Matematyka ekonomiczna

Lista zadań 04

Zadanie 1.

	P(X ≤ x)	Prawd., że noworodek umrze w przeciągu x lat	-
	P(X>x)	Prawd., że noworodek przeżyje ponad x lat	c
	s(x) = 1 − P(X<x) = P(X≥x) s(t) = 1 − P(X<t) = P(X ≥ t)	Prawd., że noworodek przeżyje ponad x lat Prawd., że noworodek przeżyje ponad t lat	b m
	F(z) − F(x) = P(x < X ≤ z)	Prawd., że noworodek umrze między x a z	e
	P(x < X ≤ z)	Prawd., że noworodek umrze między x a z	d
	s(z) − s(x) = 1 − F(z) − (1−F(x)) =F(x) − F(z) = P(z < X ≤ x)	Prawd., że noworodek umrze między wiekiem z a wiekiem x	-
	X	Dalszy czas życia noworodka	k
	P(Tx > t)	Prawd., że x – latek przeżyje jeszcze ponad t lat	p
	P(Tx ≤ t)	Prawd., że x – latek nie przeżyje t lat	o
	P(x < X ≤ z |X > x)	Prawd., że noworodek umrze między wiekiem x a z przy założeniu, że przeżył już x lat	l
	T0	Dalszy czas życia 0 – latka	g
	$$\frac{s\left( x \right) - s\left( z \right)}{s\left( x \right)} = \frac{F\left( x \right) - F\left( z \right)}{1 - F\left( x \right)} =$$ $$= \frac{P(x < X \leq z)}{P(X \geq x)} = P(x < X \leq z\ |X > x)$$	Prawd., że noworodek umrze między wiekiem x a z przy założeniu, że przeżył już x lat	j
	P(T0 > t)	Prawd., że 0 -latek przeżyje ponad t lat	c
	P(X>x+t | X > x)	Prawd., że noworodek przeżyje dodatkowe t lat pod warunkiem, że przeżył x lat	r
	tqx = P(Tx ≤ t)	Prawd., że x – latek nie przeżyje t lat	i
	tpx = P(Tx > t)	Prawd., że x – latek przeżyje jeszcze ponad t lat	h
	P(T0>x+t | T0 > x)	Prawd., że 0 -latek przeżyje dodatkowe t lat pod warunkiem, że przeżył x lat	n
	P(u < Tx ≤ u + t)	Prawd., że x-latek przeżyje u lat i umrze w ciągu następnych t lat	z
	tpx + u = P(Tx>u+t |Tx > u)	Prawd., że x – latek przeżyje ponad u+t lat pod warunkiem, że przeżył u lat	v
	tqx + u = P(Tx ≤ u + t |Tx > u)	Prawd., że x – latek nie przeżyje u+t lat pod warunkiem, że przeżył u lat	w
	P(Tx>u+t |Tx > u)	Prawd., że x – latek przeżyje ponad u+t lat pod warunkiem, że przeżył u lat	t
	P(Tx ≤ u + t |Tx > u)	Prawd., że x – latek nie przeżyje u+t lat pod warunkiem, że przeżył u lat	u
	u|tqx = P(u < Tx ≤ u + t)	Prawd., że x-latek przeżyje u lat i umrze w przeciągu następnych t lat	s

Zadanie 2.

tp0 = s(t) ponieważ: tp0 = P(T0>t) = P(X>t) = 1 − P(X<t) = s(t) $_{t}^{\ }{p_{x} = \frac{s(x + t)}{s(x)}}$ $$_{t}^{\ }{p_{x}\begin{matrix} \text{Def} \\ = \\ \ \\ \end{matrix}P\left( T_{x} > t \right)\begin{matrix} \text{HJP} \\ = \\ \ \\ \end{matrix}}P\left( T_{0} > x + t\ \middle| T_{0} > x \right) = P(X > x + t\ |X > x)$$ Korzystamy z prawdopodobieństwa warunkowego $P\left( A \middle| B \right) = \frac{P(A,B)}{P(B)}$ $$P\left( X > x + t\ \middle| X > x \right) = \frac{P(X > x + t\ ,\ X > x)}{P(X > x)}$$ Przecinek w liczniku oznacza spójnik i czyli część wspólną. Jak widać na rysunku, częścią wspólną zdarzenia A i B jest P(X > x + t) $$\frac{P(X > x + t\ ,\ X > x)}{P(X > x)} = \frac{P(X > x + t)}{P(X > x)} = \frac{s(x + t)}{s(x)}$$

Zadanie 3.

$$F\left( x \right) = 1 - \left( 1 - \frac{x}{120} \right)^{\frac{1}{6}}\ \ \ \ \ \ \ x \in < 0,120 >$$ $P\left( X \geq x \right) = 1 - F\left( x \right) = 1 - \left\lbrack 1 - \left( 1 - \frac{x}{120} \right)^{\frac{1}{6}} \right\rbrack = \left( 1 - \frac{x}{120} \right)^{\frac{1}{6}}$ $$P\left( X \geq 30 \right) = \left( 1 - \frac{30}{120} \right)^{\frac{1}{6}} = \left( \frac{3}{4} \right)^{\frac{1}{6}} \approx 0,953$$ $P\left( T_{x} \leq t \right) = 1 - P\left( T_{x} > t \right)\begin{matrix} \text{HJP} \\ = \\ \ \\ \end{matrix}1 - \frac{s(x + t)}{s(x)} = 1 - \frac{1 - F(x + t)}{1 - F(x)} = 1 - \frac{\left( 1 - \frac{x + t}{120} \right)^{\frac{1}{6}}}{\left( 1 - \frac{x}{120} \right)^{\frac{1}{6}}}$ $$P\left( T_{30} \leq 50 \right) = 1 - \frac{\left( 1 - \frac{80}{120} \right)^{\frac{1}{6}}}{\left( 1 - \frac{30}{120} \right)^{\frac{1}{6}}} = 1 - \left( \frac{\frac{1}{3}}{\frac{3}{4}} \right)^{\frac{1}{6}} = 1 - \left( \frac{4}{9} \right)^{\frac{1}{6}} \approx 0,873$$ $P\left( T_{x} \geq t \right)\begin{matrix} \text{HJP} \\ = \\ \ \\ \end{matrix}\frac{s(x + t)}{s(x)} = \frac{1 - F(x + t)}{1 - F(x)} = \frac{\left( 1 - \frac{x + t}{120} \right)^{\frac{1}{6}}}{\left( 1 - \frac{x}{120} \right)^{\frac{1}{6}}}$ $$P\left( T_{40} \geq 25 \right) = \left( \frac{1 - \frac{x + t}{120}}{1 - \frac{x}{120}} \right)^{\frac{1}{6}} = \left( \frac{1 - \frac{65}{120}}{1 - \frac{40}{120}} \right)^{\frac{1}{6}} = \left( \frac{\frac{11}{24}}{\frac{2}{3}} \right)^{\frac{1}{6}} = \left( \frac{11}{16} \right)^{\frac{1}{6}} \approx 0,939$$ $P\left( T_{x} > u + t\ \right|T_{x} > u) = \frac{P\left( T_{x} > u + t,T_{x} > u \right)}{P\left( T_{x} > u \right)} = \frac{P\left( T_{x} > u + t \right)}{P\left( T_{x} > u \right)} = \frac{\frac{s(x + t + u)}{s(x)}}{\frac{s(x + u)}{s(x)}} = \frac{s(x + t + u)}{s(x + u)}$ $$P\left( T_{50} > 8 + 15\ \right|T_{50} > 8) = \frac{s(73)}{s(58)} = \frac{1 - F\left( 73 \right)}{1 - F\left( 58 \right)}$$

Zadanie 4.

fx(t) =  tpx • ux + t  tpx = P(Tx>t) = 1 − Fx(t) $$u_{x + t} = \frac{F_{x}^{'}(t)}{1 - F_{x}\left( t \right)}$$ $$\ _{t}p_{x} \bullet u_{x + t} = 1 - F_{x}\left( t \right) \bullet \frac{F_{x}^{'}(t)}{1 - F_{x}\left( t \right)} = F_{x}^{'}\left( t \right) = f_{x}\left( t \right)$$ Zadanie 5. $$\ _{t}p_{x} = \frac{s(x + t)}{s(x)} = \frac{1 - F(x + t)}{1 - F(x)} = \frac{\left( 1 - \frac{x + t}{120} \right)^{\frac{1}{6}}}{\left( 1 - \frac{x}{120} \right)^{\frac{1}{6}}} = \left( \frac{\frac{120 - x - t}{120}}{\frac{120 - x}{120}} \right)^{\frac{1}{6}} = \left( \frac{120 - x - t}{120 - x} \right)^{\frac{1}{6}}$$ $$\ _{t}p_{x} = \left( 120 - x - t \right)^{\frac{1}{6}} \bullet \left( 120 - x \right)^{- \frac{1}{6}}$$ $$e_{x}^{0} = \int_{0}^{120 - x}{\left( 120 - x - t \right)^{\frac{1}{6}} \bullet \left( 120 - x \right)^{- \frac{1}{6}}\text{dt}} = \left( 120 - x \right)^{- \frac{1}{6}} \bullet \int_{0}^{120 - x}{\left( 120 - x - t \right)^{\frac{1}{6}}\text{dt}}$$ $$= \begin{bmatrix} 120 - x - t = z \\ t = 120 - x - z \\ dt = - dz \\ \end{bmatrix} = \left( 120 - x \right)^{- \frac{1}{6}} \bullet \int_{0}^{120 - x}{{- \left( z \right)}^{\frac{1}{6}}\text{dz}} = - \left( 120 - x \right)^{- \frac{1}{6}} \bullet \frac{\left( 120 - x \right)^{\frac{7}{6}}}{\frac{7}{6}}$$ $$= \frac{120 - x}{\frac{7}{6}}$$ $$e_{30}^{0} = \frac{120 - 30}{\frac{7}{6}} = \frac{540}{7} \approx 77,143$$ $$e_{80}^{0} = \frac{120 - 80}{\frac{7}{6}} = \frac{240}{7} \approx 34,286$$

Zadanie 6.

$$P\left( T_{20} > 30 \right) = P\left( X > 50\ \right|\ X > 20) = \frac{s(x + t)}{s(x)}$$ Nie znamy wzoru na s(x) więc należy go obliczyć: $$\mu_{x} = \frac{1}{100 - x}\ \ \ \ \ \ \ \ x \in (0,100)$$ $$\mu_{x + t} = \frac{f(x)}{1 - F(x)} = - \left\lbrack \ln\left( 1 - F\left( x \right) \right) \right\rbrack^{'}$$ $$\int_{}^{}{\frac{1}{100 - x}\text{dx}} = \int_{}^{}{- \left\lbrack \ln\left( 1 - F\left( x \right) \right) \right\rbrack^{'}}$$
$$\int_{}^{}{\frac{1}{100 - x}\text{dx}} = \int_{}^{}{- \frac{1}{t}\text{dt}} = - lnt + c =$$ = − ln(100−x) + c dla x = 0: −ln100 + c = 0 c = ln100
−ln(100−x) + ln100 = −ln(1−F(x)) ln(100−x) − ln100 = ln(1−F(x)) $$\ln\left( \frac{100 - x}{100} \right) = \ln\left( 1 - F\left( x \right) \right)$$ $$1 - F\left( x \right) = \frac{100 - x}{100}$$ $$s\left( x \right) = 1 - \frac{x}{100}$$
$$P\left( T_{20} > 30 \right) = P\left( X > 50\ \right|\ X > 20) = \frac{s(x + t)}{s(x)} = \frac{1 - \frac{50}{100}}{1 - \frac{20}{100}} = \frac{5}{8}$$