Politechnika Gdańska
Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Metody Doświadczalne w Analizie Konstrukcji
Rok akademicki 2013/14
Sprawozdanie
Ćwiczenie nr 7
Temat ćwiczenia : Twierdzenie Betti-Maxwella i jego wykorzystanie
Data wykonania: 24.04.14
Prowadzący: dr hab. inż. Tomasz Mikulski
Grupa/zespół 2/B5
Opracowali:
Buss Anna
Cymkowska Magdalena
Dorosz Cezary
Oświadczamy, że niniejsze sprawozdanie opracowaliśmy samodzielnie, na podstawie zdobytej wiedzy, dostępnej literatury oraz wyników uzyskanych w laboratorium (dołączonych do sprawozdania).
1) Opis doświadczenia
Doświadczenie 1 polegało na zmierzeniu linii ugięcia przez kolejne obciążanie belki siłami o wartości 5kg i 2kg w wybranych punktach nr 3 i 6. Należało dokonać odczytów początkowych przed obciążeniem i po obciążeniu. Linie ugięcia belki można zdefiniować jako odkształconą oś belki powstałą na skutek przyłożonego obciążenia. Aby opisać deformację belki musimy przyjąć założenia, że zginanie jest proste, odkształcenia i przemieszczenia są małe a siły poprzeczne nie wpływają na odkształcenia pręta. Zgodnie z tymi założeniami o małych odkształceniach, poszczególne punkty osi belki doznają tylko przemieszczeń pionowych a długość belki nie ulegnie zmianie. Ugięciem można nazwać przemieszczenie pionowe punktów osi.
Doświadczenie 2 polegało na sprawdzeniu twierdzenia o wzajemności przemieszczeń. Wykonywane było przez obciążenie belki w jednym z punktów „i” siłą P i zmierzeniem przemieszczeń jakie doznaje, a następnie powtórzenie tego dla innego punktu „j”. Należało sprawdzić czy istniała równość pomiędzy przemieszczeniami. Pomiary wykonany trzy razy i wyliczono z nich średnią przemieszczeń.
Doświadczenie 3 polegało na sprawdzeniu twierdzenia Betti-Maxwella. Twierdzenie zakłada, że jeśli na ustrój sprężysty, działają dwa niezależne od siebie układy obciążeń, spełniające warunki równowagi, to praca obciążenia pierwszego układu wykonywana na przemieszczeniach wywołanych drugim układem jest równa pracy obciążenia drugiego układu wykonywanej na przemieszczeniach wywołanych pierwszym układem obciążeń. W doświadczeniu obciążaliśmy grupami sił o wartości 1kG, 2kG, 2kG punkty 4, 5 i 6 a następnie punkty 1, 2, 3 drugą grupą sił o wartości 2kG, 1kG, 1kG. Pomiary wykonano trzy razy i wyliczono średnie.
2) Wyniki pomiarów
Doświadczenie 1
| Nr punktu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Obciążenie | 5kg | 2kg | ||||
| OP | 1,48 | 3,69 | 2,47 | 3,99 | 3,86 | 1,1 |
| OK | 1,18 | 3,18 | 1,86 | 3,44 | 3,47 | 1,11 |
| 0,30 | 0,51 | 0,61 | 0,55 | 0,39 | -0,01 |
Doświadczenie 2
| Seria odczytów | Nr pkt | 2 | 5 |
|---|---|---|---|
| 5kg w punkcie 5 | 5g w punkcie 2 | ||
| Odczyt 1 | OP | 3,86 | 3,69 |
| OK | 3,43 | 3,25 | |
| 0,43 | 0,44 | ||
| Odczyt 2 | OP | 3,69 | 3,86 |
| OK | 3,45 | 3,35 | |
| 0,41 | 0,34 | ||
| Odczyt 3 | OP | 3,69 | 3,86 |
| OK | 3,47 | 3,32 | |
| 0,39 | 0,37 | ||
| średnie | 0,41 | 0,38 |
Doświadczenie 3
| Seria odczytów | Nr pkt | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Obc. | 1kg | 2kg | 2kg | ||||
| Odczyt I | Op | 3,99 | 3,86 | 1,1 | |||
| Ok. | 3,34 | 3,40 | 1,25 | ||||
| δ | 0,65 | 0,46 | -0,15 | ||||
| Odczyt II | Op | 3,99 | 3,86 | 1,1 | |||
| Ok. | 3,39 | 3,42 | 1,26 | ||||
| δ | 0,6 | 0,44 | -0,16 | ||||
| Odczyt III | Op | 3,99 | 3,86 | 1,1 | |||
| Ok. | 3,40 | 3,42 | 1,24 | ||||
| δ | 0,59 | 0,44 | -0,14 | ||||
| δśr | 0,61 | 0,45 | -0,15 |
| Seria odczytów | Nr pkt | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Obc. | 2kg | 1kg | 1kg | ||||
| Odczyt I | Op | 1,48 | 3,69 | 2,47 | |||
| Ok. | 1,28 | 3,38 | 2,04 | ||||
| δ | 0,2 | 0,31 | 0,43 | ||||
| Odczyt II | Op | 1,48 | 3,69 | 2,47 | |||
| Ok. | 1,25 | 3,35 | 1,99 | ||||
| δ | 0,23 | 0,34 | 0,48 | ||||
| Odczyt III | Op | 1,48 | 3,69 | 2,47 | |||
| Ok. | 1,25 | 3,33 | 1,99 | ||||
| δ | 0,23 | 0,36 | 0,48 | ||||
| δśr | 0,22 | 0,34 | 0,46 |
Różnica wynosi 2,91
3) Dla doświadczenia 1:
a) Teoretyczne obliczenie linii ugięcia
Wykres momentów:
Schemat wtórny:
Obciążenie wtórne:
Schemat pracy:
Obliczenie przemieszczenia punktów
b) Porównanie wyników doświadczenia z wynikami teoretycznymi
| Nr punktu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Doświadczalne | 0,30 | 0,51 | 0,61 | 0,55 | 0,39 | -0,01 |
| Teoretyczne | 0,3575 | 0,7137 | 0,7657 | 0,7106 | 0,693 | -0,237 |
| Różnica | 0,0575 | 0,2037 | 0,1557 | 0,1606 | 0,303 | -0,227 |
c) Linia ugięcia (skala linii w porównaniu z belką została 10krotnie powiększona aby poprawić widoczność wyników)
4) Wnioski
Dla doświadczenia drugiego możemy zauważyć iż nie spełniona jest równość , różnica pomiędzy przemieszczeniami wynosi 0,03mm. Ten niewielki błąd może być jednak spowodowany niedokładnym odczytaniem którejś z wartości z czujników pomiarowych. W przybliżeniu do jednego miejsca po przecinku, wartości te są sobie równe, co dowodzi prawdziwości twierdzenia o wzajemności przemieszczeń.
W doświadczeniu trzecim również możemy zaobserwować, że równości nie są zgodne. Różnica pomiędzy nimi wynosi 2,91. Ponownie może mieć to związek z niedokładnością odczytu podczas badania.
W doświadczeniu pierwszym mieliśmy za zadanie porównać wartości doświadczalne z wartościami teoretycznymi. Po rysunku linii ugięcia można zauważyć iż obie linie nie pokrywają się. Maksymalna różnica pomiędzy wartościami wynosi 0,3mm. Różnica pomiędzy wynikami może więc wynikać z niedoskonałości pomiarowej sprzętu, błędu przy odczytywaniu. Fakt, że wyniki teoretyczne są nieznacznie większe od wyników doświadczalnych, może brać się z toku obliczeń i przybliżeń wyników na poszczególnych etapach. Zaokrąglenia mogły wpłynąć na wynik. Jest on jednak bardzo nieznaczny. Linia ugięcia została dziesięciokrotnie powiększona w stosunku do belki, ponieważ w innym przypadku nie byłaby widoczna. Sugeruje to, że same przemieszczenia belki są nieznaczne. Należy pamiętać iż całkowita długość zadanej belki wynosiła 60cm. Dla belki o długości 6m maksymalne ugięcie wyniosłoby 6,1mm co daje w przybliżeniu 1cm. Choć nie jest to olbrzymia liczba przy sześciu metrach należy pamiętać o tym podczas projektowania.
Wyszukiwarka