1 min. Z prawdopodobieństwem 0,98 oszacować przeciętną długość życia wszystkich bakterii Vibrio.
Dane:
N =1027
X= 26,3
S(x) = 4,10
P= 0,98
Wzór:
P{( x -UL * s(x)/√n ≤ µ ≤ x + UL * s(x)/ √n} = 1- L
P{26,3 – 2,33 * 4,10/ √1027 ≤ µ ≤ 26,3 +2,33 * 4,10/ √1027] = 0,98
P{26,3 – 2,33 * 4,10/32,05 ≤ µ ≤ 26,3 +2,33 * 4,10/32,05] = 0,98
P{26,3 – 2,33 * 0,13 ≤ µ ≤ 26,3 + 2,33 * 0,13] = 0,98
P{26,3 – 0,30 ≤ µ ≤ 26,3 + 0,33] = 0,98
P{26 ≤ µ ≤ 26,63] = 0,98
Odp. Przeciętna długość życia bakterii mieści się w przedziale od 26 do 26,63 z prawdopodobieństwem 0.98.
26. Średnie roczne spożycie mięsa i przetworów mięsnych w zbiorowości 200 losowo wybranych czteroosobowych gospodarstw domowych w Polsce wynosiło 181,2 kg., natomiast odchylenie standardowe spożycia - 16,8 kg. Przyjmując współczynnik ufności 0,95 zbudować przedział ufności dla średniego rocznego spożycia mięsa i przetworów mięsnych w całej grupie czteroosobowych gospodarstw domowych w Polsce.
Dane:
N =200
X =181,2
S(x) = 16,8
L= 0,95 U0,05 = 1,96
Wzór:
P{( x -UL * s(x)/√n ≤ µ ≤ x + UL * s(x)/ √n} = 1- L
P{ 181, 2 - 1,96 * 16,80/ √200 ≤ µ ≤ 181, 2 + 1,96 * 16,80/ √200 }= 0.95
P{ 181, 2 - 1,96 * 16,80/14,14 ≤ µ ≤ 181, 2 + 1,96 * 16,80/14,14}= 0.95
P{ 181, 2 - 1,96 * 1,19 ≤ µ ≤ 181, 2 + 1,96 * 1,19 }= 0.95
P{ 181, 2 - 2,33 ≤ µ ≤ 181, 2 + 2,33 }= 0.95
P{178,87 ≤ µ ≤ 183,53 }= 0.95
Odp. Dla średniego spożycia mięsa i przetworów mięsnych w czteroosobowym gospodarstwie domowym przedział ten wynosi (178,87 ; 183,53) z prawdopodobieństwem 0,95.
29. Średni dobowy przebieg 80 losowo wybranych autobusów komunikacji miejskiej w Krakowie wyniósł 310 km., a odchylenie standardowe przebiegu 30 km. natomiast średni dobowy przebieg 90 autobusów kursujących w Warszawie wyniósł 292 km., a odchylenie standardowe przebiegu 30 km. Czy powyższe dane stanowią - na poziomie istotności 0.01 - podstawę do twierdzenia, że intensywność wykorzystania taboru autobusowego jest w Krakowie wyższa?
Dane:
N1 = 80 N2 = 90
S(x)1 = 30 S(x)2 = 30 Ho: u1 = u2
L=0,01 H1: u1> u2
U2L= 0,02 = 2,33
Obszar krytyczny mieści się w przedziale <2,33 ; +∞)
Wzór:
U = (x1-x2)/ √S(x)2/ n1+S(x)2/ n2
U = (310-292)/[ √302/ 80 + 302/ 90]
U = 18/ [ √11,25 + 10 ]
U = 18 / √21,25
U = 18/4,61
U = 3,90
Odp. Wartość 3,90 należy do obszaru krytycznego dlatego odrzucamy hipotezę zerową i przyjmujemy hipotezę alternatywną.
30. Z dwu wydziałów pewnego dużego zakładu produkcyjnego wylosowano dwie próby, w celu zbadania jak hałas wpływa na ubytki słuchu pracowników. Z wydziału o małym natężeniu hałasu wylosowano 100 pracowników i po zbadaniu okazało się , że 8 pracowników ma poważne ubytki słuchu, natomiast na 120 wylosowanych pracowników wydziału o dużym natężeniu hałasu 20 pracowników ma poważne ubytki słuchu. Na poziomie istotności 0.05 zweryfikować hipotezę , że hałas na wydziale zwiększa ubytki słuchu.
Dane:
L=0,05 uL = 1,96
n 1 = 100 n2= 120
m 1 =8 m2 = 20 Ho: p1 = p2
H1 : p1 < p2
Wzór:
p = m/n
p1 = 8/100 = 0,08 p2 = 20/120 =0,17
p = (m1+m2)/(n1 + n2) = ( 8+20)/(100+120)= 0,13
n = (n1 * n2)/(n1 +n2) = ( 100 * 120)/(100+120) = 54,55
u = ( m1/n1 – m2/n2 )/ √ [ p(1-p)/n ]
u = (0,08 – 0,17)/ √[0,13(1-0,13)]/54,55
u = (-0,09)/ √[0,11]/54,55
u = (-0,09)/0,04
u = - 2,25
Obszar krytyczny mieści się w przedziale od (-∞; - 1,96> U <1,96 ; +∞)
Odp. Odrzucamy hipotezę zerowa i przyjmujemy hipotezę alternatywną.
31. Stowarzyszenie księgowych przeprowadziło badanie wieku głównych księgowych. Wysunięto hipotezę , że wiek głównych księgowych mężczyzn jest wyższy niż wiek głównych księgowych kobiet. Wylosowano w tym celu dwie próby 150 głównych księgowych kobiet i 300 głównych księgowych mężczyzn i uzyskano następujące informacje: średni wiek kobiet wyniósł 36,2 lat przy wariancji 78,56 (lat)2 , natomiast średni wiek mężczyzn - 39,8 lat , przy wariancji 102,29 (lat)2 . Przyjmując poziom istotności 0,03 zweryfikować wysuniętą wcześniej hipotezę.
Dane:
N1 =150 N2 = 300
X1 = 36,2 x2 = 39,8
S2(x)1= 78,56 S2(x)2= 102,29
L = 0,03
Ho: u1 =u2
H1: u1 > u2
Wzór:
U = (x1-x2)/ √S(x)12/ n1 + √S(x)22/ n2
U = (36,2 – 39,8)/ √78,56/ 150 + √102,29/ 300
U = -3,6 / √0,52+0,34
U = -3,6/ 0,93
U = - 3,87
Dla 2uL = UL0,03 *2= U L0,06
u 0,06 = 1,88
Obszar krytyczny mieści się w przedziale od < 1,88; +∞)
Odp. Przyjmujemy Ho
34. Na losowo dobranej próbie 10 samochodów marki Skoda przeprowadzono badanie zużycia benzyny po przejechaniu 100 km. Okazało się , że średnie zużycie benzyny w tej próbie smochodów wynosiło 8,3 l , przy odchyleniu standardowym 0.9 l . Jednocześnie wiadomo , że norma fabryczna zużycia benzyny po przebyciu trasy 100 km wynosi 7,7 l . Czy rzeczywiste zużycie benzyny różni się istotnie od normy fabrycznej , jeżeli zostaną przyjęte poziomy istotności 0,1 oraz 0,05.
Dane:
N =10
X = 8,31
Ho: u= 7,71
H1: u ≠7,71
t = (x-u)/ S(x)* √n-1
t = (8,3 – 7,7)/0,9 *√9
t 0,01 : 9 = 1,99
Dla L = 0,01 t = 1,83 obszar krytyczny mieści się w przedziale od (-∞; -1,83>u <1,83; +∞)
Odp. Nie ma podstaw do odrzucenia Ho.
Dla L0,05 = 2,26 t = 2,26 obszar krytyczny mieści się w przedziale od (-∞, -2,26> u <2,26 ; +∞)
Odp. Odrzucamy hipotezę zerową i przyjmujemy alternatywną
37. Socjolog skłonny jest przypuszczać, że w porównaniu z miejskimi gospodarstwami domowymi na wsi mąż jest częściej osobą posiadającą decydujący głos w sprawach finansowych. Na 150 zbadanych gospodarstw wiejskich mąż w 120 przypadkach był osobą posiadającą decydujący głos w sprawach finansowych, natomiast w 200 losowo wybranych miejskich gospodarstwach ,decydujący głos należał do męża w 132 przypadkach. Zweryfikować odpowiednią hipotezę na poziomie istotności 0.01.
Dane:
Wieś
n 1=150 n2 = 200
m1 =120 m2 = 132
L= 0,01
Wzór:
p = m/n
p1 = 0,80 p2 =0,66
p = (m1+m2)/(n1 + n2) = (132+120 )/(150+ 200) = 0,72
n = (n1 * n2)/(n1 +n2) = ( 150 * 200)/(150 + 200) = 85,70
u = ( m1/n1 – m2/n2 )/ √ [ p(1-p)/n]
u = (132/200) – (120/150)/√[0,72(1-0,72)]/85,7
u = -2,89
Dla L0,01* 2 = Ul0,02 = 2,33
Obszar krytyczny mieści się w przedziale od (-∞; -2,33>
Odp. Odrzucamy Ho i przyjmujemy H1
39. W pewnym doświadczeniu farmakologicznym otrzymano na 120 badanych szczurów, którym podano pewien preparat, 57 takich, które doszły do pokarmu w labiryncie doświadczalnym w czasie do 1 minuty. Natomiast na 100 szczurów, którym nie podano tego preparatu, 71 wykonało to zadanie w tym samym czasie. Na poziomie istotności 0,01 zweryfikować hipotezę o otępiającym działaniu badanego preparatu na szczury.
Dane:
N 1 = 120 n2 = 100
M1 = 57 m2 = 71
L = 0,01 Ho: p1=p2
U0,01 = 2,58 H1: p1 ≠ p2
Obszar krytyczny mieści się w przedziale od(-∞; -2,58> u <2,58; +∞)
Wzór:
p = m/n
p1 = 0,48 p2 =0,71
p = (m1+m2)/(n1 + n2) = 57+ 71) / (120+100) = 0,58
n = (n1 * n2)/(n1 +n2) = (120 * 100) / (120+ 100) = 12000 / 220 = 54,55
u = ( m1/n1 – m2/n2 )/ √ [ p(1-p)/n]
u = 0,48 – 0,71) / √0,58 (1- 0,58)/54,55
u = -0,23/0,07
u = -3,29
Odp. Odrzucamy Ho i przyjmujemy H1.