Układem współrzędnych kartezjańskich nazywa się układ współrzędnych, w którym zadane są:

• punkt zwany początkiem układu współrzędnych, którego wszystkie współrzędne są równe zeru, często oznaczany literą O lub cyfrą 0.

• zestaw n parami prostopadłych osi liczbowych zwanych osiami układu współrzędnych. Dwie pierwsze osie często oznaczane są jako:

  • X (pierwsza oś, zwana osią odciętych),

  • Y (druga, zwana osią rzędnych),

Liczba osi układu współrzędnych wyznacza tzw. wymiar przestrzeni.

Układ współrzędnych biegunowych

Każdemu punktowi P płaszczyzny przypisujemy jego współrzędne biegunowe jak następuje^[1]:

• promień wodzący punktu P to jego odległość |OP| od bieguna

• amplituda punktu P to wartość kąta skierowanego pomiędzy półprostą OS a wektorem 

Dla jednoznaczności przyjmuje się, że współrzędne bieguna O są równe(0,0). O amplitudzie możemy zakładać, że  (niektórzy autorzy przyjmują ).

Krzywe stożkowe- wdzluz których plaszczyzna przecina stożek kołowy płaski biegunowe r (fi) wpolrzedne e mimosrod krzywej decydujący o kształcie

kartezianskie [x/y/1]T*[abd/bce/def]*[x/y/1]=0 {//}- macierz pionowa!!

Wektory zaczepione kartezjancki (PQ) geometryczny –czworka (P(unkt)d(lugosc)k(ierunek)z(wrot)) euklidesowy (wspolrzedne xp yp ;xq yq)
Iloczyn skalarny wektorow 2d 1(a₁a₂, )(b₁, b₂, )=a₁b₁ + a₂b₂

2Mnożenik s wersora w ewektora v- M=s*W gdzie W=$\frac{v}{\begin{matrix} \text{IvI} \\ \\ \end{matrix}}$ 3 u*v=Iu*vI*cos(α)

Iloczyn skalarny n wymiarowy- a*b=$\sum_{k = 1}^{n}{a_{k}*b_{\begin{matrix} k \\ \\ \end{matrix}}}$ czyli (a₁a₂, a₃)(b₁, b₂, b₃)=a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃

Iloczyn wektorowy wektorow geometrycznie axb ma dł = polu równoległościanu rozpiętego prez wektory a i b czyli a*b*sin(alfa)jesto prostopadły do a i b ma zwrot taki ze ta trojka a(kciuk),b(palec wskazujący),axb(palec srodkowy prostopadle do tamtych) jest prawoskretna algebraicznie a=$\begin{matrix} a1 \\ a2 \\ a3 \\ \end{matrix}$ b=$\begin{matrix} b1 \\ b2 \\ b3 \\ \end{matrix}$ axb=$\begin{matrix} a2*b3 \\ a3*b1 \\ a1*b2 \\ \end{matrix}$-$\begin{matrix} a3*b2 \\ a1*b3 \\ a2*b1 \\ \end{matrix}$

włąsności iloczynu a x b = - (a x b);;;;k(a x b) = (ka) x b = a x (kb);;;(a + b) x v = a x v + b x v

iloczyn miesany [a,b,c]= a*(bxc)

Iloczyn splotowy – wynika działania określonego dla dwóch funkcji dającego w wyniku inną funkcję, która może być postrzegana jako zmodyfikowana wersja oryginału.

Iloczyn kartezjański zbiorów A i B to zbiór takich wszystkich uporządkowanych par (a,b), dla których a należy do zbioru A i b należy do zbioru B. Iloczyn kartezjański oznaczamy jako A × B. Mnożenie kartezjańskie nie jest przemienne. Oznacza to, że zwykle A × B ≠ B × A.

Równania prostej na plaszczyznie ogolne(Ax+By+c=0) kierunkowe(y==ax+b) odcinkow(x/a+y/b=0) parametryczne $\left\{ \begin{matrix} x = x0 + \xi*t \\ y = y0 + \eta*t \\ \end{matrix} \right.\ $

Równania prostej na plaszczyznie r3 kierunkowe-II- odcinkowe(x/x0+y/y0+z/z0=1) ogolne w*P=r prostej krawedziowe$\left\{ \begin{matrix} w*P = r \\ W*P = R \\ \end{matrix} \right.\ $ parametryczne(P=P0+w*t) gdzie P=[x y (z)]T, P0 zaw się w R3 a, b c r R t zaw się w R

Macierzą nazywamy funkcję, która jest określona na iloczynie kartezjańskim skończonej liczby zbiorów skończonych.

Określanie macierzy premutacyjna(od jednostkowej rozni się tyko przestawieniem kolejności koumn) gornotrojkatna (wszystkie elem poniżej przekątnej=0)dolnotrojkatna(odwrotnie) kwadratowa(wymiaru n*n lub m=n w macierzy m*n) diagonalna(wszystkie współczyn. Poza tymi na przekątnej =0) elementarna

Kwadrat magiczny – tablica składająca się z n wierszy i n kolumn (n>2), w którą wpisano n² różnych dodatnich liczb naturalnych w ten sposób, że suma liczb w każdym wierszu, w każdej kolumnie i w każdej przekątnej jest taka sama (tzw. suma magiczna). Taką macierzą jest macierz Durera (ta na książce dr MArlewskiego)

Transponowanie istnieje taka macierz b ze b_kj=a_jk czyli b=a^T=a dodawanie a+b=[a_jk+b_jk]j=1..m k=1…n skalowanie r*a=[r*a_jk] iloczyn cauchyego c_jq=$\sum_{k = 1}^{n}a_{\text{jk}}*b_{\text{kq}}$

Wyznacznik macierzy kombintoryjna det(a)= $\sum_{p}^{}{{( - 1)}^{inv(p)}*a_{1,p1}*a_{1,p2}*a_{n,pn}}$ lapace,a det(a)=a_1, 1 jeśli n=1 lub jeśli ≠1 det(a)$\sum_{j = 1}^{n}{{( - 1)}^{j + k}*a_{j,k}*{\hat{a}}_{j,k}}$ wlasnosci 1det(a)=det(aT) 2 wyznacznik macierzy, ktora ma kolumnę zerową jest równy 0 3 wyznacznik macierzy górno/dolnotrójkątnej = iloczyn elem na przekątnej4 pomnożenie dowolnej kolumny przez skalar powoduje ze wyzncznik tez jest przez niego pomnożony r*det(a), 5 dodanie kolumny pomnozone przez skalar do innej kolumny nie zmienia wartosci wyznacznika to samo z wierszami6 zamiana dowolnej kolumny na inna (to samo wiersze) zmienia wyznacznik na przeciwny

Reguła Sarrusa to praktyczny sposób obliczania wyznacznika stopnia 3, gdzie skorzystanie z rozwinięcia Laplace'a może być niewygodne. Algorytm ten został odkryty przez francuskiego matematyka Pierre'a Sarrusa.Reguła Sarrusa nie przenosi się na wyznaczniki wyższych stopni. (obliczanie det tak jak na ćwikach z matmy przy mac.m stopnia 3)

Delta Kroneckera $\delta_{\text{jk}}\left\{ \begin{matrix} 1\ gdy\ j = k \\ 0\ gdy\ j \neq k \\ \end{matrix} \right.\ $

Macierz odwrotna A macierz kwadrtowa , a I macierz jednostkowa. Istniejetaka macierz B ze B*A=A*B=I oznaczenie A⁻¹ Macierz nieosobliwa=odwracalna - macierz, której wyznacznik jest różny od zera.

Macierz osobliwa=nieodwracalna - macierz, której wyznacznik jest równy zero. Każda macierz, która nie jest kwadratowa nie jest odwracalna.

Rząd macierzy największy stopien nieosobliwej (niezerowej) podmaciery niezmienniki rzedu 1do wiersza/kolmny dodamy inny pomnożony przez skalarb2 wiersz/kolumnę pomnożymy prze liczbe≠0, 3skreślamy zerowe wiersze/kolumny,4 jeżeli w macierzy znajduje się wiersz lub kolumna w której wszystkie elem poza jednym sa tówne 0 to skeślając wiersz i kolumnę z którym jest ten elem związany uzyskujemy macierz powiedzmy c przy czym rank(c)= 1+rank(b),5 rząd macierzy jednozerowej lub jednokolumnowej =0 jeśli jest ona zerowa/ w przeciwnym wypadku=1

Macierz obrotu R$\varphi = \begin{matrix} \text{cosφ} & - sin\varphi \\ \text{sinφ} & - cos\varphi \\ \end{matrix}$

Ślad macierzy suma jej elem. Diagonalnych tr(A)a)jest niezmiennikiem transponowania tr(A)^T = tr(A) znika na komutatorze macierzy tj. tr(A*B-B*A)=0 w wielomianie charakterystycznym Xa(λ tym współczynnikiem, który stoi przy I potędze zmiennej λ d) ślad macieryzy jest równy sumie jej wartości własnych

Liniowa zależność Ogólniej, niech V oznacza przestrzeń liniową nad ciałem K a{v_i : i ∈ I}będzie rodziną elementów VRodzina jest liniowo zależna nad Kjeżeli istnieje rodzina {a_j : j ∈ J}elementów K nie wszystkich zerowych, taka że $\sum_{j = 1}^{n}{a_{j}v_{j}}$

Ural – a*x=b gdzie b- wektor wyrazów wolnych x-wektor niewiadomych a-macierz jedno rozwiązanie gdy A≠0 niekonczenie wiele gdy a=b=0 sprzeczne a=o b≠0

Wzor prosty A*x=B x=A⁻¹*B wzory Cramera ukl ma jedno rozwiązanie i kazda wspolrzedna tego rozwiązania x_k=$\frac{det(Ak)}{det(A)}$ met elim gaussa wykonujemy n-1 pivotow dolnych tak żeby doprowadzić do powstania mac gornotrójkątnej potem oddołu rozwiązujemy równania (ostatnie powinno wyglądać ax=wynik) każdy uzyskany wynik z niższego równania podstawiamy do wyższego itp. Itd. Tw Kroneckera capelliego rząd=rank rank(A)=rank (AIB) czyli rząd macierzy =rząd macierzy rozszerzonej wtedy ural A*x=b jest zgodny

Kolokacje Stevina Dla zestawu n+1 = 4 punktów

P₀ = (0, 2), P₁ = (1, ), P₂ = (2, 1), P₃ = (3, 0)

wyznaczamy stevinowski wielomian kolokacyjny w bazie standardowej, a więc wielomian możliwie najniższego stopnia, którego wykres przechodzi przez dane punkty P_j = ( x_j, y_j ). m-ta baza standardowa (zwana także naturalną, stevinowską) składa się z wielomianów b_k, b_k(x) := x^k dla k = 0, 1, ..., n. O elementach bazy mówimy, że są wielomianami bazowymi. O wielomianie zapisanym w tej bazie (a więc o kombinacji liniowej wielomianów bazowych) mówimy, że jest wielomianem stevinowskim, wielomianem naturalnym, wielomianem zapisanym w postaci naturalnej, wielomianem przedstawionym w bazie standardowej. Tak więc wielomian stevinowski (inaczej: standardowy, naturalny) to wielomian zapisany jak następuje

w(x) = c⋅b(x) =  = c₀ + c₁⋅x + c₂⋅x² + ... + c_n⋅xⁿ  

Lagrange’a Wielomian kolokacyjny Lagrange’a to wielomian kolokacyjny zapisany w bazie Lagrange’a, bazie lagranżanowskiej. k-tym element tej bazy, a więc k-tym wielomian bazowy Lagrange’a (mówi się także: k-ty mały wielomian Lagrange’a) jest zdefiniowany wzorem

b_n,k(x) :=  = =

= ,

k ∈ {0, 1, 2, ..., n}.

Tw Kroneckera capelliego rząd=rank rank(A)=rank (AIB) czyli rząd macierzy =rząd macierzy rozszerzonej

Elem równoważność maciezy macierze Ai B są elem równoważne jeżeli stnieje taki iloczyn W K, że B=W*A*K

Pivot elem przekształcenie macierzy, w której qtą kolumnę zasępuję kolumną w której wszystkie elem są zerami poza elementem (i,q) Pivot dolnymienia wiersze znajdujące isę pod wierszem kierującym a więc pod element kierujący wpisuje się zera a elementy poza kolumną kierującą przekształca stosując wzór prostokąta

podobienstwo macierzy mac A jest podobna do mac B jeżeli istnieje tak mac nieosobliwa (nizerowa) P, ze B=P⁻¹*a*P jeżeli P realizuje podoieństwo Bdo A to P^_1 realizuje A do B w klasie macierzy tego samego stopnia podobieństwo jest relacją równoważności det(P⁻¹*A*P)=det(P) Macierze podobne mają takie same wielomiany

Algebraiczne zagadnienie własne macierzy:

av=λv → v(a-λI) = 0, λ – wartość własna, v – wektor własny χa(λ) = 0; wielomian charakterystyczny

wielomian charakterystyczny χ wielomianem charakterystycznym macierzy kwadratowej A stomnia n nazywamy wielomian w(λ) stomnia n zmiennej λ Xa(λ) = det (A-λI), wektor własny macierzy A jest równy wektorowi λ
diagonalizacja macierzy o pełnym widmie Diagonalizacja to rozkład macierzy polegający na rozbiciu macierzy kwadratowej A ∈ M_k(K)na iloczyn macierzy:P, ,P⁻¹ ∈ M_k(K)

A=PP⁻¹

Gdzie jest macierzą diagonalną, P,P⁻¹są nazywane macierzami przejścia.

Współczynniki na głównej przekątnej macierzy diagonalnej Δ są równe kolejnym wartościom własnym macierzy A, z kolei kolumny macierzy P stanowią kolejne wektory własne macierzy A.

χ_a(λ)=det(A-λ)=( − 1)ⁿ(λⁿ + c_n − 1λ^n − 1 + … + c₁λ + c₀₎ gdzie c₀ − det(A) c₁-tr(A)=$\sum_{j = 1}^{n}a_{\text{jj}}$

Macierze kwadratowe, które można przedstawić w postaci diagonalnej, nazywamy diagonalizowalnymi.

tw.Cayleya-Hamiltona i obliczanie potęgi A^m Wielomian charajterystyczny w(λ) ma macierzy A tę własność, że w(A)=0 Każda macierz spełnia swe równanie charakterystyczne

Ciągi funkcja określona na zbiorze przeliczalnym np. {1,2,3,4,5…} f(k) gdzie kϵN

ograniczony- gdy wszystkie wyrazy zawarte w pewnym ograniczonym przedziale (-M,M), M>0 tzn, gdy a_n=<M,n=1,2,3… rosnący, gdy a_n > a_n − 1 malejący , gdya_n < a_n − 1 niemalejący gdy a_n = >a_n − 1 nierosnący gdy a_n = <a_n − 1

Granice ciągu ZBIEŻNY ciąg a_n jest zbieżny do granicy skończonej g jeżeli dla każdej liczb. E>0 można dobraćtaką liczbę N, że wszystkie wyrazy ciągu a_n o wskaźnikach większych od N różnią się od liczby g mniej niż o E tzn. że dla n>N spełniona jest nierówność Ia_n-gI<E E-epsilon

a_n = g ↔ ∀_E > 0∃_N∀_n > N(Ia_n-gI<E) ROZBIEŻNY Jeżeli ciąg ma nieskończeni wiele wyrazów w otoczeniu liczby a oraz b to ani liczba a ani b ani żadna g nie jest jego granicą. Wtedy ciąg nazywamy rozbieżnym. ROBIEŻ DO NIESKOŃCZONOŚCI Ciąg a_n jest rozb do +∞ jeżeli dla każdej liczbay A można dobraćtakie N że wszystkie wyrazy a_n o wskaźnikach większych od N przewyższają liczbę A tzn dla n>N spełniona jest nierówność a_n>A a_n = ∞ ↔ ∀_A∃_N∀_n > N (a_n > A)

do -∞ a_n = −∞↔∀_A∃_N∀_n > N (a_n < A)

Ciąg Fibonacciego – ciąg liczb naturalnych określony rekurencyjnie w sposób następujący: Pierwszy wyraz jest równy 0, drugi jest równy 1, każdy następny jest sumą dwóch poprzednich Fn=.$\left\{ \begin{matrix} 0\ dla\ n = 0 \\ 1\ dla\ n = 1 \\ F_{n - 1} + F_{n - 2}\ dla\ n > 1 \\ \end{matrix} \right.\ $ ciag Bernoulliego $\sum_{k = 0}^{n}{(\frac{n + 1}{k})}*B_{k} = 0$

Suma ciągu a_a + b_n= a_n+b_n= a+b różnica a_a − b_n= a_n-b_n= a-b iloczyn a_a * b_n= a_n*b_n= a*b Iloraz $\operatorname{}\frac{a_{n}}{b_{n}}$= $\frac{\operatorname{}a_{n}}{\operatorname{}b_{n}}$=$\frac{a}{b}$

Tw o 3 ciągach Jeżeli a_n=b_n=q a ponadrto istnieje taka N₀, że dla każdego n>N₀spełnione są nierówności a_n=<b_n=<c_n to b_n = q

War konieczn. Zbieżn ciągu Jeżeli szereg $\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$ jest zbieżny to a_n = 0

Splatanieciągów a_n *  b_n = c_n $c_{n} = \sum_{j = 0}^{n}{a_{j}b_{n - j}}$

Tw Bernouliego o ciągu roznącym i ogranicznym Liczba e jest granicą ciągu a_n=(1+ $\frac{1}{n}$)ⁿ

Czyli e=$\frac{\lim}{n \rightarrow \infty}$((1+ $\frac{1}{n}$)ⁿ)

Dowód zbieżności: Można wykazać że ciąg ((1+ $\frac{1}{n}$)ⁿ)_nEN jest niemalejący i ograniczony z góry, a zatem jest zbieżny. Dla dodatnich liczb x1,x2,…,x_nr1 zachodzi nierówność między ich średnią arytmetyczną a geometryczną. $\sqrt{\frac{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \ldots + a_{n}^{2}}{n}} \geq \frac{a_{1} + a_{2} + \ldots + a_{n}}{n} \geq \sqrt[n]{a_{1}*a_{2}*\ldots a_{n}} \geq \frac{n}{\frac{1}{a1} + \frac{1}{a2} + \ldots + \frac{1}{\text{an}}}$
Więc: $\frac{x1 + \ldots + x_{n + 1}}{n + 1} \geq {(x1*\ldots*x_{n + 1})}^{\frac{1}{n + 1}}$

Rozwijając x₁=..x_n=1+1/n oraz x_n+1 otrzymujemy $\frac{1 + \frac{1}{n} + \ldots + 1 + \frac{1}{n} + 1}{n + 1} \geq \left( \left( 1 + \frac{1}{n} \right)\ldots\left( 1 + \frac{1}{n} \right)*1 \right)^{\frac{1}{n} + 1}\backslash n$a stąd $\left( \frac{n + 2}{n + 1} \right)^{n + 1} \geq \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n}$A więc również $\left( 1 + \frac{1}{n + 1} \right)^{n + 1} \geq \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }a_{n + 1} \geq a_{n}$

Czyli ciąg jest niemalejący

Połóżmy $b_{n} = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n + 1}\ i\ zauwazamy\ \ ze\ a_{n} \leq b_{n} = \frac{1}{\left( \frac{n}{n + 1} \right)^{n + 1}} = \frac{1}{\left( 1 - \frac{1}{n + 1} \right)^{n + 1}}$

Z nierówności zastosowanej do $x_{1} = x_{n + 1} = 1 - \frac{1}{n + 1}$ oraz x_n+2=2 otrzymujemy, że

$\frac{1 - \frac{1}{n + 1} + \ldots + 1 - \frac{1}{n + 1} + 1}{n + 2} \geq \left( \left( 1 - \frac{1}{n + 1} \right)\ldots\left( 1 - \frac{1}{n + 1} \right)*1 \right)^{\frac{1}{n + 2}}$ Stąd $\left( \frac{n + 1}{n + 2} \right)^{n + 2} \geq \left( 1 - \frac{1}{n + 1} \right)^{n + 1}$

A więc również $\left( 1 - \frac{1}{n + 2} \right)^{n + 2} \geq \left( 1 - \frac{1}{n + 1} \right)^{n + 1}$

Czyli ciąg $\left( \left( 1 = \frac{1}{n + 1} \right)^{n + 1} \right)n\ nalezy\ do\ N$ jest niemalejący

Ponieważ $b_{n} = \frac{1}{\left( 1 - \frac{1}{n + 1} \right)^{n + 1}}$ to możemy wywnioskować, że ciąg b_n jest nierosnacy,  a stad a₁ ≤ a₂ ≤ a_n ≤ b_n < b₂ < b₁

Ciąg a_n jest więc niemalejący i ograniczony z góry np. przez b₁ a więc jest zbieżny.

e ≈ 2, 72

Ciąg Eulera ${(1 - \frac{1}{k})}^{k}$=e_k k=1,2,3… Liczba eulera $\operatorname{}{(1 - \frac{1}{k})}^{k}$-e ≈2, 72

Szereg liczbowy $\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}(a_{1} + a_{2} + \ldots + a_{n} + \ldots)$ zbieżny jeżeli ciąg sum częściowych S_n=S1,S2…Sn doąży do określonej granicy S gdy n→∞ to szereg nazywamy zbieżnym .Granicę nazywamy sumą szeregu i zapisujemy S=a1+a2+a3+…+an.. lub S=$\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$ Szereg jest bezwzględnie zbieżny Szereg $\sum_{n = 1}^{\infty}{f_{n}(x)}$ jestzbieżny w przedziale X a ponadto jest zbieżny w tym pzedziale szereg utworzony z wartości bezwzględnych jego wyrazów $\sum_{n = 1}^{\infty}{\text{If}_{n}(x)}I$, to szereg $\sum_{n = 1}^{\infty}{f_{n}(x)}$ nazywamy bezwzględnie zbieżnym w tym przedziale

Suma szeregów

Ciąg funkcyjny i jego zbieżność Ciag którego wyrazami są funkcje określone w tej samej dziedzinie tzn. w tym samym przedziale lub zbiorze Jeżeli f_n(x) oznacza funkcję przyporządkowaną liczb naturalnej n to ciąg oznaczamy symbolem {f_n(x)} ciąg nazywamy zbieżnym w zbiorze X do funkcji granicznej f_n(x) i piszemy f_n(x) = f_n(x) dla x∈X jeżeli dla każdego E>0 i dla każdego x∈X istnieje taka liczba N, że dla każdego n>N jest spełniona nierówność If_n(x)-f(x)I<E (epsilon)

Szereg funkcyjny nazywamy szereg złożony z funkcji f₁(x)+ f₂(x)+… f_n(x), którego wyrazami są funkcje określ. W tej samej dziedzinie X. Sumy: S_n(x)= $\sum_{k = 1}^{n}{f_{k}(x)}$ nazywamy sumamiczęściowymi szeregu $\sum_{n = 1}^{\infty}{f_{n}(x)}$ szereg $\sum_{n = 1}^{\infty}{f_{n}(x)}$ nazywamy zbieżnym w przedz.X jeżeli ciąg jego sum częściowych {Sn(x)} jest zbieżny w tym przedziale Sn(x)→_XS(x), a rozbieżnym w przyp. Przeciwnym. Szerg jest jednostajnie zbieżny jeżeli ciąg S1(x),S2(x), S3(x)…Sn(x) jest jednostajnie zbieżny w przedziale X to szereg $\sum_{n = 1}^{\infty}{fn(x)}$ nazwyamy jednost. Zbieżnymw tym przedziale

Szereg naprzemienny
Kryt porównawcze keżeli $\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$ i $\sum_{n = 1}^{\infty}b_{n}$ oraz an=<bn dla każd n to: 1) jeśli $\sum_{n = 1}^{\infty}b_{n}\ $ jest zbiezny to $\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$ jest zbieżny., 2) jeśli $\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$ rozbieżny to $\sum_{n = 1}^{\infty}b_{n}\ $ jest rozbieżny

Kryt d’Alemberta Dla szeregu $\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}\ $o wyrazach dodatnich mamy : 1) Jeśli $\operatorname{}\frac{an + 1}{\text{an}}$<1 to szer. Jest zbieżny, 2) Jeśli $\operatorname{}\frac{an + 1}{\text{an}}$>1 to szereg jest rozbieżny

Kryt cauchy’ego dla szeregu $\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$ o wyrazach nieujemnych jeżeli $\operatorname{}\sqrt[n]{\text{an}}$<1 to szereg jes zbieżny a jeśli $\operatorname{}\sqrt[n]{\text{an}}$>1 to rozbieżny

Iloraz różniczkowy $\frac{f\left( x0 + h,y0 \right) - f(x0,y0)}{h}$ Jest to iloraz różniczkowy funkcji f(x,y) w pkt. P0(x0,y0) dla przyrostu h zmiennej niezależnej x. jeżeli h→0⁺- poch. p.stronna jeżeli h→0⁻- poch. l.stronna

Def geom. Pochodnej f’(x)= $\operatorname{}\frac{f\left( x - x \right) - f(x)}{x}$ jest równy tangensowi kąta B jaki tworzy sieczna krzywej poprowadzona przez punkty o odciętych x i x+x z dodatnim kierunkiem osi x-ów

pochodna funkcji określonej parametrycznie Jeżeli funkcjia y=f(x) jets określona parametrycznie równaniami x=x(t), y=y(t) t∈(ab) istnieją povhodne $\frac{\text{dy}}{\text{dt}}$ i $\frac{\text{dx}}{\text{dt}}$ ≠0istnieje funkcja odwrotna do funkcji x(t)do istnieje pochodna $\frac{\text{dy}}{\text{dx}}$ wyrżona wzorem $\frac{\text{dy}}{\text{dx}} = \frac{\frac{\text{dy}}{\text{dt}}}{\frac{\text{dx}}{\text{dt}}}$

Równanie stycznej do krzywej Jeżeli dana jest krzywa określona równaniem y=f(x) gdzie f(x) jest funkcją ciągłą to w pkt. P0(x0,y0) krzywej w którym istnieje skończona pochodna y’(x0)=y’0 istnieje styczna do tej krzywej mająca współcz kierunkowy m=y’0 . Równanie ma postać y-y0=y’0(x-x0)

Pochodne wyższych rzędów Jeżeli pochodna f’(x) funkcji f(x) jet różniczkowalna to jej pochodną nazywamy pochodną drugiego rzędu funkcji f(x) i oznaczmy symbolem f’’(x). A więc f’’(x)=[f’(x)] podobnie określamy pochodne wyższych rzędów fⁿ(x)=[f^n − 1(x)]

Ekstremum jeżeli funkcja f(x) ma w punkcie x0 ekstremum i jeżeli istnieje pochodna f’(x0) to f’(x0)=0

Max lokal Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w punkcie x0 a ponadto ma pochodną f’(x) w pewnym sąsiedztwie S(x0,δ) przy czym  $\left\{ \begin{matrix} f^{'}\left( x \right) > 0\ dla\ x0 - \delta < x < xo \\ f^{'}\left( x \right) < 0\ dla\ x0 < x < x0 + \delta \\ \end{matrix} \right.\ $ to funkcj f(x) ma w pkt x0 maksimum min lokal. Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w punkcie x0 a ponadto ma pochodną f’(x) w pewnym sąsiedztwie S(x0,δ) przy czym  $\left\{ \begin{matrix} f^{'}\left( x \right) < 0\ dla\ x0 - \delta < x < xo \\ f^{'}\left( x \right) > 0\ dla\ x0 < x < x0 + \delta \\ \end{matrix} \right.\ $ to funkcj f(x) ma w pkt x0 minimum. Sposób obliczania 1)obliczyć pochodną funkcji f(x) w dowolnym pkt x 2)znaleźć miejsca zerowe funkcji f’(x) tzn. punkty x0 w których f’(x)=0 3)zbadać znak pochodnej w otoczeniu pkt x0, w którym f’(x)=0. Jeżeli dla x0-δ<x<x0 f’(x)>0 i dla x0<x<x-+δ, f’(x)<0 to funkcja f(x) ma w pkt x0 maksimum a gdy x0-δ<x<x0 f’(x)<0 i dla x0<x<x-+δ, f’(x)>0 to funkcja f(x) ma w pkt x0 minimum 4)znaleźć ekstremum funkcji tj. obliczyć wartość funkcji w pkt x0

Tw fermata Jeżeli funkcja 1)ma w pkt x0 ekstremum 2) jest w tym pkt różniczkowalna wówczas wartość pochodnej w tym pkt. =0

Tw rollea o wart średniej Jeżdeli funkcja jest ciągła w przedzial <a,b>, różniczkowalna w przedzial (a,b)i f(a)=f(b) to istnieje taki punkt c∈(a, b)ze f’(c)=0

Tw Legendre’a o wart średniej Jeżdeli funkcja f(x) jest ciągła w przedzial <a,b>, różniczkowalna w przedzial (a,b) to istnieje taki punkt c∈(a, b) że f(a)- f(b)=f’(c)(b-a)

Wypukłość funkcji krzywą funkcji y=f(x) nazywamy wypukłą w przedziale (a,b) jeżeli dla każdego x0∈(a,b) styczna do tej krzywej poprowadzona w pkt x0 leży nad tą krzywą
krzywą funkcji y=f(x) nazywamy wklęsłą w przedziale (a,b) jeżeli dla każdego x0∈(a,b) styczna do tej krzywej poprowadzona w pkt x0 leży pod tą krzywą warunki wystarczające wypukłą f’’(x)<0 dla każdego x∈(a, b) wklęsła f’’(x)>0 dla każdego x∈(a, b). Zbadanie wypukłości 1) znajdowanie I pochdonej 2) znajdowanie II pochodnej 3) znajdowanie znaku II pochodnej

Przebieg zmienn. Fu kcji AWOSAMEWI (Argumenty (dziedina); Wartości; Okresowość;Symetria (f.parzysta f(x)=f(x), nie f(-x)=-f(x));Asymptoty (jak funkcja zachowue się na końcu dziedzin); Monotoniczność (a<b, f(a)<f(b) rosnąca , ≤niemalejąca, ≥nierosnąca, >malejąca); Ekstrema (min, max lokaln) Wypukłość (wypukłą/wklęsła nad/pod styczną) Infleksja (pkt. Przegięcia)
Warunek konieczny ekstremum

Jeżeli funkcja jest różniczkowalna, i ma w punkcie x0 ekstremum to znika w tym pkt pochodna: f’(x0)=0 Uwaga: pochodna równa 0 w x0 nie oznacza, że w pkt x0 jest extremum, gdyż w punkcie x₀ musi nastąpić zmiana znaku drugiej pochodnej.

reguły de l’Hospitala I jeżeli funkcje f(x) i g(x) są różniczkowalne w sąsiedztwie pkt. X0 i spełniają warunki f(x) = 0 g(x) = 0 istnieje granica $\operatorname{}{\frac{f'(x)}{g'(x)} = k}$ to: $\operatorname{}\frac{f(x)}{g(x)}$=$\operatorname{}{\frac{f'(x)}{g'(x)} = k}$ II jeżeli funkcje f(x) i g(x) są różniczkowalne w sąsiedztwie pkt. X0 i spełniają warunki f(x) = ∞ ∞ istnieje granica $\operatorname{}{\frac{f'(x)}{g'(x)} = k}$ to: $\operatorname{}\frac{f(x)}{g(x)}$=$\operatorname{}{\frac{f'(x)}{g'(x)} = k}$

Szeregi Taylora $\ f\left( x \right) = f\left( x_{0} \right) + f^{'}\left( x_{0} \right)(x - x_{0}) + \ldots + \frac{f^{\left( n \right)}x_{0}}{n!}{(x - x_{0})}^{n} + R_{n + 1}f(x)$

Gdzie R_n+1 = $\frac{f^{n + 1}}{\left( n + 1 \right)!}{(x - x0)}^{n + 1}$ jest to reszta we wzorze Taylora

Szereg Taylora $\sum_{n = 0}^{\infty}{\frac{f^{\left( n \right)}\left( x0 \right)}{n!}{(x - x0)}^{n}}$

Gdy a=0 to jest to wzór Maclaurena: $f\left( x \right) = f\left( 0 \right) + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(0)}{2!}x^{2} + \ldots + \frac{f^{(n - 1)}(x0)}{(n - 1)!}{(x - x0)}^{n - 1}$

pochodna cząstokowa Jeżeli iloraz różniczkowy m agranicę właściwą h→0 to granicę tę nazywamy pochodną cząstkową rzędu I funkcji f(x,y) wzgl zdefiniowanej w pkt P0(x0,y0) i oznaczmy symbolem$\frac{\text{df}}{\text{dx}}$ $\frac{\text{df}}{\text{dx}}$=$\operatorname{}\frac{f\left( x0 + h,y0 \right) - f(x0,y0)}{h}$ . Podobnie postępujemy wzgl pkt y $\frac{\text{df}}{\text{dy}}$=$\operatorname{}\frac{f\left( x0,y0 + k \right) - f(x0,y0)}{k}$

ekstremum funkcji wielu zmiennych Pochodne względem zmiennych x i y muszą być równe $\left\{ \begin{matrix} \frac{\text{df}}{\text{dx}} = 0 \\ \frac{\text{df}}{\text{dy}} = 0 \\ \end{matrix} \right.\ $

Wszystkie pary punktów (x₀,y₀) spełniające warunek nazywamy punktami stacjonarnymi. Warunek wystarczający: Dla danego punktu stacjonarnego (x₀,y₀) układamy macierz pochodnych drugiego rzędu: $\begin{matrix} \frac{d^{2}f(x0y0)}{dx^{2}} & \frac{d^{2}f(x0y0)}{\text{dxdy}} \\ \frac{d^{2}f(x0y0)}{\text{dydx}} & \frac{d^{2}f(x0y0)}{dy^{2}} \\ \end{matrix}$

1. Jeśli wszystkie minory główne tej macierzy są większe od 0, to punkt (x₀,y₀) jest minimum.

2. Jeśli w pierwszy, trzeci, piąty itd. minor główny jest ujemny, a pozostałe – dodatnie, to punkt (x₀,y₀) jest maksimum.

W pozostałych przypadkach nie można rozstrzygnąć, czy punkt (x₀,y₀) jest ekstremum.

krzywizna Stosunek kąta ob.rotu stycznej do drogi ruchomego punktu $\frac{\varphi}{s}$

okrąg krzywiznowy k₀=$\frac{1}{R}$=$\frac{y"0}{\left( 1 + {y^{'}}_{0}^{2} \right)^{3/2}}$=k

obwiednia Niech dane będzie odwzorowanie p opisujące (n-1)-wymiarową powierzchnię zanurzoną w n-wymiarowej przestrzeni w czasie : R^n − 1 × RU ∋ (u, t)→p(u, t)∈RⁿObwiednią E powierzchni p względem parametru t jest zbiór punktów spełniających warunek: $\frac{\text{dp}}{\text{dt}}(u,t) \in T_{p(u,t)}$ gdzie T_p(ut)jest liniową podprzestrzenią styczną do powierzchni p w punkcie p(u,t=const). Przestrzeń styczna jest rozpięta na wektorach $\frac{\text{dp}}{du^{i}}$(dla i = 0, ..., n-1). Opisany warunek można zapisać: det$\begin{matrix} \begin{matrix} \frac{dp^{0}}{\text{dt}} & \frac{dp^{0}}{du^{0}} \\ \frac{dp^{1}}{\text{dt}} & \frac{dp^{1}}{du^{0}} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} \cdots & \frac{dp^{0}}{du^{n - 1}} \\ \cdots & \frac{dp^{1}}{du^{n - 1}} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \cdots & \cdots \\ \frac{dp^{n}}{\text{dt}} & \frac{dp^{n}}{du^{0}} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} \ddots & \vdots \\ \ldots & \frac{dp^{n}}{du^{n - 1}} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix}$

gradient jest to operacja przyporządkowująca danej funkcji wektor $\nabla\ \begin{matrix} \frac{\text{df}}{\text{dx}}(x,y) \\ \frac{\text{df}}{\text{dy}}(x,y) \\ \end{matrix}$

pkt siodłowy punkt, który dla jednej funkcji pzyjmuje max lokalne, a dla drugiej min lokalne

rotacja rot=$\begin{matrix} \frac{d}{\text{dx}} & A_{x} & \delta_{x} \\ \frac{d}{\text{dy}} & A_{y} & \delta_{y} \\ \frac{d}{\text{dz}} & A_{z} & \delta_{z} \\ \end{matrix}$

dywergencja przyporządkowuje danemu polu wetorowemu funkcję skalarną div=∇ * A=$\begin{matrix} \frac{d}{\text{dx}} \\ \frac{d}{\text{dy}} \\ \frac{d}{\text{dz}} \\ \end{matrix}*\begin{matrix} \text{Ax} \\ \text{Ay} \\ \text{Az} \\ \end{matrix}$ = $\frac{\text{dAx}}{\text{dx}} + \frac{\text{dAy}}{\text{dy}} + \frac{\text{dAz}}{\text{dz}}$