Filozofia języka, klasyfikacja zdań, metody analizy filozoficznej, atomizm logiczny
Zdanie w logice rozumie się jako wyrażenie mające wartość logiczną (prawdziwość lub fałszywość).
W gramatyce obok zdań w sensie logicznym (tzn. mających wartość logiczną), które zwie się
zdaniami oznajmującymi, wyróżnia się także zdania pozbawione wartości logicznej, takie jak:
pytania, rozkazy, prośby itp.
Twierdzenie to zdanie oznajmujące wypowiedziane z asercją.
Jeśli zdania są to wyrażenia „tylko pomyślane", tzn. takie, iż uświadomieniu ich treści nie musi
towarzyszyć ich uznanie (za prawdziwe lub prawdopodobne), to twierdzenia (zdania z asercją) są
zdaniami uznanymi za prawdziwe (lub prawdopodobne).
Asercja – w logice i w analizie filozoficznej języka, uznanie jakiegoś zdania za prawdziwe.
I. Zdania analityczne
to zdania budowane przeważnie w naukach formalnych, takie iż:
-prawdziwość lub fałszywość tych zdań można wykazać na podstawie samych faktów
językowych, bez odwoływania się do doświadczenia i rzeczywistości pozajęzykowej;
-ich analiza wymaga odwołania się do praw logiki oraz postulatów ustalających znaczenia
wyrażeń występujących w danym języku;
-analiza podmiotu zdania tego rodzaju wystarcza do ustalenia jego wartości logicznej (to znaczy
prawdziwości lub fałszywości), ponieważ cecha przypisywana przedmiotowi przez orzecznik
Jeśli zdanie analityczne jest prawdziwe na mocy samych praw logiki, to zwane jest tautologią
(prawdą logiczną). Jeśli natomiast ustalenie jego prawdziwości wymaga odwołania się także do
definicji, to jest tezą języka
Zdania analityczne dzielą się zatem na: tautologie logiczne oraz tezy języka.
Tautologie logiczne (prawa logiczne i ich konsekwencje)
-prawdziwość (lub fałszywość) określamy na mocy praw logiki,
Tezy języka
-prawdziwość (lub fałszywość) określamy na mocy praw logicznych i postulatów języka,
ustalających znaczenie wyrażeń języka.
Na przykład „wszyscy kawalerowie są nieżonaci" jest zdaniem tego rodzaju, gdyż dopiero
znajomość znaczenia (definicji) pojęcia „kawaler" pozwala ustalić jego prawdziwość
Rachunek zdań
Rachunek zdań to dział logiki matematycznej badający związki między zdaniami (zmiennymi zdaniowymi) lub funkcjami zdaniowymi utworzonymi za pomocą spójników zdaniowych ze zdań lub funkcji zdaniowych prostszych. Rachunek zdań określa sposoby stosowania spójników zdaniowych w poprawnym wnioskowaniu.
W klasycznym rachunku zdań przyjmuje się założenie, że każdemu zdaniu można przypisać jedną z dwu wartości logicznych - prawdę albo fałsz, które umownie przyjęto oznaczać 1 i 0. Klasyczny rachunek zdań jest więc dwuwartościowym rachunkiem zdań.
W rachunku zdań treść rozpatrywanych zdań nie ma znaczenia, istotna jest jedynie ich wartość logiczna. Wartość logiczną zdań złożonych powstałych przez zastosowanie spójników zdaniowych określa funkcja prawdy, związana z każdym spójnikiem zdaniowym. Wartość ta zależy wyłącznie od prawdziwości lub fałszywości zdań składowych, nie zależy natomiast od ich treści. Szczególną rolę w rachunku zdań odgrywają takie zdania złożone, dla których wartość logiczna jest równa 1, niezależnie od tego, jakie wartości logiczne mają zdania proste, z których się składają. Takie zdania nazywa się prawami rachunku zdań lub tautologiami.
Alfabet KRZ składa się z trzech rodzajów znaków: zmiennych zdaniowych, stałych logicznych (funktorów) i znaków pomocniczych.
Zmienne zdaniowe: p, q, r, s, itd.
Funktory: koniunkcja, alternatywa, równoważność, implikacja, itd.
Znaki pomocnicze: nawiasy: (, ), [, ], {, }.
Definicja wyrażenia sensownego KRZ (formuły KRZ): Wyrażeniem sensownym KRZ nazywamy taki i tylko taki skończony ciąg symboli alfabetu KRZ, który jest zbudowany zgodnie z następującymi regułami:
Każda pojedyncza zmienna zdaniowa jest formułą.
Jeżeli α i β są formułami to ich połączenie funktorem też jest formułą.
Zalążki klasycznego rachunku zdań odnajdujemy już w starożytnej filozofii. Rachunkiem zdań zajmowano się również w średniowieczu. Współczesne, sformalizowane oraz pełne ujęcie rachunku zdań po raz pierwszy podał w 1879 roku logik niemiecki Gottlob Frege. Niemałą rolę w dalszym rozwoju rachunku zdań odegrali matematycy polscy, a wśród nich głównie Jan Łukasiewicz i Alfred Tarski.
Ważniejsze prawa rachunku zdań:
prawo tożsamości (każde zdanie implikuje siebie)
prawo podwójnego przeczenia (dowolne zdanie równoważne jest podwójnej negacji tego zdania)
prawo przemienności koniunkcji
prawo przemienności alternatywy
prawo łączności koniunkcji
prawo łączności alternatywy
prawo idempotentności koniunkcji
prawo idempotentności alternatywy
prawo rozdzielności koniunkcji względem alternatywy
prawo rozdzielności alternatywy względem koniunkcji
prawo wyłączonego środka (z dwóch zdań: zdania lub jego zaprzeczenia jedno zawsze jest prawdziwe)
prawo to jest odpowiednikiem reguły tertium non datur (łac. trzeciej możliwości nie ma)
prawo sprzeczności (nie może być jednocześnie prawdziwe zdanie i jego zaprzeczenie)
prawa pochłaniania
inna postać
pierwsze prawo De Morgana (prawo zaprzeczenia koniunkcji)
drugie prawo De Morgana (prawo zaprzeczenia alternatywy)
prawo Claviusa (jeżeli zdanie wynika ze swojego zaprzeczenia, to jest prawdziwe)
prawo Dunsa Szkota (jeżeli zdanie jest fałszywe, to wynika z niego każde inne zdanie)
prawo symplifikacji (jeżeli zdanie jest prawdziwe, to wynika ono z każdego innego)
prawo sylogizmu, prawo przechodności implikacji (jeżeli z jednego zdania wynika drugie i z drugiego trzecie, to z pierwszego wynika trzecie)
prawa transpozycji
jeżeli z jednego zdania wynika drugie, to z zaprzeczenia drugiego wynika zaprzeczenie pierwszego
prawo to jest odpowiednikiem arystotelesowskiej reguły wnioskowania modus tollendo tollens
(łac. sposób zaprzeczający przy pomocy zaprzeczenia)
jeżeli z zaprzeczenia zdania wynika drugie zdanie, to z zaprzeczenia drugiego wynika pierwsze
prawo to jest odpowiednikiem arystotelesowskiej reguły wnioskowania modus tollendo ponens
(łac. sposób potwierdzający przy pomocy zaprzeczenia)
jeżeli z jednego zdania wynika zaprzeczenie drugiego, to z drugiego wynika zaprzeczenie pierwszego
prawo to jest odpowiednikiem arystotelesowskiej reguły wnioskowania modus ponendo tollens
(łac. sposób zaprzeczający przy pomocy potwierdzenia)
prawo odrywania (jeżeli z jednego zdania wynika drugie i pierwsze jest prawdziwe, to drugie należy uznać za prawdziwe)
prawo to jest odpowiednikiem arystotelesowskiej reguły wnioskowania modus ponendo ponens
(łac. sposób potwierdzający przy pomocy potwierdzenia)
prawo eliminacji implikacji
prawo zaprzeczenia implikacji
prawo redukcji do absurdu (reductio ad absurdum)
prawo Fregego