f(x) = − 16, 127 • x4 + 5, 378 • x3 + 26, 987 • x2
$$\int_{0}^{4}{- 16,127 \bullet x^{4} + 5,378 \bullet x^{3} + 26,987 \bullet x^{2}} = \frac{- 16,127 \bullet x^{5}}{5} + \frac{5,378x^{4}}{4} + \frac{26,987 \bullet x^{3}}{3} = - 2382,89$$
Dokonano stablicowania funkcji f(x)
| x | f(x) |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 1 | 16.238 |
| 2 | -107.06 |
| 3 | -918.198 |
| 4 | -3352.528 |
W celu obliczenia wartości całki funkcji f(x) w przedziale <0;4> zastosowano metody:
1. Wzór trapezów
2. Wzór parabol
3. Wzór złożony trapezów
4. Wzór złożony parabol
1. Wzór trapezów
Kwadratura 1-krokowa, n = 1
Krok metody
$$h_{t} = \frac{b - a}{n} = \frac{4 - 0}{1} = 4$$
$$S_{1}\left( f \right) = \frac{h_{t}}{2}\left( f_{0} + f_{1} \right) = \frac{4}{2}\left( 0 - 3552,528 \right) = - 6705,56$$
2. Wzór parabol
Kwadratura 2-krokowa, n = 2
Krok metody
$$h_{p} = \frac{b - a}{n} = \frac{4 - 0}{2} = 2$$
$$S_{2}\left( f \right) = \frac{h_{p}}{3}\left( f_{0} + 4f_{1} + f_{2} \right) = \frac{2}{3}\left( 0 - 4 \bullet 107,06 - 3552,528 \right) = - 2520,512$$
3. Wzór złożony trapezów
Kwadratura 1-krokowa, n = 1. Dla przedziałów
<0;2> i <2;4>
Krok metody
$$h_{\text{tz}} = \frac{b - a}{n} = \frac{2 - 0}{1} = 2\ $$
$$S_{3}\left( f \right) = h_{\text{tz}}\left( \frac{f_{0}}{2} + f_{1}\ldots f_{n - 1} + \frac{f_{n}}{2} \right) = 2\left( \frac{0}{2} + 16,238 - 918,198 + \frac{- 3352,528}{2} \right) = - 3566,648\ \ \ $$
4. Wzór złożony parabol
Kwadratura 2-krokowa, n = 2. Dla przedziałów
<0;2> i <2;4>
Krok metody
$$h_{\text{pz}} = \frac{b - a}{n} = \frac{2 - 0}{2} = 1$$
$$S_{4}\left( f \right) = \frac{h}{3}\left( f_{0} + f_{n} + 2 \bullet (f_{2} + f_{4} + ... + f_{n}) + 4 \bullet (f_{1} + f_{3} + ... + f_{n - 1}) \right) = \frac{1}{3}\left( 0 - 3352,528 + 2 \bullet ( - 107,06) + 4 \bullet (16,238 - 918,198) \right) = - 2391,496$$
Rachunek błędów dla każdej z metod
f(x) = − 16, 127 • x4 + 5, 378 • x3 + 26, 987 • x2
f′(x) = − 64, 508 • x3 + 16, 134 • x2 + 53, 974 • x
f″(x) = − 193, 524 • x2 + 32, 268 • x + 53, 974
f‴(x) = − 387, 048 • x + 32, 268
fIV(x) = − 387, 048
$$E_{1}\left( f \right) = \frac{- 6705,056 + 2382,89}{- 2382,89} = 181\%$$
$$E_{2}\left( f \right) = \frac{- 2520,512 + 2382,89}{- 2382,89} = 5,77\%$$
$$E_{3}\left( f \right) = \frac{- 3566,648 + 2382,89}{- 2382,89} = 49,6\%$$
$$E_{4}\left( f \right) = \frac{- 2391,496 + 2382,89}{- 2382,89} = 0,36\%$$
1. Wzór trapezów
$$E_{1}\left( f \right) = \frac{1}{12} \bullet {h_{t}}^{3} \bullet f''(\xi) = \frac{1}{12} \bullet 4^{3} \bullet \frac{53,974 - 2913,38}{2} = - 7912,832$$
2. Wzór parabol
$$E_{2}\left( f \right) = \frac{1}{90} \bullet {h_{p}}^{5} \bullet f^{\text{IV}}\left( \xi \right) = \frac{1}{90} \bullet 2^{5} \bullet - 387,048 = - 137,618$$
3. Wzór złożony trapezów
$$E_{3}\left( f \right) = \frac{\left( b - a \right)^{3}}{12 \bullet n^{2}} \bullet f''(\xi) = \frac{2^{3}}{48} \bullet \frac{53,974 - 2967,312}{2} = - 485,556$$
4. Wzór złożony parabol
$$E_{4}\left( f \right) = \frac{\left( b - a \right)^{5}}{180 \bullet n^{2}} \bullet f^{\text{IV}}\left( \xi \right) = \frac{2^{5}}{180 \bullet 4} \bullet - 387,048 = 17,20$$