Wydział Inżynierii Środowiska i Energetyki
Kierunek: Inżynieria Środowiska
Semestr: 1, Grupa: 1
SPRAWOZDANIE Z ĆWICZENIA:Badanie szeregowego rezonansu napięciowego.
Sekcja: 3
1.Katarzyna Guzy
2.Magdalena Grunwalska
1.Wstęp teoretyczny.
1.Rezonans- zjawisko fizyczne zachodzące dla drgań wymuszonych, objawiające się pochłanianiem energii poprzez wykonywanie drgań o dużej amplitudzie przez układ drgający dla określonych częstotliwości drgań.
Warunki:
kąt przesunięcia fazowego między napięciem a prądem zasilania jest równy zeru,
reaktancja wypadkowa jest równa zeru,
susceptancja wypadkowa jest równa zeru.
Nie są to jednak warunki wystarczające. Obwód zawierający tylko rezystory zawsze spełnia te warunki, ale rezonans w nim nie zachodzi. Rezonans może zajść tylko wtedy, gdy w danym obwodzie istnieje możliwość wzbudzenia drgań swobodnych, a to jest możliwe tylko w obwodach zawierających co najmniej jedną cewkę i co najmniej jeden kondensator.
Rys.1. Obwód prądu zmiennego z elementami R, L i C.
Rezonans napięć
Zjawisko rezonansu napięć występuje w gałęzi szeregowej RLC i polega na tym, że przy określonej częstotliwości sygnałów w obwodzie f0, zwanej częstotliwością rezonansową, napięcie UL na cewce oraz UC na kondensatorze są równe co do modułu, a przeciwne co do znaku, wobec czego ich suma jest równa zero.
Obwód rezonansowy szeregowy
Szeregowy obwód rezonansowy składa się z szeregowo połączonych: indukcyjności oraz pojemności. Obwód jest pobudzany ze źródła napięciowego o zerowej rezystancji wewnętrznej. W praktyce można założyć, że straty obwodu wynikają z oporności strat cewki indukcyjnej.
2.Miarą stopnia rozpraszania energii w obwodzie drgającym jest dobroć definiowana następująco:
$Q = \omega\frac{\text{energia\ zmagazynowana}}{srednia\ moc\ rozproszenia}$
Wstawiając wyrażenia:
$\left( P \right) = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}{E\left( t \right)I\left( t \right)dt = \frac{1}{T}}E_{m}I_{m}\int_{0}^{T}{cos\omega t \bullet \cos\left( \omega t - \varphi \right)dt = \frac{1}{2}E_{m}I_{m}cos\varphi = \frac{1}{2}I_{m^{2}}R}$
$W = \frac{1}{2}\text{LI}_{m^{2}}$
$\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ f}_{r} = \frac{1}{2\pi\sqrt{\text{LC}}}$
otrzymamy:
$Q = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}$
3.Dobroć można określić jako wartość takiego kąta ωt (w radianach), który odpowiada
zmniejszeniu energii w obwodzie o czynnik 1/e. Energia zmagazynowana np. w cewce
jest proporcjonalna do
Im2, a więc W~e2βt, gdzie $\beta = \frac{R}{2L}$ – współczynnik tłumienia: W=Wme-2β(t+τ)
Po czasie τ energia ma być e razy mniejsza
$\frac{1}{e}W_{m}e^{- 2\beta(t + \tau)}$
Co daje po przekształceniach $\tau = \frac{1}{2\beta},\ $ a dobroć wyniesie:
$Q = \omega\tau = \frac{\text{ωL}}{R} = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}$
4.Jeszcze innym sposobem obliczenia dobroci układu jest wykorzystanie tzw. szerokości połówkowej mocy na krzywej rezonansowej. Rozwińmy wyrażenie $\text{ωL} - \frac{1}{\text{ωC}}$
w szereg względem $\frac{\omega}{{2\omega}_{r}}$ :
$\omega L - \frac{1}{\text{ωC}} = \omega_{r}L\left( 1 + \frac{\omega}{2\omega_{r}} \right) - \frac{1}{\omega_{r}(1 + \frac{\omega}{2\omega_{r}})} = \omega_{r}L\left\lbrack 1 + \frac{\omega}{2\omega_{r}} - \frac{1}{1 + \frac{\omega}{2\omega_{r}}} \right\rbrack = \omega_{r}L\frac{\omega}{\omega_{r}}$
Maksymalna moc w obwodzie wynosi $\ \frac{E_{m^{2}}}{R}$. Tak zwana szerokość połówkowa odpowiada połowie maksymalnej mocy w obwodzie. Jest to spełnione wówczas, gdy rezystancja R równa jest wypadkowej reaktancji:
$R = \left| \omega L - \frac{1}{\text{ωC}} \right|$
Otrzymujemy więc: $Q = \frac{\omega_{r}}{\omega}$
Połówkowej mocy odpowiada natężenie prądu $\frac{i_{\max}}{\sqrt{2}}$, a szerokość połówkowa odpowiada odległości między punktami na krzywej rezonansowej i=f(f) (rys.2.),
przy której i=$\frac{i_{\max}}{\sqrt{2}}$. Dobroć obwodów anten radiowych osiąga 1000, a mikrofalowe obwody rezonansowe posiadają dobroć nawet rzędu 105.
2.Opis ćwiczenia
1.Rysujemy wykresy zależności częstotliwościowej:
natężenia prądu i=f(f),
napięć UL=f i UC=f(f) ( na wspólnym arkuszu).
2.Metodą szerokości połówkowej krzywej rezonansowej obliczamy dobroć układu rezonansowego-korzystamy z następującego wzoru:
Q=$\frac{\mathbf{\omega}_{\mathbf{r}}}{\mathbf{\text{Δω}}}$
3.Obliczamy rezystancję układu rezonansowego:
R=$\frac{\mathbf{U}_{\mathbf{0}}}{\mathbf{i}_{\mathbf{\max}}}$
gdzie imax-natężenie prądu odpowiadające częstotliwości rezonansowej
4.Obliczamy dobroć obwodu stosując wzór:
Q=$\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{R}}\sqrt{\frac{\mathbf{L}}{\mathbf{C}}}$
5.Przeprowadzamy rachunek błędów.
3.Tabele pomiarowe, obliczenia, wykresy
1.Parametry początkowe:
C=200nF
L=500mH
U0=3V
Lp. | f[Hz] | I[mA] | UL[V] | UC[V] |
---|---|---|---|---|
1 | 100 | 0,87 | 0,152 | 2,995 |
2 | 150 | 1,38 | 0,341 | 3,163 |
3 | 200 | 1,98 | 0,595 | 3,325 |
4 | 250 | 2,74 | 0,978 | 3,534 |
5 | 300 | 3,82 | 1,609 | 3,824 |
6 | 350 | 5,24 | 2,535 | 4,99 |
7 | 400 | 7,22 | 3,941 | 6,00 |
8 | 450 | 9,51 | 5,73 | 7,02 |
9 | 500 | 10,75 | 7,14 | 7,14 |
10 | 550 | 9,74 | 7,13 | 5,87 |
11 | 600 | 8,02 | 6,43 | 4,48 |
12 | 650 | 6,54 | 5,73 | 3,336 |
13 | 700 | 5,36 | 5,15 | 2,631 |
14 | 750 | 4,56 | 4,76 | 2,122 |
15 | 800 | 3,97 | 4,47 | 1,768 |
16 | 850 | 3,47 | 4,23 | 1,478 |
17 | 900 | 3,08 | 4,05 | 1,261 |
18 | 950 | 2,76 | 3,91 | 1,093 |
19 | 1000 | 2,62 | 3,85 | 1,025 |
2.Zagęszczenie w przedziale od 400 do 600 co 20 Hz.
Lp. | f[Hz] | I[mA] | UL[V] | UC[V] |
---|---|---|---|---|
1 | 400 | 7,22 | 3,941 | 6,00 |
2 | 420 | 8,05 | 4,55 | 6,41 |
3 | 440 | 9,13 | 5,41 | 6,88 |
4 | 460 | 9,91 | 6,09 | 7,16 |
5 | 480 | 10,49 | 6,69 | 7,27 |
6 | 500 | 10,75 | 7,15 | 7,13 |
7 | 520 | 10,62 | 7,30 | 6,79 |
8 | 540 | 10,15 | 7,25 | 6,27 |
9 | 560 | 9,48 | 7,04 | 5,65 |
10 | 580 | 8,77 | 6,76 | 5,09 |
11 | 600 | 8,02 | 6,43 | 4,48 |
3.Z wykresu nr 2 (rys.2.) odczytujemy że imax wynosi 10,75. Do wyznaczenia połówkowej mocy natężenia prądu korzystamy ze wzoru $\frac{\mathbf{i}_{\mathbf{\max}}}{\sqrt{\mathbf{2}}}$.
Otrzymujemy:$\mathbf{\ }\frac{\mathbf{i}_{\mathbf{\max}}}{\sqrt{\mathbf{2}}}$=7,6A.
Następnie rysując prostą, odczytujemy z wykresu 2 punkty przecięcia się. Musimy obliczyć ich Δω.
4.Metodą szerokości połówkowej krzywej rezonansowej obliczamy dobroć układu rezonansowego-korzystamy z następującego wzoru:
Q=$\frac{\mathbf{\omega}_{\mathbf{r}}}{\mathbf{\text{Δω}}}$
Dobroć układu rezonansowego wynosi:
Q=5,68
5.Obliczamy rezystancję układu rezonansowego stosując wzór:
R=$\frac{\mathbf{U}_{\mathbf{0}}}{\mathbf{i}_{\mathbf{\max}}}$
Rezystancja układu rezonansowego wynosi:
R=280Ω
6.Obliczamy dobroć obwodu stosując wzór:
Q=$\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{R}}\sqrt{\frac{\mathbf{L}}{\mathbf{C}}}$
Dobroć obwodu rezonansowego wynosi:
Q=5,64
Mierniki:
miliamperomierz: typ: 400mA; klasa 1,5%; zakres 5mA; dokładność odczytu: 0,01mA
woltomierz: typ1:200; klasa 0,8%; zakres 1V; dokładność odczytu:0,001V
typ2:20; klasa 0,8%; zakres 1V; dokładność odczytu:0,001V
częstotliwościomierz: typ: 4kHz; klasa 0,1%; zakres 1Hz; dokładność odczytu:1 Hz
4.Podsumowanie
Metodą szerokości połówkowej krzywej rezonansowej obliczyłyśmy dobroć układu rezonansowego, korzystając ze wzoru: Q=$\frac{\omega_{r}}{\text{Δω}}$, gdzie Q=5,68. Natomiast korzystając ze wzoru: Q=$\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}$, obliczyłyśmy, iż Q=5,64. Powyższe różnice możemy tłumaczyć błędem odczytu wartości napięcia i prądu, a tym samym niedokładnym obliczeniem wartości elementów. Powstały błąd jest dość mały i możemy powiedzieć, że obydwie dobroci są takie same.
Na podstawie przeprowadzonych pomiarów i obliczeń można wywnioskować, iż w układzie szeregowym RLC zasilanym ze źródła napięcia dla małych rezystancji, wartość dobroci układu znacznie wzrasta, a tym samym powoduje zwężenie pasma. Zmiany rezystancji nie wpłynęły na częstotliwość rezonansową, jedynie na maksymalną wartość skuteczną prądu gdy rezystancja maleje – maksymalna wartość skuteczna prądu rośnie.