Twierdzenie Talesa

Jeżeli ramiona kąta przetniemy dwiema prostymi równoległymi, to długości odcinków wyznaczone przez te proste na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do długości odpowiednich odcinków wyznaczonych przez te proste na drugim ramieniu kąta.

Jeżeli k || l, to: ab=cd , ac=bd , aa+b=cc+d=xy

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa.

Jeśli odcinki wyznaczone przez dwie proste na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do odpowiednich odcinków wyznaczonych przez te proste na drugim ramieniu kąta, to proste te są równoległe

Jeżeli ramiona kąta przecięte są prostymi równoległymi, to odcinki wyznaczone przez te proste na jednym ramieniu kąta, są proporcjonalne do odpowiednich odcinków na drugim ramieniu kąta.

Dla powyższych rysunków zachodzi:

lub po przekształceniu: oraz a także .

Często spotykaną nieścisłością jest takie formułowanie twierdzenia Talesa: , ta równość jest oczywiście prawdziwa, ale wynika z podobieństwa trójkątów ADE i ABC a nie z samego twierdzenia Talesa.

Teza

Dwusieczna kąta wewnętrznego w trójkącie dzieli przeciwległy bok proporcjonalnie do długości pozostałych boków.

W oznaczeniach przyjętych na rysunku treść twierdzenia wyraża proporcja:

.

Twierdzenie o kącie zewnętrznym

Twierdzenie o kącie zewnętrznym - twierdzenie geometrii absolutnej, a zatem prawdziwe również w geometrii hiperbolicznej:

Kąt zewnętrzny trójkąta jest większy od każdego z kątów wewnętrznych do niego nieprzyległych^[1].

Kąt zewnętrzny jest równy sumie kątów wewnętrznych nieprzyległych

W geometrii euklidesowej twierdzenie to można wypowiedzieć precyzyjniej:

Kąt zewnętrzny trójkąta jest równy sumie miar kątów wewnętrznych do niego nieprzyległych

To drugie twierdzenie jest prostym wnioskiem z twierdzenia o tym, że suma miar kątów trójkąta jest równa 180°.

Twierdzenie o dwusiecznej kąta zewnętrznego w trójkącie

A, B, C - wierzchołki wyjściowego trójkąta CZ - dwusieczna kąta zewnętrznego

Twierdzenie: