Wydział Elektrotechniki, Elektryki i Informatyki Poniedziałek 11.55	Pomiar długości fali świetlnej na podstawie interferencji w układzie optycznym do otrzymywania pierścieni Newtona	Data wykonania:30.03.2015r. Data oddania: 23.06.2015r.
Ćwiczenie nr 4	Tobiasz Filusz	Ocena:

1. Wprowadzenie:

Światło widzialne jest to promieniowanie elektromagnetyczne, czyli zaburzenie pola elektromagnetycznego rozchodzące się w przestrzeni, na które reaguje oko ludzkie. Zakres długości fal tego promieniowania wynosi od 400 nm (początek fioletu) do 700 nm (koniec czerwieni). Do światła zalicza się również promieniowanie podczerwone i nadfioletowe.

Światło ma naturę dualną, falowo–korpuskularną. Przyjmuje się, że światło to swego rodzaju strumienie osobliwych cząstek (korpuskuł), zwanych fotonami, które wykazują własności falowe. Na falową naturę światła wskazują takie zjawiska, jak dyfrakcja i interferencja promieni świetlnych. Dyfrakcją nazywamy uginanie się prostoliniowego biegu promieni na krawędziach przesłon. Interferencją fal nazywamy nakładanie się fal o tej samej częstotliwości, powodujące wzmocnienie lub osłabienie natężenia fali wypadkowej. Zgodnie z zasadą superpozycji fal, amplituda fali wypadkowej w każdym punkcie dana jest wzorem:

,-amplitudy fali. -różnica faz obu fal

Maksymalne wzmocnienie(jasne pierścienie): A = + dla =2k (fazy zgodne)
Maksymalne wygaszenie(ciemne pierścienie): A = - dla =(2k+1) (fazy przeciwne)
Dla fal mechanicznych i radiowych warunek spójności jest łatwy do uzyskania, natomiast dla światła zazwyczaj wymaga zastosowania układów rozdzielania i kolimowania wiązek (monochromatory) lub stosowania laserów. Wypadkowa fala, powstała z interferencji spójnych fal padających jest falą stojącą, np. dla światła obserwuje się kolejno następujące po sobie jasne i ciemne linie, krzywe, lub okręgi, w zależności od geometrii interferujących fal (tzw. prążki interferencyjne). Ciemne obszary występują w miejscach, gdzie różnica dróg optycznych wynosi δ=(2k+1)λ/2, gdzie: k - dowolna liczba całkowita zwana rzędem interferencji. Jasne obszary wystąpią dla δ=(2k)λ/2=kλ.

Pierścienie Newtona (rys. 2) otrzymujemy, gdy światło monochromatyczne (jednobarwne) pada na układ składający się z soczewki płasko-wypukłej S i płytki płasko-równoległej P.

Światło padające prostopadle na układ soczewka – płytka ulega częściowo odbiciu na każdej powierzchni granicznej. Pierścienie Newtona powstają w wyniku interferencji promienia odbitego od górnej powierzchni płytki P z promieniem odbitym od sferycznej powierzchni soczewki S. Wynikiem interferencji są jasne (wzmocnienie) i ciemne (wygaszenie) okręgi. Ich położenie zależy od grubości warstwy powietrza pomiędzy płytką a soczewką, gdyż zmiana grubości warstwy powietrza powoduje również zmianę różnicy dróg interferujących promieni.

Różnica dróg: $\text{Δx} = 2d + \frac{\lambda}{2}$

Z wykonanej analizy geometrycznej, oraz podstawienia obliczonego Δx do równania na różnicę dróg, otrzymujemy:

a.)Warunek maksymalnego wzmocnienia (jasne pierścienie)

$$r_{\text{jasny}} = \ \sqrt{\left( 2k - 1 \right)R*\frac{\lambda}{2}\ }\ \ \ \ \ ,\ gdzie\ k = 1,2,3,\ldots$$

b.)Warunek maksymalnego wygaszenia (ciemne pierścienie)

$$r_{\text{ciemny}} = \sqrt{k*R*\lambda}\ \ \ \ \ ,gdzie\ k = 0,1,2,3,\ldots$$

gdzie: R – promień krzywizny soczewki płasko-wypukłej, r – promień n-tego pierścienia, k – numer prążka (jasnego/ciemnego), λ – długość fali.

Wszystkie pomiary i obliczenia umieszczamy w poniższej tabeli:

2.Tabela pomiarów podpisana przez prowadzącego

3.Tabela pomiarów

1) Światło sodowe:

Rząd pierscieni ciemnych	Odczyt z mikrometru w przód [mm]	Odczyt z mikrometru w tył [mm]	Średnia wartość pierścienia [mm]	Średnia wartość pierścienia [mm]	Promień krzywizny soczewki [nm]	Średni promień krzywizny soczewki [nm]	Długość fali [nm]	Średnia długość fali [nm]
n	rp	rt	Śr r[mm]	r2 [mm]	R	śr R	λ	Śr λ
1	0,82	0,81	0,82	0,66	113	534	124	589
2	0,98	1,05	1,02	1,03	875	Â	965	Â
5	1,17	1,39	1,28	1,64	556	Â	614	Â
10	1,82	1,81	1,82	3,29	559	Â	617	Â
15	2,16	2,17	2,17	4,69	531	Â	585	Â
20	2,46	2,47	2,47	6,08	516	Â	569	Â
25	2,72	2,75	2,74	7,48	508	Â	560	Â

2) Filtr 1

Rząd pierscieni ciemnych	Odczyt z mikrometru w przód [mm]	Odczyt z mikrometru w tył [mm]	Średnia wartość pierścienia [mm]	Średnia wartość pierścienia [mm]	Promień krzywizny soczewki [nm]	Średni promień krzywizny soczewki [nm]	Długość fali [nm]	Średnia długość fali [nm]
n	rp	rt	Śr r[mm]	r2 [mm]	R	śr R	λ	Śr λ
1	0,78	0,92	0,85	0,72	1227	539	1340	589
3	1,17	1,11	1,14	1,30	735	Â	804	Â
6	1,46	1,4	1,43	2,04	579	Â	632	Â
9	1,75	1,68	1,72	2,94	555	Â	606	Â
12	1,88	1,89	1,89	3,55	503	Â	549	Â
15	2,17	2,11	2,14	4,58	518	Â	566	Â

3) Filtr 2

Rząd pierscieni ciemnych	Odczyt z mikrometru w przód [mm]	Odczyt z mikrometru w tył [mm]	Średnia wartość pierścienia [mm]	Średnia wartość pierścienia [mm]	Promień krzywizny soczewki [nm]	Średni promień krzywizny soczewki [nm]	Długość fali [nm]	Średnia długość fali [nm]
n	rp	rt	Śr r[mm]	r2 [mm]	R	śr R	λ	Śr λ
1	0,89	0,9	0,895	0,80	1360	570	1405	589
3	1,1	1,21	1,155	1,33	755	Â	780	Â
6	1,43	1,53	1,48	2,19	620	Â	640	Â
9	1,69	1,8	1,745	3,05	574	Â	594	Â
12	1,93	2,02	1,975	3,90	552	Â	570	Â
15	2,13	2,22	2,175	4,73	535	Â	553	Â

4) Filtr 3

Rząd pierscieni ciemnych	Odczyt z mikrometru w przód [mm]	Odczyt z mikrometru w tył [mm]	Średnia wartość pierścienia [mm]	Średnia wartość pierścienia [mm]	Promień krzywizny soczewki [nm]	Średni promień krzywizny soczewki [nm]	Długość fali [nm]	Średnia długość fali [nm]
n	rp	rt	Śr r[mm]	r2 [mm]	R	śr R	λ	Śr λ
1	0,78	0,87	0,825	0,68	1156	525	1296	589
3	1,05	1,17	1,11	1,23	697	Â	782	Â
6	1,36	1,46	1,41	1,99	563	Â	631	Â
9	1,59	1,7	1,645	2,71	510	Â	573	Â
12	1,85	1,92	1,885	3,55	503	Â	564	Â
15	Â	Â	Â	Â	Â	Â	Â	Â

Rząd pierscieni ciemnych	Odczyt z mikrometru w przód [mm]	Odczyt z mikrometru w tył [mm]	Średnia wartość pierścienia [mm]	Średnia wartość pierścienia [mm]	Promień krzywizny soczewki [nm]	Średni promień krzywizny soczewki [nm]	Długość fali [nm]	Średnia długość fali [nm]
n	rp	rt	Śr r[mm]	r2 [mm]	R	śr R	λ	Śr λ
1	0,74	0,73	0,735	0,54	917	487	1109	589
3	1,01	1,13	1,07	1,14	648	Â	784	Â
6	1,3	1,43	1,365	1,86	527	Â	638	Â
9	1,52	1,63	1,575	2,48	468	Â	566	Â
12	1,8	1,83	1,815	3,29	466	Â	564	Â
15	Â	Â	Â	Â	Â	Â	Â	Â

5) Filtr 4

RzÄ…d pierscieni ciemnych	Odczyt z mikrometru w przód [mm]	Odczyt z mikrometru w tyÅ‚ [mm]	Åšrednia wartość pierÅ›cienia [mm]	Â	Åšrednia wartość pierÅ›cienia [mm]	PromieÅ„ krzywizny soczewki [mm]	Åšredni promieÅ„ krzywizny soczewki [mm]	DÅ‚ugość fali [nm]	Åšrednia dÅ‚ugość fali [nm]
	Â	Â	Â	RzÄ…d	Â	Â	Å›r R	λ	Åšr λ
1	0,78	0,9	0,84	1	0,71	1198	547	1290	589
3	1,11	1,22	1,165	3	1,36	768	Â	827	Â
6	1,46	1,48	1,47	6	2,16	611	Â	658	Â
9	1,72	1,7	1,71	9	2,92	552	Â	594	Â
12	1,96	1,86	1,91	12	3,65	516	Â	556	Â
15	2,17	2,07	2,12	15	4,49	509	Â	548	Â

6) Filtr 5

4. Wykresy

5. Rachunek i dyskusje części pomiarowych

1. Światło sodowe:

a. Obliczenia R:

a-bierzemy z wykresu

$$a = \left\lbrack n\left( \sum_{i = 1}^{n}{x_{i}y_{i}} \right) - \left( \sum_{i = 1}^{n}x_{i} \right)\left( \sum_{i = 1}^{n}y_{i} \right) \right\rbrack\frac{1}{X} = 0,266\text{mm}^{2}$$

$$u\left( a \right) = \ S_{a} = \sigma\sqrt{\frac{n}{X}} = 0,003\text{mm}^{2}$$

a = 0, 285 ± 0, 003mm²

PrzeksztaÅ‚camy wzór: rn²â€„= nλ_NaR a =  λ_NaR

$R = \frac{a}{\lambda_{\text{Na}}}$

a = 0, 285mm²

λ_Na = 588, 9 * 10^−6mm

$$R = \frac{0,285\text{mm}^{2}}{588,9*10^{- 6}\text{mm}} = 484mm$$

b. Liczymy niepewność pomiarową R, [u(R)]:

$$u\left( R \right) = \sqrt{\sum_{i = 1}^{k}\left\lbrack \frac{\partial R}{\partial a}*u(a) \right\rbrack^{2}} = \frac{\partial R}{\partial a}*u\left( a \right) = \frac{1}{\lambda_{\text{Na}}}*u(a)$$

$$u\left( R \right) = \frac{1}{588,9*10^{- 6}\text{mm}}*0,003\text{mm}^{2}$$

StÄ…d: R = 484 ± 0, 003mm²

2.Filtr 1 .

a. Obliczanie λ₁:

a = 0, 269 ± 0, 005mm²

PrzeksztaÅ‚camy wzór: rn²â€„= nλ_NaR a =  λ_NaR

$\lambda = \frac{a}{R}$

a = 0, 269mm²

R = 484mm

$\lambda = \frac{0,269\text{mm}^{2}}{484mm} = 556nm = 556*10^{- 6}\text{mm}$

b. Liczymy niepewność λ,  [u(λ)]:

$$u\left( \lambda \right) = \sqrt{\sum_{i = 1}^{k}\left\lbrack \frac{\partial\lambda}{\partial a}*u(a) \right\rbrack^{2}} = \frac{\partial\lambda}{\partial a}*u\left( a \right) = \frac{1}{R}*u(a)$$

$$u\left( \lambda \right) = \frac{1}{484}*0,005\text{mm}^{2} = 11nm = 11*10^{- 6}\text{mm}$$

λ₁=556 ± 11nm

3.Filtr 2.

a. Obliczanie λ₂:

a = 0, 282 ± 0, 014mm²

a = 0, 282mm²

R = 484mm

$$\lambda = \frac{0,282\text{mm}^{2}}{484mm} = 583nm = 583*10^{- 6}mm$$

$$u\left( \lambda \right) = \frac{1}{484}*0,014\text{mm}^{2} = 29nm = 29*10^{- 6}mm$$

λ₂=583 ± 29 nm

4.Filtr 3.

a. Obliczanie λ₃:

a = 0, 258 ± 0, 012mm²

a = 0, 258

R = 484mm

$$\lambda = \frac{0,258\text{mm}^{2}}{484mm} = 533nm = 533*10^{- 6}mm$$

$$u\left( \lambda \right) = \frac{1}{484}*0,012\text{mm}^{2} = 25nm = 25*10^{- 6}mm$$

λ₃=533 ± 25nm

5.Filtr 4.

a. Obliczanie λ₄:

a = 0, 244 ± 0, 006mm²

a = 0, 244

R = 484mm

$$\lambda = \frac{0,244\text{mm}^{2}}{484mm} = 504\ nm = 504*10^{- 6}\text{mm}$$

$$u\left( \lambda \right) = \frac{1}{484}*0,006\text{mm}^{2} = 12nm = 12*10^{- 6}mm$$

λ₄=504 ± 12nm

6.Filtr 5.

a. Obliczanie λ₅:

a = 0, 265 ± 0, 017mm²

a = 0, 265

R = 484mm

$$\lambda = \frac{0,265\text{mm}^{2}}{484mm} = 548\ nm = 548*10^{- 6}mm$$

$$u\left( \lambda \right) = \frac{1}{484}*0,017\text{mm}^{2} = 35nm = 35*10^{- 6}mm$$

λ₅=548 ± 35nm

Wyliczanie promienia krzywizny światła sodowego ze wzoru:

r_n ²â€„= n l_NaR [nm]

gdzie:

r – średnia wartość odczytu

n – rząd pierścieni ciemnych

ƛ_Na – długość fali światła sodowego

$$\mathbf{R = \ }\frac{\mathbf{r}_{\mathbf{n}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{n}\mathbf{\lambda}_{\mathbf{\text{Na}}}}$$

$R_{1} = \ \frac{{0,82}^{2}}{1 \times 0,0005889} = 113\ \text{mm}$ (bÅ‚Ä…d gruby), R₂ = 875 mm (bÅ‚Ä…d gruby),

R₃ = 556 mm, R₄ = 559 mm, R₅ = 531mm,

R₆ = 516 mm, R₇ = 508 mm, $\overset{\overline{}}{R} = \frac{\sum_{i = 1}^{5}t_{1}}{5} = \frac{556 + 559 + 531 + 516 + 508}{5} = 534$

Wartości średnie promieni krzywizny soczewki obliczamy ze wzoru:

,gdzie:

- suma promieni krzywizny soczewki rzędów promieni ciemnych

n- ilość rzędów pierścieni ciemnych

Długość fali światła sodowego obliczamy ze wzoru:

r_n ²â€„= n l_xR [nm]

$\lambda = \frac{r_{n}^{2}}{\text{nR}}$

$\lambda_{1} = \frac{{0,82}^{2}}{1 \times 534} = 0,000124$ (błąd gruby) $\lambda_{2} = \frac{{1,02}^{2}}{3 \times 534} = 0,000965$ (błąd gruby)

$\lambda_{3} = \frac{{1,28}^{2}}{6 \times 534} = 0,000614$

$\lambda_{4} = \frac{{1,82}^{2}}{9 \times 534} = 0,000617$ $\lambda_{5} = \frac{{2,17}^{2}}{12 \times 534} = 0,000585$

$\lambda_{6} = \frac{{2,47}^{2}}{15 \times 534} = 0,000569$ $\lambda_{7} = \frac{{2,74}^{2}}{18 \times 534} = 0,000560$

$\overset{\overline{}}{\lambda_{1}} = \frac{\sum_{i = 1\ }^{5}\lambda_{i}}{5}\ = 0,000589\ \text{mm} = 589\ \text{nm}$

Wartości średnie długości fali obliczamy ze wzoru:

,gdzie: - suma długość fali rzędów promieni ciemnych

n- ilość rzędów pierścieni ciemnych

6. Błędy:

Obliczanie niepewnoÅ›ci standardowej u(r_n) oraz u(r_n²):

a. Niepewność standardową u(r_n) wyznaczamy metodą typu B:

u(x)=

gdzie:

Δ_d x – niepewność wzorcowania

Δ_e x – niepewność eksperymentatora

Δ_t x – niepewność wielkości literatury

W naszym przypadku Δ_dr = 0,01 [mm], Δ_er = 0,02 [mm] oraz nie uwzględniamy niepewności wielkości literatury.

u(r_n) =

b. Niepewność u(r_n²) wyznaczamy stosujÄ…c prawo przenoszenia niepewnoÅ›ci:

$$\mathbf{u}\left( \mathbf{r}_{\mathbf{n}}^{\mathbf{2}} \right)\mathbf{=}\sqrt{\left( \frac{\mathbf{\partial}\mathbf{r}_{\mathbf{n}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{\partial}\mathbf{r}_{\mathbf{n}}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{*u(}\mathbf{r}_{\mathbf{n}}\mathbf{)}}$$

Pochodna czÄ…stkowa $\frac{\partial r_{n}^{2}}{\partial r_{n}}$:

f(n) = r_n²â€…− nλ_NaR

$$\frac{\partial r_{n}^{2}}{\partial r_{n}} = \left( r_{n}^{2} - n\lambda_{\text{Na}}R \right)^{'} = \left( r_{n}^{2} \right)^{'} - \left( n\lambda_{\text{Na}}R \right)^{'} = 2r_{n} - 0 = 2r_{n}$$

WiÄ™c niepewność u(r_n²) wyznaczamy dla poszczególnych prążków ze wzoru:

Gdzie wyliczone wcześniej u(r_n) = 0,017. $u\left( r_{n}^{2} \right) = \sqrt{{4r_{n}}^{2}*u(r_{n})} = \sqrt{4*{0,81}^{2}*0,018} = 0,217\ \lbrack\text{mm}^{2}\rbrack$

Dla n = 1

Dla n = 2

Dla n =5

Dla n = 10

Dla n = 15

Dla n = 20

Dla n = 25

Światło sodowe:

n	u(rn^2)[mm^2]	r2 [mm]
1	0,213	0,66
2	0,265	1,03
5	0,334	1,64
10	0,473	3,29
15	0,565	4,69
20	0,643	6,08
25	0,713	7,48

Światło Filtru 1

n	u(rn^2)[mm^2]	r2 [mm]
1	0,222	0,72
3	0,297	1,30
6	0,373	2,04
9	0,447	2,94
12	0,492	3,55
15	0,558	4,58

Światło Filtru 2

n	u(rn^2)[mm^2]	r2 [mm]
1	0,233	0,80
3	0,301	1,33
6	0,386	2,19
9	0,455	3,05
12	0,515	3,90
15	0,567	4,73

Światło Filtru 3

n	u(rn^2)[mm^2]	r2 [mm]
1	0,215	0,68
3	0,289	1,23
6	0,368	1,99
9	0,429	2,71
12	0,492	3,55
15	Â	Â

Światło Filtru 4

n	u(rn^2)[mm^2]	r2 [mm]
1	0,192	0,54
3	0,279	1,14
6	0,356	1,86
9	0,411	2,48
12	0,473	3,29
15	Â	Â

Światło Filtru 5

n	u(rn^2)[mm^2]	r2 [mm]
1	0,219	0,71
3	0,304	1,36
6	0,383	2,16
9	0,446	2,92
12	0,498	3,65
15	0,553	4,49

6. Uwagi i wnioski.

Błędy jakie wystąpiły w ćwiczeniu wynikają głównie z błędnego ustawienia mikroskopu (przesuniecie centralnego pierścienia w osi X), dużej trudności w odróżnieniu pierścieni w przypadku wyższych rzędów, dużej czułość układu na wpływ czynników zewnętrznych takich jak szturchnięcia